1

PENERAPAN MODEL PREDICTIVE CONTROL (MPC)

PADA DESAIN PENGENDALIAN ROBOT MOBIL BERODA EMPAT

oleh:

Dimas Avian Maulana

1207 100 045

Dosen Pembimbing:

Subchan, M.Sc., Ph.D

Abstrak

Robot mobil adalah salah satu contoh dari wahana nir awak (WaNA) yang dapat dikendalikan dari

jauh atau memiliki sistem pengendali otomatis untuk bergerak dan berpindah haluan. Robot mobil menjadi

salah satu sarana yang digunakan oleh pihak militer untuk untuk melakukan pengintaian, penjelajahan, dan

pengawasan ke tempat-tempat yang berbahaya bagi manusia. Pada penerapannya ada beberapa lintasan yang

dianggap berbahaya untuk dilalui, didefinisikan suatu lintasan terlebih dahulu agar robot mobil bergerak

sesuai lintasan tersebut. Robot mobil tidak bisa mengikuti lintasan dengan baik tanpa diberi perintah terlebih

dahulu dan dikendalikan. Untuk itu, diperlukan suatu metode untuk mengendalikan robot mobil agar dapat

bergerak mengikuti lintasan dalam misinya untuk melakukan pengintaian, penjelajajahan dan pengawasan.

Dalam tugas akhir ini, diterapkan model predictive controller (MPC) untuk mendesain suatu desain

pengendalian. Lebih lanjut lagi digunakan MPC Linear dalam mendesain pengendalian robot mobil tersebut.

Hasil yang diperoleh adalah bahwa MPC Linear dapat diterapkan dalam desain pengendalian robot mobil

dengan beberapa bentuk lintasan.

Kata kunci : Desain pengendalian, Robot mobil, Model Predictive Control (mpc)

1. Pendahuluan

Robot mobil (mobile robot) adalah sebuah

mesin otomatis yang mampu bergerak pada

suatu kondisi tertentu. Robot mobil

diklasifikasikan menjadi dua, yaitu menurut

lingkungan tempat robot tersebut bekerja dan

alat yang digunakan untuk bergerak.

Berdasarkan lingkungan tempat robot tersebut

bekerja, robot mobil terbagi menjadi empat

macam: robot yang bekerja di atas permukaan

tanah (land robot), robot udara yang biasa

disebut unmanned aerial vehicle (UAV),

autonomous underwater vehicles (AUVs),

dan Robot yang bekerja pada lingkungan

kutub—robot yang berkerja pada kondisi

permukaan tanah yang dilapisi es (polar

robots). Sedangkan berdasarkan alat yang

digunakan untuk bergerak, robot mobil

terbagi menjadi robot berlengan atau

berkaki—lengan atau kaki menyerupai

manusia (android) ataupun hewan, robot

beroda—Wheeled Mobile Robot (WMR)

(Wikipedia, Mobile Robot, 2006).

Robot mobil tersebut merupakan Wahana

Nir Awak (WaNA) yang telah menjadi sarana

yang sering digunakan oleh pihak militer

maupun pihak sipil untuk melakukan

pengintaian, penjelajahan, dan pengawasan ke

tempat-tempat yang berbahaya bagi manusia.

Kemampuannya yang dapat dikontrolkan dari

jauh atau bahkan dirancang agar dapat

bergerak sendiri sesuai dengan lintasan

tertentu akan sangat menguntungkan bagi

manusia. Beberapa keuntungan yang dapat

diperoleh antara lain meminimalisasi resiko,

meminimalisasi objektif, dan lain sebagainya

(Hartini, 2011).

Kemajuan teknologi khususnya dalam

bidang navigasi berpengaruh besar terhadap

kemajuan teknologi militer. Jika dahulu

navigasi robot mobil masih dilakukan dengan

sistem manual menggunakan peta, kini sistem

navigasi berbasis GPS telah banyak

digunakan pada robot mobil sehingga

memudahkan pengendalian dan pelacakan

robot mobil tersebut. Agar dapat mengikuti

lintasan dengan tepat, diperlukan suatu

metode untuk mengendalikan robot mobil

agar tetap berada pada lintasan.

