mundo trabajo apuntes

5/11/2018 mundo trabajo apuntes - slidepdf.com

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Formación Básica

de Personas Adultas

Graduado en Educación Secundaria

P R O C E S O S EI N S T R U M E N T O S

M A T E M Á T I C O S

CONSELLERIA DE CULTURA I EDUCACIÓDIRECCIÓ GENERAL D’ORDENACIÓ I INNOVACIÓ EDUCATIVA I POLÍTICA LINGÜÍSTICA

GENERALITATVALENCIANA



© Consuelo Clemente Díaz

© José Antonio Moraño Fernández

© Mª Dolores Ortells González

© de esta edición: Generalitat Valenciana

Conselleria de Cultura i Educació

Direcció General d'Ordenació i Innovació Educativa

i Política Lingüística

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http://cuad/cuad4.pdf








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http://unid/u7.pdf

http://unid/u6.pdf

http://unid/u5.pdf

http://unid/u4.pdf

http://unid/u3.pdf

http://unid/u2.pdf

http://unid/u1.pdf

http://contenid.pdf/

http://orienta.pdf/

http://presen.pdf/











http://cuad/eval5-8.pdf







Tema 1: Números

15

La principal diferencia entre unos sistemas y otros se encuentraen:

• La grafía de los signos, símbolos o cifras y su valor.

• Su carácter:

¾Aditivo o sumativo si la expresión de la cantidad total seconsigue por adición o acumulación de símbolos.

¾Posicional si los símbolos adquieren valores diferentessegún su posición.

• Reglas de combinación.

Nos centraremos en los sistemas de numeración romana ydecimal por ser ambos los sistemas de uso en la actualidad.

Sistema de numeración romana

• Símbolos y valor:

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1.000

• Carácter: aditivo o sumativo.

Para expresar trescientos escribían CCC.

• Reglas:

¾Toda cifra igual o menor colocada a la derecha de otra,suma su valor con ella.

XX=2 0XXI = 21

¾Toda cifra menor colocada a la izquierda de otra resta suvalor con ella.

I X = 9XL=40

¾Si entre dos cifras existe otra de menor valor, se combinacon la siguiente para disminuirla.

XIX = 19¾Ninguna cifra puede escribirse más de tres veces

seguidas. La I, la X, La C y la M pueden escribirse hastatres veces seguidas; la V, la L y la D, no puedenescribirse seguidas.

¾Las unidades simples pueden convertirse en millaresponiéndoles una raya horizontal encima.

621.4DCXXIIV = .

Numeración babilónica

”cuneiforme”

Signo Valor

1

10

60

Ejemplo. 193

Numeración egipcia

jeroglífica

Signo Valor

1

10

100

1000Ejemplo 1.213

El sistema decimal esmás “económico” quela numeración romanapues permite escribirlas mismas cantidadesutilizando menoscifras.



Tema 1: Números

17

¾Los números decimales constan de una parte entera y unaparte decimal, la parte entera es la que preceda a la comay la parte decimal es la que se obtiene sustituyendo la

parte entera por cero y añadiendo a la derecha de la comalas cifras decimales.

Parte entera ’ Parte decimal

Para leer un número decimal se lee primero la parteentera, si la hay, y luego la parte decimal como si fueraentera, añadiendo el nombre de la unidad decimal queexpresa su última cifra.

28’62 se lee 28 unidades 62 centésimas0’3186 se lee 3.168 diezmilésimas

2’0005 se lee 2 unidades 5 diezmilésimas.

$SUHQGDPRVSUD.WL.DQGR

1. Toma un libro y fíjate en la numeración que contiene:

capítulos, páginas,..

Si miras el índice verás algo similar a esto:

ÍNDICE:

Capítulo I............... 4Capítulo II ............ 25Capítulo III........... 36Capítulo IV........... 78Capítulo V........... 102Capítulo VI.......... 125Capítulo VII ........ 143Capítulo VIII ....... 171Capítulo IX.......... 194Capítulo X........... 220

Generalmente se utilizan números romanos para los capítulos,los tomos, las ediciones,… , y se reservan los arábigos para lapaginación.

El número 235’724 sepuede leer como:

• 235 unidades 724milésimas.

• 235’724 unidades.• 23’5724 decenas.• 2’35724 centenas.• 2.357’24 décimas.• 23.572’4 centésimas.• 235.724 milésimas

Numeración romana referida alas sucesivas convocatorias de

un concurso matemático.



Tema 1: Números

18

2. Pensemos ahora en la cronología.

En este caso la numeración romana se usa para indicar siglos y,en ocasiones, los meses, mientras que la arábiga se utiliza paraaños y días.

Para indicar el día 7 de Agosto del año 2001 lo podemos

escribir

7 / VIII / 2001

y decimos que pertenece al siglo XXI.

El motivo de que no coincida el número de centenas del año conel siglo, en este caso 20 centenas de 2001 con siglo XXI, se debea que la cronología parte del año del nacimiento de Cristo, año1, y hasta el año 100 se considera el siglo I, del 101 al 200 elsiglo II y así sucesivamente.

7~PLVPR

Para los hechos queocurrieron antes delnacimiento de Cristo

se utiliza lasiguiente

abreviatura:a. C.

El año 0 no existió

Este es también elmotivo por el que elsiglo XXI comenzó el1-I-2001 y no el día1-I-2000.

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 1 al 8propuestos en el libro de actividades.



Tema 1: Números

21

• Asociativa de la suma: Si tenemos que sumar tres o mássumandos podemos sumar dos cualesquiera de ellos(asociarlos) y sustituirlos por el resultado de su suma.Podemos escribir: (a + b) + c = a + (b + c).

Si queremos calcular el resultado de 56 + 70 + 30 podemos respetar el orden y sumar antes 56 + 70

5 6 + 7 0 + 3 0 = 1 2 6 + 3 0 = 1 5 6o sumar antes 70 + 30

56 + 70 + 30 = 56 + 100 = 156.

• Asociativa del producto: Si tenemos que multiplicartres o más factores podemos multiplicar dos cualesquierade ellos (asociarlos) y sustituirlos por el resultado de suproducto.Podemos escribir: (a · b)· c = a · (b · c).

Si queremos calcular el resultado de 6 · 50 · 3podemos

respetar el orden y multiplicar antes 6 · 506 · 50 · 3 = 300 · 3 = 900

o multiplicar antes 50 · 36 · 50 · 3 = 6 · 150 = 900.

• Conmutativa de la suma: El orden de los sumandos noaltera el resultado de la suma.Podemos escribir: a + b = b + a.

• Conmutativa del producto: El orden de los factores noaltera el resultado del producto.Podemos escribir: a · b = b · a

Otra propiedad de la suma y del producto es la existencia delelemento neutro.

• Elemento neutro de la suma: Es el 0 y se llama neutroporque al sumar 0 a cualquier número éste no varía.Podemos escribir: a + 0 = a.

• Elemento neutro del producto: Es el 1 ya que al

multiplicar cualquier número por 1 éste no varía.Podemos escribir: a · 1 = a.

En el caso de la resta y en el de la división, no presenta estaspropiedades teniendo que respetar el orden en que aparecen.

El resultado de 20 – 5 – 3 no es el mismo si realizamos las

operaciones en orden (20 – 5 – 3 = 15 – 3 = 12), que si

calculamos antes 5 – 3 , cuyo resultado es 18.

Igualmente, el resultado de 40 : 8 : 2 no es el mismo si

hacemos las operaciones en orden (40 : 8 : 2 = 5 : 2 = 2’5 ),

que si calculamos antes 8 : 2 , cuyo resultado es 10.

La propiedad conmu-tativa tiene un enun-

ciado muy popular y seaplica en situaciones

cotidianas. Si el ordenen que se mezclan losingredientes de una

receta no importa y nospreguntan por él

seguramentecontestaremos:

“Da igual, el orden delos factores no altera el

producto”

Propiedad conmutativa

• 1 2 + 5 4 = 5 4 + 1 2 = 7 4• 5 · 42 = 42 · 5 = 210

Para realizar restas ydivisiones

encadenadas hay querespetar el orden en el

que aparecen.Para alterar este orden

hacemos uso de losparéntesis.

Elemento neutro

• 1 2 0 + 0 = 1 0• 534 · 1 = 534



Tema 1: Números

22

De una suma se obtienen dos restas relacionadas con ella yde una multiplicación dos divisiones.

12 – 7 = 5

5 + 7 = 1 212 – 5 = 7

3 2 : 4 = 8

8 · 4 = 3232 : 8 = 4

Por tanto, conociendo dos de los elementos de cualquiera deestas operaciones, podemos calcular el tercero.

Si 3 + a = 24 ; a = 24 – 3 = 21Si b : 3 = 18 ; b = 18 · 3

7~PL

VPR

Cuando aparecen encadenadas varias operaciones, e inclusoparéntesis, hay que seguir ciertas reglas:

1. En primer lugar hay que calcular la expresión queaparece entre paréntesis.

2. Después se efectúan las multiplicaciones ydivisiones.

3. Se acaba realizando las sumas y las restas.

5 + 3 – 4 ( 5 – 3 ) = (Primero el paréntesis)

5 + 3 – 4 · 2 = ( Después la multiplicación)5 + 3 – 8 = 0 (Finalmente sumas y restas)

Si solo aparecen sumas y restas se pueden agrupar lascantidades a sumar por un lado y las cantidades a restar porotro y realizar al final una resta.

5 + 6 – 7 + 4 – 2 + 6 – 1 = 21 – 10 = 11.

Estas propiedades lasutilizaremos más

adelante pararesolver ecuaciones:

3 + x = 2 4 ;x = 24 – 3

x = 2 1

Si traduces al lenguajecoloquial las

operaciones indicadasverás la lógica de lasreglas enunciadas: “

cinco más tres menoscuatro veces el

resultado de restarletres a cinco”.

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 11 y 12

propuestos en el libro de actividades.



Tema 1: Números

29

Es importante diferenciar los diferentes “significados” quepuede tener un signo negativo.

• Acompañando a un número indica que su valor esinferior a cero y como ejemplos servirían los que hemoscitado anteriormente. Los números mayores de cero nollevarán ningún signo o el signo positivo.

• Como operación tiene el significado de una variaciónnegativa frente al signo + que implica una variaciónpositiva.

Un submarino que baja 40 metros respecto a su posición

original tiene una variación de – 40 m.

Un coche que baja dos sótanos más abajo del que seencontraba tiene una variación de – 2 plantas.

Un cliente que realiza un reintegro de 50 ¼ de su cuenta de

ahorro tiene una variación en su saldo de – 50 ¼

No sólo los números enteros pueden ser positivos o negativos,los números decimales también pueden serlo.

Observa la recta sobre la que hemos representado los númerosenteros. Los números crecen de izquierda a derecha ydisminuyen de derecha a izquierda.

Aplicando este criterio podemos ordenar los números enteros:

• El mayor de dos números enteros se sitúa más a laderecha en la recta numérica.

0 1 2 3 …… -3 - 2 -1

-1’3 2’6

La temperatura en unaciudad del interior de

la ComunidadValenciana en Eneroes de –3ºC a las 11 h.de la mañana. Si hastalas 24 horas baja tresgrados la variación

será de –3ºC,alcanzándose a esta

hora una temperaturade –6ºC.

0

CRECEN

DISMINUYEN

Comparamos las

siguientes temperaturasregistradas en un mismo

momento en cuatrociudades diferentes:

Ciudad A:..............-4ºCCiudad B:..............10º CCiudad C:.............. 0ºCCiudad D:..............-7ºC

Las situamos sobre larecta numérica:

-7 –4 0 10

Ordenamos:

- 7 < - 4 < 0 < 1 0



Tema 1: Números

30

• Cualquier número positivo es mayor que cualquiernúmero negativo.

• El cero es mayor que cualquier número negativo y menorque cualquier número positivo.

7~PLVPR

Operaciones

Vamos a analizar las operaciones que incluyen númerosnegativos a partir de ejemplos concretos.

Es importante aclarar que nunca pueden ir juntos dos signos.

Cuando hemos de sumar o restar (variación positiva o negativa)un número negativo tenemos dos opciones:

• Separarlos incluyendo el del número junto con lacifra dentro de un paréntesis.

5 + (–3) 5 – (– 3)• Traducir el conjunto de ambos signos en una

variación.

+ (–3) = – 3 5 – 3– (– 3) = + 3 5 + 3

Es conveniente imaginar alguna situación “real” para entenderlas operaciones con números negativos. Una que puede ser útiles asociar las siguientes ideas:

• Sumar = Dar• Restar = Quitar• Num. positivo = Dinero efectivo• Num. negativo = Deuda

+ ( ±3) = ± 3 se interpreta como que “dar una deuda de 3 ¼

es igual a quitar 3 ¼ ”.

± ( ±3) = +3 se interpreta como que “quitar una deuda de

3 ¼ es igual a dar 3 ¼ ”.

En la cartilla lo quese registran son lasvariaciones.Los reintegros sonvariaciones negativas

y por eso vanacompañadas delsigno , mientras quelos ingresos sonvariaciones positivasaunque generalmenteprescinden del signo.

Al no poder ir juntos los signosse han de separar

mediante unparéntesis.

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 17 propuestoen el libro de actividades.



Tema 1: Números

31

• Suma

1 5 + 2 5 = 4 0

15 + (–25) = 15 – 25 = –10–15+25=10–15 + (–25) = –15 –25 = – 40

Con la asociación sugerida quedaría:

Tengo Me dan Acabo con(Sit. Inicial) (Variación) (Sit. Final)

15 25 4015 deuda de 25 deuda de 10

deuda de 15 25 10deuda de 15 deuda de 25 deuda de 40

Al igual que ocurre con los números naturales, la suma denúmeros enteros también cumple las propiedades asociativa,conmutativa y elemento neutro.

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] 4523523 −=−+−+=−+−+

5 + (–7) = (–7) + 5 = – 2(–3) + 0 = (–3).

• Resta

15 – 25 = –1015–(–25)=15+25=40– 15 – 25 = – 40– 15 – (–25) = –15 + 25 = 10

Con la asociación sugerida quedaría:

Tengo Me quitan Acabo con(Sit. Inicial) (Variación) (Sit. Final)

15 25 deuda de 1015 deuda de 25 40deuda de 15 25 deuda de 40deuda de 15 deuda de 25 10

7~PLVPR

+ ( – ) = –– (– ) = +

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 18, 19 y 20propuestos en el libro de actividades.



Tema 1: Números

32

• Producto

Una multiplicación es la expresión de una suma desumandos repetidos.

3 · 4 = 4 + 4+ 4 (3 · 4 es tres veces cuatro)

Podemos considerar que un producto que incluye númerosnegativos expresa, de una manera simplificada, variacionesrepetidas del mismo valor y sentido.

3 · 4 = 12; 3 · (–4) = –12; –3 · 4 = –12; –3 · (–4) = 12.

Si seguimos haciendo la asociación como antes quedaría:

Variación Resultado

Me dan 3 veces 4 Me dan 12 Me dan tres veces una deuda de 4 Me quitan 12 Me quitan tres veces 4 Me quitan 12 Me quitan tres veces una deuda de 4 Me dan 12

Para multiplicar números enteros se multiplican sus valoresabsolutos y el resultado se acompaña del signo + o – segúnel signo de los factores. Para calcular ese signo aplicaremoslas reglas de los signos que aparece en el margen.

3 · (– 5) = – 15; (– 3) · (– 5) = 15.

Al aplicar las reglas de los signos para multiplicar más dedos números enteros podemos observar lo siguiente:

• Si el número de signos negativos que aparece es par

se compensan dos a dos y el resultado es positivo.

3 · (– 5) · ( – 4) = – 15 · (– 4) = 60.

• Si el número de signos negativos que aparece esimpar el resultado es negativo.

(– 3) · (– 5) · (– 4) = 15 · (– 4) = – 60.

Al igual que ocurre con los números naturales, el productode números enteros también cumple las propiedadesasociativa, conmutativa y elemento neutro.

Asociativa Æ ( )[ ]( ) ( )( )[ ] 305·2·35·2·3 =−−=−−

Conmutativa Æ 5 · (– 7) = (– 7) · 5 = – 35 Elemento neutro Æ (– 3) · 1 = (– 3).

7~PLVPR

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 21 y 22

propuestos en el libro de actividades.

Reglas de los signos

(+) · (+) = (+)(+) · (–) = (–)

(–)· + = (–)(–) · (–) = (+)

Nº signos

negativos Resultado

Par +Impar -



Tema 1: Números

38

• Calcular la raíz cuadrada de 16 es valorar el dato quefalta en esta expresión

[ ]162

=

Hay que calcular la base que será el número cuyocuadrado es 16. Podemos optar por poner el número 4 oel número –4.

Gráficamente corresponde al cálculo del lado de uncuadrado de área 16.

Se expresa: 416 = porque 42 = 16.

También es válida 416 −= porque (- 4)2 = 16.

Las raíces cuadradas de números negativos no existen.

Observa que la raíz cuadrada de -16 no existe porqueno encontramos ningún número que elevado al cuadradoresulte –16.

42 = 16 y (– 4)2 = 16.

• Calcular la raíz cúbica de 8 es calcular el dato que faltaen esta expresión

[ ] 83=

Hay que calcular la base cuyo cubo es 8. Está claro quese trata del número 2.

Gráficamente corresponde al cálculo del lado de un cubode volumen 8.

Se expresaría: 283= porque 23 = 8.

Observa que la raíz cúbica de – 8 es – 2 porque

(– 2)3 = – 8

Así pues las raíces cúbicas de números negativos

también son de signo negativo.

• En general, calcular la raíz de índice n de un númerocualquiera b es calcular el dato que falta en la expresión

[ ] bn=

Se trata de calcular la base que elevada a n nos de b.

Se expresaría: abn= porque an = b.

16

4

8

Esquema raíz.

abn=

índice

radicando

raíz



Tema 1: Números

42

8WLOL

]DPRVOD.DO.XODGRUD

Las calculadoras que vas a utilizar más frecuentemente a partirde ahora son las llamadas calculadoras científicas.

• Estas calculadoras priorizan las operaciones, es decir,cuando tecleas en orden expresiones que contienenoperaciones combinadas, respetan el orden en el que se hande realizar, aunque no coincida con el de introducción de losdatos.

• Teclas de paréntesis. [(… …)]

• Tecla +/-

• Teclas y x y

Al calcular 3 + ( 2 – 8 : 2 ) , al darle a la tecla de cerrar

paréntesis después del 2 aparece en pantalla – 2 , que es

el resultado del paréntesis, y al darle al igual aparece el

resultado total 1.

Introduce o quita el signo negativo al número. Debemosincorporar el signo después de haber escrito el número.

No debemos confundir con la operación de restar. Para

calcular – 8 – 7 se teclea:

8 +/- – 7 = .

Calcula directamente la raíz cuadrada de un número.

Para calcular 4 , tecleamos: 4

XYPara calcular 53

, tecleamos 5 XY 3 = .

Otras teclas.

Borra el último datointroducido CBorra todo lo que noestá guardado enmemoria AC

Al calcular 2 + 4 · 3 el resultado sería:

En una calculadora científica 14 En otro tipo de calculadora 18

En la calculadorano científica setendría que haceresta operación:

4 · 3 + 2

En la calculadora nocientífica se tendríanque hacer estasoperaciónes:

8 : 2 = 42 – 4 + 3



Tema 1: Números

43

1RRROYLGHV

• A lo largo de la historia han ido cambiando los sistemas de numeración, tanto símboloscomo reglas de combinación. Actualmente utilizamos los sistemas de numeración romanoy decimal.

• Los números se utilizan para identificar, ordenar, expresar cantidades y realizaroperaciones.

• Una suma se relaciona con dos restas y una multiplicación con dos divisiones.

• Redondear un número muy grande o un número decimal consiste en “eliminar” las cifrasno significativas. Normalmente suelen interesar las cuatro primeras.

• El orden de las operaciones cuando aparecen combinadas es el siguiente:Paréntesis.Multiplicaciones y divisiones.Sumas y restas.

• El signo negativo puede tener los significados:Valor menor que el 0 que se toma como referencia.Variación negativa.

• Una potencia es la expresión simplificada de un producto de varios factores todos iguales.Base. Indica el factor.Exponente. Indica las veces que se multiplica por sí mismo.

• La raíces son las operaciones contrarias a las potencias.



Tema 2: Fracciones y porcentajes

48

MÚLTIPLOS Y DIVISORES.

Recuerda las siguientes relaciones:

6 : 2 = 3

2 · 3 = 6

6 : 3 = 2

Las relaciones que existen entre estos tres números son las

siguientes:

• 6 es múltiplo de 3

• 6 es múltiplo de 2

• 2 es divisor de 6• 3 es divisor de 6

• 6 es divisible por 3

• 6 es divisible por 2

• Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando éste

por cualquier otro número natural no nulo.

Múltiplos de 5

5 (5 · 1 = 5)

10 (5 · 2 = 10)

15 (5 · 3 = 15)… …

65 (5 · 13 = 65)

… …

1500 (5 · 300 = 1500)

…. …

• Los divisores de un número son los números que lo dividen

exactamente (el resto de la división es cero).

Divisores de 12:

1 (12 : 1 = 12)2 (12 : 2 = 6)

3 (12 : 3 = 4)

4 (12 : 4 = 3)

6 (12 : 6 = 2)

12 (12 : 12 = 1)

Divisores de 11:

1 (11 : 1 = 11)

11 (11 : 11 = 1)

Múltiplo / Divisores una relación similar a

Padre / HijoMúltiplo DivisorPadre Hijo

Los múltiplos de un

número son infinitos y

son mayores o igualesque el número.

Los divisores de

un número son

menores o igualal número.

• Un nº es divisible por2 si termina en 0 o

cifra par (ej. 80 ó 94).

• Un nº es divisible por3 si la suma de losvalores de sus cifrases 3 o múltiplo de 3(ej. 258, 2+5+8 = 15).

• Un nº es divisible por5 si termina en 0 ó 5.(ej. 285 ó 280).

Si a es múltiplo de b,entonces b es divisor dea y a es divisible por b.




50

Para calcular estos valores se pueden utilizar diferentes

procedimientos:

1. Para encontrar el máximo común divisor de dos números

escribimos todos los divisores de cada uno y subrayamoslos comunes a ambos, siendo el máximo común divisor

el mayor de estos.

En el caso de la parcela queremos un número que divida

a 56 y a 32 para que la separación sea siempre la misma

habiendo un poste en cada esquina. Además la distancia

deseada será la mayor de estas separaciones. Es decir,

el máximo común divisor de 56 y 32.

Divisores del 56 : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

Divisores del 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32

m.c.d.(56,32) = 8.

Colocaremos un poste cada 8 m, y como en total hay

2 · 56 + 2 · 32 = 176 m.

Deberemos colocar 176 : 8 = 22 postes.

En algunas ocasiones puede que no exista ningún divisor

común a los dos números que sea distinto al 1. Se dice

entonces que los números son primos entre sí .

Por ejemplo si hallamos el m.c.d.(8,15) observamos que:

Los divisores de 8 son: 1, 2, 4, 8.

Comprobamos que 8 no es divisor de 15 y que 4 y 2

tampoco lo son. El 1 evidentemente divide a 15, por tanto m.c.d.(8,15)=1.

Los números 8 y 15 son primos entre sí aunque ellos no

son números primos.

2. Para el mínimo común múltiplo debemos escribir una

serie de múltiplos de cada uno de los números, subrayar

los que sean comunes a ambas listas y elegir el más

pequeño de éstos.

En el problema del camionero necesitamos múltiplos de

30 para que haya gasolinera y de 40 para que haya

restaurante. Como queremos ambas cosas buscamos un

múltiplo común, y de entre ellos el primero (menor). Es

decir, buscamos el m.c.m.(30,40).

Múltiplos de 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180,…

Múltiplos de 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240,…

m.c.m.( 30 ,40 ) = 120.

Por tanto cada 120 km habrá una gasolinera con

restaurante.7~PLVPR

Para el m.c.m.(30,40),

probamos con los múlti-

plos sucesivos de 40:

40 no es múltiplo de 30.80 tampoco, pero 120 sí.

m.c.d.(15,9,6) = 3,porque 3 es el mayordivisor de 6 que lo es

también de 9 y de 15.

Para reforzar lo aprendido realiza los ejercicios 4y 5 propuestos en el libro de actividades.

Otra posibilidad parahallar el máximo comúndivisor es tomar elnúmero menor, si esdivisor de los otros, él esel número buscado. Encaso contrario se pruebacon sus sucesivos diviso-res en orden decrecientehasta encontrar uno que lo

sea de todos.

Otra forma de obtener elmínimo común múltiploes:

Considerar el número

mayor, si es múltiplo de

los otros él es el número

buscado. En otro caso

seguimos probando con

sus sucesivos múltiplos

hasta encontrar uno que

lo sea de todos.




56

• Para comparar números fraccionarios o para realizar

algunas operaciones con ellos, un sistema sencillo es

expresarlos previamente en forma decimal.

.4'175'0porque5

7

4

3<<

.15'24'175'05

7

4

3=+=+

.28'022'05'09

2

2

1=−=− (Aproximando

9

2 hasta las centésimas)

.35'02'075'15

1

4

7=⋅=⋅

.4'85'02'42

1:

5

21=⋅=⋅

Los resultados pueden expresarse en forma de fracción.

.2043

10021515'2 == .

257

1002828'0 ==

.20

7

100

3535'0 == .

10

211'2 =

También se puede operar directamente con las fracciones

sin recurrir a su expresión decimal. Vamos a ver algunas

operaciones.

Sumas y restas. Si las fracciones tienen el mismo

denominador basta sumar o restar los numeradores.

.3

5

3

4

3

1=+ .

7

3

7

4

7

6=−

Pero en el caso de que tengan distinto denominador

buscaremos fracciones equivalentes que tengan el mismo

denominador. Como denominador elegimos un múltiplo

común, normalmente el mínimo común múltiplo, de todos

los denominadores que tenemos que sumar o restar.

• .12

9

12

6

12

3

4

2

3

1=+=+

Expresamos las dos fracciones con el mismo denominador,

en este caso el m.c.m.(3,4) que es 12.

Buscamos una fracción12

a que sea equivalente a3

1 , por

tanto a es 4 porque 12 es obtenido multiplicando 3 por 4 y

debemos multiplicar nuestro numerador 1 por 4 obteniendo

4 · 1 = 4.

Fíjate en el esquema del margen: al ser cada una de las

“partes” cuatro veces más pequeñas hemos de “coger”

cuatro veces más para que la cantidad sea la misma y las

fracciones sean equivalentes.

Lo mismo ocurre con4

2 . Si4

2

12=

b , b tiene que ser 6 porque

12 resulta de multiplicar 4 por 3 y el numerador 2 debe

multiplicarse también por 3, obteniendo 3 · 2 = 6.

En Matemáticas

“de”pasa a “ · ”.

.9012075'01204

3120de

4

3=⋅=⋅=

6125'012de100

5012de%50 =⋅==

12

4

3

1=

12

6

4

2=

+1/3

4/3

5/3

SUMA




57

Ordenación. Para comparar u ordenar varias fracciones,

además de mediante la expresión decimal, podemos hacerlo

escribiendo una fracción equivalente a cada una pero con el

mismo denominador todas.

Por ejemplo para ordenar de menor a mayor las fracciones

20

13,

28

17,

35

27,

14

10

es conveniente hallar en primer lugar un múltiplo común de

todos los denominadores. El número más alto es el 35 por

lo que iremos probando con sus múltiplos:

35 · 1 = 35 pero 35 no es múltiplo de 14,

35 · 2 = 70 que sí es múltiplo de 14 pero no de 28,

35 · 3 = 105 que no es múltiplo de 14,

35 · 4 = 140 que es múltiplo de todos.

Dividiendo 140 de cada denominadores obtenemos 10, 4, 5 y 7, que son las cantidades por las que se multiplican los

respectivos numeradores para obtener las fracciones

equivalentes

.140

91

20

13,

140

85

28

17,

140

108

35

27,

140

100

14

10 7·

7·

5·

5·

4·

4·

10·

10·====

por tanto las fracciones ordenadas son:

.35

27

14

10

20

13

28

17<<<

Multiplicaciones. No necesitamos el mismo denominador.

• .6

2

3

2

2

1=⋅

Al multiplicar fracciones se obtiene otra fracción cuyo

numerador es el producto de los numeradores de los

factores y cuyo denominador se consigue también

multiplicando los denominadores de las fracciones que

multiplicamos.

Divisiones. Tampoco es necesario el mismo denominador.

• .4

1

1

2:

2

12:

2

1==

Al dividir fracciones se obtiene otra fracción cuyo

numerador es el producto del numerador del dividendo por

el denominador del divisor y cuyo denominador es el

producto del denominador del dividendo por el numerador

del divisor.

• .6

5

12

10

43

52

5

4:

3

2==

⋅

⋅=

7~P

LVPR

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 21 y 22propuestos en el libro de actividades.

PRODUCTO

3

2

3

2de

2

1

.3

2de

2

1

3

2

2

1=⋅

COCIENTE

una.cada4

1deresultando

2

1departesdoshaceres

2

1

.4

1

2

1

2

1=de

2

1

En ocasiones es posibleordenar a simple vista lasfracciones sin necesidad depasarlas a la forma decimal oa común denominador.

• De dos fracciones con elmismo denominador esmayor la de mayornumerador, ya que indicamayor número deunidades fraccionariasiguales:

3

2

3

6>

• De dos fracciones con elmismo numerador esmayor la de menordenominador, ya queindica igual cantidadpero de unidadesfraccionarias mayores:

3

7

8

7<




60

Cantidad inicial × Decimal que indica el % = Cantidad final

La clave está en el cálculo o interpretación del decimal que

indica el porcentaje. Si es una cantidad entre 0 y 1 la

cantidad final es menor al 100% y se puede interpretar

como el cálculo directo de un porcentaje o como una bajada

de la diferencia hasta el 100%.

Si multiplicamos por 0’6 se puede interpretar como cálculo

de un 60% o también como una bajada de un 40%, pues

100% – 60% = 40%.

Si es una cantidad mayor que 1 la cantidad final es mayor al

100% y se puede interpretar como el cálculo directo de un

porcentaje o como una subida de la diferencia desde el

100%.

Si multiplicamos por 1’3 se puede interpretar como cálculo

de un 130% o también como una subida de un 30%, pues

130% – 100% = 30%.

7~PLVPR

• Frecuentemente lo que tenemos que calcular no es la

cantidad final sino, la cantidad inicial o el porcentajeaplicado. En estos casos usaremos las siguientes divisiones:

o

Para saber cuál era el precio de un artículo que tras

aplicarle una rebaja del 30% cuesta 45’60 ¼

procederemos:

1. El decimal correspondiente al cálculo directo de

una bajada del 30% es 0’7 pues calcula

directamente el 70% resultante de la rebaja.

2. Aplicamos la fórmula en la forma

3. CI = 45’60 : 0’7 = 65’14 ¼

CI · Decimal % = CF

Decimal % = CF : CI

CI = CF : Decimal %Una multiplicaciónse relaciona con dos

divisiones


CI = CF : Decimal %

Decimal

correspondiente

al porcentaje

Entre 0 y 1

Menos de 100%

0’7 ≅ 70 %

Mayor que 1

Más de 100%

1’2 ≅ 120 %




68

8W

LOL]DPRVOD.DO.XODGRUD• Tecla SHIFT

Aparece en algunas calculadoras para activar las funciones uoperaciones que no aparecen sobre la tecla, sino en elexterior y normalmente con otro color.

Si encima de la tecla aparece la función x 2 , para activar

esta segunda es necesario oprimir esta tecla con antelación.

• Tecla ab/c

Permite utilizar fracciones en la calculadora. Es una teclaque no aparece en todas las calculadoras.

Para introducir en la calculadora 4/5 tecleamos:4 a b/c 5

• Tecla %

Ayuda a calcular porcentajes en algunas calculadoras.

Junto con las teclas + y - aumenta o disminuye el

porcentaje a la cantidad inicial.

• Tecla º ´ ”

Convierte las horas minutos y segundos sexagesimales enhoras con decimales.

Para pasar a decimal 12h 30’45”usaremos la secuencia:

12 º ´ ” 30 º ´ ” 45 º ´ ”

La calculadora devolverá en su pantalla:

12.5125 , que es la expresión en horas con decimales.

Podemos utilizarla después de la tecla SHIFT para hacer el

cambio recíproco, de horas con decimales a horas, minutosy segundos sexagesimales.

Si ahora sobre el número anterior seleccionamos

SHIFT º ´ ”

La calculadora muestra:

12 º 30 º 45, expresión en forma sexagesimal.

Calculamos 12% de 50 5 0 × 1 2 %

Aumento del 12% a 50 5 0 × 1 2 % +

Bajada del 12% a 50 5 0 × 1 2 % -

Otra opción:multiplicar por el

decimal

correspondiente.

