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Campi Elettromagnetici e Circuiti – Propagazione Radiata, a.a. 2019/20 Prof. Luca Perregrini Riflessione e rifrazione delle onde piane uniformi, pag. 1

CORSO DICAMPI ELETTROMAGNETICI E CIRCUITI

PROPAGAZIONE RADIATA

Università di Pavia, Facoltà di [email protected]

http://microwave.unipv.it/perregrini/

Prof. Luca Perregrini

Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e Informatica


RIFLESSIONE E RIFRAZIONEDELLE ONDE PIANE UNIFORMI


SOMMARIO• Richiami sulle onde piane

• Legge della riflessione, legge di Snell, formule di Fresnel

• Angolo limite e riflessione totale, angolo di Brewster

• Riflessione da superfici conduttrici

• Riflessione e trasmissione con incidenza normale nel caso di un’interfaccia fra mezzi generici

• Riflessione dalla superficie di un conduttore perfetto e onde stazionarie

• Strati in mezz’onda e in quarto d’onda

• Strato sottile e schermo

• Riflessione e trasmissione nella caso di incidenza obliqua.

• Ottica Geometrica. Percorsi multipli. Lenti e riflettori parabolici


NOTAZIONELa notazione utilizzata nel modulo di Propagazione Radiata a voltedifferisce leggermente da quella introdotta nel modulo di PropagazioneGuidata, a causa del diverso libro di riferimento.

Alcuni esempi:

• vettori rappresentati in grassetto, anziché con una barra (𝑬𝑬 invece di �𝐸𝐸)

• angoli di perdita elettrico e magnetico indicati con 𝜃𝜃𝑒𝑒 e 𝜃𝜃𝑚𝑚 anziché 𝛿𝛿 e𝛿𝛿𝑚𝑚


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEEquazione di Helmhotz

Con la tecnica di separazione delle variabili si ottiene

dove


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEPer il campo magnetico si ha


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEIntroducendo la notazione compatta

si ha

Si nota che E e H sono perpendicolari fra di loro ed entrambi sonoperpendicolari alla direzione di propagazione �𝒖𝒖.

Si tratta quindi di un’onda TEM


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEPoiché

si ha

Formule più generali di

𝛾𝛾 = 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝜀𝜀𝜀𝜀 1 − 𝑗𝑗𝜎𝜎𝜔𝜔𝜀𝜀

= 𝛼𝛼 + 𝑗𝑗𝑗𝑗

Dato che si ha sempre


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEIl vettore di Poynting risulta

cioèoppure

Quindi la densità media di potenza trasmessa dall’onda è data da

con

Poiché , risulta sempre W ≥ 0.Le onde piane uniformi trasmettono energia nella direzione e nel verso dipropagazione


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEL’attenuazione subita dall’onda su una certa distanza d è rappresentatadal rapporto fra le densità di potenza in due piani equifase posti a taledistanza:

Il suo valore in decibel (dB) è, per definizione


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEPropagazione nel vuoto


RICHIAMI SULLE ONDE PIANE

Introducendo l’indice di rifrazione indice di rifrazione si ha

Propagazione nei dielettrici a bassa perdita, cioè nei materiali in cui gliangoli di perdita elettrico e magnetico sono una piccola frazione di radiante.

Facciamo l’ipotesi



Introducendo l’indice di rifrazione indice di rifrazione si ha

Propagazione nei dielettrici a bassa perdita, cioè nei materiali in cui gliangoli di perdita elettrico e magnetico sono una piccola frazione di radiante.

Facciamo l’ipotesi


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEPropagazione nel plasma (gas ionizzato) freddo e senza collisioni.

Le proprietà elettriche e magnetiche sono

densità degli elettroni

da cui


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEPropagazione nel plasma (gas ionizzato) freddo e senza collisioni.

e quindi

Al di sopra della frequenza di plasma ( ) si ha n < 1 e

Se si definisce l’indice di rifrazione equivalente


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEPolarizzazione delle onde

Se le direzioni di Fr e Fi non coincidono,𝓕𝓕 cambia direzione, muovendosi sulpiano in cui giacciono Fr e Fi.