Ada berbagai macam sistem pengendali

yang sering digunakan untuk mengendalikan

suatu sistem, diantaranya Proportional-

Integral Derivative (PID), Model Predictive

Control (MPC), dan sebagainya. Pada

umumnya, PID tidak dirancang untuk sistem

nonlinear dengan banyak ketidakpastian

(uncertainties) dan tidak didesain untuk

menghadapi beban yang cepat berubah. Model

predictive control tampaknya menjadi

pendekatan yang menarik dan menjanjikan

2

untuk menyelesaikan masalah-masalah

tersebut (da Silva Jr., Kühne, & Lages, 2005).

Contoh dari penggunaan MPC adalah

pada Model Ketidakpastian berdasarkan

Model Predictive Control dengan Perturbasi

untuk Sistem Max-Plus Linear (MPL) oleh

Nurwan dalam Tesis Jurusan Matematika ITS

dan Pengaturan Gerakan Lateral Dan

Longitudinal Pada Helikopter Model

Menggunakan Kontrol Prediktif Model oleh

R. P. Dahniar Harinyoto dalam Tugas Akhir

Jurusan Elektro ITS.

Pada Tugas Akhir ini, akan diterapkan

MPC untuk mendesain pengendalian pada

robot mobil beroda empat.

2.1 Kinematika Robot Mobil

Robot mobil yang digunakan dalam

tugas akhir ini adalah robot mobil yang

bergerak di darat dan menggunakan empat

roda dengan dua roda depan yang dapat

berbelok untuk berpindah tempat. Pada

(Hartini, 2011), dimensi fisik robot mobil

akan tampak seperti gambar berikut:

Gambar 1 Dimensi fisik robot mobil

Gambar 2 Sistem kemudi robot mobil (1)

Dengan mengasumsikan bahwa robot

bergerak lurus berarturan dan penguraian

gaya-gaya yang bekerja pada robot mobil,

dapat diperoleh dan dimana:

(1)

Gambar 3 Sistem kemudi robot mobil (2)

Dari gambar 3 (Sotelo, 2003), dengan

mengasumsikan bahwa kedua roda depan

robot mobil berubah sedikit demi sedikit

secara diferensial, maka pusat rotasi sesaat

dapat dihitung. Anggap ( ) adalah

kelengkungan sesaat lintasan

( )

( )

( ) ( )

( )

(2)

Dimana adalah jari-jari

kelengkungan, jarak sumbu roda, sudut

kemudi, posisi robot, dan adalah orientasi

robot pada koordinat secara umum. Maka

dapat diperoleh persamaan berikut:

( ) ( )

(3)

( )

Roda Depan

Roda Belakang

3

Dari persamaan (1), (2), dan (3)

dapat dibentuk suatu sistem dinamik berikut

ini:

(4)

Dimana:

: posisi robot mobil

: posisi sudut robot mobil

: kecepatan robot mobil

: sudut kemudi robot mobil

: jarak antara sumbu roda depan dan

belakang

dengan memisalkan , , dan ,

maka:

(5)

atau dalam bentuk yang lebih kompak menjadi

( ) (6)

dimana

[

]

[ ]

3. Model Predictive Control

Model Predictive Contol atau MPC

adalah suatu metode proses kontrol lanjutan

yang banyak diterapkan pada proses industri.

MPC adalah algoritma pengendali peubah

banyak (Wikipedia, Model Predictive Control,

2004).

Ada satu hal yang membedakan MPC

dari desain pengendali yang lain, yaitu

Horizon Prediksi. Dalam MPC, horizon

prediksi menjadi suatu alat yang untuk

mendapatkan prediksi nilai pada saat

sampai . Selain horizon prediksi Model

prediksi, fungsi objektif, dan aturan kontrol.