En el ejemplo

0’12, 1’12 y 0’88respectivamente.

Si nuestra calculadoratiene la función x

ysobre la

tecla × , para calcular elvalor de 5

7, teclearemos:

5 SHIFT × 7

La pantalla

muestra:4 ↵ 5




69

1RRROYLGHV

•

El euro es la moneda del sistema monetario europeo.

• Las relaciones “ser múltiplo”/”ser divisor” son recíprocas.

cUn múltiplo de un número se obtiene multiplicando este número por cualquier otroque no sea cero.

cUn número es divisor de otro si lo divide exactamente.

• Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes formas de expresar cantidades,incluyendo las que no sean exactas.

• Las operaciones con fracciones se pueden reducir al cálculo con decimales o se puedenrealizar de forma fraccionaria.

• Fracciones equivalentes son las que expresan la misma cantidad.

• Se puede simplificar una fracción dividiendo numerador y denominador por el mismonúmero hasta obtener una fracción irreducible equivalente.

• Los cálculos que implican porcentajes se simplifican utilizando el decimal o “tanto poruno” correspondiente.

• Los divisores de la unidad de tiempo “hora”se pueden expresar en el sistema sexagesimal( h ’”) o en el sistema decim al ( ´ ) .

c1’= 60’’

c1 h = 60’

• Existen otras unidades de tiempo.

CI · Decimal % = CF



Tema 3: Proporcionalidad y Escalas

77

4. Para resolver problemas de proporcionalidad inversa tambiénpodemos utilizar cualquiera de los dos métodos anteriores.

Una vez reconocida la proporcionalidad inversa viendo que aldisminuir a la mitad una magnitud la otra pasa a ser el dobleresolvemos:

Reducción a la unidad. Calculamos lo que corresponde a unaunidad de la magnitud que tenemos como dato, y luegomultiplicar por el número de unidades que nos está pidiendo.

Regla de tres inversa. Construimos la proporciónx

c

b

a=

sabiendo que una de las razones debe estar invertida.

7~PLVPR

En el ejemplox

5'2

12

5= o bien

x

12

5'2

5=

. En ambos casos

5 12 2 5 5 30⋅

=

⋅ ⇒ ⋅=x x' .

Dividimos ambos lados de la igualdad por 5 con lo que

ambos términos seguirán siendo iguales

65

30

5

5=⇒=

⋅ x

x ¼

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios del 1 al 9propuestos en el libro de actividades.

Si un coche viaja a 30 km/h y tarda 45 minutos en recorrer

una distancia, ¿cuánto tardará en recorrer la misma

distancia a 20 km/h?

En el ejemplo, si el coche viajase a 1 km/h tardaría

45 · 30 = 1.350 minutos. Ahora yendo a 20 km/h deberá tardar 20 veces menos,

5'6720:350.1 = minutos.

En el ejemplo, la primera razón corresponde a la

velocidad,20

30 , y la segunda será el tiempo,

x

45. Como son

magnitudes inversamente proporcionales debemos invertir una de las fracciones para formar la proporción:

.45

30

20

x=

Aislando la x como hicimos anteriormente,

5'6720

350.1350.120 ==⇒= x x minutos.

Cuando las magnitudes son

inversamente

proporcionales se debemantener constante el

producto de las

magnitudes.

.5'6720

350.1

350.120350.13045

==

↓

=⋅→=⋅

x

x

Si para llenar un depósitode combustible hemosutilizado 32 veces unrecipiente de 12 litros¿Cuántas veces usaremosuno de 48 litros?El nº de veces y el tamañode los recipientes sonmagnitudes inversamenteproporcionales.

En el ejemplo del depósito

deberá conservarse el pro-ducto, por tanto:

.848

384

384483841232

==

↓

=⋅→=⋅

x

x




79

3. El tanto por mil es el número de unidades de la primeramagnitud que corresponden a 1.000 unidades de la otra.

En el mundo real nos encontramos frecuentemente concualquiera de estas tres expresiones, y debemos saber comoutilizar cualquiera de ellas y como cambiar de unas a otras.

7~PLVPR

333... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS RRREEEPPPAAARRRTTTOOOSSS

En ocasiones en la vida real debemos repartir cantidades en función de las inversionesrealizadas por cada una de las personas que invierten en un negocio, sorteo o cualquier otro

tipo de actividad que necesite una asociación. Estos problemas se resuelven utilizando laproporcionalidad.

$SUH

QGDPRVSUD.

WL.DQGR

1. Otro problema de proporcionalidad que aparece confrecuencia en nuestras vidas es el hacer repartosproporcionales o prorrateos. Estas situaciones aparecencuando hay que repartir adecuadamente una cantidadteniendo en cuenta las cantidades inicialmente impuestaspor cada uno de los que reciben el reparto.

La razón 2 de cada 5 anterior expresada en tanto por mil

es:

400000.15

2=× ‰.

Porcentaje Proporción Fracción Tanto porUno Tanto pormil

25% 25 de 1004

1

100

25=

0’2500

0250

80% 80 de 1005

4

100

80=

0’800

0800

33% 33 de 1003

1

100

33≈

0’3300

0330

20% 20 de 1005

1

100

20=

0’2000

0200

El crecimiento vegetativode un país es la diferenciaentre la tasa de natalidad yla de mortalidad durante unaño. Normalmente es unacantidad muy pequeña paraexpresarse en tantos porcien y se utilizan los tantospor mil.En 1997 España tuvo uncrecimiento vegetativo de

0’05% = 0’5‰

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 10, 11, 12 y13 propuestos en el libro de actividades.




80

Para aprender a hacer estos repartos veamos un ejemplo.

Para hacer estos prorrateos tenemos dos posibles métodosde trabajo:

• Hallando inicialmente la razón de cada uno respecto altotal en las cantidades inicialmente impuestas.

A continuación aplicamos que el reparto debe ser paracada uno directamente proporcional a la razón inicial.

Cuatro amigos rellenan un boleto de lotería pero cada

uno pone una cantidad diferente:

Alejandro 9 ¼

Ainhoa 6 ¼

Marta 18 ¼

Paula 12 ¼

El día del sorteo tienen la fortuna de recibir un premio

de 90.000 ¼ que deben repartir de manera justa. Es

decir, teniendo en cuenta la inversión inicial que cada

uno de ellos realizó.

Total inicial = 45121869 =+++

Razones iniciales de cada uno:

Alejandro Æ 45

9

Ainhoa Æ 45

6

Marta Æ 4518

Paula Æ 45

12 .

AlejandroÆ

∈=

⋅=

⋅=⋅⇒=

000.18

45

000.909x

000.909x45000.90

x

45

9

AinhoaÆ 000.1245

000.906

000.9045

6=

⋅=⇒= x

x ¼

MartaÆ 000.3645

000.9018

000.9045

18=

⋅=⇒= x

x ¼

PaulaÆ 000.2445

000.9012

000.9045

12=

⋅=⇒= x

x ¼

Las peñas de quinielasreúnen el dinero devarios clientes para poderhacer una quiniela conmuchas combinaciones.De salir premiada debe

ser repartido el premioproporcionalmente a lainversión de cada uno delos apostantes.




82

444... TTTRRRAAABBBAAAJJJAAAMMMOOOSSS CCCOOONNN EEESSSCCCAAALLLAAASSS

Una aplicación muy importante de la proporcionalidad es el uso de escalas en planos ymapas. Se utilizan para expresar cuantas veces ha sido reducida o ampliada la realidad paraser representada sobre un plano o un mapa.

1R.LRQHVEiV

L.DVGHHHV.

DODV...

• La escala realmente es la razón entre el dibujo y la realidadexpresando ambas magnitudes en las mismas unidades.

alidadRe

PlanoE =

$SUHQGDPRVSUD.W

L.D

QGR

1. Con este plano que está a escala vamos a calcular algunasdistancias y las vamos a transformar en sus correspondientesen la realidad

Plano a escala 1:100




83

Por tanto para convertir cualquier medida del plano en sucorrespondiente real aplicamos que la escala y el cocienteentre la medida del plano y su correspondiente real sonforman una proporción directa.

Para hallar el resto de medidas podemos seguir aplicandoesa relación de proporcionalidad pero el proceso será ahoramás sencillo: Tomamos cada una de las medidas sobre el

plano y dividimos por la escala. En realidad si el numeradorde la escala es 1, esto es equivalente a multiplicar por el

denominador, ya que si la escala es D

E 1

= y las longitudes

de un objeto sobre el plano y en la realidad son P L y R

L

respectivamente, tendremos que:

.1

1: D L

D L

D L L P

P R R ⋅=

⋅==

a) Justifica que 1 cm. del plano equivale a 100 cm. de la

realidad.

b) Averigua las dimensiones reales del salón y de la

habitación de matrimonio.

c) Calcula las dimensiones del sofá y de la cama.

Compáralas con las dimensiones de los que tienes en

tu casa o piensas poner.

d) Encuentra el tamaño que tendrán en el plano una

alfombra y una cama que te han gustado y de las que

conoces sus medidas.

Alfombra Cama

Largo 2’3 m. 2’1 m.

Ancho 2 m. 1’5 m.

a) En nuestro ejemplo esto significa que cada cm. del

plano son 100 cm reales lo que equivale a 1 m.

b) En nuestro ejemplo las dimensiones del salón y de la

habitación medidas sobre el plano son:

Salón Habitación

Largo 6 cm. 2’6 cm.

Ancho 3’5 cm. 3’4 cm.

Por tanto las medidas reales se obtendrán dividiéndolas

por la escala (100

1 ) o multiplicando por 100.

Salón Habitación

Largo 600 cm. 260 cm.

Ancho 350 cm. 340 cm.

PlanoÆ RealidadLReal =LPlano × DEscala

En ocasiones se utilizaotro método paraindicar cual es la escala

E = 1 : 100.

Consiste en dardirectamente sobre elplano la longitud quetendría un metro:

1 m.




84

2. Ocasionalmente podemos encontrarnos con planosdonde los objetos están ‘desproporcionados’ con el finde aparentar que el salón o el dormitorio son másamplios de lo que son realmente. Estas situacionesdebemos reconocerlas y lo haremos aplicando la escalaa las dimensiones de estos objetos para comparar conlas de los que queremos colocar.

3. Otras veces antes de comprar algunas cosas nos interesasaber si encajarán bien en nuestra casa. En estos casosdisponemos de medidas reales de las cosas y debemostrasladarlas al plano. Este proceso podemos hacerlonuevamente aplicando proporciones o bien:

A las medidas reales debemos aplicar la escala(multiplicar por E) o dividir por el denominador de laescala si su numerador es 1.

Normalmente estas medidas las usamos en metros para

no tener números tan grandes:

Salón Habitación

Largo 6 m. 2’6 m.

Ancho 3’5 m. 3’4 m.

c) Si medimos las dimensiones del sofá y de la cama

que hay en el plano obtenemos:

Plano Sofá Cama

Largo 17 mm. 18 mm.

Ancho 7 mm. 13’5 mm.

Multiplicando por 100 (denominador de E) para tener

las medidas reales resultan:Realidad Sofá Cama

Largo 1.700 mm. 1.800 mm.

Ancho 700 mm. 1.350 mm.

Medidas que usualmente pasaremos a metros (:1.000)Realidad Sofá Cama

Largo 1’7 m. 1’8 m.

Ancho 0’7 m. 1’35 m.

Ahora podemos comparar con los objetos que tenemos.

d) Considerando las medidas reales de nuestros objetos

Realidad Alfombra Cama

Largo 2’3 m. 2’1 m.

Ancho 2 m. 1’5 m.

m.

dm.cm.mm.

Subir 2 lugaresÆ Dividir por 100.

RealidadÆ PlanoLPlano = LReal : DEscala

Tanto el sofá como la

cama son pequeños

por lo que resultará

más cómodo tomar

sus medidas en

milímetros que en

centímetros.




86

25.000

1=

E

0 100 km




87

En ocasiones la escala no viene expresada en formanumérica, sino gráficamente, lo que puede resultar muycómodo. Para hallar la distancia real entre dos puntos delmapa basta ver cuántas unidades de la escala hay entre ellos.

También podemos convertir la escala gráfica en numéricamidiendo la longitud de cada unidad gráfica en centímetrosy estableciendo nosotros el cociente,

RealidadenMedida

cm.enMedidaE = .

Una señal que viaja a la velocidad de la luz, 300.000 km/s yque debe hacer un recorrido determinado forma unaproporción directa considerando las razones entre ladistancia recorrida y el tiempo empleado en cada ocasión.

Cuando tenemos el plano de una ciudad también puede serútil la escala para hallar las distancias reales entre lugaresque nos parezcan interesantes.

7~PLVPR

a) Midiendo con una regla pero teniendo en cuenta las

unidades de la escala gráfica vemos que:

Distancia Roma-Florencia ≈ 210 km.

Distancia Florencia-Venecia ≈ 310 km.

b) En nuestro caso como al duplicar los kms. se

duplicarían los segundos que tarda podemos afirmar que

estas magnitudes están en proporción directa. Por tanto,

como la distancia total es 210 + 310 = 560 km tendremos

.002'0...001866'0000.300

1560560

1

000.300 s x

s x

km

s

km ≈×=

c) Para saber si determinados desplazamientos podemos

hacerlos andando o vamos a necesitar un medio de

transporte es conveniente hallar las distancias entre los

lugares que nos interesa visitar. Midiendo en el plano la

distancia entre esos lugares obtenemos

Plano E =1:25.000 RealidadColiseo-Fontana 6 cm. Æ × 25.000 150.000 cm = 1’5 km

Fontana-Vaticano 10 cm. Æ × 25.000 250.000 cm = 2’5 km

Ahora cada uno decide según sus posibilidades o ganas el

medio de transporte que va a utilizar.

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 17 a 21propuestos en el libro de actividades.

Habitualmente sellaman Mapas a lasrepresentaciones de larealidad con muchareducción, es decir conescalas inferiores a1:10.000.

En cambio si lareducción no es tan

grande, escalas supe-riores a 1:10.000 sesuelen llamar Planos.

100 m

0 500 1.000

40.000

1

cm10.000

cm5'2

m100

cm5'2E ===




88

8W

LO

L]DPRVOD.DO.XODGRUD

A veces en trabajos científicos o cuando trabajamos con escalasaparecen números muy grandes o muy pequeños. Tanto queincluso pueden llegar a no caber en la calculadora.Algunas calculadoras sólo admiten 8 dígitos y otras 10.

Para permitirnos escribir estos números tan grandes lascalculadoras disponen de una tecla específica:

EXP.Esta tecla utiliza lo que en Matemáticas se llama notacióncientífica de números.

Se trata de escribir los números con todas las cifras menos laprimera como decimales y multiplicarlos por una potencia de 10que indica las posiciones que debería moverse la coma.

Por ejemplo 1.000.000.000.000 = 1×1012.

7~PLVPR

¿Qué ocurre si una medida sobre un dibujo es de 149 mm y

su escala es 1:1.000.000.000.000? ¿cómo podemos escribir

ese número en la calculadora?

En la calculadora para escribir 1×1012 pulsamos 1 EXP 12.

( La tecla EXP abrevia la escritura del×

y del 10).Para resolver el ejemplo inicial introducimos en la

calculadora:

149 × 1 EXP 12 =.

La calculadora mostrará en pantalla el siguiente resultado:

1.49 14

lo que equivale al número 1’49 ×1014o, lo que es lo mismo,

149 seguido de 12 ceros (catorce menos los dos lugares que

ocupan el 4 y el 9), es decir

149.000.000.000.000

Las medidas muy pequeñastambién se expresan connotación científica peroutilizando potencias de 10con exponente negativo.Estas potencias de 10indican que la coma debemoverse hacia la izquierdatantas posiciones comoindica el exponente, por loque, el número será cadavez más pequeño.

− Pulgas ≈ 10-3 m.− Células ≈ 10-5 m.− Virus ≈ 10-7 m.− Moléculas ≈ 10-9 m.− Átomos ≈ 10-11 m.

Una célula normal mide1×10-5 m de diámetro. El“-5” indica que hay quemover la coma hacia laizquierda 5 posicionesresultando 0’00001 m.





89

1RRROYLGHV

• Dos figuras decimos que son semejantes si los lados correspondientes de ambas estánsiempre en la misma proporción.

• Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por unacantidad determinada la otra magnitud debe multiplicarse por la misma cantidad.

• Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por unacantidad determinada la otra magnitud debe dividirse por la misma cantidad.

• En una proporción siempre el producto de medios es igual al producto de los extremos.

• Para resolver problemas de proporcionalidad directa o inversa podemos hacerlo de

dos maneras:Reduciendo a la unidad, es decir, hallando la cantidad que corresponde a una unidad

de la otra magnitud y luego multiplicando o dividiendo por el número de unidades.

Construyendo una regla de tres, dando lugar a una proporción que se resuelvemultiplicando en cruz.

• Los porcentajes, los tantos por mil y los tantos por uno son razones cuyosdenominadores son 100, 1.000 y 1 respectivamente. Pueden hallarse utilizando laproporcionalidad de estas razones con la que necesitemos.

• Para repartir una cantidad entre varias personas también podemos hacerlo de dos formas:

Hallando las razones iniciales de cada inversor con el total y luego establecerproporciones directas con las cantidades finales de cada uno.

Calculando el tanto por uno de cada inversión inicial y multiplicando esos valorespor el total a repartir.

• La escala de un plano es la razón entre cualquiera de sus medidas y la correspondiente real.

Para pasar medidas del plano a la realidad dividimos por la escala, aunque si éstatiene numerador 1, esto equivale a multiplicar por el denominador.

Para pasar medidas reales a un plano multiplicamos cada medida por la escala o

dividimos por su denominador si el numerador es 1.

• La notación científica permite expresar cómodamente números grandes y pequeños:

Para expresar un número en notación científica dejamos una única cifra delante dela coma y ponemos como exponente de 10 el número de lugares que debe desplazarsela coma para expresar dicho número en forma decimal. Si el desplazamiento de lacoma debe ser hacia la derecha el exponente será positivo y si debe ser hacia laizquierda será negativo.

Para expresar en forma decimal un número de notación científica desplazamos lacoma tantos lugares como señala el exponente, siendo este desplazamiento hacia laizquierda si el exponente es negativo y hacia la derecha si es positivo.



Tema 4: Gráficas

92

111... CCCOOONNNSSSTTTRRRUUUIIIMMMOOOSSS GGGRRRÁÁFFFIIICCCAAASSS.........

Antes de comenzar has de conocer el vocabulario básico del tema.

1R.

LRQHVEiVL.

DVGHJUiIL.DV

Para representar datos o resultados relativos al estudio de dosmedidas o magnitudes se utilizan frecuentemente lo quellamamos ejes coordenados o cartesianos. Estos son dos rectas

numéricas perpendiculares entre sí que se cortan en el valor 0 ysobre las que se especifica una graduación o escala cuyosvalores aumentan de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba.El plano sobre el que se sitúan los ejes queda así dividido en 4zonas llamadas cuadrantes.

Al representar los ejes destacan:

• Origen de coordenadas que es el punto donde se cortanambos ejes y se representa por O.

• El eje horizontal se llama eje de abscisas y frecuentementese representa por OX.

• El eje vertical se llama eje de ordenadas y suelerepresentarse como eje OY.

• A cada punto P del plano le corresponden dos números ( x,y)a los que se llama coordenadas cartesianas de P. Estaasignación es lo que llamamos sistema de coordenadas. Laprimera coordenada de P, x, se llama abscisa e indica eldesplazamiento horizontal respecto al origen. La segundacoordenada, y, se le llama ordenada e indica eldesplazamiento vertical respecto al origen .

• Cada cuadrante tiene los puntos caracterizados por los signos

de sus coordenadas:• Primer cuadrante: ambas coordenadas son positivas.

• Segundo cuadrante: la primera coordenada esnegativa y la segunda positiva.

• Tercer cuadrante: ambas coordenadas son negativas.

• Cuarto cuadrante: la abscisa es positiva y laordenada negativa.

Dos rectas sonperpendiculares cuandolos ángulos que formanentre sí son rectos.

1

ordenada

Origen decoordenadas

abscisa

1-1

3

-2-3

-1-2

-3

2 3

2

0

Cuadrante I(+,+)

Cuadrante II(-,+)

Cuadrante III(-,-)

Cuadrante IV(+,-)



Tema 4: Gráficas

94

A continuación deberemos trasladar los puntos (doscoordenadas) a los ejes, asignando a la abscisa, primeracoordenada, la posición correspondiente sobre el eje OX y a laordenada o segunda coordenada la posición correspondientesobre el eje OY.

Muchas veces la situación que se nos presenta es la inversa, losdatos aparecen representados en una gráfica y necesitamos

saber sus coordenadas.

María (M) tiene por coordenadas Æ (5,1)

Aitana (A) Æ (5,0’5) Isabel (I) Æ (8,1’5)Sergio (S) Æ (10,1)

Raúl (R) Æ (10,2)

Al representar sobre los ejes obtenemos

T(min)

Coste( ¼

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0’5

1

1’5

2

O

A(5,0’5)

S(10,1)

I(8,1’5)

R(10,2)

M(5,1)

En el ejemplo anteriortenemos:

1ºaño 541Æ(1,541)

2ºaño 721Æ (2,721)

3ºaño 1.080Æ (3,1.080)

4ºaño 1.320Æ (4,1.320)

5ºaño 1.563Æ (5,1.763)

400800

1.2001.600

2.000

21 3 4 5

Vodafone,Movistar,

Amena, …

Dibujando los ejes quedan

T(min)

Coste( ¼

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0’5

1

1’5

2

O

Vodafone,Movistar,

Amena, …



Tema 4: Gráficas

95

Éstas se pueden obtener proyectando perpendicularmente sobrelos ejes y observando la posición que ocupa.

En algunas ocasiones aparecen valores negativos para alguna delas dos variables, elemento que debemos tener en cuenta a la

hora de representar los ejes y elegir su escala.

Laura (L) marca en eleje de abscisas 7 y en elde ordenadas 2. Por tanto sus coordenadasson (7,2).

Las coordenadas dePaula (P) son (3,0’5).

Si en el ejemplo anterior aparecen dos nuevos puntos Paula(P) y Laura (L), podemos conocer sus coordenadas

proyectándolos sobre los ejes:

T(min)

Coste( ¼

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0’5

1

1’5

2

O

A(5,0’5)

S(10,1)

I(8,1’5)

R(10,2)

M(5,1)

P

L

En la comarca de Els Ports han tomado las temperaturas alo largo de un día del mes de Febrero obteniendo

Hora 0 4 8 12 16 20

T(ºC) - 6º C - 4º C - 1º C 6º C 4º C - 3ºC

Para representar la gráfica de esta tabla consideraremos eltiempo como variable independiente puesto que vacambiando por sí mismo independientemente de que la

temperatura suba o baje. Además elegimos que la escala deese eje aumente de 4 en 4 horas.

En cambio la temperatura va variando a medida quecambiamos la hora del día y por esta razón laconsideramos como la variable dependiente.

Por otra parte el valor más alto es 6ºC y el más bajo es –6ºC por lo que el eje vertical debe alcanzar valoresnegativos. Si decidimos tener 3 tramos en este eje laescala debe ser 6 : 3 = 2ºC.

La gráfica tiene cuatro puntos en el cuarto cuadrante y sólo

dos en el primero.

-6

- 4

- 2

2

4

6

0 4 8 1 2 1 6 2 0t (h)

T (ºC)



Tema 4: Gráficas

96

$SUHQGDPRVSUD.WL.DQGR

1. Vamos a hacer representaciones gráficas a partir de tablas devalores que emparejan números.

En ocasiones las cantidades de una variable están agrupadasen torno a una cantidad muy alejada del origen decoordenadas. En estos casos suele indicarseen el gráfico esta situación haciendo unamarca de rotura en el eje correspondiente yhallando la escala con los valores más alto ymás bajo de la variable correspondiente.

En una ciudad de la comarca del Baix Vinalopó se miden lastemperaturas máximas durante 14 días de Mayo y se anotancada día.

Los resultados obtenidos son los siguientes

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

T(ºC) 25 26 25 22 21 20 20 20 20 18 17 19 20 20

Para representar la gráfica de esta tabla consideraremos eltiempo como variable independiente puesto que vacambiando por sí mismo. Además elegimos la escala de eseeje con las catorce marcas, es decir de uno en uno.

En cambio la temperatura va variando a medida quecambiamos de día.

?

Con el ejemplo de los

sueldos podíamos poneren el eje de abscisas losaños 98 hasta 02.

400

800

1.200

1.600

2.000

9998 00 01 02

En nuestro ejemplo todas las temperaturas oscilan entre17ºC y 26ºC por lo que va a ser adecuado hacer unaractura del eje de ordenadas para que los valores de éste

comiencen cerca del 17ºC.

Si aceptamos que el eje de ordenadas tenga 5 divisionescomo la diferencia entre la medida más alta y más baja es de26 – 17 = 9ºC, la escala a utilizar debe ser 9 : 5 = 1’8.

Por aproximación consideraremos cada tramo de 2º ycolocaremos como primera marca en el eje la de 16º.



Tema 4: Gráficas

99

Este tipo de representaciones arrancan desde el primer puntoy vamos subiendo o bajando la línea de la gráfica en funciónde lo indicado en el texto.

7~PLVPR


Inicialmente y durante lo dos primeros días semantienen los 40ºC, por tanto en todos los instanteshasta el día 2 la segunda coordenada será 40º C (primer tramo rojo).

t(días)

T(º)

1 2 3 4 5 6 7

36

37

38

39

O

40

El tercer día disminuye 2ºC

la temperatura (tramo azul),el cuarto día subió 1ºC

(tramo rojo), el quinto bajó1ºC (verde) y el sexto bajó

otro grado (rosa) permane-ciendo así la temperatura elséptimo día (gris).

Podemos ver en la gráficaque el paciente fue dado dealta con 37ºC.

La escala para el eje de abscisas se toma

de día en día entre 1 y 7, mientras que ladel eje de ordenadas varía de grado engrado, pero como la temperatura delcuerpo humano sólo puede oscilar entre36ºC y 40ºC haremos un corte en ese eje.

t(días)

T(º)

1 2 3 4 5 6 7

36

37

38

39

O

40



Tema 4: Gráficas

103

• Por último decimos que una gráfica es constante mientrasmantenga el mismo valor de ordenada (ni sube ni baja).

$SUH

QGDPRVSUD.

WL.DQGR1. Observando una gráfica podemos deducir muchas cosas de

una forma rápida e intuitiva.

Con las nociones básicas estudiadas hasta ahora podemosanalizar este tipo de gráfica.

Son máximos de la gráfica aquellos puntos en los que suordenada es superior a las de los puntos que le rodean, y son

mínimos los que a su alrededor las ordenadas son mayores.

a) La gráfica es horizontal o constante a 40 m. de altura,entre los minutos 13 y 18. Por tanto ésta la altitud delnido en el que permanece durante 5 minutos.

Si el IPC fuese 0% laevolución del precio delas cosas podría venirrepresentado por unagráfica como la siguiente

tiempo

¼

Al mayor de todos losmáximos se le llama máximo absoluto y

al menor de losmínimos, mínimo

absoluto.

La gráfica que representa el coste de utilizar ‘Internet’

con tarifa plana respecto del tiempo es constante porquecuesta lo mismo utilicemos el tiempo que utilicemos.

tiempo(h)

Coste( ¼

30

O

Las gráficasconstantes sonhorizontales, es

decir, paralelas ale e de abscisas.

Un ave vuela paraalimentar a sus crías queestán en el nido.

La gráfica muestra laaltura a la que seencuentra en cada

instante durante 20minutos.

a) ¿A qué altura está el nido? (mientras está él la altura novaría? ¿Cuántos minutos está en él?

b) ¿En qué instante tiene la altura máxima y cuál es ésta? ¿Y la mínima?

c) ¿Cuántos metros baja para recoger la comida y cuántotiempo emplea para ello? ¿Podrías saber su velocidad dedescenso?

d) ¿Cuánto tiempo está subiendo? ¿Y bajando?e) ¿Tiene algún salto brusco la gráfica?

5 10 15 20

Tiempo(min)

Alt (m.)

20

30

40

O

10



Tema 4: Gráficas

104

Si recordamos que una gráfica es decreciente cuando al avanzarlas abscisas sus correspondientes ordenadas van decreciendopodremos contestar al apartado c).

Todos los periodos de tiempo en los que la gráfica sube alavanzar hacia la derecha decimos que son tramos crecientes.

La gráfica tiene saltos si hay cambios bruscos de la variabledependiente para instantes muy próximos.

b) A los 8 minutos está a 50 m de altura que es laordenada más alta. Por tanto es un máximo.

Mínimos hay dos, uno al principio cuando t = 0 min. deordenada 30 m y otro a los 12 minutos de 0 m de altura.Éste último además se dice que es el mínimo absoluto

porque es el más bajo de todos ellos.

d) Sube desde el instante inicial hasta los 8 minutos yvuelve a subir entre los 12 y los 13 minutos. En esostramos la gráfica es creciente, en total durante 9minutos. Análogamente deducimos que es decrecientedesde los 8 hasta los 12 y de los 18 hasta los 20, es decir,un total de 6 minutos.

e) En este ejemplo no hay ningún salto puesto que esteindicaría un cambio instantáneo de la altura, cosa queno es posible.

La altura de un niño vaaumentando con el pasodel tiempo. Su gráfica escreciente.

c) Baja desde los 50 m hasta el suelo (0 m) entre los 8 ylos 12 minutos, es decir, tarda 4 minutos. Por tanto entre

los 8 y los 12 minutos la gráfica es decreciente. Tambiénlo es en el último tramo desde los 18 hasta los 20minutos.

El precio de un coche vadisminuyendo con elpaso del tiempo. Su

gráfica será decreciente.

Podemos calcular la velocidad de descenso hastael suelo tarda 4 minutos en hacer 50 m. Por tanto

50 m ÷ 4 min = 12’5 m / min.

Suponiendo que un móvil llevavelocidad constante (v) en su

desplazamiento (e) y que tarda undeterminado tiempo (t), se cumple:

t

ev =



Tema 4: Gráficas

105

2. En la vida real un gráfico muestra casi a simple vistaposibles situaciones anómalas

Utilizando nuevamente las nociones básicas de esta secciónpodemos analizar cualquier gráfica.

7~PLVPR

a) Inicialmente podemos ver que el volumen de aire

contenido en los pulmones es casi de 1’5 l.b) El máximo es de 4 litros y se alcanza a los 5 segundosde la espirometría.c) El periodo de inspiración es el periodo de tiempo en elque el volumen de aire en los pulmones se incrementa, esdecir cuando la gráfica es creciente; entre los 0 y los 5segundos. Recíprocamente la espiración es cuando elvolumen disminuye y por tanto entre los 5 y los 12segundos en los que la gráfica es decreciente.d) Una espirometría más achatada indicaría poca

capacidad de inspiración y debería ser revisada por unmédico.En cambio más pequeña significaría pulmones más

pequeños que no tiene porqué ir directamente relacionadocon un mal funcionamiento.


En la siguientegráfica el primer y elúltimo tramo son

crecientes, el segundoes decreciente y eltercero es constante.

Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones seinspira todo lo posible y después se espira tan rápidocomo se pueda en un “espirómetro”. Al realizar unaespirometría se obtiene la gráfica:

a) ¿Cuál es el volumen inicial?

b) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmones?

c) ¿Cuánto tiempo dura la inspiración?¿Y la espiración? ¿Cómo es (creciente o

decreciente) la gráfica en cada una deesas situaciones?

d) ¿Considerarías normal que una persona tenga el gráfico de su espirometría másachatada? ¿Y más pequeña pero con la misma forma?

t (s.)4 8 122 6 10

Vol (l.)

2

3

4

O

1



Tema 4: Gráficas

109

7~PLVPR

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 22del libro de actividades.

En nuestro caso cuando seleccionemos el tipo de gráfico ‘Líneas’ podemosmarcar la opción de ‘líneas y puntos’ que aparece en cuarta posición.

A continuación marcamos ‘Terminar’ y aparecerá el gráfico:

Podemos observar:

¾Presenta un mínimo en el cuarto mes.¾Es decreciente hasta el cuarto mes y creciente a partir de él.

0

50 0

1000

1500

2000

2500

3000

1 2 3 4 5 6

Serie1



Tema 4: Gráficas

110

1RRROY

LGHV

•

Los ejes coordenados son perpendiculares entre sí y el horizontal se llama eje de abscisasy el de ordenadas es el vertical.

• Cada punto tiene dos coordenadas, la primera indica la abscisa y la segunda la ordenada.

• La variable independiente se representa en el eje OX y son los valores que no sonmodificados por los valores de la otra magnitud.

• Los valores que varían al cambiar la otra magnitud se dice que son de la variabledependiente y se representan en el eje de ordenadas.

• La escala de cada eje debe elegirse de forma que quepan todos los valores en el eje y que

la separación entre cada marca sea la misma.