La rotazione del vettore avviene nelladirezione che va da Fi verso Fr,percorrendo l’angolo minore.

Fr e Fi vettori reali



La scomposizione del campo sinusoidale secondo due vettori che oscillanoin direzioni fisse non è unica. Se poniamo

Polarizzazione delle onde

Al variare di δ, questa relazione fornisce tutte le possibili scomposizioni di 𝓕𝓕in due vettori che oscillano secondo direzioni fisse.


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEPolarizzazione delle onde: polarizzazione lineare

Se Fr e Fi sono allineati, allora vale

Imponendo

si ottiene

da cui


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEPolarizzazione delle onde: polarizzazione circolare

Se Fr e Fi sono ortogonali e di ugual modulo, il moto di è circolareuniforme con velocità ω nel verso che va da Fi a Fr.

Per qualunque scelta di δ, F1 e F2 rimangono perpendicolari


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEPolarizzazione delle onde: polarizzazione ellittica

In tutti gli altri casi è possibile rendere F1 e F2 perpendicolari ( )

da cui


RICHIAMI SULLE ONDE PIANEPolarizzazione delle onde

Nelle onde polarizzate circolarmente o ellitticamente è importante il verso dirotazione dei vettori.

L’onda viene detta levogira o destrogira aseconda che il verso di rotazione,guardando nel verso della propagazione,sia uguale a quello della rotazione che sicompie per allontanare dal corpo il bracciosinistro o destro, rispettivamente.

Esempio di onda levogira


RIFLESSIONE E RIFRAZIONEConsideriamo un’onda piana uniforme con polarizzazione arbitraria eproveniente dalla direzione û (giacente sul piano xz), che incide sullasuperficie xy di discontinuità tra due mezzi non magnetici e senza perdite,aventi indici di rifrazione n1 e n2. Il campo dell’onda incidente è:

piano xy: interfaccia fra i due mezzi

piano xz: piano d’incidenzaθ1: angolo d’incidenza

Dove 𝐹𝐹⊥ e 𝐹𝐹∥ sono leampiezze nell’origine dellecomponenti di E perpendicolaree parallela al piano d’incidenza.

E, Honda incidente


RIFLESSIONE E RIFRAZIONEE’ esperienza comune osservare che a seguito dell’impatto sulla superficiedi discontinuità, un’onda incidente produce un’onda riflessa e un’ondatrasmessa oltre la discontinuità. Detti E′, H′ e E′′, H′′ i campi dell’ondariflessa e dell’onda trasmessa, imponendo la condizione di continuità delle

componenti tangenziali del campoelettrico e del campo magneticosull’interfaccia

E′, H′onda riflessa

E′′, H′′onda trasmessa

E, Honda incidente

si ottengono le seguenti condizioni

�𝒛𝒛 × 𝑬𝑬1 = �𝒛𝒛 × 𝑬𝑬2�𝒛𝒛 × 𝑯𝑯1 = �𝒛𝒛 × 𝑯𝑯2

z=0, ∀x,y


RIFLESSIONE E RIFRAZIONEL’ampiezza del campo incidente è costante su tutta l’interfaccia e la fasedipende dalla sola coordinata x, attraverso una funzione del tipo

dove la costante rappresenta lafase di 𝐹𝐹⊥ o 𝐹𝐹∥ , a seconda dellacomponente considerata.

Affinché sia verificata la condizionedi continuità, è ragionevoleassumere che, il campo riflesso etrasmesso siano onde pianeuniformi con lo stesso andamentodella fase sull’interfaccia.