Secara umum, ada dua tipe MPC, yaitu MPC

Linear dan MPC Nonlinear yang akan

dijelaskan pada Tabel 1 berikut ini (Orukpe,

2005):

Tabel 1: Tipe MPC

MPC Linear MPC Nonlinear

1. Menggunakan

model linear

2. Fungsi objektif

kuadratik

3. Kendala linear

4. Diselesaikan

dengan

menggunakan

Quadratic

programming

1. Menggunakan

model

nonlinear

( ) 2. Fungsi objektif

bisa berupa

nonkuadratik

( ) 3. Kendala

nonlinear

( ) 4. Diselesaikan

dengan

menggunakan

Nonlinear

programming

Gambar 4 berikut adalah skema MPC

(Wikipedia, Model Predictive Control, 2004;

Bordons & Camacho, 1999)

Gambar 4: Skema MPC

Prediction horizon atau horizon prediksi

mengacu pada langkah yang yang digunakan

untuk memprediksi keluaran. Pada horizon

prediksi, kendali masukan sebelumnya

menjadi pedoman untuk menentukan prediksi

kendali masukan yang akan digunakan untuk

memprediksi keluaran selanjutnya.

Dalam MPC linear, model prediksi

diperoleh dari kinematika sistem dinamik

robot mobil yang telah dilinearkan, fungsi

objektif menggunakan dinyatakan dalam

fungsi objektif kuadratik dengan kendala

linear yang akan diselesaikan dengan

quadratic programming. Sedangakan untuk

aturan kontrol, didefinisikan sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) (7)

Dengan ( ) menyatakan posisi robot mobil

pada saat dan ( ) menyatakan referensi

robot mobil pada saat , diharapkan ( )

4

( ) mendekati nol sehingga robot mobil

bergerak sama persis dengan referensi

lintasan. Dalam tugas akhir ini, digunakan

MPC Linear untuk mendesain pengendalian

robot mobil beroda empat.

3.1 Algoritma trayektori lintasan dengan

menggunakan MPC

Secara sederhana, algoritma trayektori

lintasan dapat dijelaskan melalui skema

berikut ini:

Gambar 5: Algoritma trayektori lintasan

Step 0 Input kontrol referensi ( ), ( ) dan ( ). ( ) adalah posisi awal

referensi lintasan robot mobil, ( ) adalah kontrol awal robot mobil, dan

( ) adalah posisi dan orientasi awal

robot mobil.

Step1 Bila kondisi STOP belum

terpenuhi, kerjakan step 2-5

Step 2 Mendapatkan nilai error

posisi untuk iterasi dari

persamaan ( ) ( ) ( )

Step 3 Mendapatkan prediksi nilai

kontrol optimal untuk

sampling pada saat , ,

dan .

Step 4 Dapatkan nilai error kontrol

untuk iterasi dari

persamaan ( )

( ) ( ) Step 5 Mendapatkan posisi

sebenarnya robot mobil pada

saat

Step 6 Tes kondisi STOP

Step 7 Mendapatkan nilai referensi lintasan

pada saat hingga

Step 8 Plot grafik referensi lintasan robot

mobil

Step 9 Mendapatkan nilai posisi dan orientasi

robot mobil pada saat hingga

Step 10 Plot grafik posisi sebenarnya robot

mobil

Step 11 Mendapatkan error pada saat

hingga

Step 12 Plot state , , dan

Algortima ini memenuhi kondisi STOP jika

telah dilakukan iterasi sebanyak 10 kali

3.2 Optimasi dalam MPC Linear

Metode pengendalian optimal yang

digunakan pada MPC linear ini adalah

quadratic programming. Didefinisikan fungsi

objektif

( ) ∑ ( ) ( )

( ) ( )

(8)

Dengan :

: horizon prediksi

: matriks pembobot state-space

: matriks pembobot kontrol

( ) menyatakan nilai pada saat

yang diprediksi pada saat

Dimana bagian pertama dari fungsi biaya

tersebut berkaitan dengan minimalisasi error

antara prediksi keluaran dan titik awal,

sedangkan bagian kedua berhubungan dengan

ukuran matriks ketika fungsi objektif dibuat sekecil mungkin (Wang, 2009).