• Los máximos y los mínimos de una gráfica son los valores donde a su alrededor la gráficaestá por debajo o por encima respectivamente.

• Si al avanzar en el eje de abscisas la gráfica también sube en ordenadas se dice que escreciente, y si baja es decreciente. Si no sube ni baja se dice que es constante.

• Podemos analizar gráficas simultáneas. Para ello normalmente lo más importante es ver laevolución de una frente a la otra.

•

Las hojas de cálculo en los ordenadores personales permiten hacer con gran rapidezrepresentaciones gráficas.



Tema 5: Estadística y Probabilidad

112

El segundo tema que vas a estudiar en esta unidad, es la Probabilidad, que va ligado al azar y

a la incertidumbre y pretende cuantificar o medir la posibilidad de que sucedan cada uno de

los posibles resultados de una

experiencia concreta y, enconsecuencia, tomar unas

decisiones u otras.

Así, si sabemos que la probabilidad de que lluevael martes en Mallorca es mayor que la de que lo

haga el lunes, planificaré mi excursión para este

último.

(

QHV

WHWHPDYDVDD,SUHQGHU

• A identificar e interpretar informaciones estadísticas queencuentres en medios de comunicación, en facturas

(compañía hidroeléctrica, de telefonía,…), o en otros

aspectos de tu vida cotidiana.

• A diferenciar lo seguro y cierto (un objeto cae al suelo si

nada lo sujeta) de lo imprevisible (cuando un día está

nublado puede que llueva, pero no es seguro) y a cuantificar

la inseguridad o incertidumbre de la ocurrencia de los

hechos imprevisibles.

$

QWHVGH

.RPHQ

]DU

...revisa las siguientes cuestiones que tendrás que utilizar:

• Porcentajes y proporcionalidad.

• Representación de datos en el plano y ejes

coordenados.

• Redondeo de números decimales.

• Operaciones con números enteros, decimales y

fraccionarios. Valor absoluto.

Con sólo un vistazo al

gráfico del recibo de

la luz podemos saber

si en una casa se usacalefacción de gas o

eléctrica, y cual es el

consumo medio de

una familia.




114

La fiabilidad de las conclusiones dependerá en gran parte de la

muestra considerada. La manera ideal de tomar una muestra es

al azar, a partir de una lista numerada de toda la población,

respetando su composición.

Es frecuente la utilización de encuestas para la recogida de

información. Se trata de un proceso estadístico muy vulnerable

a los factores de sesgo sobre todos si los datos a recoger no son

objetivos sino de opinión.

Es importante considerar dónde, cómo y cuándo se realiza

una encuesta:

• La entrevista personal, aunque permite realizar

aclaraciones, puede coartar la sinceridad de las respuestas.

• Los entrevistadores de calle se dejan influir por el aspecto a

la hora de elegir a los entrevistados.

• El entorno que rodea al encuestado (en solitario, rodeado de

gente, en el trabajo, en familia,…) puede influir en las

respuestas.

• El momento también influye (la respuesta a una cuestión

sobre terrorismo puede variar si se realiza inmediata-mente

después de un atentado).

Otro elemento importante es la forma que se dé a las

preguntas, debiendo ser claras, precisas, no tendenciosas,…

• Variable. Es la característica de la población que queremos

estudiar que puede ser de los siguientes tipos:

a) Cualitativa: no puede tomar valores numéricos, no

medible.

b) Cuantitativa o numérica: medible. Si sólo puede tomar

valores aislados es discreta y si puede tomar todos los

valores de un intervalo se llama continua.

En nuestro caso los 50 alumnos han sido seleccionados

al azar teniendo en cuenta que no fueran todos del

mismo centro, ni del mismo nivel, sexo, edad,…

En nuestro estudio el curso que les interesa no puede

ser expresado con un valor numérico.

En nuestro caso el tiempo semanal dedicado a la

ormación y contabilizado en horas completas es una

variable cuantitativa discreta y las edades de los

alumnos es cuantitativa continua pues pueden tomar

cualquier valor comprendido entre la edad más

pequeña y la mayor.

El color de los coches es

una variable cualitativa.

El número de hijos de un

número de familias es

cuantitativa discreta.

La inversión mensual

realizada en euros por

una biblioteca a lo largo

de 5 años es una variable

cuantitativa continua,

pues, al menos en teoría,

puede tomar cualquier

valor y no solo valores

aislados como en el

ejemplo anterior.

Si en una determinada

zona queremos realizar

una encuesta de opinión

pública, la elección de la

muestra no se podría

realizar:

- Entre los padres de un

centro escolar: se

restringe al estrato social

de los mismos.

- Visitando domicilios al

azar por la mañana: se

marginaría a la

población trabajadora.

- Llamando a teléfonoselegidos al azar: se

marginaría a los

abonados que no figurenen la lista,…

Variable estadística

Cuantitativa

Discreta

Cualitativa

Continua

Se llama intervalo al

conjunto de valores

comprendidos entre dos

extremos.




115

• Frecuencia absoluta de un valor o simplemente

frecuencia. ( Fi ) de un valor es el número de veces que se

presenta en el total de observaciones.

• Frecuencia relativa. ( f i ) Es el cociente entre la frecuenciaabsoluta y el número total de individuos (N). Se

corresponde con el tanto por uno.

• Frecuencia porcentual o porcentaje. Se obtiene

multiplicando la frecuencia relativa por cien. Se

corresponde con la expresión de la frecuencia relativa en

tantos por cien.

$SUHQGDPRVSUD.

WL.DQGR1. Ante una determinada situación, de la que hay que obtener

información, se decide realizar un estudio estadístico.

2. Se elabora una encuesta con la que se recogerán los datos.

3.Recogida de resultados.

4.Confección de tablas estadísticas.

Realizamos el recuento del número que aparece cada uno delos valores de la variable o frecuencia absoluta.

Las cuestiones que se han formulado en nuestro estudio

han sido las siguientes:

1. Edad.

2. Si tuvieses la posibilidad de realizar un curso formativo

de Informática, te interesaría que tratase sobre:

a) Procesador de textos-WORD.

b) Base de datos-ACCESS.

c) Hoja de cálculo-EXCEL.

d) Introducción a Internet.

3. Horas semanales que podrías dedicar a esta

formación

Los nuestros han sido los siguientes:

1. 24, 18, 35, 20, 25, 18, 30, 21, 19, 18, 20, 35, 28, 33, 20,

18, 21, 24, 18, 19, 18, 20,20, 25, 27, 18, 29, 18, 40, 41,

33, 30, 31, 35, 20, 21, 18, 19, 47, 21,35, 22, 18, 30, 41,

20, 18, 25, 18, 18.

2. d), c), d), d), a), d), b), a), d), d), d), c), b), b), d), c), d),

d), d), d), b), a), a), d), c), b), b), d), a), c), c), a), d), d),

c), b), a), a), d), b), a), c), a), b), a), d), a), a), b), c).

3. 3, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2,

2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 1,

3, 1, 1, 3, 2, 2.

2. Edad: variable

cuantitativa continua.

3. Tipos de cursos:

variable cualitativa.

4. Tiempo semanal:

variable cuantitativadiscreta.

Word, Access,

Excel, Internet ?

1 hora, 2

horas...!!!

W

A

EI

13

10

9

18

Xi Fi f i %




116

Identificaremos a los posibles valores de la variable como

Xi y a los posibles valores de la frecuencia con Fi.

Elaboraremos una tabla donde la variable aparezca en orden

creciente.

A continuación completamos las tablas con el cálculo, para

cada valor de la variable, de la frecuencia relativa (f i) y la

porcentual (%)i.

Además, añadiremos una última fila con la suma total de

cada una de las columnas.

En nuestro caso, afectan a los datos sobre el tiempo y

el curso.

La tabla del tiempo quedaría

Tiempo (Xi) Frecuencia (Fi)

1 22

2 18

3 9

4 1

Del mismo modo la tabla del curso sería

Curso (Xi) Frecuencia (Fi)

WORD 13

ACCESS 10

EXCEL 9

INTERNET 18

En nuestro estudio la tabla de las edades es de datos

agrupados por tramos porque los valores pueden

variar desde 18 años hasta 47 años y 364 días

Edades (Xi) Frecuencia (Fi)

[18 - 24[ 28

[24 - 30[ 8

[30 - 36[ 10

[36 - 42[ 3

[42 - 48[ 1

Dependiendo del tipo

y cantidad de los

datos, los valores en

las tablas podrán

aparecer como:

Datos aislados. Se

utilizan cuando el

número de valores

que puede tomar la

variable es pequeño o

si se trata de una

variable cualitativa.

Datos agrupados entramos o intervalos.Cuando el número

de valores que puede

tomar la variable es

muy elevado o se

trata de una variable

continua se agrupanen tramos o interva-

los.

La frecuencia relativa de

cada valor se calcula:

f i = Fi / N

La frecuencia porcentual

se halla

(%) i = f i x 100

El valor 24 está incluido

en el segundo tramo

pero no en el primero, el

30 en el tercero y no en

el segundo y así

sucesivamente.




117

En nuestro estudio las tablas completas quedarán así:

7~PLVPR

Tiempo(Xi)

Frecuencia(Fi)

F. Relativa(f i)

%

1 22 0’44 44

2 18 0’36 2

3 9 0’18 18

4 1 0’02 2

TOTALES N=50 1 100

Curso(Xi)

Frecuencia(Fi)

F. Relativa(f i)

%

WORD 13 0’26 26

ACCESS 10 0’20 20

EXCEL 9 0’18 18

INTERNET 18 0’36 36

TOTALES N= 50 1 100

Edades(Xi)

Frecuencia(Fi)

F. Relativa(f i)

%

[18-24[ 28 0’56 56

[24-30[ 8 0’16 16

[30-36[ 10 0‘2 20

[36-42[ 3 0’06 6

[42-48[ 1 0’02 2

TOTALES 50 1 100

Como N es el número

total de datos debe

coincidir con la suma

de las frecuencias.

Esto se puede expresar

así:

∑=

=

n

i

i N F 1

El signo sumatorio)

expresa que se ha de

realizar la suma de

todos los valores que

se indican con el

subíndice, desde 1

hasta n.

Observa que la suma

de las frecuencias

relativas da uno.

∑=

=

n

i

i f

1

1

Por la misma razón la

suma de todas las

frecuencias porcentua-

les da 100.

∑=

=

n

i

i

1

100%

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 1 propuesto en

el libro de actividades.




120

• Pictogramas. Se representan los datos mediante dibujos

alusivos el tema estudiado. Se pueden realizar:

* Utilizando un dibujo de un tamaño y valor concreto,repitiéndolo las veces necesarias, hasta representar el valor

de cada frecuencia.

* Utilizando un solo dibujo para cada valor de la variable,

modificando el tamaño proporcionalmente según la

frecuencia.

Otros tipos de gráficos estadísticos que no son utilizables en

nuestro estudio pero son frecuentemente empleados en

Ciencias Sociales son:

• Cartogramas. Se utilizan cuando los datos vienen referidos

al estudio de áreas geográficas. En estos casos, sobre el

mapa de la zona estudiada, se representan los datos

utilizando diferentes colores o rellenos, de modo que a cada

uno le corresponde un intervalo de valores.

En nuestro estudio podemos representar las preferencias

por los cursos así:

WORD ACCESS EXCEL INTERNET

13 10 9 18

Comarcas

productoras de

uva de mesa

Comarcasproductoras de

uva de vino

Comarcas con poca

producción de uva

Æ13

Æ10

Æ

9

Æ18

Cuando el valor de la

variable se duplica, si

duplicamos todas las

dimensiones del dibujo

que la representa, el

volumen de éste queda

multiplicado por 8 y el

efecto óptico de creci-

miento que transmite es

mayor que el real.

Obsérvalo con los dibujos

correspondientes a los

valores de la variable 9 y

18.




122

6.Una vez completa la tabla debemos calcular medidas o

parámetros estadísticos que nos den una información

resumida y global del conjunto de todos los datos. Esta

información puede estar referida a dos aspectos distintos y

da lugar a dos tipos de parámetros estadísticos:

• Parámetros o medidas centrales .

• Parámetros o medidas de dispersión.

Pasamos al estudio de cada una de estas medidas.

MEDIDAS CENTRALES

Números que intentan agrupar en uno solo a todos los que se

han obtenido del estudio estadístico, son: media, mediana y

moda.

• Media o media aritmética. Seguro que la has calculado

alguna vez para sacar la media de tus gastos (tratas de

utilizar un solo número que sea representativo de tus gastos)

o calcular lo que le corresponde pagar en una cena con tus

amigos a cada uno, si decidís pagar entre todos y a partes

iguales.

Para calcular la media se suman todos los datos y se divide

por el número total de éstos. Se representa por x .

Al utilizar operaciones aritméticas únicamente se puede

aplicar a estudios de variable cuantitativa.

En el caso de valores agrupados en intervalos, se tomará

para el cálculo el valor central del intervalo llamado marcade clase.

En nuestro ejercicio deberemos utilizar este recurso en el

apartado de las edades para no encontrarnos con

excesivas filas de datos:

Si tienes muchos datos agrupados por sus frecuencias la

primera parte del cálculo de la media se simplifica

multiplicando cada dato por su frecuencia y luego sumando

el resultado. Para facilitar este trabajo se suele añadir una

nueva columna a la tabla estadística.

Si los gastos de agua

de este trimestre

ascienden a 57 euros,

sabemos que todos

los meses no hemos

gastado la misma

cantidad de agua,

pero diremos que la

media de cada mes es

de 19 euros

193

57= ¼

Si consideramos el

intervalo [1’85 - 1’95[,

la marca de clase es la

media de los extremos:

.90'12

95'185'1=

+

[18-24[Æ (24+18) / 2 = 21

[24-30[Æ (24+30) / 2 = 27

[30-36[Æ (30+36) / 2 = 33

[36-42[Æ (36+42) / 2 = 39

[42-48[Æ (42+48) / 2 = 45

Calculemos la mediade la siguiente serie:

1,1,1,2,2,3,3

Podremos proceder así:

7

3322111 ++++++= x

o bien así:

7

232231 ×+×+×= x




123

• Mediana. Es el valor que ocupa la posición central después

de haber ordenado todos los valores, por esto sólo se puede

aplicar, igual que la media, en variables cuantitativas. Si el

número de valores es par se tomará como mediana a la

media de los dos valores centrales. Suele representarse por

Me.

Calculamos la media para las variables cuantitativas

de nuestro estudio. Añadimos la columna con los

productos X i · F i .

Tiempo(Xi)

Frecuencia(Fi)

Xi · Fi

1 22 22

2 18 36

3 9 27

4 1 4

TOTALES N=50 Σxi=89

x = =

89

50178'

Pasemos al estudio de las edades. En este caso

añadiremos dos columnas, una con las marcas de clase

y otra con los productos Xi · Fi.

Edades (Xi) Marca declase

Frecuencia(Fi)

Xi · Fi

[18-24[ 21 28 588

[24-30[ 27 8 216

[30-36[ 33 10 330

[36-42[ 39 3 117

[42-48[ 45 1 45

TOTALES N=50 Σxi=1296

92'2550

1296== x

1’7 8 no se corresponde

con ningún valor de lavariable ¡así es lamedia!

Fíjate que son mucho más

numerosos los alumnos

óvenes (28 alumnos de

21 años), pero como en el

cálculo de la media

intervienen todos losdatos, la media se

dispara a 25’92




124

• Moda. Es el dato que más se repite. Se puede aplicar en

todos los tipos de variables y es la única medida central que

se puede calcular si la variable es cualitativa. Se representa

como Mo.

Puede existir más de una moda en un mismo estudio.

Si los datos están agrupados por sus frecuencias se

corresponde con el dato que presenta mayor frecuencia.

Calculemos la mediana en nuestro estudio, en los datos

referidos a tiempos y a edades.

Al ser en ambos casos 50 valores, número par, habrá que

calcular la media de los valores que ocupen el 25º y 26º

lugar (24 datos a la derecha, 25 y 26 centrales, 24 datos a

la izquierda).

En el caso de los tiempos los primeros 22 valores son 1 y

del puesto 22 al 40 tienen valor 2, luego las posiciones

25ª y 26ª que nos interesan tienen ambas un valor de 2. La

mediana será la media de ambos valores

Tiempo

(Xi)

Frecuencia

(Fi)1 22

2 18

3 9

4 1

22

22=

+= Me

En el caso de los tiempos, tras un razonamiento similar,

concluiremos que la mediana toma un valor de 21, pueslos valores que ocupan los puestos 25º y 26º están en el

primer grupo de frecuencias. Me= [18-24[.

EdadesX

Marca declase

FrecuenciaF

[18-24[ 21 28

[24-30[ 27 8

[30-36[ 33 10

[36-42[ 39 3

[42-48[ 45 1

TOTALES N=50

En una oficina los

sueldos de 5 empleados

son:

700 ¼

700 ¼

800 ¼

1.000 ¼

7.500 €

La media es:

140.25

10700x ==

La mediana es:

Me = 800 ¼

Es evidente que en este

caso la mediana es más

representativa.

Si los sueldos son:

700 ¼

800 ¼

1.000 ¼

7.500 ¼La media es:

000.25

000.10x == ¼

La mediana será la media

de los dos valores

centrales:

9002

000.1800=

+= Me ¼

Media:*V. Cuantitativas.

*Tiene en cuenta todos

los datos.*Si hay datos extremos la

media no será muy

representativa.*Si no se puede calcular

la marca de clase,

tampoco se podrá

calcular la media.




127

• Varianza y Desviación típica. Son valores que también

aportan información sobre el grado de separación de los

datos respecto a la media.

La desviación de cada dato a la media también se puede

medir utilizando el cuadrado de la distancia (xi -- )2. La

media de todas estas desviaciones es la varianza.

Una vez calculadas las desviaciones hay que calcular la media aritmética de todas

ellas. Para esto añadimos la columna del producto de las desviaciones (Di) por las frecuencias (Fi) , o sea, Di · Fi y la suma de todos estos productos en la casilla

inferior:

Tiempo (Xi) Frecuencia (Fi) Di = | Xi - x | Di · Fi

1 22 0’78 17’16

2 18 0’22 3’96

3 9 1’22 10’98

4 1 2’22 2’22

TOTALES N=50 Σ |xi - x | = 34’32

69'050

32'34== DM

Esto significa que los valores de los tiempos se separan una media de 0’69 horas de la

media obtenida para todos los datos.

De igual modo procedemos en el caso del estudio de las edades:

Edades (Xi) Marcas declase

Frec. (Fi) Di Di · Fi

[18-24[ 21 28 4’92 137’76

[24-30[ 27 8 1’08 8’64

[30-36[ 33 10 7’08 70’80

[36-42[ 39 3 13’08 39’24

[42-48[ 45 1 19’08 19’08

TOTALES N=50 Σ |xi - x | = 275’52

5104'550

52´275== DM

Esto significa que los valores de las edades se separan una media de 5’5104 años de

la media obtenida para todos los datos.

σ(sigma) x




128

Esta fórmula, mediante adecuadas transformaciones se

convierte en esta otra que simplifica mucho los cálculos:

En el cálculo de la varianza las unidades quedan elevadas al

cuadrado (m2

si se trata de longitudes, s2

si se trata de

tiempo, …).Para evitar esto se calcula la raíz cuadrada de la

varianza con lo que obtenemos otro parámetro llamado

desviación típica.

La ventaja es que se puede obtener directamente con la

calculadora científica. Este procedimiento te lo vamos a

explicar a continuación en el siguiente apartado.

N

f x x

N

x x x x x xVarianza

n

i

ii

i

∑=

−

=−++−+−

=1

2

22

2

2

1

)(()(...)()(

21

2

x N

f x

Varianza

n

i

ii

−

⋅

=

∑=

Varianzatípica Des =.

En nuestro estudio, la tabla para el cálculo de la desviación típica de los tiempos

aplicando la segunda fórmula necesitaría incorporar dos nuevas columnas y,

teniendo en cuenta que 78'1= x y que 1684'32 = x , quedaría:

Tiempo(Xi)

Frecuencia (Fi)

Xi· Fi Xi2· Fi

1 22 22 22

2 18 36 72

3 9 27 81

4 1 4 16

TOTAL N=50 191

6516'01684'350

191=−=Varianza

9'08972'06516'0. ≈==típica Des

De igual modo procederíamos en el caso del estudio de las edades.




129

8WLOL

]DPRVOD.

DO.XODGRUD

No todas las calculadoras científicas funcionan de la misma

forma. Aquí te vamos a indicar los pasos que hay que seguircon la mayoría de ellas para trabajar la estadística. Si tu

calculadora no responde a estas órdenes debes consultar su

manual de funcionamiento o al profesor.

7~PLVPR

7. Conclusiones y toma de decisiones

Para empezar debemos saber poner la calculadora en

Modo Estadístico. Para ello debemos pulsar la tecla SD o

STAT, según modelos.

Modo Estadística: SD

Introducción de datos: 1 x 22 DATA Æ 1

2 x 18 DATAÆ 2

3 x 9 DATA Æ 34 x 1 DATAÆ 4

Resultados: Número de datos: nÆ 50

Media: x Æ 1’78

Desviación típica: σ nÆ 0’8

Para introducir los datos

debemos teclear cada uno de

ellos y pulsar la tecla X o

DATA, que también suele

coincidir con la tecla = o M+.

No

de datos introducidos. n_ Media aritmética:… x

Desviación típica..…. σn Suma de los valores Σxi

En algunas calculadoras para

usar determinadas teclas

como x es necesario pulsar

antes la tecla SHIFT o INV.

Las conclusiones que se obtienen del estudio son:

1. El 96% de los alumnos tienen una edad inferior a los 38 años, con una edad media de

25’92 años y con una desviación media de 5’5104 no muy elevada, por lo cual la

rentabilidad educativa estaría prácticamente garantizada.

2. Las gráficas de las preferencias por un tipo u otro de curso no están muy claras y,

aunque la moda sea a favor de INTERNET las frecuencias están muy repartidas en

todos los valores de la variable.

3. En cuanto al número de horas la media se sitúa en 1’78 horas con una desviación

media de solo 0’67.

Concluimos pues, que la inversión podría hacerse impartiendo en los centros de FPA

cursos semanales de dos horas de duración sobre los siguientes temas: WORD,

ACCESS, EXCEL e INTERNET.





130

222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS PPPRRROOOBBBAAABBBIIILLLIIIDDDAAADDD

Los orígenes de la Probabilidad datan del siglo XVII y están ligados a los juegos de azar. Tras

el desarrollo matemático de la teoría, desde finales del siglo XVIII, se viene aplicando a otrasciencias y a campos como la sanidad, los seguros, los negocios,…

La probabilidad se encarga de analizar la facilidad que hay de obtener un resultado concreto

en determinadas situaciones, siendo su uso frecuente en la vida real. Las compañías

aseguradoras hacen probabilidad cuando estiman el riesgo de accidente teniendo en cuenta

aspectos como la edad, el sexo.

Inicialmente debemos decidir sobre qué cosas pueden hacerse estudios probabilísticos y sobre

cuáles no. Con posterioridad tendremos que saber calcular las posibilidades de cada resultado.

Antes de comenzar, como ya hemos mencionado, debes conocer algunas palabras que nos

permitan comunicarnos en este tema.

Cuando realizamos un experimento, éste puede ser, aleatoriosi el resultado no puede ser previsto, como por ejemplo lanzar

una moneda y observar si sale cara o cruz, o lanzar un dado y

anotar el número que se obtiene.

También podemos tener un experimento determinista si el

resultado podía haber sido previsto, como por ejemplo medir una habitación, o soltar una pelota desde 10 m. de altura y

anotar el tiempo que tarda en caer .

Cuando realizamos un experimento aleatorio cada uno de los

resultados que podemos obtener se llama suceso elemental.Por ejemplo ‘salir cara’ en el lanzamiento de una moneda.

Otro ejemplo puede ser el lanzamiento de un dado en el que

tenemos 6 sucesos elementales diferentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6 .

Llamamos suceso compuesto o simplemente suceso al grupo

de varios sucesos elementales, como por ejemplo ‘salir

par’(2,4,6) es un suceso del lanzamiento de un dado, o ‘salir un número primo’(1,2,3,5) .

Otros tipos de sucesos que deberíamos conocer son:

• El suceso contrario como por ejemplo ‘no salir par’ es el

contrario de ‘salir par’.

• El suceso imposible que es el que nunca puede ocurrir

como por ejemplo ‘obtener un 7’en el dado.

•

Por último el suceso seguro que engloba todos los sucesoselementales y por tanto sucederá con toda certeza.

¡Apunta!

2 m ancho 2´ 5 largo

Gana el primero

que obtenga un

número par

1R.LRQHVEiV

L.DVGHSURED

ELOLGDG

Ganas si te

sale un 7




131

$SUHQGDPRVSUD.

WL.DQGR

Este fenómeno de acercamiento al efectuar un elevado

número de experimentos y observar como la frecuencia

relativa de cada uno de los sucesos se va acercando a un valor

se llama Ley de los Grandes Números o Estabilidad de la

Frecuencia.

El número al que se aproxima la frecuencia relativa de un

suceso se le llama Probabilidad de ese suceso

Inicialmente podemos pensar en hacer todos los cálculos

como en la actividad anterior efectuando gran cantidad de

lanzamientos y hallando la frecuencia relativa de cada

posibilidad. Pero en determinados casos donde todos los

sucesos elementales tienen las mismas posibilidades (sucesos

equiprobables) se puede aplicar la Regla de Laplace queafirma que en estas situaciones la probabilidad de un suceso

1. Lanzamos una moneda 100 veces y anotamos cuántas

ocasiones se obtiene ‘cara’ y cuántas ‘cruz’. Estas

anotaciones debemos hacerlas en una tabla de

frecuencias como la siguiente:

Frec. Abs. (Fi)

Frec. Rel.f

F

N i

i =

Cara (C)

Cruz (X)

Suma N=100

Si seguimos lanzando la moneda hasta 500 veces

observamos que las frecuencias absolutas de ‘C’ se

acercan a 250 mientras que las relativas a 0’5.

¿Quién

anota?

Frecuencia absoluta de

` cara´ es el número

veces que te saldrá ` cara´

Frecuencia absoluta de

` cruz´ , el número de vec

que te saldrá ` cruz´ .

Frecuencia relativa es el

tanto por uno.

En nuestro ejercicio la probabilidad del suceso ‘cara’

debe estabilizarse entorno al valor:

( ) .5'02

1

500

250===C P

2. Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos

elementales posibles al efectuar el lanzamiento de un

dado de 6 caras y halla la probabilidad de obtener

‘número primo’.




132

es el cociente entre el número de casos favorables y el

número de posibles, es decir

( )P S Casos Favorables

Casos Posibles = .

Cuando deseamos calcular la probabilidad de un sucesocompuesto, ésta es igual a la suma de los sucesos

elementales que lo componen.

En ocasiones podemos utilizar la probabilidad del suceso

contrario.

Observa que la suma de la probabilidad de un suceso y la desu contrario es 1. Por tanto para calcular la probabilidad de

un suceso podemos utilizar la de su contrario si su cálculo es

más sencillo.

La Regla de Laplace no es aplicable, tal y como hemos visto

antes, a situaciones donde los sucesos elementales no son

equiprobables y para mostrar un caso en el que aparece esta

situación proponemos la siguiente actividad:

Cuando inicialmente la probabilidad de los sucesos no es

conocida y por tanto no equiprobable para aplicar la Regla de

Laplace podemos calcular la probabilidad de cada

posibilidad elaborando un trabajo empírico (probar muchasveces):

Utilizando este criterio podemos concluir que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P P P P P 1 2 3 4 5 61

6= = = = = = .

También podemos

hacerlo así:

Casos posibles:

1, 2, 3, 5

Casos favorables:

1, 2, 3, 4, 5, 6

P(nº primo) .32

64 == De este modo podemos calcular la probabilidad de obte-

ner un número primo en un dado, siendo ésta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P n primo P P P P º •= + + + = = =1 2 3 5 41

6

4

6

2

3.

3. Si lanzamos una chincheta sobre una mesa tenemos dos posibles posiciones de caída:

• Con la punta hacia arriba (⊥)

• Con la punta hacia abajo (∇ ).

¿Cuál es la probabilidad de que caiga en cada una de las

posiciones?

3

1

6

2)6()4()()( ==+== PP primosnlosexceptoTodosP primo NOP

os .

La suma de las

probabilidades de un

suceso y de su contrario

es 1.

( ) 1=+ SPSP .

Por tanto

( ) SPSP −= 1 .




133

7~PLVPR

Efectuamos 100 lanzamientos (o más) y anotamos el

número de veces que cae de cada posición la chinchetaen una tabla de frecuencias (absolutas y relativas)

Frec. Abs.(Fi) Frec. Rel.

f F

N i

i =

(⊥)

(∇)

TOTAL N=100 Σ f i = 1

Si consideramos que el número de lanzamientos ya es

suficiente para hacer una estimación, por la Ley de los

Grandes Números , aproximaremos cada una de las probabilidades por la frecuencia relativa de cada

posición. Por tanto

( ) ( )P P ⊥ = ∇ =

De la relación existenteentre frecuencia relativa y

probabilidad podemos

afirmar:

1. La probabilidad de un

suceso se encuentra

entre 0 y 1.

2. La suma de las

probabilidades de

todos los sucesos es

igual a 1.

3. La probabilidad de un

suceso es 1 menos la

probabilidad del

suceso contrario.





134

1RRROY

LGHV

• La Estadística es útil cuando queremos obtener datos de un conjunto de elementos, seano no personas.

Se llama variable a la característica que queremos estudiar.

Si la variable se puede expresar con números la llamaremos cuantitativa y si no se

puede expresar con números la llamaremos cualitativa.

Al conjunto de elementos que vamos a estudiar se le llama población. Si éste conjunto

es muy grande utilizaremos un grupo extraído de la población que sea representativo

de ésta al que llamaremos muestra.

Para recoger los datos se elabora una encuesta.

Una vez recogidos los datos se deben seguir los siguientes pasos:

o Recuento.

o Elaboración de tablas de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales.

o Selección y elaboración de la gráfica adecuada.

o Cálculo de parámetros centrales y de dispersión.

o Análisis de los resultados, conclusiones y tomas de decisiones.

Los errores en la construcción de las gráficas, a veces intencionados, pueden llevar a

interpretaciones equivocadas.

• La Probabilidad es factible aplicarla siempre que estemos ante experimentos aleatorios.

Los experimentos deterministas deben ser evaluados o investigados.

La Regla de Laplace se puede aplicar si los sucesos son equiprobables.

La Ley de los Grandes Números afirma que la frecuencia relativa de un suceso en

un gran número de pruebas aproxima a la probabilidad de ese suceso.

Debemos tener presente que los sucesos aleatorios no tienen memoria y la

probabilidad de que algo suceda en un experimento no depende nunca del resultado de

la prueba anterior.



Tema 6: Álgebra

136

La relación matemática que existe entre los datos del problema es:

Consumo mes 1 + Consumo mes 2 + Consumo mes 3 = Consumo total

Lo podremos expresar utilizando el lenguaje algebraico de la siguiente forma:

2 (x +309) + (x +309) + x = 12927

Este lenguaje, simbólico y universal, ha contribuido al desarrollo posterior de otras ramas delas Matemáticas y de otras ramas del saber científico. Las fórmulas que utilizamos en áreascomo la Geometría o en ciencias como la Física o la Química no son más quegeneralizaciones de comportamientos de algunos fenómenos expresados mediante lenguajealgebraico.

(QHV

WHWHPDYDVDD,SUHQGHU

• A “traducir” situaciones cotidianas problemáticas al lenguajealgebraico, después de haberte familiarizado con él.

• A resolver estas situaciones con la aplicación de ecuacionesde primer grado.

• A reconocer en las fórmulas geométricas, físicas,químicas,…expresiones algebraicas.

$

QWHVGH.RPHQ

]DU

...revisa las siguientes cuestiones que tendrás que utilizar:

• Operaciones básicas con números positivos, negativosfraccionarios y decimales.

• Relaciones que se establecen entre los elementos deuna suma y de una multiplicación.

• Prioridad de las operaciones encadenadas y utilizaciónde los paréntesis para alterar el orden.

• Conceptos de doble, mitad, triple, tercera parte,…

111... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS

ÁÁLLLGGGEEEBBBRRRAAA

La resolución matemática de situaciones problemáticas puedetener diferentes enfoques:

• Por tanteo probando posibles soluciones hasta dar con laverdadera.



Tema 6: Álgebra

139

Las ecuaciones que tienen la misma solución se llamanecuaciones equivalentes.

Las ecuaciones7a = 4’97

y

14a = 9’94

tienen la misma solución a = 0’71, luego son equivalentes.

Para resolver una ecuación consideraremos que, al tratarse deuna igualdad, funciona como una balanza en equilibrio dondelos platillos de la balanza se corresponden con los miembros dela ecuación. Para que el equilibrio de la balanza se mantenga elpeso a ambos lados ha de ser el mismo.

