matemأ€tiques per a quأچmica exercicis 401 textos docents 401 textos docents آ«les...

Download MATEMأ€TIQUES PER A QUأچMICA EXERCICIS 401 textos docents 401 textos docents آ«Les matemأ tiques sأ³n

Post on 08-Sep-2019

1 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • textos docents401textos docents401

    «Les matemàtiques són l’alfabet amb el qual Déu ha escrit l’Univers», va afirmar Galileu Galilei fa aproximadament quatre-cents anys. No cal anar tan lluny per constatar que avui dia les matemàtiques són el llenguatge amb què s’expressa la ciència, en especial la química, la física i les en - ginyeries. Així, doncs, tot aquell que vulgui dominar aquestes disciplines ha de tenir una base matemàtica sòlida, que s’adquireix en bona part amb la resolució de problemes. I això és el que ofereix aquest text docent: una col·lecció d’exercicis de càlcul diferencial i integral impres- cindibles per a qualsevol estudiant de ciències, especialment de química, ja que inclou nombroses aplicacions en problemes químics i, sobretot, en termodinàmica.

    MATEMÀTIQUES PER A QUÍMICA EXERCICIS RESOLTS Olga Lavila Vidal Santiago Zarzuela Armengou

    Departament d’Àlgebra i Geometria

    M A

    TE M

    À TI

    Q U

    ES P

    ER A

    Q U

    ÍM IC

    A . E

    X ER

    C IC

    IS R

    ES O

    LT S

    • O

    LG A

    L A

    V IL

    A V

    ID A

    L, S

    A N

    TI A

    G O

    Z A

    R ZU

    EL A

    A R

    M EN

    G O

    U

    401

    9 7 8 8 4 4 7 5 3 9 6 3 5

    16090_Matematiques per a quimica exercicis resolts (coberta).indd 1 26/02/16 13:36

  • TEXTOS DOCENTS401

    MATEMÀTIQUES PER A QUÍMICA EXERCICIS RESOLTS

    Olga Lavila Vidal Santiago Zarzuela Armengou

    Departament d’Àlgebra i Geometria

    16090_Matemàtiques per a Química, pàg. 3, 25/02/2016

  • Universitat de Barcelona. Dades catalogràfiques

    Anàlisi matemàtica

    © Edicions de la Universitat de Barcelona Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona Tel. 934 035 430 Fax 934 035 531 www.publicacions.ub.edu comercial.edicions@ub.edu

    Nueva edición revisada y actualizada78.84.475.3626-9 B-4.301-2016 Gráfi cas Rey

    ISBN DIPÒSIT LEGAL IMPRESSIÓ I ENQUADERNACIÓ

    És rigorosament prohibida la reproducció total o parcial d’aquesta obra. Cap part d’aquesta publicació, inclòs el disseny de la coberta, no pot ser reproduïda, emmagat- zemada, transmesa o utilitzada per cap mitjà o sistema, sense l’autorització prèvia per escrit de l’editor.

    978-84-475-3963-5

    Lavila Vidal, Olga Matemàtiques per a Química: exercicis resolts. –(Textos docents ; 401)

    A la portada: Departament d’Àlgebra i Geometria Bibliografi a ISBN 978-84-475-3963-5

    I. Zarzuela, Santiago II. Universitat de Barcelona. Departament d’Àlgebra i Geometria. III. Títol IV. Col·lecció: Textos docents (Universitat de Barcelona) ; 401 1. Ensenyament de la matemàtica 2. Química 3. Educació superior 4. Problemes i exercicis

    16090_Matemàtiques per a Química, pàg. 4, 25/02/2016

  • Capı́tulo 2

    Índex

    Pròleg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1. Llista de problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.1. Diagonalització . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Equacions diferencials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Diferenciació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Integració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2. Diagonalització . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.1. Espais vectorials. Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. Diagonalització . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3. Matrius simètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3. Equacions diferencials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    3.1. Equacions diferencials de primer ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2. Equacions diferencials lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.3. Sistemes d’equacions diferencials lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4. Aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    4. Diferenciació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    4.1. Derivades direccionals. Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.2. Optimització. Extrems de funcions en diverses variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.3. Matriu jacobiana. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.4. Teorema de la funció impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

    5. Integració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

    5.1. Integrals de ĺınia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 5.2. Integrals dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 5.3. Integrals triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 5.4. Integrals de superf́ıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

    Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

    16090_Matemàtiques per a Química, pàg. 5, 25/02/2016

  • P R

    Ò LE

    G

    Pròleg

    Presentem en aquest text docent una col·lecció d’exercicis resolts que formen part del pro- grama actual de l’assignatura Matemàtiques I, del grau de Química de la Facultat de Quími- ca de la Universitat de Barcelona. La major part dels exercicis estan resolts detalladament, amb comentaris que fan referència al contingut explicat prèviament a les classes teòriques de l’assignatura. El programa actual de l’assignatura consisteix en tres hores de teoria i dues de pràctiques de problemes per setmana, al llarg d’un semestre. Així, els exercicis proposats es corresponen pràcticament amb els mateixos que els estudiants treballen a les seves clas- ses pràctiques de problemes. També hi hem inclòs alguns exercicis que formaven part del programa de l’assignatura equivalent a l’antiga llicenciatura de Química de la Universitat de Barcelona, tot pensant que encara poden ser de certa utilitat per a altres assignatures del grau actual. Igualment, s’ha millorat la col·lecció d’exercicis de l’assignatura afegint aplica- cions a la química i la física.

    Les assignatures de matemàtiques de caràcter general que s’imparteixen normalment al primer curs dels estudis de ciències presenten la dificultat de tractar una àmplia varietat de temes en un temps molt limitat, temes que sovint requereixen un cert nivell avançat en matemàtiques per ser compresos en profunditat. L’objectiu és que l’estudiant adquireixi les eines bàsiques per reconèixer i resoldre alguns dels problemes matemàtics més comuns en altres matèries pròpies dels seus estudis. És per això que el gruix de la docència d’aquestes assignatures de caire general es concentra en la resolució d’exercicis. Així, el professor dóna a classe de teoria una sèrie d’explicacions conceptuals i metodològiques que l’estudiant hau- rà de posar en pràctica posteriorment mitjançant la resolució d’exercicis, tant a l’aula com, sobretot, en forma de treball personal. L’objectiu d’aquest text docent és, doncs, proporcio- nar a l’estudiant una eina de consulta i treball que li permeti completar de forma autònoma el que ha après a la classe presencial. En el nostre cas, a més, no existia un text de problemes que s’ajustés al programa actual de l’assignatura. Això obligava els nostres estudiants a em- prar com a mínim dos o tres llibres de text amb nomenclatures diferents i formes diverses d’explicar els mateixos conceptes. A banda, malgrat que el contingut del text s’adapta a l’as- signatura Matemàtiques I, del grau de Química, pensem que també pot ser de força utilitat per a qualsevol altre estudiant de ciències o enginyeries amb uns continguts similars en les assignatures introductòries de matemàtiqu