Matriks merupakan matriks

semidefinit positif ( ) dan matriks

merupakan matriks definit positif ( ). Masalah optimasi dapat ditulis kembali dalam

bentuk QP secara umum. Didefinisikan

vektor-vektor berikut ini:

( ) [

( )

( )

( )

]

( ) [

( )

( )

( )

]

5

Sehingga dapat ditulis kembali fungsi

objektif (8) sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(9)

Dengan:

[

]

[

]

Dari vektor-vektor ( ) dan

( ), dapat ditulis persamaan ( ) sebagai:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (10)

Dengan:

( ) [

( )

( ) ( )

( )

]

( )

[

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

]

( ) didefinisikan sebagai:

( ) ∏ ( )

Dari persamaan (9) dan (10), fungsi

objektif (8) dapat ditulis kembali dalam

bentuk kuadratik standar sebagai berikut:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (11)

Dengan:

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Matriks adalah Matriks Hessian, definit

positif yang mendeskripsikan bagian

kuadratik dari fungsi objektif tersebut.

Sedangkan mendeskripsikan bagian linear.

tidak bergantung pada dan tidak

berpengaruh pada penentuan nilai . Sehingga didefinisikan persamaan

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (12)

yang merupakan pernyataan standar yang

digunakan dalam masalah quadratic

programming dan masalah optimasi yang

diselesaikan pada waktu sampling dinyatakan

sebagai:

* ( )+ (13)

dengan kendala:

( ) , -

(14)

Perlu dipahami bahwa sekarang hanya

variabel kontrol yang digunakan sebagai

variabel keputusan. Lebih lanjut lagi,

kendala-kendala untuk kondisi awal dan

model dinamik tidak diperlukan lagi, karena

informasi-informasi tersebut sekarang

menjadi implisit pada fungsi kendala (11),

dan sembarang kendala harus ditulis

berkenaan dengan variabel keputusan

(kendala (14)).

( ) ( ) ( )

dan diperoleh

[ ]

[ ( )

( )]

(15)

Sehingga persamaan (14) dapat

ditulis:

[ ] ( ) [

( )

( )]

dengan :

, -

(16)

Syarat perlu untuk memperoleh nilai

minimum adalah (Wang, 2009):

6

( )

jika ( ) simetris, maka berlaku sifat-sifat

matriks sebagai berikut (Naidu, 2003):

, -

, -

, -

sehingga:

( )

[

( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

[

( ) ( )]

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

( ( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Kontrol optimal diperoleh dari persamaan

( ) ( ) ( ). Dalam tugas akhir ini

digunakan subroutine quadprog dalam

MATLAB untuk menyelesaikan masalah

optimasi tersebut.

4. Metodologi Penelitian

Mengkaji kinematika robot mobil dan

MPC

Membentuk desain pengendalian

Simulasi permasalahan dengan

menggunakan MPC linear

Analisis dan Pembahasan

Penyimpulan Hasil dan Pemberian Saran

5. Analisis dan Pembahasan

5.1 Referensi Lintasan

Dari kinematika robot mobil akan diperoleh

suatu referensi lintasan dengan mendiskritkan

kinematika robot mobil dengan menggunakan

beda hingga maju dan mengambil nilai

. maka persamaan (4) menjadi :

( ) ( )

( ) ( ) (17)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

5.2 Linearisasi Model Robot Mobil

Dari kinematika robot mobil—persamaan (4),

dilakukan linearisasi terlebih dahulu sebelum

mencari nilai , , dan . Sebuah model

linear diperoleh dari penghitungan sebuah

model error yang berhubungan dengan

referensi robot mobil. Didefinisikan referensi

robot mobil sebagai berikut:

( ) (18)

[

]

[ ]

Dengan mengekspansikan persamaan (10)

disekitar titik ( ) dan menghilangkan

turunan tingkat tinggi akan diperoleh:

( )

( )

|

( )

( )

|

( )

(19)

atau

( ) ( )

( ) (20)

Kemudian, dengan mengurangkan persamaan

(18) dan (20) menghasilkan:

(21)

Dengan mengambil waktu sampling diperoleh suatu model prediksi sebagai

berikut:

7

[

( )

( )

( )]

[ ( ) ( )

( ) ( )

] [

( )

( )

( )]

[

( )

( )

( )

( )

] [ ( )

( )]

(22)

Dapat ditulis sebagai:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (23)

dengan

( ) [ ( ) ( )

( ) ( )

]

( ) [

( )

( )

( )

( )

( )

]

5.3 Simulasi dengan Menggunakan MATLAB

Desain pengendalian pada subbab 4.3

akan disimulasikan dengan menggunakan

bantuan software MATLAB. Robot mobil

diasumsikan bergerak pada lintasan yang

bebas hambatan, dan hanya bergerak maju.

Diberikan suatu batasan pada kontrol sudut

kemudi yaitu ⁄ ⁄ . Tanda

negatif menyatakan robot mobil sedang

melakukan pergerakan ke kanan (belok ke

kanan), sedangkan tanda positif menyatakan

hal yang sebaliknya (belok ke kiri) dengan

acuan terletak pada sumbu- positif sesuai

dengan koordinat kartesius. menyatakan

posisi mobil terhadap sumbu- positif pada

koordinat kartesius dan menentukan arah

gerak pertama robot mobil tersebut.

Simulasi desain pengendalian ini

dilakukan dengan memberikan nilai matriks

pembobot state-space ( ) dan

matriks pembobot kontrol ( ). Dalam simulasi tugas akhir ini,

source code dikerjakan dalam kondisi statis,

dimana variabel-variabel yang diperlukan

didefinisikan terlebih dahulu.

Karena digunakan MPC dengan ,

dengan kata lain akan diprediksi kontrol

untuk dua langkah kedepan, maka matriks

berupa matriks dan matriks berupa

matriks . Simulasi dilakukan dengan

kontrol referensi yang konstan dalam

beberapa lintasan.

Dengan mengambil Posisi awal referensi

lintasan robot mobil ( ) ( ),

Kontrol referensi ( ) ( ⁄ ),

Posisi awal robot mobil ( )

( ⁄ ) dan iterasi sebanyak 10 kali,

diperoleh:

Gambar 4: Pergerakan robot mobil untuk

⁄

Jika ditabelkan, maka diperoleh nilai ( ) pada setiap iterasi pada Tabel 2 sebagai berikut :

Tabel 2: Posisi Referensi dan Posisi

Sebenarnya

Ite-

rasi

Referensi Sebenarnya

1 0,0000 0,0000 0,1745 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,8000 0,0000 0,0029 0,8000 0,0000 0.0029

3 1,6000 0,0023 0,0058 1,6000 0.0023 0.0058

4 2,4000 0,0070 0,0088 2,4000 0.0070 0.0088

5 3,2000 0,0140 0,0117 3,2000 0.0140 0.0117

6 4,0000 0,0234 0,0146 3,9999 0.0234 0.0146

7 4,8000 0,0351 0,0175 4,7998 0.0351 0.0175

8 5.6000 0,0491 0,0205 5,5997 0.0491 0.0205

9 6.4000 0,0655 0,0234 6,3995 0.0655 0.0234

10 7,2000 0,0842 0,0263 7,1993 0.0842 0.0263

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09Grafik Posisi Robot Mobil

posisi-x (meter)

posis

i-y (

mete

r)

Posisi Referensi

Posisi Sebenarnya

8

Gambar 5: State dan untuk

( ) ( ⁄ )

Error untuk setiap iterasi ( ) ditabelkan

sebagai berikut:

Tabel 3: Error

Iterasi Error

1 0,0000 0,0000 0,1745

2 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,0000 0,0000 0,0000

6 0,0001 0,0000 0,0000

7 0,0002 0,0000 0,0000

8 0,0003 0,0000 0,0000

9 0,0005 0,0000 0,0000

10 0,0007 0,0000 0,0000

Terlihat bahwa error terbesar berada pada

posisi sudut robot mobil pada iterasi pertama sebesar 0,1745

6. Kesimpulan dan saran

6.1 Kesimpulan Dari analisis dan pembahasan yang telah

dilakukan dalam menerapkan MPC untuk

mendesain pengendalian pada robot mobil

beroda empat diperoleh kesimpulan bahwa:

1. Model Predictive Controller (MPC) dapat

diterapkan pada desain pengendalian

robot mobil beroda empat.

2. MPC linear memberikan hasil yang cukup

baik untuk memberikan prediksi nilai

kontrol optimal dengan menghasilkan

error yang paling besar pada posisi sudut

sebesar 0,1745.

3. Dengan mengambil horizon prediksi

, waktu sampling dan iterasi

sebanyak 10 kali diperoleh nilai ( ) yang mendekati dengan nilai ( )

4. Dari hasil simulasi, robot mobil dapat

mengikuti lintasan dengan baik pada

beberapa lintasan, terutama lintasan lurus

( ) .

6.2 Saran Saran yang diajukan dari Tugas Akhir ini

untuk penelitian selanjutnya adalah sebagai

berikut:

1. Source code simulasi pada tugas akhir ini

dilakukan secara statis, tidak dinamis.

Diharapkan pada penelitian selanjutnya

dikembangkan source code simulasi yang

dinamis guna mempercepat running

program dan menambah variasi lintasan.

2. Digunakan horizon prediksi yang lebih

besar, misal dan dilakukan iterasi

lebih banyak lagi daripada iterasi yang

dilakukan pada tugas akhir ini

7. Daftar Pustaka

Bordons, C., & Camacho, E. F. (1999). Model

Predictive Control. Sevilla: Springer-

Verlag London Limited.

da Silva Jr., J. M., Kühne, F., & Lages, W. F.

(2005). Mobile Robot Trajectory

Tracking Using Model Predictive Control.

VII SBAI / II IEEE Latin America

Robotics Symposium, 1-7.

Hartini, S. (2011). Implementasi Metode

Ensemble Kalman Filter (EnKF) Untuk

Mengestimasi Posisi Robot Mobil. Tugas

Akhir Jurusan Matematika. Surabaya,

Jawa Timur, Indonesia: Institut Teknologi

Sepuluh Nopember.

Orukpe, P. E. (2005). Basics of Model

Predictive Control. ICM, EEE-CAP (hal.

1-27). London: Imperial College.

Sotelo, M. A. (2003). Lateral Control

Strategy for Autonomous Steering of

Ackerman-like Vehicles. Robotics and

Autonomous Systems 45, 223-233.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8Posisi pada sumbu-x

waktu (sekon)

posis

i-x (

mete

r)

Posisi Referensi

Posisi Sebenarnya

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1Posisi pada sumbu-y

waktu (sekon)

posis

i-y (

mete

r)

Posisi Referensi

Posisi Sebenarnya

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2Posisi Sudut

waktu (sekon)

posis

i sudut

(radia

n)

Posisi Referensi

Posisi Sebenarnya

9

Wang, L. (2009). Model Predictive Control

System Design and Implementation using

MATLAB. Melbourne: Springer.

Wikipedia. (2004). Model Predictive Control.

Diakses pada 17 Maret 2011, dari

Wikipedia: The Free Encyclopedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Model_predi

ctive_control

Wikipedia. (2006). Mobile Robot. Diakses 21

Maret 2011, dari Wikipedia: The Free

Encyclopedia:

http://en.wikipedia.com/wiki/Mobile_rob

ot