De esta forma la ecuación x + 2 = 7 la podremos representar

como:

En una balanza al poner o quitar peso de un lado se

desequilibra, pero se vuelve a alcanzar el equilibrio si la mismaoperación (quitar o poner el mismo peso) se realiza en el ladocontrario.

7 x2

Para resolver unaecuación nuestro objetivoha de ser calcular el valorde la incógnita x. Esto se

consigue pasando porvarias situaciones de

equilibrio hasta dejar solala incógnita a un lado de la

balanza.

72

x

x

2 5 5 x

2

Al quitar la pesa de valor 2 del primer platillo la balanza

se desequilibra.

Al quitar la pesa de valor 2 del segundo platillo la balanza

se vuelve a equilibrar.

Observa:7 = 5 + 2

• Cada uno de los ladosde una igualdad sellama miembro y cadauno de los sumandos sedenomina término.

• Los términos en los queaparece la incógnita sellaman términos en x yal resto términosindependientes.

• Los números que

multiplican a laincógnita se llamancoeficientes. Cuandono aparece ningúncoeficiente se entiendeque éste es 1.

3x Coeficiente 3

-4x Coeficiente –4

x Coeficiente 1



Tema 6: Álgebra

140

Expresamos las operaciones realizadas en la ecuación:

x + 2 = 7 x + 2 – 2 = 7 – 2

x = 5

El proceso por el cual dejamos sola a la incógnita en unmiembro de la ecuación se conoce como despejar la incógnita.

Si a la incógnita le faltara una parte para estar completa elproceso sería similar.

Sea la ecuación:

x – 5 = 37

Finalmente quedaría:

Expresamos las operaciones realizadas en la ecuación:

x – 5 = 37

x – 5 + 5 = 37 + 5

x = 42.

x

5

- 5

37 x

Completamos x añadiendo el trozo de valor 5, y para

mantener en equilibrio la balanza, añadimos un valor igual

en el otro platillo:

42 x

37 x5

5

37 +

=

42

5



Tema 6: Álgebra

142

Resolver una ecuación consiste en despejar la incógnita pasandopor diferentes ecuaciones equivalentes aplicandoconvenientemente las reglas anteriores.

Para simplificar la resolución de ecuaciones se siguen lossiguientes pasos con los que resolveremos otro ejemplo:

3x – 4 (x – 2 ) = 5x + 4

1. Quitar paréntesis.

3x – 4x + 8 = 5x + 4

2. Agrupar términos que contengan la incógnita y términosindependientes a ambos lados del igual.

3x – 4x + 8 – 8 – 5x = 5x + 4 – 8 – 5x

3x – 4x – 5x = 4 – 8

3. Despejar la incógnita dejándola sola a un lado del igual.

- 6x = - 4

6

4

6

6

−

−=

−

− x

x =3

2

6

4=

• Resolvamos las ecuaciones de nuestros

ejemplos:

1.

71'07

97'4

7

7

97'47

=

=

=

a

a

a

2.

a + 0’12 = 0’83

a + 12 – 12 = 0’83 – 0’12

a = 0’71

3.

7a + 3(a + 0’12) = 7’46

7a + 3a + 0’36 = 7’46

10a + 0’36 = 7’46

10a = 7’46 – 0’36

10a = 7’1

a = 7’1 : 10 = 0’71

En el ejemplo 3 se realizanlas siguientes operaciones:

• Se quitan los paréntesisaplicando la propiedaddistributiva:

3(a + 0’12) = 3a + 0’36• Se agrupan los términos

con a en un lado del igual:7a + 3a + 0’36 = 7’46

10a + 0’36 = 7’46

• Se omiten las operaciones

0’36 – 0’36 y10

10a

cuyo cálculo se realizamentalmente.

Las operaciones en grisse suelen omitir y serealizan mentalmente.



Tema 6: Álgebra

143

En ocasiones las relaciones que se establecen son máscomplejas e incluyen denominadores. Veamos un ejemplo y elproceso a seguir para su resolución que incluirá la eliminación

de los denominadores.4

3

1

2

2=

+−

− x x

a. Multiplicamos los dos miembros de la

ecuación por un múltiplo común a todos los

denominadores, siendo muy práctico el mínimo

común múltiplo. En nuestro caso m..c.m.(2, 3,

1) = 6.

4·63

1x-

2

x-2·6 =

+

4·63

)1(6

2

)2(6=

+−

− x x

b. Quitamos denominadores realizando los

cocientes del número por el que hemos

multiplicado ambos términos y los

denominadores. Siempre dará valores enteros

pues nos hemos asegurado de que fuera un

múltiplo común. En este caso las divisiones

son: 3

2

6= y 2

3

6= y la ecuación queda

24)1(2)2(3 =+−− x x

c. Queda reducida a una ecuación del mismo tipo

que las anteriores y la resolvemos de la misma

forma.

7~PLVPR


La segunda ecuaciónpodríamos haberla calculado

mentalmente y haber pasadodirectamente a la tercera.

5 / 195

195

195

5

195

162423

16232416231236

241236

−=

−=

−=

−

−

=−

+−=−−

+−++=+−++−−−

=−−−

x

x

x

x x

x x x x x x

x x

Otra forma de resolver lasecuaciones con denominadores

es pasar a la forma decimal.

43

1

2

2=

+−

− x x

4)33'033'0(5'01 =+−− x x

433'033'05'01 =−−− x x

001'483'0

33'3

33'383'0

33'01433'05'0

−=

−=

=−

+−=−−

x

x

x x

Observa que los resultados sonaproximados pero no

exactamente iguales. Esto esdebido al redondeo que hemos

realizado en el paso a decimalescuando no es exacto.



Tema 6: Álgebra

151

Datos e incógnita.

Edad actual Hace 8 años

Dani x + 5 x + 5 – 8 = x - 3Sergio x x - 8

Hace 8 años la edad de Dani era el doble que la

de Sergio.

Ecuación y resolución.

Podemos relacionar los datos igualando las

edades hace 8 años. Para poder igualarlas

tendremos que multiplicar la de Sergio por dos.

x – 3 = 2(x – 8)

x – 3 = 2x – 16

x – 2x = -16 + 3

-x = -13

x = -13/-1 = 13

Solución.

Sergio tiene 13 años y Dani 18 años.

2. Problemas de recorridos.

En estos problemas se hace referencia a móviles querealizan los mismos recorridos, bien en el mismo sentido oen sentido contrario, con diferentes velocidades y momentosde salida, e interesa el lugar y momento de encuentro.

Veamos un ejemplo:

Un padre y un hijo, aficionados al ciclismo, quieren hacer

el mismo recorrido sobre un carril bici. El padre es más

lento que el hijo y decide salir 30 minutos antes del punto

de partida. Interesa saber a qué distancia de la salida lo

alcanzará el hijo si los velocímetros marcan velocidades

de 20 Km/h y 32 Km/h respectivamente y suponemos que

la velocidad de ambos es constante.

Para resolverlo aplicamos la fórmula e = v · t yexpresamos adecuadamente los tres datos para cada unode los móviles, en este caso padre e hijo.

Relación entre las edadesde los hermanos a lo largodel tiempo:

Edades Relación1 y 6 Seis veces2 y 7 5 años más3 y 8 5 años más4 y 9 5 años más5 y 10 Doble6 y 11 5 años más7 y 12 5 años más8 y 13 5 años más9 y 15 5/310 y 16 5 años más11 y 17 5 años más12 y 18 3/2….. …..

e = v · tFórmula que relaciona

espacio, velocidad y

tiempo en el movimiento

uniforme.



Tema 6: Álgebra

152

Gráfico. Siendo A el punto de partida y B donde se

produce el alcance:

Datos e incógnita.

Velocidad Tiempo Espacio

Padre 20 x 20x

Hijo 32 x - 0’5 32(x - 0’5)


Podemos relacionar los datos igualando los

espacios recorridos, ya que si han salido del

mismo punto, en el momento en que se encuentran

han recorrido el mismo espacio.

20x = 32(x –0’5)

20x = 32x – 16 20x - 32x = -16

-12x = -16

x = - 1 6 / - 1 2 = 4 / 3

Solución.

Se encuentran a los 4/3 de hora de haber salido el

padre y a 60/3 de km (20 km) del punto de salida.

Si el problema plantease que los ciclistas salen al

mismo tiempo de dos puntos separados entre sí por 104

km y con sentido opuesto y siguiese interesando el

momento y el lugar donde se encuentran la resolución

sería:

Gráfico. Siendo A y B los puntos de partida

respectivamente y C el punto donde se produce el

encuentro:

El carril-bici es una

buena solución para que

los aficionados al

ciclismo disfruten de este

deporte sin correr

riesgos.

Bt = x

e = 20x

e = 32(x - 0’5)

t = x - 0’5

A

Hijo

Padre



Tema 6: Álgebra

153

Datos e incógnita.

Velocidad Tiempo Espacio

Padre 20 x 20x

Hijo 32 x 32x


Podemos relacionar teniendo en cuenta que la

suma de los espacios recorridos es de 104 km.

20x + 32x =104

52x = 104

x = 104/52 = 2

Solución.

Se encontrarán a las dos horas, a una distancia de 40

km del padre y 64 del hijo.

3. Problemas de números.

En estos problemas se hace referencia a relacionesestablecidas entre los números. Es necesario conocer elsignificado de números pares (múltiplos de dos), númerosconsecutivos (números enteros sucesivos),…

Veamos un ejemplo: La suma de dos números enteros consecutivos es 37. ¿De

qué números se trata?.

Para resolverlo hemos de tener presente que dos númerosconsecutivos son un número y su siguiente.

Datos e incógnita.

1er

nº x

2º nº x+1

A

C

B

Padre Hijo

t = x

e = 20x

t = x

e = 32x

104 km

e = 20x e = 32x



Tema 6: Álgebra

154


Podemos relacionar los números según elenunciado del problema.

x + x + 1 = 37

2x = 37 – 1

2x = 36

x = 36/2 = 18

Solución.

El primer número es el 18 y el segundo el 19.

7~PLVPR

8W

LOL]DPRVOD.DO.XODGRUD

• Tecla +

Además de ser la tecla que se utiliza para sumar, si se oprimedos veces, cada ver que oprimamos la tecla = sumará al númeroque aparezca en pantalla el que hallamos indicado.

3 + + 2 = = =

En pantalla aparecerá: 5, 7, 9, …

• Tecla X

Además de ser la tecla que se utiliza para multiplicar, si seoprime dos veces, cada vez que oprimamos la tecla =multiplicará al número que aparezca en pantalla el que hayamosindicado.

3 x x 2 = = =

En pantalla aparecerá: 6, 12, 24, …

Se obtienenseries a partirde la suma

Se obtienenseries a partirdel producto




Tema 6: Álgebra

155

1RRROYLGHV

• El Álgebra va a permitirnos una nueva forma de resolución de problemas mediante el usodel lenguaje algebraico y las ecuaciones.

• El lenguaje algebraico permite expresar situaciones cotidianas de manera simplificada yreducida, utilizando números, letras y los signos de las operaciones. Las letras van asimbolizar cantidades desconocidas.

• Cuando las expresiones se relacionan mediante el signo = fijando determinadascondiciones obtenemos una ecuación.

• Resolver una ecuación es hallar el valor de la letra o incógnita para que se cumplan las

condiciones que determina la igualdad.

• Los pasos para resolver un problema mediante una ecuación de primer grado son:

a) Datos del problema.

b) Identificamos la incógnita.

c) Establecemos la ecuación que relaciona los datos y la incógnita con la informacióndel texto.

d) Resolvemos la ecuación.

e) Comprobamos la solución de la ecuación y la interpretamos como solución delproblema.

• Las fórmulas son expresiones algebraicas que expresan las relaciones que se dan entredeterminadas magnitudes y medidas.



Tema 7: Geometría plana

159

111... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS GGGEEEOOOMMMEEETTTRRRÍÍÍAAA

La Geometría surge por la necesidad de medir la tierra y construir (edificios, puentes,...)utilizando como base figuras lo más sencillas posibles; fíjate en las caras de los ladrillos obloques de construcción, en las paredes, en las ventanas, qué forma tienen las escuadras, loslibros, los folios, el gato de un coche , las ruedas ,...

Antes de comenzar has de conocer el vocabulario de este tema:

Nos hemos comprado el siguiente terreno y queremos construir todo lo que en él vemos

dibujado A lo largo del tema conoceremos el nombre de todos los elementos (piscina, garaje,

paellero, ...) que aparecen en el plano, mediremos longitudes, bien para vallar el terreno, bien

para comprar el zócalo de algún recinto; también calcularemos superficies, pues vamos a

embaldosar el suelo del paellero, vamos a cubrir la piscina,…

2 9 m

2 0 m

33´75 m

40 m

1 0 m

6 m

6 m

Garaje

20 m

1 0 m Casa

3 ´ 2 5 m

3´25 m

Perro

Paellero

4 m

3 m

2 m

14 m

1 0 m

1 1 m

8 m

3´16 m



Tema 7 : Geometría plana

168

• Unidades de superficie

1 cm2 (un centímetro cuadrado) es la superficie de un

cuadrado de lado 1 cm y es la que vamos a utilizar comopatrón.

Trataremos de rellenar todas las superficies con la medidaque tenemos como patrón, es decir, cuántas veces podemosponer 1 cm2 en nuestra superficie.

2 cm2 es la superficie de 2 cuadrados de lado 1 cm.

¿Cuánto serán 12 cm2?.Para ello construimos una figura en la que poder contar confacilidad usando nuestra unidad patrón .

1 dm2 será la superficie de un cuadrado de lado 1 dm.Sabemos que 1 dm = 10 cm. Si construimos un cuadrado delado 1 dm, obtenemos que su superficie es de 100 cm2.

Repite el razonamiento para obtener 1 m2, o sea, un cuadradode lado 1 m.

Recuerda 1 m = 10 dm.

1 m2 = 1 m × 1 m = 10dm × 10 dm = 100 dm2.

1 m

2

= 1 m×

1 m = 100 cm×

100 cm = 10.000 cm

2

.

1cm2 1cm2 = 2 cm2

1cm2 1 cm

1 cm

1cm2 1cm2 1cm2

1cm2

1cm2

1cm2

1cm2 1cm2 1cm2

1cm2 1cm2

1cm2

Se lee:Un centímetro cuadrado.Dos centímetros cuadra dos.

1 dm = 10 cm

1 d m

= 1 0 c m

Si lo construyesde 20 cm x 5 cmtambién tienes100 cm2

¡la forma no esimportante!



Tema 7 : Geometría plana

176

1RRROY

LGHV

• De la Geometría plana o euclídea hemos estudiado el nombre de las figuras planas másusuales, el perímetro y el área.

• Las principales figuras planas son:cPolígonos.

o Cóncavos.o Convexos.

STriángulos: polígonos de 3 lados.

Ángulos. Lados.Acutángulo. Escaleno.Rectángulo. Isósceles.Obtusángulo. Equilátero.

SCuadriláteros: polígonos de 4 lados.

Paralelogramo (dos lados paralelos dos a dos).Rectángulo.Cuadrado.Rombo.Romboide.

Trapecio (dos lados paralelos).

Trapezoide (ningún lado paralelo).

S(Penta, hexa, hepta,…) – gono: polígonos de 5, 6, 7,…lados.

cCircunferencia y círculo.

•

El teorema de Pitágoras afirma: en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados delos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

cateto2 + cateto2 = hipotenusa2

• El perímetro de cualquier polígono es la suma de sus lados.cLa unidad de longitud en el S.M.D. es el metro.

• El área es la medida de la superficie de una figura plana.cLa unidad de superficie en el S.M.D. es el metro cuadrado.cPara medidas agrarias se utiliza el área.

• Cualquier figura plana podemos dividirla en figuras conocidas y calcular así su área.

•

FIGURAS ÁREAS PERÍMETROS

Triángulo (base x altura) / 2 Suma de los ladosCuadrado lado x lado = lado2 4 · lado

Rectángulo base x altura 2 · a + 2 · bRombo (diagonal mayor x diagonal menor) / 2 4 · lado

Romboide base x altura Suma de los ladosPolígono regular

de “n”lados.(Perímetro x apotema) / 2 n · lado

Círculo π · r2

Circunferencia 2 · π · r



Tema 8: Geometría del espacio

180

• Poliedro. Es el espacio cerrado limitado por polígonos.

Elementos de un poliedro.

¾Caras. Cada uno de los polígonos que delimitan elpoliedro.

¾Aristas. Son los lados de las caras, dos caras contiguascomparten una misma arista.

¾Vértices. Punto en el que concurren tres o más caras.Son los vértices de los ángulos poliedros.

¾Diagonales. Segmentos que une dos vértices de carasdistintas.

Tipos de poliedros.

¾Poliedros regulares. Cuando todas sus caras sonpolígonos regulares y en cada vértice concurren elmismo número de caras.

Veamos cuántos podemos formar:- Si en cada vértice concurren tres triángulos

equiláteros tenemos ángulos poliedros de 3 · 60 =180º (recuerda que un triángulo equilátero tiene tresángulos de 60º). Este poliedro se llama tetraedro,pues tiene cuatro caras.

- Si ponemos cuatro triángulos equiláteros tenemosángulos poliedros de 4 · 60 =240º. Este poliedro es unoctoedro, tiene ocho caras.

- Si colocamos cinco tenemos 5 · 60 = 300º. Se llamaicosaedro y tiene 20 caras.

Ya no podemos poner más triángulos equiláteros en elmismo vértice, pues con 6, tendríamos 6 · 60 =360º,formaríamos un plano, no habría volumen.

- Si tomamos cuadrados, tenemos 3 · 90 = 270º.Resulta un poliedro de 6 caras, es un hexaedro ocubo.

Si intentasemos poner cuatro cuadrados 4 · 90 = 360º,imposible, luego con cuadrados sólo exixte el hexaedro.

- Cada ángulo de un pentágono mide 108º, con trestenemos 3 · 108 = 324º, este poliedro se llamadodecaedro y tiene 12 caras.

El hexágono ya tiene ángulos de 120º, luego no podemos juntar tres hexágonos, pues obtenemos 360º, después delhexágono los ángulos son aún mayores y como mínimonecesitamos tres caras para formar un ángulo poliedro,luego no existen más poliedros regulares.

Sólo exixten cinco poliedros regulares.

cara

arista

vértice

diagonal

TetraedroOctoedro

Icosaedro

Hexaedro

Dodecaedro

Ángulos de un polígono

regular.En un pentágono podemos

dibujar 5 triángulos iguales,los ángulos de un triángulosuman 180ºÆ 180 · 5 = 900ºSi eliminamos los ángulos delcentro Æ 900 – 360 = 540º.Si ahora los repartimos entre los5 vértices del pentágono 540 : 5= 108º. Los ángulos de unpentágono regular miden 108º.




182

$SUHQGDPRVSUD.W

L.

D

QGR

1. Repasemos los elementos de nuestra nevera, ésta es unaespecie de caja. Tenemos los cajones del congelador, unasparillas para organizar la nevera e incluso cajones para laverdura. En la puerta solemos encontrarnos compartimentospara las bebidas, los huevos, los botes pequeños, …

Recuerda que si todas las caras son cuadrados, se llamahexaedro o cubo

2. Veamos qué encontramos en el interior de la nevera.

La nevera es un poliedro, cuya base y tapa son

rectángulos y las caras laterales también, así como la

puerta y el fondo. Ya sabes que es un prisma

rectangular, también se llama ortoedro.

Los cajones del congelador, así como los de la verdura

tienen 5 caras y todas ellas son rectángulos, se tratatambién de un prisma rectangular u ortoedro.

los prismas cuyas caras son todas paralelogramos se

llaman paralelepípedos.

Los compartimentos de la puerta de la nevera son

paralelepípedos, pero por razones estéticas, ergonó-

micas, … ¡han redondeado los cantos!.

Un trozo de queso, un trozo de tarta, son prismas

triangulares , la base y la parte de arriba son triángulos

paralelos, las caras laterales son rectángulos.

El bote de tomate, la lata de sardinas son cilindros.

La botella de leche es un cilindro, sino fuera por el

cuello de la botella.

El tetrabrik es un prisma rectangular, también hay

rismas octogonales , la base y la tapa son octógonos, y

las caras laterales siguen siendo rectángulos.

Si tenemos helados, éstos tienen formas curiosas, en

concreto los cucuruchos, tienen forma de conos , y las

bolas de helado esferas.

¡Poliedro regular!




186

Una caja de cerillas mide 40 mm de largo, 30 mm de ancho

y 10 mm de altura.

Su volumen será 40 · 30 · 10 = 12.000 mm3

= 12 cm3.

• 1m3 es el espacio que ocupa un cubo de 1 m de arista.1 m3 = 10 dm · 10 dm · 10 dm = 1000 dm3

7~PLVPR

Trabajemos ahora las unidades de capacidad.

UNIDADES DE CAPACIDAD

• 1 litro ( l ) es la capacidad de un cubo de 1 dm de arista.

1 litro = 1 dm3

Los múltiplos del litro son:

1 kl (kilolitro) = 10 hl1 hl (hectolitro) = 10 dal1 dal (decalitro) = 10 l

Los submúltiplos del litro son:

1 l = 10 dl (decilitro)1 dl = 10 cl (centilitro)1 cl =10 ml (mililitro)

Pasamos de una unidad a la inmediata inferiormultiplicando por 10.

Pasamos de una unidad a la inmediata superior dividiendopor 10.

7~PLVPR

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Bajar 1 lugar

Multiplicarpor 1000

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Dividir por1000

Subir 1 lugar

1 dm

1 litro

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza losejercicios 3 y 4 propuestos en el libro de actividades.

Un bidón de gasolinatiene 250 l de capacidad.

¿Cuántos ml son?250 · 1000 = 250.000 ml

¿Cuántos hl son?250 : 100 = 2´ 5 hl

La capacidad de un bote de bebida refrescante es de

33cl.

33 cl = 33 · 10 = 330 ml

33 cl = 33 : 10 =3´ 3 dl = 3´ 3 : 10 = 0´ 33 l.

: 10033 cl

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 5 y 6 propuestos

en el libro de actividades.




187

• Queda claro que dos cuerpos con el mismo volumen tienenla misma capacidad, aunque tengan distintas formas.

Veamos que tenemos varias relaciones para pasar deunidades de volumen a unidades de capacidad.

Hemos visto que : 1 l = 1 dm3.

Podemos deducir:

1 kl = 1000 l = 1000 dm3 = 1 m3Æ 1 kl = 1 m3

Ejemplo:

7~PLVPR

• Otras unidades

Los sistemas de medida han ido variando a lo largo deltiempo, siendo incluso distintas dentro del mismo país.

Aquí tienes algunas medidas que se usaban en la Rioja:

9CÁNTARA = 16 litros (para vino y aceite)..9CUARTILLA = 4 l.9AZUMBRE = 2 l. (para aceite vino y leche).9CUARTILLO = medio litro (para leche).9MEDIA LIBRA = 1/4 de l.9PIE DE OLIVA = 38 l.9TINAJA = 8 Cántaras, normalmente. También había

de 10, 16 y 20 cántaras.

1 ml = 1 cm31 l. = 1000 ml1 dm3 = 1000 cm3

1 l = 1 dm3

1 kl = 1 m3

1 ml = 1 cm3

1.000 l = 1 m3

Si tenemos una piscina de 80 m3 y el grifo es capaz de

llenar 15 litros por minuto. ¿Cuánto tiempo necesitamos

para llenar la piscina?.

80 m3

= 80 · 1000 = 80.000 l.

80.000 : 15 =5.333´ 33 minutos.

5.333´ 33 minutos = 3 días 16 horas 53 minutos 20

segundos.

1 día = 24 horas1 horas = 60 minutos1 minuto = 60 segundos

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicio 7 y 8propuestos en el libro de actividades.

EL SÍNDICO: era un

concejal del Ayuntamiento(tercera persona enimportancia en el Ayto, 1ºel Alcalde, 2º el Tte.Alcalde y 3º el Síndico)que guardaba las medidasoficiales

El síndico servía paraREFERIR, es decir, teníalas referencias o lasmedidas oficiales cuandohabía una disputa demedidas entre vecinos.




197

8WLOL

]DPRVOD.

DO.XODGRUD

Recuerda que no todas las calculadoras funcionan de la mismamanera. Si tu calculadora no responde a éstas órdenes consultasu manual de funcionamiento.

3 x

Esta tecla calcula la raíz cúbica de cualquier número.

Calculemos 3 34331000 − y

1000 3 x = 10 Æ 103 = 1000

343 +/- 3 x = -7 Æ (-7)3 = - 343

¿Cuánto debe medir la arista de un cubo, para que su capacidadsea de 2 l.?

2 l = 2000 cm3

volumen del cubo = arista3 Æ 2000 = a3

a = 3 2000

con la calculadora Æ a = 2000 3 x =12´ 6 cm

7~PLVPR

x

índice

3 x es la operacióninversa de x3 .

Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 29 propuesto enel libro de actividades.




198

1RRROY

LGHV

•

Un poliedro es un espacio cerrado limitado por polígonos. Los principales poliedros son:Poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro

Prismas: las base son polígonos paralelos y las cara laterales son paralelogramos.

Pirámides: la base es un polígono cualquiera y las caras laterales son triángulos queacaban todos en un vértice común.

• Un cuerpo de revolución se genera al hacer girar una figura plana 360º sobre uno de suslados. Los principales cuerpos de revolución son:

Cilindros: se genera al girar 360º un paralelogramo sobre una de sus lados.

Conos: se genera al girar 360º un triángulo rectángulos sobre uno de los catetos.

Esferas: se genera al girar 360º medio círculo sobre el eje de su diámetro.

• El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.

1dm3 es el espacio que ocupa un cubo de un 1dm de arista.

1 l. es la capacidad de un cubo de volumen 1dm3.

•

FIGURAS VOLÚMENES

AREAS

Prisma área de la base x altura 2 · área de la base + área de las caras laterales.

Pirámide 3alturabaseladeárea ⋅

área de la base +2

apotema xPerímetro

Cilindro π · r2 · h 2 · π · r2 + 2 · π · r · altura

Cono3

2 hr ⋅⋅π

Esfera 334

r ⋅⋅π 4 · π · r2



Formación Básica

de Personas Adultas




Cuader no de Act ividades

Unidades 1 a 4



Actividades Tema 1

202

3. Escribe los números decimales formados por:

a) Dos decenas, una unidad, cinco centésimas.

b) Tres centenas, dos décimas y tres milésimas.c) Tres unidades de millar, cinco centenas y veintitrés centésimas.d) Una unidad de millón, una unidad y una milésima.

Operaciones básicas con números decimales.

1. Para sumar y restar números decimales tenemos que colocar la coma debajo de lacoma . 32’56 + 4’756 = 37’316 32’56

+ 4’75637’316

2. Para multiplicar números decimales se multiplica como si no se tratara de númerosdecimales y en el resultado se separa un número de cifras decimales igual a la sumade los decimales de los factores.

24’6· 2’5 = 6´ 150 24’6x 1’25

12304926´ 150

Si multiplicamos un decimal por la unidad seguida de ceros se desplaza la comahacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el número. Observa que almultiplicar el número crece.

32’5 · 1000 = 32500

3. Para dividir un número decimal entre un entero se procede como si fuera un númerodecimal, colocando la coma en el cociente cuando lleguemos a ella en el dividendo.

653’4 : 2 = 326’2 653’2 2

05 326’61312

0Si el divisor fuera un número decimal, multiplicamos dividendo y divisor por launidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor número de formaque este pierde todos los decimales. Luego dividimos como en el caso anterior.

78’24 : 2’5 = 782’4 : 25

Si dividimos un decimal por la unidad seguida de ceros se desplaza la coma haciala izquierda tantos lugares como ceros tenga el número. Observa que al dividir elnúmero disminuye.

32’5 : 1000 = 0’0325



Actividades tema 1

203

4. Calcula el resultado de estas expresiones:

a) Suma cuarenta y dos enteros, tres décimas a cuatro enteros, veintidós milésimas.b) Resta setenta y dos centésimas a una unidad.c) El triple de ocho unidades, siete décimas.d) El número 100 veces mayor que 2’5.e) La décima parte de 2’5.

5. Completa:

En 9 unidades hay _____ décimas.

En 16 centenas hay _____ unidades.En 18 decenas hay _____ décimas.En 130 décimas hay _____ unidades.En 1000 centésimas hay _____ unidades.En 170 milésimas hay _____ décimas.

6. Calcula el resultado de estas operaciones:

a. 32’7 · 0’004b. 0’04 · 1000c. 2’1 · 100d. 245’4 : 6e. 245’2 : 0’4f. 3’05 : 100g. 589’06 : 10



Actividades Tema 1

204

7. Compara estas cantidades utilizando los signos =, >, <:

a. 3’5 y 3’05b. 0’1 y 0’110c. 0’1 y 0’100d. 21’02 y 21’2

8. Aquí tienes un cheque. Has de rellenarlo, al portador, con los siguientes datos:

Cantidad: 1327’3 ¼

Fecha: 17/9/2002

• Un cheque es una orden de pago a una entidad bancaria, por la persona que loextiende, con cargo a la cuenta corriente que tenga abierta en ella.

• Los cheques pueden ser:• Nominativo. Solo lo puede cobrar la persona a favor de la que se

extiende• Al portador. Lo podrá cobrar la persona que lo posea. Puede dar

problemas en caso de extravío.•

Cruzado. Solo se puede pagar abonándolo en una cuenta de la persona opersonas indicadas.• Conformado. El banco emisor ha de indicar de forma explícita que se

trata de un documento auténtico y de la existencia de fondos, los cualesmantendrá bloqueados hasta que se efectúe el pago.

• Tanto la fecha como la cantidad han de ir en letra.

El significado de estos signos.

< … menor que … ; > … mayor que …



Actividades tema 1

205

222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS MMMÁÁÁSSS NNNÚÚÚMMMEEERRROOOSSS

9. Observa los siguientes posibles titulares de prensa asociados a la misma noticia ypublicados por diferentes diarios e indica la cifra a la que han realizado cada uno de ellosel redondeo.

a.$ODPD

QLIH

V

W

D.

LyQDVLV

WLHURQSHUVRQDV

$ODPD

QLIH

V

W

D.

LyQDVLV

WLHURQS

HUV

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BANCO”TAL” CÓDIGO CUENTAC/ Valencia s/n ENTIDAD OFICINA CONTROL CUENTAValencia 1111 1111 11 1111111111

Euros_________________________PÁGUESE PO ESTE CHEQUE A _______________________________________________________EUROS ___________________________________________________________________________________________________________________________ de ____________________ de ____________

Serie Z 1111111-1Firma del titular de la cuenta



Actividades Tema 1

206

10. Cálculo mental. Estima los resultados de las siguientes operaciones y explica cómo lo has

hecho.

a) 14’67 x 4’02b) 2532 : 53

11. Cálculo mental. Calcula el resultado de la siguiente expresión:

a) 20 x 4’53 x 5 x 10 =b) 25 + 130 + 75 + 70

12. Calcula el valor de la letra en estas expresiones.

a) (3 + a) : 2 = 4b) b · 5 – 4 = 26c) 7 + 10 : c = 12

Orden para realizar operaciones combinadas:1º. paréntesis2º. multiplicaciones y divisiones3º. Sumas y restas.



Actividades Tema 1

208

16. La ecotasa balear.

a. Calcula el importe que supone a una familia de

4 miembros la ecotasa si durante susvacaciones se alojan 8 días en un hotel de 2estrellas y otros 8 días en un camping.

b. Fíjate en quién la paga y cuál es el destino de larecaudación. ¿Cuál es tu opinión al respecto?.

333... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS NNNÚ

ÚMMMEEERRROOOSSS NNNEEEGGGAAATTTIIIVVVOOOSSS17. Observa los siguientes datos del padrón de Enero del año 2000 publicados el 4 de Agosto

de 2001 y contesta a las siguientes cuestiones

a) Observa la variación de Asturias, Castilla y León, Extremadura, Galicia y La Rioja.¿Qué significa el signo – que aparece junto a los datos de la última columna?.

b) Ordena las variaciones de estas comunidades con respecto al padrón de 1996 de menora mayor.

c) Entre la mayor y la menor variación, ¿cuál es la diferencia?.d) Calcula el número de habitantes que se registraron en el padrón de 1996 en las

siguientes comunidades: Andalucía, Asturias, Cantabria, Castilla y León, Murcia.



Actividades tema 1

209



Actividades Tema 1

210

18. Calcula mentalmente:

a) 23 + 17

b) 23 + ( - 17)c) 23 + ( - 17)d) 23 + 27

19. Calcula realizando la asociación sugerida en el libro de texto:

a) 23 – 17

b) 23 - ( - 17)c) 23 - ( - 17)d) 23 – 27

20. Continúa las series hasta que cada una de ellas tenga 7 números.

a) 9, 6, …b) 7, 4, …c) –4, -7, …

21. Calcula y completa el cuadro:

a) 5 · 3b) 5 · ( - 3 )c) 5 · 3d) 5 · ( - 3 )

VARIACIÓN RESULTADO

Me dan 5 veces 3 ________________________________ ________________________________ ________________________________ _________________

Asociación sugerida en el tema para facilitar la comprensión de las operaciones connúmeros enteros:

Sumar = darRestar = quitarNúmero positivo = dinero en efectivoNúmero negativo = deuda



Actividades tema 1

211

22. Calcula:

a) (-5) · 3b) (-6) · ( - 3 )

c) -5 · 8d) 4 · ( - 2 )

23. Calcula siguiendo las reglas conocidas.

a) 5 · 4 + 8 (5– 12 )b) 3 ( 6 + 2 ) – 25c) 8 – 4 ( 3 – 5 ) + 4 · 2d) (3 5 + 8)· (7-10+1)

24. Observa una parte de una libreta de ahorro.

FECHA CONCEPTO INGRESO/REINTEGRO SALDO6/4/02 Saldo anterior 13’7 ¼

10/4/02 Factura luz - 10’25 ¼

15/4/02 Ingreso efectivo 20 ¼

20/4/02 Cheque caja - 18’3 ¼

Calcula el saldo del día 20.

25. La temperatura de un lugar era de –4ºC a las 6 de la mañana, a las 3 de la tarde habíaaumentado en 11ºC y a las 8 de la noche había descendido otros 9ºC más. ¿Quétemperatura hacía a esta última hora?.

26. A continuación te presentamos las fechas de nacimiento y muerte de tres emperadoresromanos:

Octavio Augusto ( desde 63 a. C. al 14 d. C .);Tiberio ( desde 42 a. C. al 37 d. C .)Claudio ( desde 5 a. C. al 69 d. C .)



Actividades tema 1

213

31. Calcula:

a) (-6)2 =b) (-3)5 =

c) (-5)0 =d) (-2)8 =e) (-2)5 =

32. Calcula:

a) (2’1) 2 =b) (0’001) 3 =c) (0’75) 0 =d) (0’2) 8 =e) (0’02) 4 =

33. Una empresa de transporte cuenta con una flota de 10 camiones. Cada uno de ellos tienecapacidad para transportar 10 contenedores con una capacidad, a su vez, de 10 toneladas.Si un cliente le pregunta por los kilogramos que puede transportar su flota, ¿cuál será surespuesta?. Exprésala utilizando potencias.

34. Completa esta tabla:

Valor 1 16 25 64 100 121 144 169 1.000.000

Raíz cuadrada ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

35. Calcula:

a) 3 125

b) 4 16

c) 25−

d) 3 125−

e) 44'1

f) 3 008'0

g) 4 00000001'0

La raíz cuadrada es la operación contraria al cálculo del cuadrado de un número.



Actividades tema 1

215

6. Las divisiones relacionadas con la operación 3 · 4 = 12 son:

a) 12 : 3 = 4 y 3 = 12 : 4 b) 3 = 4 : 12 y 4 = 3 : 12

c) 43

= 12 y 34

= 12 d) Ninguna de las anteriores.

7. El número que falta para que se cumpla esta igualdad 3 = 64 es:

a) 16 b) 8 c) 4 d) 32

8. La raíz cuadrada de - 144 es:

a) 72 b) 12 c) 16 d) No existe

9. Si el lado de un cuadrado mide 4 unidades, su perímetro es:

a) 4+4+4+4 b) 4 · 4 c) 16 d) Todas las respuestas son buenas10. Si el área de un cuadrado es de 36 unidades cuadradas, la medida del lado es:

a) Raíz de 36 b) Raíz cuadrada de 36 c) 362 d) 36 : 4

11.La expresión en números romanos del número 2.472 es:

a) MMCCCCXXXXXXXIIb) MMCCCCLXXIIc) MMCDLXXIId) MMCDXXXCII

Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario

“He conseguido …“

YAdquirir una idea de la evolución de los sistemas de numeración hasta nuestros días.

YExpresar cantidades en la numeración romana y reflexionar sobre el uso actual de estanumeración.

YAnalizar las relaciones que se dan entre los términos de una suma y una multiplicación.

YAprender a redondear cantidades muy grandes o con muchas cifras decimales.

YRealizar operaciones encadenadas respetando las prioridades establecidas.

YCalcular potencias y raíces cuadradas y aplicarlas a la resolución de problemas sencillos.

“Aún tengo dificultades en …”

“TENGO DUDAS EN”

Y.................................................................................................................................

Y.................................................................................................................................

Y.................................................................................................................................

Y.................................................................................................................................



Actividades Tema 1

216

“En cuanto a las actividades…”

YMi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.

YTengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.

YMe ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre estetema puedo realizar las actividades de ampliación.

"$5*7*%"%&4 %& 3

&'6&3;0

1. Escribe en el sistema decimal las siguientes cantidades:

a) Mil cuarenta enteros y cuatro centésimas. …………………….b) Setenta enteros y veinticinco milésimas. …………………….c) Tres millones seiscientas mil. ……………………….d) Dos billones y medio ……………………

2. Escribe un número comprendido entre:

a) 3’5 y 3’6 ……………………..b) 35 y 36 …………………..c) 3’05 y 3’6 ……………………..

3. Siguiendo el estudio realizado en el apartadoHACEMOS MÁS NÚMEROS, Aprendemospracticando del libro de texto, calcula tucapacidad de ahorro mensual redondeando elresultado a las decenas de euro.

4. Simplifica estas expresiones utilizando potencias o productos:

a) 3 + 2 · 2 · 2 · 2b) 4 · 4 · 4 · 4 + 4 + 4 + 4 + 4c) 5 + 5+5 – 3 + 7 · 7 · 7

Un millón de millones es un billón. Un millón de billones es un trillón. Así sucesivamente.

Una potencia es la expresión simplificada de un producto de varios factores iguales y lamultiplicación es la expresión simplificada de una suma de varios sumandos iguales.



Actividades tema 1

217

"$5*

7*%"%&4 %& ".1-*"$*0/

1. Busca e indica situaciones en las que se utilicen números romanos.

2. Si las actuales matrículas de vehículos constan de 4 números y 3 letras, en las que no seincluyen las vocales, calcula el número de vehículos que se podrán matricular medianteeste procedimiento.

3. Como sabes, el resto de una división ha de ser menor que el divisor. Y, como tambiénsabes, el NIF o Número de Identificación Fiscal está compuesto por el número del DNI alque se le añade una letra.Tras descartar algunas de las letras (I, Ñ, O, U) han quedado 23 válidas, pero, ¿cuál es elcriterio para asignarlas?.

Se acordó asociar, aleatoriamente, un número del 0 al 22 a cada una de las letras. Según elresto que resultase de la división del número del DNI entre 23, que sería un númerocomprendido entre 0 y 22, se otorgaba la letra correspondiente.

Según esto, calcula:

a) El resto que le corresponde a tu letra del NIFb) Calcula otros dos números que compartan la misma letra que tu.

4. Calcula de dos formas diferentes el resultado de estas expresiones:

a) 3(4 + 7)b) 8(5 – 2)c) 15– 2(7 – 4)



Actividades Tema 1

218

5. Observa la siguiente información que, sobre siniestralidad laboral, se publicó en prensa.

a) Compara los datos referidos al año 2000 y al 2001.

b) ¿Qué comunidades han contribuido negativamente al crecimiento de la siniestralidadlaboral?c) ¿Se puede afirmar, a la vista de los datos que en Murcia ha habido menos accidentes

que en Navarra?. Explica tu respuesta.

6. Las bacterias se reproducen por bipartición. Imagina que el periodo de reproducción deuna especie de bacterias es de dos horas. Si en un momento determinado se recuenta en un

cultivo una colonia de 1.000 bacterias, ¿cuántas habrá al día siguiente a la misma hora?.Expresa las operaciones utilizando potencias de 10.

7. Un atleta entrena alrededor de un parque cuadrado de 10.000 m2 de superficie. Para podercorrer un kilómetro, ¿cuántas vueltas tendrá que dar al parque?.

El signo negativo puede tener varios significados. Puede indicar que un número es menor

que el “cero” que hemos fijado como referencia o una variación negativa.



Soluciones tema 1

219

Solucionario

Soluciones del libro de actividades

1. Aplicando las reglas seguidas en la escritura de números romanos: XCVII = 97; MMMCCLXXIV = 3274;

MCDVI = 1406; DLXXIV = 574; MLXXVII = 1077; XXVII = 27; DXLIV = 544; 7612= DCXII VII

2. Teniendo en cuenta que no existió el siglo 0 ni el siglo 0 a. C.:

HECHO HISTÓRICO Y AÑO SIGLO

Descubrimiento de América (1492) XV

Revolución francesa (1789) XVIII

Fundación de Roma (753 a. C.) VIII a C

Nacimiento del emperador Tiberio (42 a. C.) I a C.

3. a) 21’05; b) 300’23; c) 3500’23; d) 1000001’001.

4. a) 42’3 b) 1 c) 8’7 d) 2’5 · 100 = 250 e) 2’5 : 10 = 0’25+ 4’022 - 0’72 x 3

46’322 0’28 26’1

5. En 9 unidades hay 90 décimas.

En 16 centenas hay 1600 unidades.

En 18 decenas hay 1800 décimas.En 130 décimas hay 13 unidades.

En 1000 centésimas hay 10 unidades.

En 170 milésimas hay 1’7 décimas.

6. a) 0’1308; b) 40; c) 210; d) 40’9; e) 2452 : 4 = 613; f) 0’0305; g) 58’906.

7. Hemos de considerar que una unidad de un orden cualquiera es diez veces superior a la inmediatamente

anterior. Así: a) >; b) <; c) =; d) <

8. Cantidad: Mil trescientos veintisiete euros y tres décimos.

Fecha: Diecisiete de Septiembre de dos mil dos.9. a) En 34.000 personas se redondea a la unidad de millar, en 33.600 personas se redondea a la centena y en

30.000 personas se redondea a la decena de millar.

b) En 98% se redondea a la unidad, en 97' 76% se redondea a la centésima y en 97' 8% se redondea a la

décima.

10. a) Redondeando: 15 · 4 = 60

b) Redondeando: 2500 : 50 = 50

11. a) Alterando el orden de los productos de manera conveniente para facilitar el cálculo: 20 · 5 · 10 · 4’53 =

100 · 10 · 4’53 = 1000 · 4’53 = 4530

b) Alterando el orden de las sumas: 25 + 75 + 130 + 70 = 100 + 200 = 300

12. Seleccionando la operación adecuada en cada momento, considerando las relaciones existentes entre sumas

y restas por un lado y productos y divisiones por otro.

a) 3 + a = 4 · 2; a = 4 · 2 – 3 = 5

b) b · 5 = 26 + 4; b = (26 + 4) : 5 = 6

c) 10 : c = 12 – 7 ; c = 10 : (12 – 7) = 213. a) Triple del resultado de restar 2 a 6 menos el triple de 2 más la mitad de 8

3 · 4- 3 · 2 + 8 : 2 = 12 – 6 + 4 = 8

b) 7 menos la mitad de 6 más el cuádruplo del resultado de sumar 3 y 5.

7 – 6 :2 + 4 · 8 = 7 – 3 + 32 = 36

c) 2 mas el triple de 4 menos la mitad del resultado de sumar 3 a 5.

2 + 3· 4 – (5 + 3): 2 = 2 + 12 – 8 : 2 = 1 + 12 – 4 = 13 – 4 = 9

d) cinco veces el resultado de sumarle a 6 la mitad de 4, menos 3 más cinco veces 4.

5(6 + 4:2) – 3 + 5· 4 = 5(6 + 2) – 3 + 20 = 5 · 8 –3 + 20 = 40 +20 –3 = 60 – 3 = 57

14. a) 3· 2 + 3· 5 = 3(2 + 5)

b) 4· 5 + 6· 4 – 3· 4 = 4(5 + 6 – 3)

c) 12+9+27= 3· 4 + 3· 3 + 3· 9 = 3(4 + 3 + 9)

d) 45 – 15 = 15· 3 – 15· 1 = 15(3 – 1)



Soluciones tema 1

221

28. a) 81

b) 125

c)1

d)4106

29. a) 2’5 · 1000000 = 2’5 · 106

b) 34’7 · 1012, pues un billón es un millón de millones.c) 25 · 10000 = 25 · 10

4

d) 0’5 · 1018

= 5 · 1017

, pues un trillón es un millón de billones.

30. a) 32

= 9....................3 · 3

b) 33

= 27 ................. 3 · 3 · 3

c) 54

= 625 ................5 · 5 · 5 · 5

d) 62= 36 .................. 36 = 6 · 6

e) 33

= 27 .................. 27 = 3 · 3 · 3

f) 53

= 125................125 = 5 · 5 · 5

31. a) 36

b) –243

c) 1

d) 256

e) –32

32. a) 2’31b) 0’000000001

c) 1

d) 0’00000256

e) 0’00000016

33. 10camiones · 10 conten. · 10 toneladas · 1000Kg = 1.000.000 = 106Kg. Recuerda 1Tn = 1000Kg= 10

3Kg.

34.

Valor 1 16 25 64 100 121 144 169 1000000

Raíz 1 4 5 8 10 11 12 13 1000Porque 1

2= 1; 4

2= 16; 5

2= 25; 8

2= 64; 10

2= 100; 11

2= 121; 12

2= 144; 13

2= 169; 1000

2= 1000000

35. a) 5

b) 2

c) No existe

d) –5

e) 1’2f) 0’2

g) 0’01

36. Si para calcular la superficie del cuadrado multiplicamos la medida del lado por sí misma, utilizando el

cuadrado, en este caso tendremos que utilizar la operación contraria, la raíz cuadrada.

1024 = 32 baldosas de lado.

Soluciones autoevaluación

1. b ( se calculan antes la multiplicación y la división: 10 + 12 – 8 = 14).

2. a (52’7 = 11’2 + 0’07 · x, siendo x el número de minutos. Calculamos: 0’07 · x = 52’7 – 11’2 = 41 ‘ 5; x =

41’5 : 0’07 = 592’86).

3. a .4. a.

5. b (al redondear a la centésima tenemos que dejar dos cifras decimales teniendo en cuenta la tercera que, en

este caso, el ser mayor que 5 añadimos 1 a la cifra de las centésimas) .

6. a.

7. c ( pues 64 = 4 · 4 · 4).

8. d ( pues no existe la raíz cuadrada de un número negativo).

9. d ( el perímetro es la medida total de todos sus lados. Al ser todos iguales se puede expresar en forma de

suma o de multiplicación y en ambos casos el resultado es 16).

10. b ( si para calcular el área elevamos al cuadrado la medida del lado, tenemos que calcular el número que al

elevarlo al cuadrado nos de 36 y esto equivale a calcular la raíz cuadrada).

11. c (única expresión que sigue las reglas de la numeración romana).



Soluciones tema 1

222

Soluciones actividades de refuerzo

1. Teniendo en cuenta las reglas de la numeración decimal, el valor de las cifras de cada orden, y el “recuerda”del libro de actividades.

a) 1040’04

b) 70’025

c) 3.600.000

h) 2.500.000.000.000

2. Existen infinitos para cada caso. Ejemplos:

a) 3’51

b) 35’3

c) 3’2

3. Seguir el estudio realizado en el apartado indicado del libro de texto.

4. Una multiplicación es una suma de sumandos repetidos y una potencia es un producto de factores repetidos.

a) 3 + 24

b) 44

+42

c)3 · 5 – 3 + 7

3

Soluciones a las actividades de ampliación:

1. a) Tomos de libros, carreteras nacionales, jornadas, reyes, siglos, capítulos, festivales,…

2. Si tenemos en cuenta que sólo se consideran 22 letras válidas al eliminar las vocales, tendremos 10000

números diferentes incluyendo el 0000 y, por cada uno de ellos un total de 22 · 22 · 22 letras. En

total 22 · 22 · 22 · 10000 = 106. 480.000.

3. a) Lo calcularemos con un ejemplo. Sabemos que al número de DNI 05171299 le corresponde la letra W.

Calculamos el resto de dividir 5171299 entre 23 y vemos que es 21, luego al resto 21 le corresponde la letra

W.

b) Para calcular otros números a los que les corresponda la misma letra multiplicaremos un número

cualquiera (cociente) por 23 y le sumaremos 21.

4. Priorizando operaciones Quitando paréntesisa) 3· 11 = 33 12 + 21 = 33

b) 8· 3 = 24 40 – 16 = 24

c) 15 – 2· 3 = 15 – 6 = 9 15 – 14 + 8 = 9

5. a) Han aumentado tanto los accidentes en general como los accidentes mortales en itinerario. En 13

autonomías han aumentado y en 4 han disminuido los accidentes, aunque en general, en España, han

aumentado un 5’8%.

b) Navarra, Aragón, La Rioja, Murcia.

c) Ha bajado un 5’5%, pero podía partir de una cantidad mayor.

6. Se habrán reproducido 12 veces en 24 horas. Cada bacteria habrá dado lugar a 212

bacterias, luego el número

de bacterias será de 1000 · 212

, o sea, 4096000 de individuos.

7. El lado del parque será 10000 = 100 metros de lado.

El perímetro será de 100 · 4 = 400 metros.

Para recorrer 1000 metros (1 km), tendrá que dar 1000 : 400 = 2’5 vueltas.



Actividades tema 2

224

4. Imagina que mañana es tu cumpleaños y quieres celebrarlo cenando con tus dos mejores

amigos. Ambos trabajan a turnos y libran de noche el primero cada 12 días y el segundo

cada 20 días. Si hoy han coincidido con la noche libre, ¿cuándo podréis celebrar tu

cumpleaños según tus planes?. ¿Y si librasen cada 3 y 5 días respectivamente?.

5. Calcula el máximo común divisor de los siguientes grupos de números utilizando en cada

caso un método diferente:

a) 15 y 50

b) 12 y 20

c) 4 y 7

Otro método para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor

utiliza la descomposición en factores primos.

a. Para el cálculo del máximo común divisor, una vez descompuesto los números que

nos interesan en factores primos, el máximo divisor común será el número formado

por los factores primos comunes con el menor exponente.

Ejemplo: m.c.d. (180, 24)

1º . Descomponemos en factores primos: 180 = 22·

·3

2· 5 y 24 = 2

3· 3

2º . Elegimos los factores primos comunes: 22

y 3

3º . Los multiplicamos consiguiendo así el m.c.d. de los números propuestos:

m.c.d. (180, 24) = 2

2

· 3 = 12

b. Para el cálculo del mínimo común múltiplo, una vez descompuesto los números que

nos interesan en factores primos, el mínimo múltiplo común será el número

formado por los factores primos comunes y los no comunes de mayor exponente.

Ejemplo: m.c.m. (180, 24).

1º . Descomponemos en factores primos: 180 = 22·

·3

2· 5 y 24 = 2

3· 3

2º . Elegimos los factores primos comunes y los no comunes: 23, 3

2y 5

3º . Los multiplicamos consiguiendo así el m.c.m. de los números propuestos:

m.c.m. (180, 24) = 22· 3

2· 5 = 180



Actividades tema 2

225

6. Juan puede acceder a su trabajo utilizando tres líneas de metro distintas: la límea 5, la 7 y

la 11. La primera pasa por la estación cada 5 minutos, la segunda cada 6 y la tercera cada

8. El servicio empieza a funcionar a las 5 de la mañana y parten las tres líneas al mismo

tiempo. ¿Con qué frecuencia vuelven a coincidir las tres líneas?. ¿Y la segunda y tercera

líneas?.

7. Un fabricante de sillas tiene una tirada de 60 sillas a la hora. Ha comprado una máquina

empaquetadora. ¿De cuántas piezas puede ser cada lote si los empaqueta cada hora y

quiere que todos los lotes sean iguales?.

8. Quiero instalar en mi casa una depuradora individual de las aguas residuales con el

objetivo de reutilizarlas para regar el jardín. He comprado los materiales necesarios y el

repartidor del centro pasa por la zona donde se encuentra mi domicilio todos los viernes.

Si el fontanero que me lo tiene que instalar quiere aprovechar el día libre que le da la

empresa, uno cada cuatro días de trabajo, y no quiero tener los materiales almacenados en

casa ,¿cuándo podré realizar la instalación si he comprado los materiales un viernes y

coincide que ese día lo ha tenido libre el fontanero?.



Actividades tema 2

227

b) En una ciudad turística de la costa levantina, de cada 10 turistas que recibe, 5 son

europeos, 2 son procedentes del resto del mundo y 3 son turistas nacionales. Expresa

estas cantidades en forma de fracción.

13. Expresa en forma decimal y en forma porcentual las siguientes cantidades:

a) 4/5

b) 6/10

c) 13/25

14. Escribe tres fracciones que sean propias y otras tres que sean impropias.

15. Expresa en forma de fracción una cantidad que sea superior al 100% y exprésala luego enforma decimal y porcentual.

16.

Este es el famoso cubo de Rubik. Cada una

de sus caras está formada por cuadradosque, al finalizar el juego serán todos del

mismo color y diferentes de los cuadrados

de otras caras.

a) Expresa, mediante una fracción que

utilice como denominador el número

total de cuadrados, la cantidad de

superficie del cubo de color blanco.

b) Expresa, mediante una fracción que

utilice como denominador el número

total de caras, la cantidad de superficie

del cubo de color blanco.



Actividades tema 2

228

c) ¿Cómo son estas fracciones entre sí?.

17. Obtén la fracción irreducible de las siguientes fracciones:

150

50,

120

30,

8

2,

10

5,

9

3,

106

53

Después identifica las que sean equivalentes entre sí.

18. Escribe en forma de decimal los siguientes porcentajes:

a) 16%

b) 34%

c) 80%

d) 120%

19. Cálculo mental. Expresa en forma de fracción:

a) 25%

b) 50%

c) 75%

d) 20%

e) 150%

Una misma cantidad puede ser expresada en forma de fracción, decimal o

porcentual. Existen diferentes procedimientos para pasar de una forma a la

otra. Los puedes repasar en este apartado del libro de texto.



Actividades tema 2

229

20. Observa la siguiente tabla en la que figura el marcador final de un partido de baloncesto

entre el Real Madrid y el Tau Vitoria y las puntuaciones individuales conseguidas por

cada uno de los jugadores para su equipo.

a) Expresa en forma de fracción y porcentual lapuntuación conseguida por Herreros.

b) Expresa en forma de fracción y porcentual la

puntuación total obtenida por Djordjevic.

c) Expresa en forma de fracción y porcentual la

puntuación conseguida por cada uno de los jugadores

del Tau Vitoria.

21. Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor:

50

8

,10

4

,5

1

,10

3

,5

3

22. Calcula:

a) =+

5

4

5

2

b) =+

5

1

3

2

c) =−+

2

1

2

5

2

3

d) =−7

1

5

2

e) =

4

2·

3

1

f) =

5

3:

3

2

g) =

+

5

1

4

2

2

11

h) =+

7

6·

5

2

3

1



Actividades tema 2

230

23. Resuelve:

a) Calcula el número de botellas de vino de ¾ de litro se podrán llenar con los 50 litros

de un tonel.

b) En la recogida de fruta de un terreno cada remolque que se llena supone los 3/14 del

total. Si los 2/3 de cada remolque son frutas que han de madurar en cámaras, expresaen forma de fracción la cantidad de fruta que se puede consumir directamente de cada

remolque.

c) La venta de cerveza sin alcohol se realiza en envases de 1/5 o de 1/3 de litro. Calcula

cuándo se adquiere más bebida, al comprar 6 botellas de 1/5 de litro o al comprar 4

botellas de 1/3 de litro.

24. Resuelve:

a) Una máquina fabrica 30 piezas en 3/4 de hora. ¿cuántas piezas fabricará al cabo de 60

horas?

b) Calcula la fracción de balsa de riego que queda si un regante utiliza 3/7 del total y otro

1/3 de lo que queda.

25. Las necesidades calóricas aproximadas por persona y día son:

Adultos Adolescentes

Hombres 2500 a 4000 3000 a 3500Mujeres 2100 a 3000 2900 a 3200

El 15% deben ser aportadas por proteínas, el 55% por hidratos de carbono y el 30% por

grasas.

Calcula las calorías que deben aportar cada uno de los principios básicos en el caso de los

adultos.



Actividades tema 2

232

30. Calcula la ganancia, en términos de porcentaje, que obtiene un comerciante en los

artículos vendidos en el periodo de rebajas si carga un 70% sobre el precio de coste en

temporada y aplica después una rebaja general del 30% a sus artículos.

31. Observa la siguiente información que sobre las reservas de agua de una zona se publicó en

prensa:

a) Calcula la capacidad total de las reservas acuíferas.

b) Calcula el porcentaje “perdido” en el último día

con respecto al que había el 15/8/01

c) Calcula el porcentaje en que han aumentado las

reservas con respecto a la misma fecha del año

anterior.

32. En la fabricación de un kilo de papel reciclado se utiliza papel usado, 2000 l de agua y 2’5

kw de energía. Si el papel no es reciclado se necesita 2’1 k de madera, 150000 l de agua y

6200 kw de energía. Calcula el ahorro de las tres materias primas si se fabrica papelreciclado y exprésalo en porcentajes.



Actividades tema 2

234

36. La dueña de una tienda de confección carga el precio de los artículos que ha adquirido en

el mayorista con el 50%.

En rebajas, con el objeto de vender todos los artículos de la temporada, rebaja el 50% a

las piezas que no ha vendido, con la idea de no perder ni ganar nada con respecto alprecio de compra. ¿Crees que es acertada esta medida?

2. MEDIMOS EL TIEMPO

37. Si A = 3 h 25’ 32’’, B= 2h 30’45’’, calcula:

a) A + B

b) A – Bc) 3 · A

d) B : 3

38. Una ONG quiere realizar un envío de medicamentos a un campamento que ha instalado en

un país del tercer mundo. Quiere calcular la duración del vuelo que lo transportará para

tomar las medidas oportunas para la conservación de las medicinas. En la agencia le

indican que el avión sale a las 13h 15’y llega a las 14h 10’.



Actividades tema 2

235

39. Una persona quiere grabar en una cinta de VHS de cuatro horas, de la que ya ha utilizado

2horas y 45 minutos, un programa de 43 minutos. Calcula el espacio que le quedará libre

en la cinta.

40. A un paciente le han recomendado que practique diariamente la natación para ayudar a su

rehabilitación. Su trabajo le permite dedicarle 2 horas y 40 minutos al día. Calcula el

tiempo que dedica a la natación semanalmente si los domingos la piscina permanece

cerrada.

41. Durante el viaje de fin de curso a Sevilla, los alumnos de un centro de FPA realizan el

siguiente recorrido: toman el tren en Valencia a las 3:45 y llegan a Córdoba a las 11:15.

Después de visitar la ciudad vuelven a coger el tren a las 17:05 llegando a Sevilla a las

19:50. Calcula el tiempo que han permanecido en el tren en los dos viajes.



Actividades tema 2

236

42. Una persona que realiza solamente llamadas provinciales quiere realizar un estudio para

ver con qué compañía contrata sus servicios de telefonía fija.

Para ello decide calcular cuál habría sido el coste de un mes aplicando las tarifas de dos

de las compañías que le parecen más competitivas.

TarifasCompañía A Compañía

Llamadas provinciales Euros/min. Euros/min.

8h a 20h (L–V) 0’06 0’03

20h a 8h (L–D) 0’03 0’03Notas La compañía A no cobra establecimiento de llamada.

La compañía B cobra 0’09 euros por est ablecimiento de llamada.

Consumos

En el libro de texto se realiza un estudio comparativo del precio de las

llamadas telefónicas entre varias compañías. Lo puedes repasar en esteapartado del libro de texto.



Actividades tema 2

237

Realiza el estudio y extrae conclusiones.

43. Observa la programación de los cinco canales públicos y privados nacionales y contesta:

a) Duración del programa “Cartelera”que se emit e por TVE-1

b) Sistema en el que se expresan las horas.

c) Expresa en ambos sistemas el horario de comienzo de “Informe semanal”.



Actividades tema 2

238

"6

50&7"-6"$*0/

Cuestiones de autoevaluación.

1. Contesta verdadero o falso:

a) 3 es múltiplo de 27

b) 3 es divisor de 27

c) 3 es divisible entre 27

d) 27 es divisible entre 3.

2. La descomposición en factores primos de 60 es:

a) 6 · 10b) 22

· 5 · 3

c) 22

· 52

· 3

d) 6 · 5 · 2

3. La afirmación verdadera es:

a) 30% = 30

b) 3% = 3:100

c) 3% = 0’3

d) 3% = 3 · 100

Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:

a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de

actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la que

aparece en el solucionario consulta con tu profesor.

b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una idea de tu

aprendizaje.

c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de refuerzo o

ampliación, o no es necesario.



Actividades tema 2

239

4. Los ¾ de 120 son:

a) 90

b) 160

c) 75%d) No se puede calcular

5. El resultado de4

1

3

2+ es:

a) 3/7

b) 2/12

c) 1

d) 11/12

6. La afirmación verdadera es:

a) 2/4 = 3/5

b) 2/4 = 50 · 100

c) 2/4 = 50%

d) 2/4 = 0’2

7. La fracción equivalente a 3/5 es:

a) 8/10

b) 6/10

c) 1/15

d) 5/3

8. El cálculo del 3% de 600 se realiza con la expresión:a) 600 · 0’3

b) 600 : 3

c) 600 · 0’03

d) 600 : 0’3

9. Una subida del 20% a 500 se calcula mediante la expresión:

a) 500 + 0’20

b) 500 : 1’2

c) 500 + 1’2

d) 500 · 1’2

10. Una subida del 10% y una bajada posterior del 50% a una cantidad es equivalente a:

a) Una subida del 40%.

b) Una bajada del 45%.

c) Una subida del 55%.

d) Una bajada del 55%.

11. La expresión decimal en minutos de 3 minutos y 40 segundos es:

a) 3’4

b) 3’67

c) 4’3

d) Ninguna es verdadera.



Actividades tema 2

240

12. La expresión sexagesimal en minutos de 6’2 minutos es:

a) 6’12’’

b) 6’2’’

c) 2’6’’d) Ninguna es verdadera.

13. Si un número lo multiplicamos por 0’3, en términos de porcentajes, podemos interpretar

que:

a) Le calculamos el 30%.

b) Le calculamos una bajada del 70%.

c) a y b son correctas.

d) Le calculamos una subida del 30%.



YIdentificar y calcular múltiplos y divisores de un número.

YDescomponer un número en factores o en factores primos.

YBuscar múltiplos y divisores comunes a varios números.

YComprender el significado de una fracción y su relación con los decimales y los

porcentajes.

YAprender el significado y calcular fracciones equivalentes.

YRealizar operaciones con fracciones en cálculos sencillos.

YRealizar cálculos que impliquen porcentajes utilizando el número decimal

correspondiente.


“TENGO DUDAS EN”

Y.................................................................................................................................

Y.................................................................................................................................

Y.................................................................................................................................

Y.................................................................................................................................




YMe ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este

tema puedo realizar las actividades de ampliación.



Soluciones tema 2

243

Solucionario


1.

a) Múltiplos de 15.Calcularemos los 6 primeros ya que son infinitos. Se obtienen multiplicando el 15 por,

1, 2, 3, …Æ 15 (15 · 1 ), 30 (15 · 2), 45 (15 · 3), 60 (15 · 4) , 75 (15 · 5 ), …

Divisores. Son los números que dividen a 15 exactamente Æ1, 2, 3, 5, 15.

b) Si procedemos igual para el resto de apartados obtenemos estos resultados:

Múltiplos: 20, 40, 60, 80, 100, …

Divisores: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

c) Múltiplos: 36, 72, 108, 144, …

Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

d) Múltiplos: 17, 34, 51, 68, 85, …

Divisores: 1, 17 (Se trata de un número primo).

2. a) 2100 2

50 5 100 = 2· 2· 5· 5 = 22· 5

2

25

5

3

b) 12 2 12 = 3· 2· 2 = 3· 22

4

2

3

c) 6

36 2 36 = 3· 2· 3· 2 = 32· 2

2

6 32

3

d) 12120 4 2 120 = 3· 2· 2· 2· 5 = 3· 2

3· 5

2

10 2

5

3. Tenemos en cuenta que cada 0 al final de la cantidad se descompone en dos factores primos, un dos y un

cinco

a) 10 · 10 · 10 = 2 · 5 · 2· 5 · 2· 5 = 23· 5

3

b) 12· 100 = 3 · 22

· 22

· 52

= 3 · 24

· 52

c) 36· 10 = 22· 3

2· 2 · 5 = 2

3· 3

2· 5

d) 35· 10000 = 5 · 7 · 24· 5

4= 2

4· 5

5· 7

4. Hemos de buscar el primer día que sea múltiplo de 12 y de 20 al mismo tiempo, luego hemos de calcular el

m.c.m.(12, 20)

Múltiplos de 12 12, 24, 36, 48, 60, 72, …

Múltiplos de 20 20, 40, 60, 80, …

El mínimo de los múltiplos comunes es el 60. Dentro de 60 días lo podré celebrar.

Procedemos de la misma forma en el caso de 3 y 5, pero utilizando otro método para calcular el mínimo

común múltiplo: tomamos el mayor, el 5, y comprobamos si es múltiplo de 3. Como no lo es probamos con

el 10, como tampoco lo es, con el 15,…Resulta que el 15 si es múltiplo de 3, luego ése es el mínimo común

múltiplo de ambos números. Dentro de 15 días lo podré celebrar.



Soluciones tema 2

245

17. Obtenemos las fracciones equivalentes:

3

1)50(:

150

50;

4

1)30(:

120

30;

4

1)2(:

8

2;

2

1)5(:

10

5;

3

1)3(:

9

3;

2

1)53(:

106

53======

Fracciones equivalentes entre sí son pues:

Las fracciones equivalentes indican la misma cantidad y por eso se pueden relacionar mediante el signo

igual.

18. Tenemos en cuenta que el 16% indica 16 de cada 100 y que 16'0100

16= . Igualmente en el resto de los

apartados.

a) 0’16

b) 0’34

c) 0’8

d) 1’2

19. Tenemos en cuenta que el 25% indica 25 de cada 100 y que4

1

100

25= .

a) ¼ b) ½ c) 3/4

d) 1/5 e) 3/2

20.a) 13 de 63 son 13/63 =0’2063 = 20’63%.

b) 9/63 = 1/7 = 0’14285= 14’29%.

c) Bennett y Nocioni: 9/71 = 12’68%Foirest: 23/71 = 32’39%

Tornasevi: 10/71 = 14’08%

Oberto: 4/71 = 5’63%

Corchiani: 3/71= 4’23%

Vidal: 7/71 = 9’86%

Socia: 6/71 = 8’45%.

21. Expresamos las fracciones con el mismo denominador, el mcm(50,10,5) = 5050

8,

50

20,

50

10,

50

15,

50

30.

Ahora está claro que50

8

5

1

10

3

10

4

5

3>>>> . A simple vista se observa que

5

1

5

3> y que

5

3

10

3< .

22.

a) Como tienen igual denominador sumamos los numeradores: =+

54

52

56

b) Al no tener igual denominador tenemos que buscar fracciones equivalentes con el denominador

coincidente:15

13

15

3

15

10

5

1

3

2=+=+

c) Como tienen igual denominador operamos los numeradores:2

7

2

153

2

1

2

5

2

3=

−+

=−+

d) Al no tener igual denominador tenemos que buscar fracciones equivalentes con el denominador

coincidente:35

9

35

5

35

14

7

1

5

2=−=−

e) Al ser un producto no necesitan tener el mismo denominador. Multiplicaremos los numeradores, para

obtener el numerador de la fracción producto, y los denominadores, para obtener el denominador de la

fracción producto. Simplificamos el resultado dividiendo numerador y denominador entre 2:

61

122

42·

31 ==

2525 25 25 50 50 2525 25 25

2020 20 20 20 50 50 50 50

8

2

120

30;

150

50

9

3;

10

5

106

53===



Soluciones tema 2

249


1.

a) 1/7

b) 7/30

c) 2 días y 6 h = 54 h y 1 semana = 168 h. La fracción es 54/168 = 27/84 = 9/28.

2. Calculamos los incrementos del 4% multiplicando cada cantidad por 1’04.

Calefacción......................... 4300’5 ¼........................... 4472’52 ¼

Limpieza.............................902’32 ¼........................... 938’41 ¼

Ascensor .............................1005 ¼ .............................. 1045’2 ¼

Otros ................................... 832’6 ¼............................. 865’9 ¼

TOTAL ........................... 7322’03 ¼

Corresponde a cada vecino (:10) .................................. 732’20 ¼

Corresponde a cada recibo (:12)................................... 61’02 ¼

3.

a) Mayor: España, Italia, Portugal

Menor: Grecia, Bélgica, Luxemburgo

b) En España, Italia y Portugal. En Alemania no ha variado.

4. 10’5 minutos son 630 segundos.

630 : 50 = 12.

Se podrán emitir 12 anuncios y sobrarán 30 segundos.

Soluciones a las actividades de ampliación

1. Calculamos el IVA(16%): 25’7 • 0’16 = 4’11. Por lo tanto, no está bien calculado.

Veamos qué porcentaje es 5’25 de 4’11: 5’25 : 4’11 = 1’2773. Se ha cobrado un 27’73% de más.

2. Interés simple: 1250•

(1+0’

0425•

3) = 1250•

1’

1275 = 1409’

375¼

Interés compuesto: 1250 • (1’0425)3

= 1416’24 ¼

3. Cada semestre producirá: 3000 • 0’05 = 150 ¼

Calculemos los semestres en que producirá 600 ¼

Tardará 4 semestres o, lo que es lo mismo, 2 años.

4. Aplicamos el cálculo correspondiente: 200 · (1’04)3

= 224’97 ¼

630 50

130 1230



Actividades tema 3

252

3. En la tabla siguiente aparecen los datos de superficies y población de cada continente

Sup. (millones de km2) Población (millones de hab.)

Europa 10’5 686África 30’3 452Oceanía 8’5 24Asia 44’4 2.580América 42 586

La densidad de población de una zona es la razón entre la población total de esa zona ysu área.a) Halla la densidad de cada uno de los continentes.b) Señala que continente tiene la densidad más alta.

4. Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 10 cm.a) ¿Cuánto miden los lados de otro

semejante cuyo perímetro es de 240cm.? Ayuda.- El perímetro es la suma detodos los lados.

b) El área del primer triángulo es:6 8

224

×

= cm2.

Halla el área del segundo multiplicandola base por la altura y dividiendo por 2.

c) Halla la razón que existe entre cada ladoy su correspondiente, entre los períme-tros de los dos triángulos y la que hay en-tre las dos áreas.

d) ¿Podemos afirmar que los lados yel perímetro están en proporción directa?

e) ¿Y las áreas?

6 cm

8 cm

10 cm



Actividades tema 3

253

5. Estos dos triángulos son semejantes ¿Cuánto miden ‘a’y ‘b’?

6. Los fabricantes de T.V. indican que la mejor distancia para ver estos aparatos es aquellaque guarda con la diagonal de la pantalla la razón ‘2 /11’.

a) ¿A qué distancia debemos situarnos para ver de forma idealun televisor de 25”? ¿Y de 28”?

b) Expresa los resultados en cm.

7. En una urbanización el precio de los pisos depende de los m2 que tenga. Nos enseñan un

piso de 90 m2 que vale 180.000 euros.

a) ¿Cuánto vale el apartamento de 35 m2 que vende la urbanización?

b) ¿Y la residencia de 200 m2?Ayuda.- Reduce a la unidad calculando el precio de cada m2.

Observa que esto significa que si ‘p’ es la medida de la diagonalde la pantalla y ‘d’ es la distancia idónea entonces podemosformar una proporción igualando las dos razones:

.11

2

d

p=

7 cm

18 cm

a cm3 cm

b cm

9 cm

La pulgada (”) es unamedida inglesa que tienesu equivalencia en elSistema Métrico Decimal:

54'2"1 = cm.



Actividades tema 3

254

8. En España para hacer el reparto de escaños al Congreso se utiliza el método D’Hont,método NO proporcional, para premiar a los partidos grandes intentando conseguir conello una mayor estabilidad política. En las elecciones de marzo de 2000 los resultados

fueron aproximadamente:

Escaños (D’Hont) Votos (miles) Escaños (proporc.)PP 183 10.000 10 000 0 0 166 166. '× =

PSOE 125 7.500 7 500 0 0166. '× =

CIU 15 900IU 8 1.200

PNV 7 350CC 4 200

BNG 3 300EA 1 100

ERC 1 200C.A 1 50PA 1 200

IC-V 1 100350 21.100

Si el total de votos ha sido de 21’1 millones, es decir 21.100.000. ¿cuál sería el repartocon un sistema proporcional?. Hazlo completando la tabla y sabiendo cuántos escañoscorresponden a cada millar de votos, esto es 350

211000 0 16 6

.'= .

9. En una nave espacial caben víveres para que 8 cosmonautas puedan alimentarse durante15 días.

a) Si finalmente viajan 6 cosmonautas, ¿para cuántos días disponen de alimentos?

b) Si se va a realizar una expedición que durará 40 días, ¿cuántos cosmonautaspueden incorporarse a esa expedición?



Actividades tema 3

255

222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS PPPOOORRRCCCEEENNNTTTAAAJJJEEESSS

10. En un centro de Educación de personas adultas con 86 estudiantes encontramos que 50

piensan seguir estudiando en la escuela algún seminario.a) Forma la razón de personas que piensan seguir frente al total.

b) Expresa esa razón en forma de porcentaje.

11. El 80% de los españoles dice no ser racista. Si consideramos que la población total es de40 millones de habitantes ¿Cuántos millones de personas han mostrado esa opinión?

12. En el dibujo siguiente está representado un conocido juego geométrico, “El Tangram”.Calcula:a) ¿Qué razón o fracción representa el área de cada porción con respecto al área

total?

b) Expresa los resultados del apartado anterior en forma de porcentajes.

c) Exprésalos también en tantos por mil.



Actividades tema 3

256

13. En una fotocopiadora reproducimos una foto de tamaño 10 × 15 cm.

a) Si hacemos una reduccióndel 80% ¿qué tamaño tendrá

esta copia?b) Si de esta copia hacemos

otra ampliando al 120%¿Cuál será el nuevo tamañoobtenido? ¿Qué proporciónguarda con la original?

c) Saca una conclusión queconfirme o niegue si alaumentar o disminuir al 80%y 120% respectivamente seobtiene el tamaño original o

no.d) Calcula cuánto aumenta (en

%) o disminuye la fotooriginal si inicialmenteaumentamos al 120% yposteriormente reducimos al80%.

333... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS RRREEEPPPAAARRRTTTOOOSSS

14. Dos urbanizaciones deciden instalar una piscina compartida cuyo coste es de 15.600euros. Si la primera comunidad tiene 75 vecinos y la segunda 55 y deciden pagarproporcionalmente al número de vecinos

a) ¿Cuántos euros debe pagar la primera comunidad?

b) ¿Cuánto debe pagar cada vecino?

15. El testamento de un matemático dice “Deseo que mi capital, 700.000 euros, searepartido entre los tres herederos proporcionalmente a la edad de cada uno”. Si lasedades de los tres son 40, 60 y 75 años ¿Cuánto corresponde a cada uno?



Actividades tema 3

257

16. Al escribir un libro de Matemáticas tres autores cobraron 13.440 euros. Desean repartirel dinero según el número de temas que ha escrito cada uno. El primer autor escribió 14temas, el segundo 18 y el tercero 24. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

444... TTTRRRAAABBBAAAJJJAAAMMMOOOSSS CCCOOONNN EEESSSCCCAAALLLAAASSS

17. ¿Cuál será la distancia en el terreno entre dos lugares separados 33 mm. en un mapa sila escala de éste es 1:300.000?

18. a) Construye la escala gráfica correspondiente a E = 1:300. Para ello sólo necesitas

pensar que cada cm. de dibujo deben ser 300 cm en la realidad.b) Haz lo mismo con la escala 1:400.000.

19. Al dibujar un edificio de 50 m. de altura lo representamos con una altura de 25 cm. en el

papel.a) ¿Qué razón forman la medida del dibujo y la altura real del edificio?

b) Si una ventana mide 80 x 120 cm. ¿qué medidas debo utilizar en dibujo?



Actividades tema 3

258

20. Observa las figuras siguientes:

a) ¿Son semejantes?

b) Halla las áreas de las caras lateralessombreadas y la razón existenteentre ellas. ¿Están en proporcióndirecta con la razón de las aristas?

c) El volumen de un prisma recto esigual al área de la base por la altura.Es decir, el volumen de la primeracaja es

V = 20 · 40 · 15 = 12.000 cm3.Halla el volumen de la segunda cajay la razón existente entre losvolúmenes.

21. Una motocicleta recorre 16 km. en 12 minutos con una velocidad constante. ¿Cuántotardará en recorrer la distancia de 50 km?

555... UUUTTTIIILLLIIIZZZAAAMMMOOOSSS LLLAAA CCCAAALLLCCCUUULLLAAADDDOOORRRAAA

22. Un año-luz es la distancia que recorre la luz en un año. Sabiendo que la luz se desplazaen el vacío a 300.000 km/s, ¿cuántos km. tiene un año-luz?

23. Conociendo la velocidad de la luz por el ejercicio anterior y sabiendo que la distanciamedia de la Tierra al Sol son 150 millones de km. ¿Cuánto tarda en llegar la luz del Soldesde su superficie hasta la nuestra?

15 cm

40 cm 20 cm

21 cm

56 cm 28 cm



Actividades tema 3

259

Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de

actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la queaparece en el solucionario consulta con tu profesor.

b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una ideade tu aprendizaje.

c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades derefuerzo o ampliación, o no es necesario.

"6

50&7"-6"$*0/


1. Completa las siguientes frases:

a) Dos figuras que tienen la misma forma pero el tamaño diferente son ....................

b) Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar unamagnitud, la otra ……………

c) 0’05 = ..........% y 17 ‰ = ......... % = ...... ...... unidades.

d) Un plano hecho a escala E=1:5.000 muestra (más / menos) ............... detalles queotro a escala E=1:500.

e) El número 5’42 · 1017 tiene ........... cifras.

2. Contesta verdadero (V) o falso (F):

a) La proporción entre el diámetro de una rueda y el númerode vueltas que da es directa.

b) Las figuras semejantes sólo se diferencian en el tamaño.

c) El porcentaje es el tanto por uno multiplicado por 100.

d) En los repartos proporcionales podemos comprobar elresultado.

e) Al aumentar la escala se reduce el dibujo.

f) La tecla EXP permite que escribamos números de 100cifras.

3. Si 300 g. de jamón cuestan 6 euros ¿cuánto costará un kg.?

a) 18 euros b) 5 euros c) 20 euros d) 20 gramos

4. Completa la tabla siguiente con valores directamente proporcionales

20 40 60

75 100 125



Actividades tema 3

260

5. El precio de 3 metros de tela es de 12 euros ¿Cuántos cuestan 50 m.?

a) 600 euros b) 200 euros c) 150 euros d) 300 euros

6. Un coche gasta 7 litros de gasóleo cada 100 km. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido si hagastado 25 l.?

a) 227’14 km. b) 28 km. c) 250 km. d) 357’14 km.

7. Un grifo vierte 12 l/min. En una bañera tardando en llenarla 2 horas. ¿Cuánto tardaría sisu caudal fuese 15 l/min.?

a) 150 min. b) 2’5 h. c) 96 min. d) a y b son ciertas

8. El 40% de 175 es:

a) 100 b) 80 c) 70 d) 35

9. Observa el plano del salón que ves en la figura.

Halla las dimensiones de éste, si la escala es E=1:300.

a) 102 m x 66 m b) 10’2 m x 6’6 m c) 12 cm x 6’6 cm d) 102 cm x 660 cm.

10. Dos compañeros de piso compran una colección de CDs. por 126 euros. El primero de losamigos eligió 12 CDs y el 2º sólo 9. ¿Cuánto pagará cada uno?

a) 72 y 54 euros b) 54 y 36 euros c) 63 euros cada uno d) 108 y 72 euros



YComprender el vocabulario propio de la Proporcionalidad: razón, proporción, porcentaje,tantos por mil y por uno, prorrateo o reparto proporcional, semejanza, escala.

YReconocer cuando dos magnitudes son directa e inversamente proporcionales.

YReconocer dos figuras semejantes y hallar su constante de proporcionalidad.YResolver problemas de proporcionalidad directa e inversa.

YCalcular porcentajes y tantos por mil.

YResolver problemas de reparto proporcional.

YHallar medidas reales sobre un mapa.

YCalcular las medidas en un dibujo a escala de los elementos con medidas reales.

YOperar con números muy grandes usando la calculadora.



Soluciones tema 3

265

Solucionario


1. En las recetas las raciones y los ingredientes están siempre en proporción directa. Así tenemos

Nº de productos a) b) c) d)

Filetes (gr.)6

2

126 12 2 4= ⇒ = ⋅ ⇒ =

xx x 16 8 20

Mantequilla (gr.) 40 160 80 200

Vino(cucharadas)

1 4 2 5

Papel (hojas) 2 8 4 10

Jamón (gr.) 60 240 120 300

2. 3 huevos son para 135 gr.a) 1 huevo será 135 : 3 =45 gr.b) 6 huevos serán 45 × 6 = 270 gr.c) 4 huevos serán 45 × 4 = 180 gr.

3. a) El cálculo de la densidad se hace efectuando la división

Densidad (hab./km2)

Europa DPob

km

hab

km= = =

. . .

. .' .

2

686 000 000

10 500 00065 3 2

África 14’9

Australia 2’8

Asia 58’1

América 14

b) Europa con diferencia sobre Asia y mucha diferencia sobre los demás.

4. El perímetro de nuestro triángulo es 6 + 8 + 10 = 24 cm. Por tanto la razón es 240

2410= .

a) El correspondiente a 6 cm será 6 × 10 = 60 cm.El correspondiente a 8 cm será 8 × 10 = 80 cm.El correspondiente a 10 cm será 10 × 10 = 100 cm.

b) .24002

6080 2cm=

×

c) Para los lados 80

810= . Para el perímetro 240

2410= . Para las áreas .100

24

400.2=

d) Sí.e) No.

5. Al ser semejantes los lados serán directamente proporcionales y por tanto:7

3

187 54

54

77 7

7

3 963 3

63

321

= ⇒ = ⇒ = =

= ⇒ = ⇒ = =

bb b

aa a

' .

• .



Soluciones tema 3

266

6. a)

||

||

1542

308d11·28d·2

d

28

11

2

5'1372

275d11·25d·2

d

25

11

2

==⇒=⇒=

==⇒=⇒=

b).9'316'39154'2·154

.5'325'34954'2·5'137||

||

mcm

mcm

≈=

≈=

7. El tanto por uno es lo que vale cada m2. Es decir .000.290

000.18022 m

m

∈=

∈

a) 35 × 2.000 = 70.000 ¼ b) 200 × 2.000 = 400.000 ¼

8. Si completamos la tabla tal y como nos muestran los dos primeros ejemplos tendremos:

Escaños (D’Hont) Votos (miles) Escaños (proporc.)PP 183 10.000 166

PSOE 125 7.500 124CIU 15 900 15IU 8 1.200 20

PNV 7 350 6CC 4 200 3

BNG 3 300 5EA 1 100 2

ERC 1 200 3C.A 1 50 1PA 1 200 3

IC-V 1 100 2350 21.100 350

9. a) La razón de los cosmonautas es6

8 y la de los días x

15 , como vemos si hubiese la mitad de viajeros

durarían el doble de tiempo los víveres por lo que las magnitudes son inversas y a la hora de establecer laproporción debemos invertir una de las dos razones quedando

206

12015·8·6

15

8

6==⇒=⇒= x x

x

días.

b) Podemos resolverlo igual que antes estableciendo 340

15

8=⇒= x

x astronautas. También podemos

hacerlo reduciendo a la unidad. Si 8 pasajeros tienen para 15 días uno solo tendrá para 15 · 8 = 120 días. Portanto como 40 son la tercera parte de 120 días podrán viajar el triple de cosmonautas. Es decir, 1 · 3 = 3personas.

10. a) 50

860 581= ' b) 0’581 × 100 =58’1 %

11. 80%80

1000 8 0 8 40000000 32000000= = ⇒ × =' ' . . . . hab.

12. a) b)

c) 25 % = 250 o / oo.

6’25 % = 62’5 o / oo.

12’5 % = 125 o / oo.4

16

1

4=

4

16

1

4=

2

16

1

8=

2

16

1

8=

2

16

1

8=

1

16

1

16

25 %

25 %

'

12 5' %

6 25' %

6 25' %



Soluciones tema 3

267

13. a) Ancho: de

Largo: de

80% 10 8

80% 15 128 12

=

=

⇒ ×

b) Ancho: deLargo: de

120% 8 9 680% 12 14 4

9 6 14 4=

=

⇒ ×''

' '

c) Reduciendo una cantidad un 20% y aumentando el resultado posteriormente el 20%, la cantidad inicialse reduce a un 96%, es decir un 4% de reducción.

d) }Aumento: de disminución: de120% 10 12 80% 12 9 6= → = ⇒; ' Reducción del 4% también.

14. a) El total de vecinos es 75 + 55 = 130. Por tanto las razones de cada urbanización son:

La 1ª comunidad:75

130

La 2ª comunidad:55

130

= ⇒ × =

= ⇒ × =

0 58 0 58 15600 9000

0 42 0 42 15600 6600

' ' . .

' ' . .

b) 15.600÷

130 = 120¼

15. El total de años para hacer las razones iniciales es 40 + 60 + 75 = 175.

El 1 heredero:40

175

El 2 heredero:60

175

El 3 heredero:75

175

er

0

er

= ⇒ × = ∈

= ⇒ × = ∈

= ⇒ × = ∈

0 23 0 23 700 000 160000

0 34 0 34 700000 240000

0 43 0 43 700000 300000

' ' . . .

' ' . . .

' ' . . .

16. El total de temas para hallar las razones iniciales es 14 + 18 + 24 = 56.

El 1 autor:14

56

El 2 autor:18

56El 3 autor:

24

56

er

0

er

= ⇒ × = ∈

= ⇒ × = ∈

= ⇒ × = ∈

0 25 0 25 13440 3360

0 32 0 32 13440 4320

0 43 0 43 13440 5760

' ' . . .

' ' . . .

' ' . . .

17. 33 mm. × 300.000 = 9.900.000 mm. ⇒ 9’9 km.

18. a) Cada 100 cm es un m, por tanto: b) Como 1 km tiene 100.000 cm:

19. a) E =25 cm

50 m

25 cm

5.000 m

1

200= =

c.

b) 80 cm : 200 = 0’4 cm = 4 mm120 cm:200 = 0’6 cm = 6 mm.

20. a) Sí, porque 40

56

20

28

15

210 714= = = ' .

b) Las áreas del primer y segundo rectángulos respectivamente son: 20 · 15 = 300 cm2; 28 · 21 = 588 cm2.

No están en proporción directa con sus lados puesto que: 0 7120

28

15

21

300

5880 51' ' .= = ≠ ==

c) El área de la base de la 2ª caja es 56· 28 = 1568 cm2. Por tanto el volumen esV =1568 · 21= 32.928 cm3.

Tampoco están en proporción directa porque la razón entre volúmenes es:12000

32 9280 36 0 71

.

.' . ' .= ≠

21. La velocidad de un móvil y la distancia que recorre son directamente proporcionales (la velocidad con eltiempo son inversamente proporcionales) por tanto

1612

5016 50 12

60016

37 5km

min

km

x minx x min= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = = ' .

3 m 4 km



Actividades tema 4

272

3. La depreciación anual del valor de un coche es del 20%.a) Completa la tabla de depreciación de un coche en de 5 años si se compró por 12.300 ¼

AÑOS 1 2 3 4 5VALOR 0’8 x 12.300 = 9.840

b) Representa los resultados gráficamente.

c) Comenta los resultados.

4. En el prospecto de cualquier medicamento encontramos cuál es la dosis adecuada enfunción de unos parámetros. Vamos a tomar un jarabe del que sabemos que por cada kilode peso del enfermo debemos administrar 1 ml del jarabe, pero la dosis nunca puedeexceder de 62 ml y tampoco debe ser suministrada si el paciente pesa menos de 10 kilos.a) Completa la tabla que indica la dosis de jarabe según el peso del paciente.

PESO 10 15 30 45 60 61 62 75 80DOSIS 10

b) Elige una escala adecuada y traza la gráfica que indica la dosis según el peso.

c) Tiene alguna curiosidad esta gráfica.



Actividades tema 4

273

5. Un atleta realiza todas las tardes el siguiente recorrido:a) Sale andando hacia el garaje, que está a 500 metros de distancia, para recoger la moto.

Tarda en este trayecto 10 minutos.

b) Permanece en el garaje 5 minutos, tiempo que emplea en arrancar y abrir y cerrar lapuerta.

c) Con la moto se dirige a las pistas, a las que llega en 10 minutos y que se encuentran a5.000 metros del garaje (es muy prudente y no le gusta correr).

d) Entrena durante hora y media.e) Vuelve tranquilamente hasta su casa en moto empleando un tiempo de 20 minutos.f) Merienda durante media hora.g) Se acerca hasta el garaje con la moto en 5 minutos.h) Dejar la moto bien colocada y abrir y cerrar la puerta le lleva otros 5 minutos.i) Regresa a casa a pie para lo que necesita 10 minutos más.Realiza una gráfica que recoja los desplazamientos descritos del atleta.

6. Vamos de senderismo y nuestra ruta tiene el siguiente perfil.

Necesitamos construir un gráfico que representeesta situación:Representa el tiempo que transcurre desde queempiezas en el punto A, hasta que finaliza la

excursión en el punto F , dependiendo de los Kmque vayas recorriendo y teniendo en cuenta:- Tramo A-B son 3 km y se sube a 3 km/h.- Tramo B-C son 10 km caminando a 5 km/h.- Tramo C-D son 5 km bajando a 10 km/h.- En el punto D descansamos media hora ydecidimos volver por otro sitio.- Tramo D-E tiene 12 km y vamos a 4 km/h- El tramo E-F tiene 6 km y lo hacemos a 4 km/h.

FE

A CB

D



Actividades tema 4

274

0

50

100

150

200

0 2 4 6 8 10 12 1416 18 20 22 24 26 28

Edad(años) E s t a t u r a ( c m . )

222... AAANNNAAALLLIIIZZZAAAMMMOOOSSS GGGRRRÁ

ÁFFFIIICCCAAASSS

7. Aquí tienes una tabla de datos que relaciona a cuatro personas con su edad y su altura, y lagráfica correspondiente. Asocia a cada uno de los puntos de la gráfica el nombre de lapersona a la que representa.

8. El crecimiento de una persona viene expresado en la siguiente gráfica:

a) Indica cuáles son las variablesque se relacionan.

b) ¿Qué significa que la gráfica

pase por los puntos (8,125) y(16,170)?.

c) ¿A qué edad alcanza 150 cm.?

d) ¿Qué altura tendrá a los 25años?.

e) Realiza un breve informe quedescriba el crecimiento de estapersona.

150

155

160

165

170

175

0 10 20 30 40 50

Edad

A l t u r a

a

bc

d

NOMBRE EDAD ALTURAJuan 14 160Jaime 35 155Ana 26 170Sonia 43 165



Actividades tema 4

275

9. Elige la gráfica que mejor se ajusta a cada una de las situaciones siguientes.

a) La inflación sigue creciendo y cada vez más rápidamente en estos últimos meses.

b) El estudio sobre el precio que ha de tener un artículo indica que si es muy barato odemasiado caro se perderá dinero.

c) Cuanto más barato sea un artículo más unidades podré adquirir.

d) Se venden mucho las naranjas de pequeño calibre (para zumos) y de gran calibre (parapostre) pero apenas se venden las de calibre intermedio.

e) El precio del petróleo sigue bajando pero cada vez menos.

f) El banco europeo sigue aumentando el precio del dinero, pero cada vez máslentamente.

10. Describe una situación que se pueda hacer corresponder con la siguiente gráfica:

11. La gráfica que expresa la altura que alcanza una piedra desde que ha sido lanzada hastaque vuelve al suelo según va transcurriendo el tiempo es:

a) ¿Durante cuánto tiempo estáaumentando la altura? ¿Cómointerpretas que sea creciente?

b) ¿Qué ocurre a partir del segundo 9?

c) ¿Dónde se encuentra el máximo?¿Qué significado tiene? ¿Qué pasacon la velocidad en ese instante?

7

1 2 4

5

3

6

0

50

100

150

200

0 50 100 150Tiempo(min.)

D i s t . ( m . )

Tiempo (s)

Altura (m)

100

2 4 6 8 10 1412 16 2018

300

200

400



Actividades tema 4

276

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5

tiempo (horas)

distancia (km)

0

5

10

15

20

1 2 3

tiempo (h)

distancia (km)

12. Las siguientes gráficas representan las excursiones al campo que realizamos losdomingos. Podrías contar en qué consistió la excursión de cada domingo. Ayúdate de laspreguntas que están a la derecha de cada gráfica.

a)• ¿Qué ocurre entre la 2ª y 3ª

hora?

• ¿Qué velocidad llevamos en la1ª hora?.

• ¿Y en la última?

• ¿Cómo podríamos justificar esecambio en la velocidad?.

b)• ¿Cuántos km hemos recorrido en

la primera hora?. ¿Y en lasegunda?

• Calcula la velocidad en los dostramos anteriores. ¿Por quémotivo hemos cambiado lavelocidad?

• ¿Qué pasa entre la segunda y latercera hora?.

• ¿Cuántos km hemos andado entodo el trayecto?

• ¿Desde dónde salimos?. ¿Qué explicación le podríamos dar?.• Si por el camino nos encontramos marcas que nos indican a qué distancia estamos

¿Qué distancia es la máxima que veremos?.



Actividades tema 4

280

19. La siguiente tabla refleja el peso y la altura entre las niñas de 2 a 18 años

Edad 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Peso (kg) 11 15 19 23 30 39 48 52 52Altura (cm) 85 100 105 125 138 149 158 162 162

a) Elabora una gráfica que te permita saber el peso y la altura conociendo la edad.b) ¿A qué edad se detiene el crecimiento de las chicas?c) ¿Qué dirías a una chica de 13 años que pesa 30 kg?d) De los 10 a las 12 años, ¿cuánto aumenta el peso?, ¿cuánto la altura?. ¿Aumentan en

la misma proporción?

20. La variación que experimenta el peso y el tamaño del feto durante los meses de gestaciónvienen expresados en la siguiente tabla:

Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 9Tamaño (mm) 8 40 90 200 300 350 400 450 500Peso (g) 0´ 5 5 40 200 500 1000 1500 2500 3200

a) Representa en una gráfica la evolución del peso y el tamañob) ¿En qué período es más rápido el crecimiento?c) ¿A partir de qué mes el crecimiento es más lento?d) ¿Cuánto mediría y pesaría un feto si naciera a las 30 semanas?



Actividades tema 4

281

21. Cada mes nos hacemos un análisis de sangre para controlarnos el nivel de glucosa, ésta semide en mg por cada 100 ml. Simultáneamente se mide la cantidad de plaquetas por mm 3.La tabla muestra los resultados en los últimos 8 meses.

Meses E F M A M J J AGlucosa 90 98 120 100 90 75 95 130Plaquetas(miles) 200 210 220 200 205 300 215 200

Teniendo en cuenta que:Los valores normales de glucosa oscilan entre 75 y 105 y que las plaquetas aumentan enlos procesos infecciosos.

a) Haz una representación gráfica de la situación.

b) ¿Dónde se alcanzan los máximos de glucosa. ¿A qué crees que es debido?

c) ¿Y el mínimo de glucosa?. ¿Qué mes presenta más cantidad de plaquetas? ¿Encuentrasalguna relación entre la disminución de glucosa y el aumento de plaquetas?

444... UUUTTTIIILLLIIIZZZAAAMMMOOOSSS EEELLL OOORRRDDDEEENNNAAADDDOOORRR22. Haz la gráfica de la glucosa y las plaquetas del ejercicio 21 con la hoja de cálculo.

Introduce en las dos primeras filas los valores de estos dos componentes y utiliza el iconoadecuado.



Actividades tema 4

282

"6

50&7"-6"$

*0/



a) La coordenada de la variable independiente se llama ……………y se señala sobreel eje ………………

b) Cuando en una gráfica todas las marcas de alrededor de un punto están por encimade éste decimos que en ese punto tiene un…………..

c) Si en una gráfica al desplazarnos hacia la derecha la gráfica sube decimos que es……………..

d) Si una gráfica es ………… no puede haber cambios bruscos de ordenada.

e) Cuando hay representadas dos gráficas simultáneamente sobre unos ejes, lospuntos en que se cortan las gráficas indican que los valores de ambas expresionesson……………en esos puntos.


a) La magnitud que es independiente se representa en el ejede ordenadas.

b) Una gráfica que no tiene máximos tampoco tienemínimos.

c) Si una gráfica antes de un punto es creciente y luegodecreciente tiene un máximo.

d) Las gráficas sin saltos son constantes.

e) La escala de los dos ejes no tiene que ser necesariamentela misma.

f) El icono que debes utilizar para hacer un gráfico con la

hoja de cálculo es .


actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con laque aparece en el solucionario consulta con tu profesor.





Actividades tema 4

283

3. La representación gráfica de la tabla siguiente

X 20 30 40 50 60

Y 50 75 100 80 80es:

4. En la noria cada coche sube y baja periódicamente ¿Cuál de las siguientes gráficas es laque representa la altura respecto al suelo según varía el tiempo?

5. Elige la gráfica que se representa la siguiente situación: “ Juan va de su casa al trabajo. Al

salir del trabajo va a un restaurante que está a medio camino entre su casa y el trabajo.

Al acabar de comer se va a casa”.a) b) c) d)

6. En la gráfica siguiente se muestra la temperatura de la atmósfera dependiendo de la alturaa la que se tome la medida. ¿Qué texto es el más adaptado a ella?

a) La temperatura inicialmente es cre-ciente y luego va cambiando.

b) La temperatura tiene un tramo donde escreciente entre los 15 y los 50 km y otroentre los 85 y los 100.

c) La temperatura es decreciente con laaltura.

d) La temperatura mínima en la atmósferase alcanza a los 15 km.

Temperatura atmósférica

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

altura(km)

T(ºC)

a) b) c) d)

X X X X

Y Y Y Y



Actividades tema 4

285



YComprender el vocabulario propio de gráficas: Magnitudes independientes o dependientescontinuidad, discontinuidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, abscisas,ordenadas.

YConstruir una gráfica a partir de una tabla de valores.

YConstruir gráficas a partir de un texto donde se indican las variaciones que se producen.

YAnalizar gráficas estudiando los tramos de crecimiento, decrecimiento, los puntos dondela gráfica alcanza máximos y mínimos y reconocer cuando una gráfica tiene o no saltos.

YComparar dos gráficas trazadas sobre los mismos ejes y reconocer el significado de lospuntos donde se cortan.

YIntroducir los valores de la variable dependiente en las celdas de la hoja de cálculo Excely trazar con ayuda de este programa el gráfico.


Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................





tema puedo realizar las actividades de ampliación



Actividades tema 4

288

5. Se ha hecho un estudio de la evolución del turismo en España y se quiere comparar comose desarrolla a lo largo del año en tres destinos turísticos por excelencia, la gráficaresultante es la siguiente

a) ¿Cuál de las tres zonas tiene más visitantes en verano?

b) ¿Cuándo tienen las tres zonas los mismos visitantes?

c) ¿En que periodo es creciente el turismo en Baleares?

d) ¿Qué zona tiene un turismo más regular (el número de turistas es constante?

e) ¿En qué periodo tiene más turismo Levante que Canarias?

Evolución porcen tual del núm ero de v is i tantes

extranjeros en España

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

e f m a m j j a s o n d

%

B a le a re s L e v a n te C a n a ria s



Actividades tema 4

289

"$5*7*%"%&4 %& " .1-*"$*0/

1. Los cestillos de una noria suben y bajan mientras gira la distracción. La gráfica quemuestra la distancia de uno de ellos al suelo según varía el tiempo es la siguiente:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa?

b) ¿Cuántos máximos tiene y cuál es la altura máxima?

c) ¿Y la mínima?

d) Podrías calcular la altura a los 120, 130 y 140 segundos (no es necesario queamplíes la gráfica).

2. El perímetro del cráneo de un niño presenta el siguiente crecimiento:• Durante los 3 primeros meses de vida alcanza los 40 cm.• En los 6 meses siguientes el perímetro ha aumentado 4 cm.• En los siguientes 6 sólo aumenta 2 cm.• En los 18 meses siguientes aumenta 3 cm.

a) Completa la siguiente tabla

MESES 3 9 15 33PERÍMETRO 40 44

b) Elige la escala adecuada y representa la gráfica.

c) Fijándote en la gráfica, contesta:

¿Cuál será el perímetro a los 6 meses?, ¿y a los 12 meses?¿Cuánto mide el cráneo a los 21meses, y a los 27?

Algunas gráficas comoésta tienen un tramo quese repite sucesivamente.Estas gráficas se dice queson periódicas y a ladistancia entre dos

puntos que ocupan lamisma situación se lellama periodo.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 20 40 60 80

tiempo (s)

altura (m)



Actividades tema 4

290

3. a) Completa la tabla que relaciona la base de un rectángulo cuya área es de 240 cm2.

Base (cm) 5 10 15 20 25 30

Altura (cm) 485

240= =

10

240

b) Representa gráficamente la tabla.

c) ¿Es creciente o decreciente esta gráfica?

El área de un rectángulo

es igual al producto de labase por la altura.

h B A ×=



Actividades tema 4

291

0

15000

30000

45000

60000

1800 1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975 2000

Año

H a b i t a n t e s

4. La gráfica adjunta muestra la evolución de la población en una ciudad según los censosque se han ido haciendo

a) ¿En qué años hay aumento de lapoblación? ¿Y cuándo disminuyó?

b) ¿Cuál fue el año que tuvo elmáximo de habitantes? ¿Y elmínimo?

c) ¿Se te ocurren algunas razonespara los descensos de la población?

5. Esta gráfica nos muestra las concentraciones de dióxido de carbono (CO2) en laatmósfera. ¿Qué comentarios te sugiere la gráfica?

260

280

300

320

340

360

1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000

C o n c e n t r a c i ó n

( p p m



Actividades tema 4

292

6. Estas gráficas describen aproximadamente el comportamiento de tres atletas durante unacarrera de 400 m lisos.

a) ¿Cuál de los tres salió a másvelocidad?

b) ¿Quién ganó la carrera?

c) Describe que posiciónocupaba cada uno de loscorredores a lo largo de lacarrera.

7. Observa las siguientes gráficas que relacionan el aumento salarial y el IPC interanualdesde 1994 hasta 2000.

a) Analiza la primera gráfica.

b) Analiza la segunda gráfica.

c) Compara ambos análisis y comentalos resultados.

d) Elabora una tabla de datos dondefigura la variación del poderadquisitivo de los trabajadores a lolargo de los años estudiados.

0

100

200

300

400

0 10 20 30 40 50 60

tiempo (s)

distancia (m)A C

B

Aumento salarial/IPC interanual

3,43,7 3,8

2,9 2,62,3

1,8

0

1

2

3

4

1992 1994 1996 1998 2000 2002

0

1

2

3

4

5

1992 1994 1996 1998 2000 2002



Actividades tema 4

293

8. Representa gráficamente las fórmulasa) y = xb) y = 2xc) ¿Qué forma tienen las dos?d) ¿Qué punto tienen en común?e) ¿Qué ocurre cuando el número que multiplica a la x se hace más grande?f) Investiga que ocurrirá cuando ese número sea negativo

A veces la relación entre dos magnitudes se puede expresar mediante una fórmula que nos

indica las operaciones que debemos realizar sobre la variable independiente para ir obteniendolos correspondientes valores de la dependiente.Por ejemplo la fórmula f(x) = 5· x expresa que la ordenada de cada abscisa se obtienemultiplicando ésta por 5.Para representar estos gráficos podemos ayudarnos con la elaboración de una tabla eligiendoarbitrariamente los valores de las abscisas y calculando mediante la fórmula los valores de lasordenadas.En nuestro caso por ejemplo Su representación será:

X 2 4 6 8 ...f(X) 5 · 2 = 10 20 30 40 ...

La fórmula anterior se puede utilizar para el estudio de diferentes situaciones reales como porejemplo: la representación del espacio recorrido por una persona en función del tiempotranscurrido si camina a una velocidad de 5 km/h (e = v · t ), la representación del coste devarios artículos cuyo precio por unidad es de 5 ¼ coste = precio unidad × nº unidades), etc.

2 4 6 8

10

20

30

40

O



Soluciones tema 4

294

Solucionario


1.a) V. Independiente: semanas. V.

Dependiente: cotización.

b) Escala de los ejes. Por ejemplo de0’0050 en 0’0200.

c) Empieza en 0’8400.

d) Æ

e) Como el tiempo varía de formagradual la gráfica será continua si no

hay ningún instante en el que seproduzca algún cambio brusco decotización como ocurrió por ejemploel pasado 11-Sept-02.

2. a) b)

CONSUMO (m3) COSTE ( ¼0 8’335 9’93

10 11’5315 13’1320 14’7325 15’33

c) Sí, pues el consumo de agua puede tomar cualquier valor entre 0 y 25 aunque en la tabla no esteexpresado.

3. a) y b)

AÑOS VALOR1 9.840

2 7.8723 6.297’64 5.038’085 4.030’46

c) Observa cómo en 5 años pierde más de la mitad de su valor original.

4. a)PESO 10 15 30 45 60 61 62 75 80DOSIS 10 15 30 45 60 61 62 62 62

Cotización euro/dólar

0,83

0,84

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0 2 4 6 8semana

c o t i z a c i ó n

Cotización euro/dólar

0,83

0,84

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0 2 4 6 8semana

c o t i z a c i ó n

0

2000

4000

60008000

10000

12000

14000

0 2 4 6A OS

V A L O R

cosumos/precios

0

5

10

15

20

0 10 20 30consumos (m3)

p r e c i o s ( ¼



302

7. Una persona hace todas las mañanas el siguiente recorrido:

•En primer lugar baja a por el pan a una panadería que se encuentra a 50 metros

de su casa, utilizando 8 minutos para realizar el trayecto.

•Normalmente lo atienden en cuatro minutos.

•Después se acerca a por el diario a un quiosco que se encuentra situado a 20

metros más allá de la panadería.

•Son muy rápidos y en dos minutos ha terminado.

•Vuelve a casa a desayunar, trayecto en el que tarda 12 minutos más.

Representa una gráfica que recoja este desplazamiento diario.

8. Estas gráficas representan la evolución de los precios del petróleo producido por la OPEP

(Organización de Países Exportadores de Petróleo) y de la producción de petróleo de esta

organización en tanto por ciento respecto de la producción mundial.

a. Describe ambas gráficas indicando si tienen saltos o no, tramos de crecimiento y de

decrecimiento, existencia de máximos y mínimos, …

b. Relaciona ambas gráficas y comenta los resultados.

Evolución precio barril/producción de

petróleo en la OPEP

9,31

2834

2011,6

0

10

20

30

40

1970 1975 1980 1985 1990 1995

$ / B a r r i l

20

30

40

50

60

70

1970 1975 1980 1985 1990 1995

% d

e l t o t a l m u n d i a l



Formación Básica

de Personas Adultas




Cuader no de Act ividades

Unidades 5 a 8



Actividades tema 5

304

c) Contribución al cambio climático por regiones del planeta

a) ¿De qué tipo de gráficas se trata?

b) ¿Qué estudia cada gráfica?

c) ¿Qué conclusiones sacas de cada una de ellas acerca del objeto de estudio?



Actividades tema 5

307

6. La media de las notas obtenidas en las tres pruebas realizadas en unas oposiciones ha sido

6. Sé que dos de las notas eran 7 y 4, pero he olvidado la tercera. ¿Podrías ayudarme a

calcularla?.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Tablas de frecuencias: Han de tener esta forma

Calific. (Xi) Frecuencia (Fi)

Cálculo de la media: Se suman todos los datos y se divide por el número total de

éstos. Se representa como x .

Cálculo de la mediana: Es el valor que ocupa la posición central después de haber

ordenado todos los valores.

Cálculo de la moda: Valor que más se repite.



Actividades tema 5

308

7. Se ha hecho un estudio sobre el número de hijos de las parejas de una ciudad. Para ello

hemos encuestado a una muestra de 60 parejas elegidas al azar y los resultados han sido:

Nº de hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Frecuencia 11 12 25 5 3 2 0 1 0 0 0 1

a) Elabora un gráfico que se adapte a las características de la variable.

b) Calcula las medidas centrales que consideres oportunas.

c) Calcula el recorrido, la desviación media y la desviación típica.

Cálculo de la desviación media: Una vez calculadas las desviaciones (Di) hay

que calcular la media aritmética de todas ellas. Para esto añadimos la columna del

producto de las desviaciones (Di) por las frecuencias (Fi), o sea, Di · Fi.

Calificaciones (Xi) Frecuencia (Fi) Di = | Xi -x | Di · Fi

TOTALES N=50 Σ |xi - x |· Fi =

DM = N

F x x ii∑ − ·

Cálculo de la desviación típica: El cálculo se realiza aplicando las siguientes

fórmulas:

Para simplificar el cálculo recuerda que es conveniente rellenar la siguiente tabla:

Tiempo(Xi)

Frecuencia (Fi)

Xi· Fi Xi2

· Fi

TOTAL N=50 191

También se puede calcular utilizando la calculadora según se explica en el

apartado correspondiente del libro de texto.

VarianzaTípica Desviación x N

f xVarianza

n

ii

i

=−⋅=∑= ;

21

2



Actividades tema 5

310

222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS PPPRRROOOBBBAAABBBIIILLLIIIDDDAAADDD

9. Clasifica los siguientes experimentos en aleatorios o deterministas.

a) Extraer una carta de una baraja. ………………………………..

b) La duración real de la clase de matemáticas. ………………………………..

c) Los horarios de los trenes un día laborable. ………………………………..

d) Lanzar una piedra al aire y observar si cae o no………………………………..

e) La cantidad de electricidad que se consume a diario en tu casa. …………………..

f) ¿Quién va a ganar en el partido de baloncesto de mañana?. ………………………..

10. En la lotería, la gente habla de números bonitos y dicen que tocan más. Los más popularesson los capicúas, como 35.753 (un número es capicúa si se lee igual comenzando por el

final). En cambio hay números que nunca compraría, como el 00.002 o el 66.665. ¿Qué

opinas tú, tiene más probabilidad de tocar un número que otro?

11. En una prueba de control de calidad probamos 1.000 bombillas, de las cuales 36

resultaron defectuosas,

a) si elegimos una bombilla al azar, ¿cúal es la probabilidad de que funcione?

b) si el encargado ha enviado 45.000 bombillas a un cliente, ¿cuántas espera que le

devuelvan?

En determinados casos donde todos los sucesos elementales tienen las mismas

posibilidades (sucesos equiprobables) se aplica la Regla de Laplace que afirma que en

estas situaciones la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de casos

favorables y el número de posibles, es decir

( )P S Casos Favorables

Casos Posibles =

.

Experimento aleatorio: El resultado no se puede prever.

Experimento determinista: El resultado es previsible.



Actividades tema 5

311

12. Un estudio sobre la duración de pilas de distintas marcas arroja los siguientes resultados:

Nº de horas de duración [0,2[ [2,4[ [4,6[ [6,8[

Nº de marcas 2 4 5 3

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla escogida al azar dure entre 6 y 8horas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla dure más de 2 horas?

13. Observando durante varios días una máquina tragaperras se han observado los siguientes

resultados:

Premio en euros 0 1 1´5 3 6

Nº de veces 700 120 15 10 3

a) ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener algún premio?

c) ¿Y de no obtener ninguno?

Cuando deseamos calcular la probabilidad de un suceso, ésta es igual a la suma de los

sucesos elementales que lo componen.



Actividades tema 5

312

14. Antes de lanzar al mercado un fármaco, se ha experimentado con él en ratones,

obteniéndose los siguientes resultados:

Trastornos Parálisis muscular Aumento de peso TaquicardiaNº de ratones 15 100 5

Si el fármaco se suministró a 500 ratones

a) Calcula la probabilidad de que un ratón sufra aumento de peso.

b) Sufra taquicardia o parálisis muscular.

c) No tenga ningún trastorno.



Actividades tema 5

313

"6

50&7"-6"$*0/



a) Cuando la variable no puede tomar valores numéricos se denomina ……

b) La frecuencia relativa se obtiene …..

c) La media no se puede calcular si la variable es ……

d) Se llama marca de clase …….

e) Las medidas que resumen el conjunto de los datos de un estudio estadístico se

denominan medidas ………

f) Las medidas de dispersión informan sobre ….g) Al conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio se llama ….............

h) En el experimento lanzar un dado, obtener el número 3 es un suceso............. y

obtener un número par es un suceso..........................

i) Un suceso que siempre sucede se llama suceso............... , y si no puede ocurrir

suceso .....................


a) La frecuencia relativa puede tomar el valor 2.

b) Las variables estadísticas siempre toman valores numéricos.

c) La moda se puede calcular cuando la variable es cualitativa.

d) La probabilidad de un suceso es un número mayor que uno.e) En cualquier experimento aleatorio todos los sucesos elementales son

equiprobables.

f) El suceso contrario de “obtener al menos una cara” al lanzar dos monedas es:

“obtener dos cruces”.

g) La suma de las probabilidades de todos los sucesos de un espacio muestral es

siempre uno.

3. En un estudio sobre los sueldos de 130 empleados de una empresa, 55 cobran menos de

60 euros mensuales. La frecuencia absoluta de ‘menos de 60’es:

a) 75 b) 0’42 c) 55 d) 42%






aprendizaje.





Actividades tema 5

314

4. En un estudio en el que los resultados son: 3, 5, 4, 4, 6, 4, 7, 3 la moda es:

a) 4 b) 4’5 c) 8 d) 3

5. En un centro de FPA hay matriculados 450 hombres y 630 mujeres. Para seleccionar lamuestra de un estudio donde influye el sexo de los entrevistados, elegiremos:

a) 45 hombres y 63 mujeres.

b) 63 hombres y 45 mujeres.

c) El doble de mujeres que de hombres.

d) Es indiferente el número de hombres y de mujeres que seleccionemos.

6. Observa estas gráficas sobre la subida del precio del gasoil. Podemos deducir:

a) El crecimiento es mayor en el primero.

b) El crecimiento es mayor en el segundo.

c) El crecimiento es igual en ambos.

d) No se puede saber cuál ha sido el crecimiento.

7. En un estudio cuyos datos se ajusten a los de esta tabla,

Metros cuadrados 80 100 120

Frecuencia 20 36 16

podemos decir que la media es:

a) 100 b) 36 c) 24 d) 98’9

8. Si tenemos un experimento aleatorio con 50 sucesos elementales equiprobables todos

ellos. La probabilidad de un suceso será:

a) 1 / 50 b) No lo puedo saber c) 50%

9. ¿Qué probabilidad tiene un suceso que se satisface 2 veces de cada 7?

a) 7 / 2 b) 2 / 7 c) 29%

10. ¿Qué es más probable?

a) Que 5 de cada 10 adultos adultos/as obtengan el GES.

b) Que 50 de cada 100 adultos/as obtengan el GES.

c) Ambos casos son igual de probables

11. En una urna tienes 3 bolas rojas y 2 azules. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola y

que ésta sea azul?

a) 0’5 b) 0’4 c) 0’2

12. Si lanzamos un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor de 6?

a) 0’5 b) 1 / 3 c) 5 / 6

0,50

0,56

0,63

0,69

0,75

1999 2000 2001

AÑOS

P R E C I O

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1999 2000 2001

AÑOS

P R E C I O



Actividades tema 5

315



YComprender el vocabulario estadístico y probabilístico: Población, muestra, variable,frecuencia relativa, espacio muestral, sucesos, probabilidad de un suceso.

YA partir de los datos, hacer el recuento y presentar la información en una tabla, es decir,

organizar la información.

YElegir la representación gráfica más adecuada, (diagrama de barras, polígono de

frecuencias, diagrama de sectores,....) en función de los datos.

YRazonar sobre la información ofrecida en prensa, televisión, ...relacionada con mensajes

estadísticos y probabilísticos.

YDetectar errores o “falsas ideas” en las representaciones estadísticas.

YConocer las medidas de centralización, eligiendo la más adecuada dependiendo del tipo

de variable.

YInterpretar las medidas de dispersión, junto con las de centralización para sacar

conclusiones.

YUtilizar la calculadora para obtener la media y la desviación.

YReconocer fenómenos aleatorios en la vida diaria.

YDistinguir situaciones en las que los sucesos nos son equiprobables.

YUtilizar la Ley de los grandes números y la regla de Laplace para calcular probabilidades.


“TENGO DU DAS EN”

Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................








Actividades tema 5

316

"$5*7*%"%&4 %& 3&'6&3;0

1. Escribe un ejemplo de cada tipo de variables:a) Cuantitativa

b) Cualitativa

2. Las notas sacadas por los 20 alumnos del 2º nivel del ciclo II de uncentro de FPA en el

módulo “Ciencia y tecnología” han sido las siguientes:

3, 5, 7, 4, 5, 8, 8, 4, 5, 6, 6, 9, 4, 5, 6, 6, 5, 7, 3, 8.

a) Completa la tabla de frecuencias y porcentajes:

Nota (Xi) 3 4 5 6 7 8 9

Frecuencia(Fi) 2

% 10

b) Dibuja el diagrama de barras

c) Calcula la mediana y la moda.

d) Añade la columna nota(Xi) · frecuencia(Fi)

Nota (Xi) 3 4 5 6 7 8 9

Frecuencia(Fi) 2

% 10

Xi · Fi 6

e) Calcula la media. Para ello antes has de calcular el total de las frecuencias y de losproductos de la última fila.

3. Si extraemos una carta de una baraja española (48 cartas) calcula la probabilidad de los

siguientes sucesos:

a) Sacar el rey de oros.

b) Extraer un rey.

c) Obtener una carta de copas.

d) Sacar una figura.

e) Sacar un número inferior a 5.

4. La siguiente tabla refleja diferencias entre los países desarrollados y los países del tercermundo:

Tercer Mundo DesarrolladosPoblación (en millones) 4.400 1.600

Población sin agua potable 50% 1,5%

Población adulta analfabeta 26% 5%

Población de niños escolarizados 46% 93%

Población sin control médico 27% 0,5%

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un niño/a del Tercer Mundo esté escolarizado?

b) ¿Cuántas personas adultas son analfabetas en los países desarrollados?

c) ¿Cuántas son analfabetas en el Tercer Mundo?

d) ¿Cuál es la probabilidad de nacer en un país del Tercer Mundo?



Actividades tema 5

317

"$5*

7*%"%&4 %& ".1-*"$*0/

1. Una empresa fabrica tornillos de una longitud teórica de 35 mm. Para realizar un controlde precisión sobre el funcionamiento de una máquina nueva se mide la longitud de 100

tornillos realizados por esta máquina. Los resultados son:

Diámetro(mm) [33’5, 34[ [34, 34’5[ [34’5, 35[ [35, 35’5[ [35’5, 36[ [36, 36’5[

Frecuencia 12 18 26 20 14 10

a) Representa estos datos en un histograma.

b) Calcula la media y la desviación típica.

2. Otra empresa fabrica barras de acero de 3’5 metros de longitud. Para realizar un estudio

de calidad se seleccionan al azar 50 de estas barras y se miden. Los resultados, en

centímetros, son:356, 359, 352, 350, 355, 350, 347, 338, 363, 347, 351, 351, 354, 343, 345,

349, 348, 350, 351, 350, 351, 357, 350, 343, 349, 350, 346, 353, 362, 336, 359,

350, 345, 341, 338, 345, 352, 349, 353, 353, 362, 355, 342, 350, 349, 346, 337,

347, 343, 352.

a) Agrupa los datos en clases de 5 en 5 centímetros y elabora una tabla de frecuencias

donde figuren también las marcas de clase.

b) Elabora un histograma para estos datos.

c) Calcula media, desviación media y desviación típica.

3. Los cupones de la ONCE están numerados del 00.000 al 99.999

a) ¿Cuál es la probabilidad de qué mi cupón salga premiado?

b) ¿Y si juego todas las semanas tres cupones diferentes?

4. La siguiente tabla muestra la incidencia del tabaco en los accidentes laborales, la muestra

ha sido de 300 personas.

Hombres Mujeres TotalFuman 164

No fuman 50

Total 178 300

Completa la tabla y calcula la probabilidad de:a) Si elegimos al azar una de las personas sea mujer no fumadora.

b) Si elegimos un hombre, éste sea fumador.

c) Una persona al azar sea fumador/fumadora.



Soluciones tema 5

318

Solucionario


1.Nº de productos F. absoluta F. relativa %

Menos de 5 30 0’375 37’5

De 5 a 10 40 0’5 50

Más de 10 10 0’13 13

N=80

2. Gráfica a): a) Polígono de frecuencias.

b) La evolución e las sentencias de divorcios y separaciones desde 1981 hasta 1999.

c) El número de divorcios y separaciones han ido en aumento.

Gráfica b) a) Diagrama de barras.

b) Estudia la proporción de la población europea que habla como segunda lengua cada

uno de los idiomas estudiados.

c) El Inglés es el idioma más elegido como segunda lengua.

3.

Se modifica la escala del eje vertical obteniendo un aplanamiento del polígono de frecuencias.

4. a)

Valoración Frecuencia Fr. Relativa %

Mala

Aceptable

Buena

NS/NC

45

73

26

6

0’3

0’49

0’17

0’04

30

49

17

4

b)

c) La moda por tratarse de una variable cualitativa: la

moda es “Aceptable”.

5.

a) 0’5, 0’5, 1,1,1,1’5, 1’5, 1’5, 1’5, 2, 2, 2, 2, 2, 2’5, 2’5, 2’5, 2’5, 2’5, 3, 3, 3, 3, 3, 3’5, 4, 4, 4, 4, 5.

b)

Tiempo (horas) De 0 a 1 De 1 a 2 De 2 a 3 De 3 a 4 De 4 a 5 De 5 a 6

Frecuencia(Fi) 2 7 10 6 4 1

Gestión del gobierno

Buena

17%

Mala

30%

NS/NC

4%

Aceptable

49%

Beneficios

2

3

4

5

6

1996 1997 1998 1999 2000 2001

Años

Miles de eurosBeneficios

01234567

1996 1997 1998 1999 2000 2001

Años

Miles de euros



Soluciones tema 5

319

c)

Tiempo en horas Marca de clase(Xi) Frecuencia(Fi) Xi · Fi

De 0 o 1 0’5 2 1

De1 a 2 1’5 7 10’5

De 2 a 3 2’5 10 25

De 3 a 4 3’5 6 21

De 4 a 5 4’5 4 18

De 5 a 6 5’5 1 5’5

.7'230

81x ==

d) El alumno puede opinar sobre la idoneidad de dedicar una media de 2’7 horas semanales de su

tiempo libre al trabajo de ONG.

6. Si X es la nota que falta la media será:

(7+4+X)/3=6 Æ 11+X=18 Æ X=18-11 => X=7

7. a)

b)

Nº hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 suma

Fr. (Fi) 11 12 25 5 3 2 0 1 0 0 0 1 60

Xi · Fi 0 12 50 15 12 10 0 7 0 0 0 11 117Di 1’95 0’95 0’05 1’05 2’05 3’05 4’05 5’05 6’05 7’05 8’05 9’05

Di · Fi 21’45 11’4 1’25 5’25 6’15 6’1 0 5’05 0 0 0 9’05 65’7

Xi2· Fi 0 12 100 45 48 50 0 49 0 0 0 121 425

x = =

117

60195' ; Me = 2; Mo = 2.

c) Recorrido es 11; DM = =

65 7

601095

'' ; σ = 81'195'1

60

423 2=−

8.

a) Profesor A:

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frecuencia 10 8 6 2 1 0 1 3 5 7 9

Profesor B:

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frecuencia 0 2 3 5 8 12 6 4 3 2 1

b) Profesor A:

.0Mo,5'32

43Me,8'4

52

250x ==

+

===

Profesor B:

.5Mo,52

55Me,02'5

46

231x ==

+

===

05

1015202530

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nº de hijos

N º d e p a r e j a s



Soluciones tema 5

321

12. a)Hemos probado 2 + 4 + 5 + 3 = 14 pilas, P(dure entre 6 y 8 horas) = 3 / 14 = 0’21

b)Casos favorables: entre 2 y 4 horas: --4-- entre 4 y 6 horas:--5-- entre 6 y 8 horas:--3--, total 4 + 5 + 3= 12

P(dure más de 2 horas) = 12 / 14 = 0’86

13. Número total de veces jugada = 700 + 120 + 15 + 10 + 3 = 848

a) P(0 euros) = 700 / 848 = 0’83 P(1 euro) = 120 / 848 = 0’14P(1,5 euros) = 15 / 848 = 0’02 P(3 euros) = 10 / 848 = 0’01 P(6 euros) = 3 / 848 = 0’004

b) como no específica que tipo de premio, nos valdrán todos,

P(obtener algún premio) = (120 + 15 + 10 + 3) / 848 = 0’17

c) No obtener ningún premio es el suceso contrario de obtener algún premio

P(no obtener premio) = 1 - P(obtener algún premio) = 1 - 0’17 = 0’83

14. a) P(aumento de peso) = 100 / 500 = 0’20

b) P(taquicardia o parálisis muscular) = (15 + 5) / 500 = 0’04

c) Ratones que no sufren ningún trastorno hay 500 - (15 + 100 + 5) = 380

P(no sufrir trastornos) = 380 / 500 = 0’76


1. a) cualitativa; b) dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de la muestra; c) cualitativa; d) al valor

medio de un intervalo; e) centrales; f) la separación de los valores de la media; g) espacio muestral;

h) elemental, compuesto; i) seguro, imposible.

2. a) F (la frecuencia relativa es un valor entre 0 y 1)

b) F (también pueden ser cualitativas)

c) V

d) F (es un valor entre 0 y 1)

e) F (un dado trucado)

f) V

g) V.

3. (c) por definición.

4. (a) por ser la que más se repite.

5. (a) por mantener las proporciones.

6. (c) están alteradas las escalas del eje vertical.7. (d) aplicando la fórmula del cálculo de la media.

8. (a)

9. (b) aplicando la regla de Laplace.

10. (c) porque se mantienen las proporciones.

11. (b) 4'05

2= .

12. (b) Los números pares menores de 6 son 2 y 4.


1. Cuantitativa: por ejemplo la edad, el sueldo, …

Cualitativa: por ejemplo preferencias de estudios, color ojos, …

2. a)

Nota (Xi) 3 4 5 6 7 8 9

Frecuencia (Fi) 2 3 5 4 2 3 1

% 10 15 25 20 10 15 5

b)

c) Mo = 5; Me =5 6

25 5

+

= '

0 0

2

3

5

4

2

3

1

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9



Soluciones tema 5

323

c)

Longitud Marca de clase Frecuencia Xi · Fi Xi -X o X -Xi Fi · (X-Xi)

335 a 340 337’5 4 1350 12’7 50’8

340 a 345 342’5 5 1712’5 7’7 38’5

345 a 350 347’5 13 4517’5 2’7 35’1

350 a 355 352’5 19 6697´ 5 2’3 43’7

355 a 360 357’5 6 2145 7’3 43’8

360 a 365 362’5 3 1087’5 12’3 36’9

Totales 50 17510 248’8

x DM = = = = =

17510

50350 2

248 8

504 976 6 18' ;

''' ; 'σ .

3. a)hay 100.000 números estos serán los casos posibles y favorable sólo uno que es el mío.

P(obtener premio) = 1 / 100000 = 0’00001

b) P(obtener premio con 3 cupones) = 3 / 100.000 = 0’00003

4. Tabla completada Hombres Mujeres Total

Fuman 92 72 164

No fuman 86 50 136

Total 178 122 300

a) Mujeres no fumadoras tenemos 50, pero como hay que escogerla al azar, la escogeremos de entre las

300 personas P(mujer no fumadora) =50 / 300 = 0’17.

b) Hombres fumadores hay 92, pero como sabemos que es hombre hay que escogerlo entre los 178

hombres P(fumador , sabiendo que es hombre) = 92 / 178.

c) Personas que fuman tenemos 164, como es al azar tendremos 300 casos posibles

P(fumar) = 164 / 300.



Actividades tema 6

326

3. Inventa situaciones que se correspondan con estas expresiones algebraicas:

a) 2 x – 3, si x es la edad de Juanb) 3( x – 1000), si x son mis ahorros

c) ( x + 6) : 3, si x son piezas fabricadas

4. Cálculo mental.

a) 2 x + 5 x

b) 5 x + xc) 8 x – 6 xd) 6 x – 8 xe) –2 x – x

5. Cálculo mental.

a) 2 · 3 x

b) – 2 · 3 x

c) 2(- 3 x)

d) –2 ( - 3 x)e) 6 (-2 x)f) –3 · 4 xg) –5 (-3 x)

• Para realizar la operación 5 x + x se puede interpretar como 5 de x más 1 de x.• Para realizar la operación –2 x – x, se puede interpretar como que debo 2 de x y debo

1 de x .• Para realizar la operación 2 · 3 x, se puede interpretar como el doble de 3 x.

La operación existente entre un número y un paréntesis, si no se indica, es lamultiplicación. Si lo que hay es un signo negativo se puede interpretar como multiplicar

por –1.



Actividades tema 6

327

6. Quita el paréntesis en las siguientes expresiones:

a) 2 (3 x – 7)b) – (5 x – 4)

c) – 2 ( x + 6)d) – (8 x +4)e) 3 (-4 x – 7)

7. Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 2 x + 23 = 366b) 3 = 4 x + 2c) 2 ( x –5) = 3d) 2 x – 2 = 3 x – 6e) 2 x – 4 ( x – 7) = x

f) 53

1

2−=

+−

x x

g) 14

3

5=−−

x x x

h) 72

3

2

)2(4

5

3+=

−

+ x x x

8. Resuelve el problema con el que introducíamos la unidad utilizando este método:

En una familia se controla el consumo de agua durante tresmeses consecutivos. Se sabe que el consumo del primer mes hasido el doble que el del segundo y en éste el consumo ha sido de309 litros más que en el tercer mes. Si en total se hanconsumido 12.927 litros de agua, calcula el consumo en cadauno de los meses analizados.

Los pasos a seguir en la resolución de problemas mediante métodos algebraicos son:a. Analizar los datos que ofrece el enunciado.b. Identificar la incógnita.c. Establecer la ecuación que relaciona los datos y la incógnita a partir de la

información del texto.d. Resolución de la ecuacióne. Solución al problema y comprobación de los resultados.



Actividades tema 6

329

FÓRMULAS

12. Escribe la fórmula que se explica en cada una de las siguientes frases:

a) El área de un círculo es igual a π por el cuadrado de su radio.b) El precio de un artículo está rebajado un 30% respecto de su precio inicialc) El precio que debe figurar en la factura de un restaurante ha de incluir el 16% de IVA.

13. La fórmula que permite calcular el área de un triángulo es A = (b · a) / 2. Calcula laaltura de un triángulo cuya base es de 4 cm y el área de 10 cm 2.

14. La velocidad del sonido es de 344 m/s. ¿A qué distancia habrá explotado un cohete sidesde que se ha visto la luz hasta que se ha oído el ruido han pasado 7 segundos?.Considera que debido a la elevada velocidad de la luz (300.000 km/s), vemos elresplandor en el mismo instante en que explota el cohete.

OTROS PROBLEMAS

15. Completa:

Expresión coloquial Expresión algebraica

'Edad de Marisa. x

'

La edad de Ángel es triple que la de Marisa __________'Luis tiene 2 años más que Marisa __________

Las fórmulas son expresiones algebraicas que expresan las relaciones que se dan entredeterminadas magnitudes y medidas.



Actividades tema 6

330

' Edad de Ángel hace 5 años __________' Edad de Luis dentro de 6 años __________' Edad de Marisa hace 10 años __________

' Dos números consecutivos __________' Un número par. __________' Dos números pares consecutivos __________' La mitad de un número __________' El cuádruple de un número más su cuarta parte __________' Espacio recorrido por un coche a 26Km/h en t horas. __________

16. La suma de las edades de tres hermanos es de 219 años. La diferencia entre el menor y elmediano es de dos años y entre el mediano y el mayor la diferencia es de 5 años. Calculala edad de los tres hermanos.

17. Un padre tuvo a su hijo a los 25 años. Si hace tres años la edad del padre era el doble quela del hijo, calcula las edades actuales de ambos.

18. El empleado de una empresa de reparto sale a las 9 h. de la mañana con los paquetes quetiene que distribuir a una velocidad de 100 km/h, pero se olvida uno de ellos. Media horamás tarde sale un compañero tras él para entregarle el paquete olvidado a 140 km/h.¿Cuándo y a qué distancia lo alcanzará?.

19. Dos coches salen a la misma hora de dos ciudades distantes entre sí 520 km, en la mismadirección y sentidos opuestos. Uno de ellos circula a 120 km/h y el otro a 140 km/h.¿Dónde y cuándo se producirá el cruce?.



Actividades tema 6

334

"6

50&7"-6"$*0/


1. La expresión algebraica correspondiente a “la edad de un padre es el doble que la de suhijo” es:

a) Padre x +2 Hijo 2 x.b) Padre 2 a Hijo a.c) Padre a Hijo 2 a.d) Padre a : 2 Hijo a.

2. La expresión algebraica 3 ( x – 1), se corresponde con la frase:a) Al triple de un número le restamos 1.b) A la tercera parte de un número le restamos 1.c) A un número le restamos su triple.d) Al resultado de restarle 1 a un número le calculamos el triple.

3. La solución de la ecuación 3 x + 2 = 5 es:a) 1b) – 1c) 0d) 2

4. Si la fórmula para calcular la densidad de una materia es d = M/V (densidad = masa/ volumen), halla la masa correspondiente a una densidad de 0’4 kg/l y un volumen de 10 l.

a) 4 kgb) 40 kgc) 1’4 kgd) 0’6 kg

5. La solución de la ecuación 2 x – 5 = x + 10, es:a) 5b) – 5c) – 15d) 15


actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con laque aparece en el solucionario consulta con tu profesor.





Actividades tema 6

336



YTraducir situaciones cotidianas problemáticas al lenguaje algebraico después de habermefamiliarizado con él.

YPlantear ecuaciones de primer grado adecuadas a la situación planteada en los problemas.

YResolver las ecuaciones de primer grado y adaptar su solución a la del problema.

YA interpretar las fórmulas de las diferentes ciencias como expresiones algebraicas y autilizarlas en la resolución de problemas.

“Aún tengo dificul tades en …”

Y.................................................................................................................................

Y.................................................................................................................................

Y.................................................................................................................................

Y.................................................................................................................................

Y.................................................................................................................................




YMe ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre estetema puedo realizar las actividades de ampliación.



Actividades tema 6

337

"$5*

7*%"%&4 %& 3&'6&3;0

1. Traduce al lenguaje algebraico:a) El doble de un número más tres unidades.b) Tres números consecutivos suman once.c) Edad de una persona hace cuatro años.d) Edades de un padre y su hijo si la edad

del primero es el triple que la delsegundo.

e) Espacio recorrido por un coche que semueve a velocidad constante de 90Km/h en t horas.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2 x + 5 = x – 6

b) 3 ( x - 5) = x – 15c) 5 - (2x + 6) = -x + 10

3. Si al doble de un número le sumamos 10 el resultado es el mismo que si restamos elnúmero a 43. ¿De qué número se trata?.

4. Si al doble de los años que tengo le restas el doble de los que tenía hace cinco añosresultará mi edad actual.

5. Teniendo la misma cantidad de monedas de 50 céntimos, de20 céntimos y de 2 céntimos, tengo una cantidad total de2’88 ¼ ¿Cuántas monedas tengo de cada tipo?.



Actividades tema 6

338

"$5*7*%"%&4 %& ".1-*"$*0/

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 14

3

6

1−=

+−

+ x x

b) 78

22 +=

++ x

x x

c) 09

2

15

12=

+−

+ x x

2. En una joyería se trabaja con lingotes de oro de ley 0’750 y de ley 0’950. Si quierenrealizar un diseño para el que necesitan 3’6 gramos de oro de ley de 0’9, ¿qué cantidad de

oro de cada lingote tendrán que alear?.

3. La noticia acerca del aborto en España hasta 1999 se completaba con la información quepresenta este diagrama de barras.

Aleación es la mezcla de dos o más metales.Oro de ley 0’750 significa que por cada 1000 gramos de aleación, 750 son de oro puro.



Actividades tema 6

339

Calcula el número de nacimientos que se dieron en mujeres de edades comprendidasentre los 15 y los 19 años.

4. Sabiendo que la tasa de alcoholemia permitida para conducir no puede sobrepasar los0’3g/dl:

a) Calcula los gramos de alcohol puro que puede consumir una mujer que pesa 52 kg, sitiene la intención de conducir después.

b) Si la bebida que va a tomar es cerveza de Gº = 4, calcula el volumen máximo quepodrá ingerir.

Algunos conceptos relacionados con la ingesta de alcohol son:• Tasa de alcoholemia o de alcohol en sangre:

c Hombres.

7'0·.

.

pesok

alcoholg

c Mujeres

6'0·.

.

pesok

alcoholg

• Gramos de alcohol puro:

bebidamlG

.·100

8'0·º

• Grado alcohólico (Gº): Es el porcentaje del volumen de alcohol puro.



Soluciones tema 6

340

Solucionario


1. a. Tanteamos o probamos con diferentes valores aproximándonos a la solución:5000+10000 =150005200+10400 =156005250+10500 =15750

b. Gráficamente y utilizando las operaciones adecuadas:

1750:3=5250. 1ª parte 5250; 2ª parte 5250· 2=10500

2. a. 2 x (siendo x el sueldo de mi marido).b. 3 x (siendo x la edad del hijo pequeño).c. x/4(siendo x mis ahorros).c. 2x+x/3 (siendo x el precio de un bocadillo).

3. a. Doble de la edad de Juan menos tres.b. El triple de lo que queda al quitarle 100 a mis ahorros.c. La tercera parte de las piezas fabricadas más seis.

4. a. 7xb. 6xc. 2xd. –2xe. –3x

5. a. 6xb. –6xc. –6xd. 6xe. –12xf. –12xg. 40x

6. a. 6x-14b. –5x+4c. –2x-12d. –8x – 4e. –12x + 21

7. a. 2x=366-232x=343x=343/2

b. –4x=2-3-4x=-1x=-1/-4=1/4

c. 2x-10=32x=3+102x=13x=13/2

d. 2x-3x=-6+2-x=-4x=4

15750

¿ ¿



Soluciones tema 6

341

e. 3x – 4x + 28 = x3x - 4x - x =-28-2x = -28x= -28/-2 =14

f.

6· )5·(63

12

−=

+

−x x

303

1·6

2·6 −=

+

−x x

3x-2(x+1)=-303x-2x-2=-303x-2x=-30+2x=-28

g.

202015420

204

20

5

2020

1·204

3

520

=

=−−

=−−

=

−−

x

x x x

x x x

x x x

h.

1147

4711

40715206

701540206

7015)2(206

703·5)2(4·53·2

7·102

3·10

2

)2(4·10

5

3·10

72

310

2

)2(4

5

310

=

=

+=−+

+=−+

+=−+

+=−+

+=

−+

+=

−+

x

x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

8. Incógnita: unidades a producir, xEcuación: 100000+0’56x=135000

0’56x=135000-1000000’56x=35000x=35000/0’56=625000.

Solución: Se pueden fabricas 625000 unidades.

9. Datos e incógnita:Almendras: xCacaos: 15-xPrecio almendras: 7’8xPrecio cacaos: 3’2(15-x)

Ecuación : 7’8x+3’2(15-x)=5· 157’8x+48-3’2x=754’6x=27x=27/4’6=5’87

Solución: 5’87 kg. de almendras y 9’13 kg. de cacaos.

10. Ecuación: 7’5x+7’5· 3’2=15· 67’5x=-24+907’5x=66x=66/7’5=8’80 ¼

Solución: de 8’80 ¼NJ

11. Ecuación: 3’20x+4(100 -x)=3’5· 1003’20x+400 -4x=350-0’8x= -50x=-50/-0’8=62’5. Solución: 62’5 kg y 37’5 kg.



Soluciones tema 6

342

12. a. A=r2.b. PF=PI· 0’7. Siendo PF y PI los precios rebajado y sin rebajar respectivamente.c. PT=PI· 1’16. Siendo PF y PI los precios con IVA y sin IVA respectivamente.

13. Sustituimos en la fórmula los valores conocidos.10=

2

4a

54

20

4

2·10===a

Solución: 5 cm14. Aplicamos la fórmula que calcula la velocidad: e=v· t

E= 344· 7=2408 m=2’408 km.

15. Expresión coloquial Expresión algebraica

'Edad de Marisa x

'La edad de Ángel es triple que la de Marisa 3x'Luis tiene 2 años más que Marisa x+2'Edad de Ángel hace 5 años 3x-5'Edad de Luis dentro de 6 años x+2+6=x+8'Edad de Marisa hace 10 años x-10'Dos números consecutivos x; x+1'Un número par 2x

'Dos números pares consecutivos 2x; 2x+2'La mitad de un número x/2'El cuádruple de un número más su cuarta parte 4x+x/4'Espacio recorrido por un coche a 26 km/h en t horas. 26t

16. Edad mediano: x. Edad menos: x-2. Edad mayor: x+5.Ecuación: x+x-2+x+5=219

3x=219-5+23x=216x=216/3=72

Solución: 70, 72 y 77

17. Padre HijoE. actual x+25 xE. hace 3 x+22 x-3Ecuación: x+22=2(x-3)

x+22=2x-6-x=-28x=28

Solución: 28 y 53 años.

18.

Velocidad Tiempo EspacioEmpleado 1 100 x 100xEmpleado 2 140 x-0’5 140(x-0’5)Ecuación: 100x=140(x-0’5)

100x=140x-70100x-140x=-70-40x=-70x=-70/-40=1’75 h.=1 h y 45’ Solución: a 1’75 h. y a una distancia de 175 km (1’75· 100).

Bt = x

e = 100x

e = 140(x -0’5)

t = x - 0’5

A

Hijo

Emp.1

Emp.2



Soluciones tema 6

344

25. Datos: abortos en 1999=>58339% de abortos en 1999 totales =>13’72%

Incógnita: número de embarazos: xEcuación: x· 0’1327=58339

x=58339/0.1327=439555Solución: 439555 embarazos.

26. Altura: xBase: x+3Perímetro: 2x+2(x+3)Ecuación: 2x+2(x+3)=46

2x+2x+6=464x=40x=40/4=10 Solución: 10 y 13 cm.

27. Incógnitas: precio jersey =>xPrecio pantalón =>x+6

Ecuación: 3x+x+6=54

4x+6=544x=48x=48/4=12 Solución: 12 y 48 euros.


1b2d3a(3x = x; x = 3/3 = 1)4a (0’4 = M/10; M = 0’4· 10 = 4 kg.)5d (2x -x = 10 + 5; x = 15)6c.7c (2x + x = 573; 3x = 573; x = 573 / 3 = 191. 2x = 382) .8a9d ( 0’05x = 42’51 - 11’32; 0’05x = 31’19; x = 31’19 / 0’05 = 625’8).10a ( 500 = v· 20; v = 500 / 20 = 25 m/s).


1. a. 2x+3b. x + x + 1+ x + 2 = 11; 3x + 3 = 11c. x-4d. Padre 3x; hijo xe. 90t

2. a. 2x – x = -6 - 5x = -11

b. 3x – 15 = x - 153x – x = -15 + 152x = 0x = 0

c. 5 - 2x – 6 = -x + 10-2x + x = 10 + 6 - 5-x = 11x = -11

3. Incógnita: xEcuación: 2x + 10 = 43 - x

2x + x = 43 - 103x = 33x = 33 / 3 = 11

Solución: el número es 11.



Soluciones tema 6

346

3. Obtenemos el porcentaje de abortos del problema 26: 43’23Embarazos = abortos + nacimientos.Abortos =>8669Embarazos => x

Ecuación:

113864323.0 / 4.4922

4323.04.4922

4323.06.37468669

)8669(4323.08669

4323.08669

8669

==

=

+=

+=

=

+

x

x

x

x

x

4. a) gramos alcohol: x

Ecuación:

6.26.0

2.5·3.0

3.06.0·52

==

=

x

x

Solución: 2.6 g

b) Ecuación:

5'812.3

260

8.0·4

100·6.2

6.2·100

8.0·4

===

=

x

x

Solución: 81’5 ml.



Actividades tema 7

348

¿?

3. ¿A qué horas forman las manecillas del reloj, un ángulo recto?, ¿y un ángulo llano?.

POLÍGONOS CONVEXOS

MÁS FRECUENTES

4. Busca en el periódico objetos cuyas caras sean triángulos y clasifícalos atendiendo a sus

lados y a sus ángulos.

5. Ayudándote de los dibujos y usando el teorema de Pitágoras calcula:

a)La diagonal de un rectángulo de lados 3 cm y 5 cm.

b)Perímetro de un rombo de diagonal mayor 8 cm y

diagonal menor 6 cm.

¿?

Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado

de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

a2 + b2 = c2

a

b

c



Actividades tema 7

349

c) La altura de un triángulo equilátero de lado 6 cm

6. La antena de nuestra casa oscila mucho en los días de aire, vamos a

sujetar la antena de televisión con tres cables, cada cable lo vamos a fijar

a un tensor que está a 3 m del pie de la antena, la antena mide 5 m.

¿Cuánto cable necesito? (la antena, el cable y el tensor forman un

triángulo rectángulo).

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

7. Expresa las siguientes unidades en la unidad inmediatamente superior: (intentaconstruir una figura que te permita compararla con la unidad patrón

Ejemplo: 144 cm2

es un cuadrado de lado 12 cm (12 · 12 = 144), o un rectángulo de 18

cm de largo y 8 cm de ancho (18 · 8 = 144).

100 cm2

=.............................. dm2

10.000 cm2

=.......................dm2.

625 mm2

=............................. cm2

1.024 dm2

=.........................m2.

8. Transforma las siguientes unidades de superficie:

5.500 áreas =......................... km2

3500 cm2

=..........................ca

125 dam2

= ............................ hm2

25 mm2

= ............................cm2

3 km2

=.................................. áreas 3.456.000 cm2

=..................áreas

1 km2

= 100 hm2

1 m2

= 100 dm2

1 ha = 100 áreas

1 hm2

= 100 dam2

1 dm2

= 100 cm2

1 área = 1 dam2

1 dam2

= 100 m2

1 cm2

= 100 mm2

1 área =100 ca

¿?



Actividades tema 7

352

15. Calcula el área de esta parcela si has anotado las siguientes medidas:

90 m 25 m

80 m

60 m

20 m

60 m

50 m



Actividades tema 7

353

"6

50&7"-6"$*0/



a) Un ángulo que mide 90º se denomina ángulo………………..

b) Dos rectas que no tienen ningún punto en común, son rectas…………………….

c) Si dos rectas se cortan en un punto y además forman 90º, se llaman……………..

d) Cada una de las 360 partes en que se divide la circunferencia se llama.....................

e) Con el teorema de Pitágoras podemos calcular si un triángulo es……………….


a) Un minuto son 60º…………

b) 1´ 5º son 1º 30´ …………..

c) Si un polígono tiene todos sus lados iguales es un polígono regular………

d) Un triángulo puede tener dos ángulos obtusos……….

e) Los ángulos de un cuadrilátero suman 360º…………

3. Un triángulo cuyos catetos miden 4 y 6 cm, y la hipotenusa 8 cm, ¿es un triángulo

rectángulo?.

a) si b) no c) no existe ese triángulo.

4. El área del siguiente triángulo rectángulo es:

a) Me falta la base

b) 4´ 2 cm2

c) 8´ 4 cm2






aprendizaje.



2 cm

4´ 2 cm



Actividades tema 7

354

5. Calcula el área del paralelogramo

a) 525 mm2

b) 350 mm2

c) 150 mm2

6. Una moneda de 5 pts tiene un diámetro de 1´ 3 cm, calcula las monedas que se pueden

obtener de una lámina de 30 cm por 15 cm.

a)250 b)338 c)85

7. Una centiárea equivale a:

a)10 m2

b)1 cm2

c)1 m2

8. 354m2

equivalen a:

a)3 áreas b)3´ 54 dm2

c)3´ 54 dam2

9. 25,75º son:

a)25º 75´ b)25º 45´ c)25º 7´ 5´´

10. 67º 20´ son:

a)67,0º b)67º 2´ 0´´ c)67,33´

11. Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura.

a) P = 21´ 5 cm A = 90 cm2

b) P = 43 cm A = 96´ 5 cm2

c) P = 51 cm A = 100 cm2

12’5 cm

9 cm

2 cm

2 cm

35 mm

15 mm10 mm



Actividades tema 7

355



YComprender el vocabulario propio de la Geometría: punto, recta, segmento, plano, ángulo

polígono, perímetro, áreas.

YClasificar los triángulos según sus lados y sus ángulos.

YConocer las variedades de cuadriláteros.

YDiferenciar la circunferencia del círculo.

YReconocer la variedad de figuras geométricas existentes en la Naturaleza.

YCalcular el perímetro.

YUtilizar las unidades de medidas de superficies.

YUtilizar las unidades de ángulos.

YCalcular superficies de triángulos, cuadriláteros y circunferencia.

YCalcular áreas descomponiendo la figura en otras figuras conocidas.

YRecuperar datos almacenados en la memoria de la calculadora.

YOperar con ángulos usando la calculadora.


Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................

Y..................................................................................................................................








Actividades tema 7

356

"$5*7*%"%&4 %& 3&'6&3;0

1. Fíjate en las siguientes rectas y contesta:

a) A y B son rectas……………….

b) A y C son rectas……………….

c) B y C son rectas………………

2. ¿Cuántas rectas pasan por el punto A?, ¿y por el punto A y B al mismo tiempo?.

3. Clasifica los siguientes triángulos dependiendo de sus ángulos y sus lados:

(1) (2) (3) (4)

4. Nombra a los siguientes cuadriláteros:

a) b) c) d) e) f)

A

B

C

A

B

a b

c

a

a

aa

a

ba

a

c



Actividades tema 7

358

"$

5*

7*%"%&4 %& " .1-

*"$*0/

1. Observa las recta y los ángulos de esta figura:

a) ¿Que relación hay entre los

ángulos A y C? ¿y B con D?

b) ¿Y entre A con 1, B con 2, C

con 3, D con 4?

2. Intenta dibujar un triángulo de lados 3 cm, 1 cm, 1 cm.

Dibuja éste: a = 4 cm, b = 2 cm, c = 3 cm.

Con tres medidas cualesquiera no siempre se puede construir un triángulo, esnecesario que el lado mayor sea menor que la suma de los otros dos lados. Si a, b, c,

son los lados del triángulo y a es el lado mayor, se cumple a < b + c

Dos ángulos son suplementarios si suman 180º , A + B = 180º .

Dos ángulos como A y C se llaman opuestos por el vértice.



Actividades tema 7

359

3. La superficie de un balón de fútbolestá recubierta por 12 pentágonos y

20 hexágonos, el hexágono y el

pentágono tienen 8 cm de lado, la

circunferencia circunscrita al

hexágono es de 8 cm de radio y la

del pentágono es de 5 cm. Calcula la

superficie del balón.

Una circunferencia se dice que está circunscrita en un polígono,

cuando los lados de éste son cuerdas de la circunferencia.

Una circunferencia será inscritaa un polígono, si cada lado (no el vértice)

sólo toca a la circunferencia en un punto.

El área de un polígono regular es

Área = (perímetro x apotema) / 2.

Siendo la apotema la perpendicular al lado desde

el centro de la circunferencia circunscrita al polígono.



Actividades tema 7

360

4. Calcula el perímetro de la siguiente figura:

R= 2’25 cm 30º

Arco de

circunferencia

Sector circular

Elementos notables de un triángulo:

• Altura: es el segmento perpendicular

a un lado que pasa por el vértice opuesto.

El punto de intersección de las tres alturas

se llama ortocentro.

• Mediana: es el segmento que une el

punto medio de un lado con el vérticeopuesto.

El punto de intersección de las tres

medianas se llama baricentroy es el centro de gravedad del triángulo.



Soluciones tema 7

362

3 m

5 m ¿?

Solucionario


1. Respuesta abierta.

2. 40º 135º

3. Ángulo recto: algunas horas serían, 15: 00, 21: 00, sin embargo a las 12 : 15, 1 : 20, 2 : 25, 3 : 30,…forman menos de 90º pues la aguja horaria se desplaza hacia la siguiente hora.

Ángulo llano: 18 : 00, otras ángulos casi de 180º serían las 12 : 30, 21 : 15, 3 : 45, …

4. Las posibles soluciones serán:

equilátero acutángulo , Isósceles , Escaleno

5. a)La diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3 y 5 cm32 + 52 = 9 + 25 = 34 = ¿?2 ¿? = √ 34 = 5´83

b)Necesitamos el lado, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 4 y 3 cm.42 + 32 = 16 + 9 = 25 = ¿?2 ¿? = √ 25 = 5 Perímetro =5 · 4 = 20 cm

c)La altura es elcateto del triángulo rectángulo de lados 3 y 6 cm.32 + ¿?2 = 9 + ¿?2 = 36 ¿?2 = 36 - 9 = 27 ¿?= √ 27 = 5´2 cm.

6. El cable es la diagonal de un triángulo rectángulo de lados 3 y 5 m

32 + 52 = 9 + 25 = 3434 = ¿?2

¿?= √ 34 = 5´83Como hay tres tensores, Cable =3 · 5´83 = 17´49 = 17´5 m

7. 100 cm2 = 1 dm2 (un cuadrado de lado 10 cm) 10.000 cm2 = 100 dm2(un cuadrado de lado 100 cm )625 mm2 = 6´25 cm2(un cuadrado de lado 25 mm) 1.024 dm2 = 10´24 m2(un cuadrado de lado 32 dm).

8. 5.500 áreas = 55 km2 3500 cm2 = 0´35 ca125 dam2 = 1´25 hm2 25 mm2 = 0´25 cm2

3 km2 = 300 áreas 3.456.000 cm2 = 3´456 áreas

9. Superficie del terreno = 300 · 600 = 180.000 m

2

180.000 : 2´25 = 80.000 naranjos10.

Si l = 2 cm Si l = 3 cmárea = 22 = 4 cm2 área = 32 = 9 cm2

Si l = 4 cm Si l = 6 cmárea = 42 =16 m2 área = 62 = 36 cm2

16 / 4 = 4 36 / 9 = 4

Al duplicar el lado, el área ha aumentado 22 = 4 veces.

ObtusánguloAcutángulo

Rectángulo

ObtusánguloRectángulo

Acutángulo.



Actividades tema 8

368

2. HACEMOS MEDIDAS DE ENVASES

3. Practica las unidades de volumen y de capacidad, completando las siguientes

igualdades:3 m3

=............................dm3

50.000 dm3

= .................m3

1250 cm3

= ....................dm3

24´3 dam3

=...................dm3.

4. a)Si un bidón con forma de cubo tiene 1000 dm3

de volumen, ¿qué dimensiones puede

tener ese depósito?.

b)Y si tiene 125 cm3

de volumen, ¿cuáles pueden ser sus medidas?

5. Expresa las siguientes unidades en la unidad que está a continuación:

100 l = ...................................dal 10.000 cl = ..........................ml.

625 ml = ................................cl 1.024 dl = ............................l..

6. Si decimos que un recipiente contiene 23´54 l, queremos decir que su capacidad es de 2

dal, 3 l, 5 dl, y 4 cl. Expresa de esta forma las siguientes capacidades:

a) 25´5 dal = ..............................................................

b) 456´34 dl =............................................................

c) 44´23 kl =..............................................................

1 km3

= 1000 hm3

1 m3

= 1000 dm3

1 hm3

= 1000 dam3

1 dm3

= 1000 cm3

1 dam3

= 1000 m3

1 cm3

= 1000 mm3

1 kl = 10 hl 1 l = 10 dl

1 hl = 10 dal 1 dl = 10 cl

1 dal = 10 l 1 cl = 10 ml

1 l = 1 dm3

1kl = 1m3

1.000 l = 1 m3

1ml = 1cm3



Actividades tema 8

369

7. Transforma las siguientes unidades de volumen en unidades de capacidad y viceversa:

5.500 l =................................ m3

3500 cm3

=..........................l.

125 dm3

=.............................. l. 25 mm3

= ............................ml

3 km3

=.................................. l. 3.456.000 cm3

=..................kl

8. Tenemos un grifo que gotea, comprobamos que cada segundo cae una gota, si

recogemos las gotas comprobamos que cada 10 gotas tenemos 1 ml. ¿cuántos litros de

agua perderemos al cabo del día?.

9. Estamos buscando radiadores, éstos calientan adecuadamente una habitación de unos 60

m3. Si nuestro comedor tiene 6 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de altura. ¿cuántos

necesitamos comprar para que el comedor esté caldeado?.

10. ¿Cuánta agua consume semanalmente una familia de 3 personas en las siguientes tareas:

a) La cisterna es usada 7 veces al día por cada miembro de la familia.

Volumen prisma = área de la base x altura

Volumen cilindro = área del círculo x altura = π· r2

· h

Volumen pirámide =3

alturabaseladeárea ⋅

Volumen cono =3

alturacírculodelárea ⋅=

3

2 hr ⋅⋅π

Volumen esfera = 3

3

4r ⋅⋅π

3 4 c m

15 cm

36 cm



Actividades tema 8

370

b) En la ducha, el grifo arroja uno 15 l por minuto, si están aproximadamente 3 minutos

cada uno, ¿hasta qué altura llegaría el agua en la bañera después de ducharse los tres?

(aproximamos la bañera por un prisma rectangular).

11. Me han regalado una caja de 5 dm de larga, 3 dm de ancha y 2 dm de alta. ¿Puedo

guardar en ella una flauta que tengo de 60 cm de larga?.

12. ¿Cuál es la capacidad de los siguientes elementos:

a)un vaso de agua b)Una taza de leche

Ayuda: fíjate en el dibujo y utiliza el teorema de Pitágoras,

para calcular la diagonal del prisma.

La diagonal de un poliedro es el segmento que une dos vértices que no están en el

mismo plano.

7´ 5 cm

7 cm

9 cm

7´ 5 cm

140 cm

54 cm

38 cm



Actividades tema 8

374

22. ¿Cuánto cm2

de cartón necesitas para forrar, por dentro y por fuera, una caja de 6 cm x

15 cm x 5 cm, sin tapa?.

23. Tenemos un cubo de 3 cm de arista y construimos uno semejante de razón 2

a) Calcula el volumen de cada uno de los cubos. ¿Mantienen la misma razón de

semejanza.? ¿Sabrías decir cuál es la nueva razón de semejanza para los volúmenes?.

b) Calcula el área total de cada uno. ¿Qué relación guardan entre ellos?.

24. Tengo un mueble que es una pirámide cuadrada de lado 60 cm y de altura 2 m . Voy a

pintarla (excepto la base) utilizando una técnica que requiere tapar el mueble con un

papel secante después de darle la primera mano de tinte. ¿Cuántos m2

de papel necesitocomprar?.

25. El tejado de un campanario tiene forma de pirámide. Halla los m2 de teja para ponerlasen las caras laterales de un campanario si la base es un hexágono de lado 10 m y la

altura del tejado es de 24 m.

6 cm15 cm

5 cm



Actividades tema 8

375

26. El radio de la Luna es de unos 1750 km y el radio de la Tierra es de 6400 km. ¿Cuántas

veces es mayor el volumen de la Tierra respecto al de la Luna?.

27. Cada 20 minutos unas bacterias cubren una superficie de 1 mm2. ¿Cuánto tiempo

tardarán en cubrir un gajo de naranja si la naranja tiene 12 gajos y el diámetro de ésta es

de 8 cm?.

28. Calcula la superficie esférica de un huso horario (recuerda que los husos abarcan 15º y

que el radio e la Tierra es de unos 6.400 km).

29. Utiliza la calculadora para calcular las siguientes raíces:

==

==

==−

3

0000080

3

0010

3 6783125

327

83 8

´ ) f ´ )e

)d )c

)b)a

15 ºr

8 c m4 cm



Actividades tema 8

378



Reconocer la variedad de figuras geométricas existentes en la Naturaleza.

Reconocer las principales figuras espaciales: poliedros y cuerpos de revolución.

Diferenciar un prisma de una pirámide.

Generar cilindros, conos y esferas a partir de figuras planas.

Calcular áreas de figuras espaciales.

Calcular el volumen de prismas, pirámides y cuerpos de revolución.

Conocer las unidades de capacidad y de volumen.

“Aún tengo dif icultades en …”

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................


Mi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.

Tengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.

Me ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este




Actividades tema 8

381

3. Una comparsa nos ha encargado la fabricación de 500 gorros con forma de cono , si éstos

deben medir 40 cm de alto y 20 cm de diámetro en la base, ¿cuántos m2

de cartón

necesitamos comprar a nuestro proveedor para satisfacer el pedido?.

4. Halla el volumen de los siguientes cuerpos.

r

g

g

r

altura



Actividades tema 8

382

y x xó y

Calcula la raíz de números con cualquier índice.

Esta tecla suele estar encima de la tecla yx

o xy

, si es así ya sabes que debes utilizar la tecla

shift o inv o and F .

6 15625 15625 x y 6 = 5 Æ 56

= 3125

5 7776− 7776 +/- x y 5 = - 6 Æ (-6)5

= -7776

Otras calculadoras utilizan otra tecla para calculara raíces:

x y yó x 11=

y x xó y

x y = y1/x

414

212

8181

2525

=

=

Son dos formas de expresar lo mismo, ya que las raíces se pueden expresar

como una potencia de exponente fraccionario, el índice pasa a ser el denominador de la

fracción del exponente.

6 15625 15625 y1/x 6 = 5 Æ 56 = 3125

5 7776− 7776 +/- y1/x

5 = - 6 Æ (-6)5

= -7776

5. Calcula usando la calculadora:

=−==

==−=

364

575

3375000064000010

24883221873125

) f ´ )e´ )d

)c)b)a



8. Calcula el volumen en litros de una bombona de oxígeno que tiene la siguiente forma y las

siguientes dimensiones

9. Calcula el peso de contenedor que está fabricado con una chapa de hierro de 8 mm de

espesor. El contenedor es un prisma rectangular cuya base mide 1×1´ 5 m y cuya altura

es de 2 m.

El hierro pesa 7´ 85 kg/m3

50cm

20cm

1´ 5

1m

2m

mundo trabajo apuntes

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