E, Honda incidente


RIFLESSIONE E RIFRAZIONEL’onda riflessa si propaga nello stesso mezzo dell’onda incidente(semipiano z


RIFLESSIONE E RIFRAZIONEPertanto le espressioni dei campi elettrico e magnetico dell’onda riflessa sipossono scrivere come



E, Honda incidente

Dove 𝐹𝐹⊥′ e 𝐹𝐹∥′ sono le ampiezze dellecomponenti di E perpendicolare eparallela al piano d’incidenza,calcolate nell’origine, e


RIFLESSIONE E RIFRAZIONE: LEGGE DI SNELL


L’onda trasmessa si propaga in un mezzo con indice di rifrazione n2(semipiano z > 0) quindi la condizione di fase è verificata se


E, Honda incidente

Legge di Snell𝑛𝑛1 sin𝜃𝜃1 = 𝑛𝑛2 sin𝜃𝜃2

cioè

𝜃𝜃2 = arcsin𝑛𝑛1𝑛𝑛2

sin𝜃𝜃1

L’onda trasmessa (o rifratta) sipropaga secondo un angolodiverso da quello d’incidenza.


Poiché θ2 ≠ θ1, nel trasmettersi aldilà dell’interfaccia, la direzione dipropagazione dell’onda varia bruscamente (fenomeno della rifrazione).



E, Honda incidente

se 𝑛𝑛1 < 𝑛𝑛2 si ha 𝜃𝜃2 < 𝜃𝜃1 e ladirezione di propagazione dell’onda rifratta si avvicina all’asse z

Abbiamo dimostrato che

quindi

se 𝑛𝑛1 > 𝑛𝑛2 si ha 𝜃𝜃2 > 𝜃𝜃1 e ladirezione di propagazione dell’onda rifratta si allontana dall’asse z

𝜃𝜃2 = arcsin𝑛𝑛1𝑛𝑛2

sin𝜃𝜃1



Interfaccia fra i due mezzi

z

𝜃𝜃2

𝜃𝜃1

Poiche 𝑛𝑛1 > 𝑛𝑛2si ha 𝜃𝜃2 > 𝜃𝜃1

𝑛𝑛1

𝑛𝑛2



RIFLESSIONE E RIFRAZIONE: ANGOLO LIMITENel caso 𝑛𝑛1 > 𝑛𝑛2, l’angolo di rifrazione θ2 raggiunge il suo valore massimo(θ2 = π/2) quando l’angolo d’incidenza raggiunge il valore limite



E, Honda incidente

Evidentemente, se si superal’angolo limite, non esiste unangolo θ2 che soddisfa la leggedi Snell.

Quindi l’onda trasmessa non puòpiù essere un’onda pianauniforme.

𝜃𝜃1 = 𝜃𝜃𝐿𝐿 = arcsin𝑛𝑛2𝑛𝑛1

Angolo limite


RIFLESSIONE E RIFRAZIONE: ANGOLO LIMITE


INCIDENZA SOTTO L’ANGOLO LIMITE (𝜃𝜃1


FORMULE DI FRESNELImponendo la condizione di continuità delle componenti tangenziali,tenendo conto del fatto che 𝜂𝜂1 = ⁄𝜂𝜂0 𝑛𝑛1 e 𝜂𝜂2 = ⁄𝜂𝜂0 𝑛𝑛2, si ottiene:

e introducendo i coefficienti di riflessione (Γ⊥ e Γ∥) e quelli di trasmissione(𝒯𝒯⊥ e 𝒯𝒯∥) per le componenti perpendicolare e parallela al piano d’incidenza,si può scrivere:


FORMULE DI FRESNELI coefficienti di riflessione e trasmissione risultano

Formule di Fresnel


ANGOLO DI BREWSTERI coefficienti di riflessione della componente perpendicolare (Γ⊥) non siannulla mai, mentre quello della componente parallela (Γ∥) si annulla se

Γ⊥

Γ∥𝑛𝑛1 = 1.0𝑛𝑛2 = 1.8

Se un’onda con polarizzazionearbitraria incide secondo l’angolodi Brewster, l’onda riflessa risultapolarizzata perpendicolarmenteal piano d’incidenza. Per questomotivo 𝜃𝜃𝐵𝐵 è anche detto angolodi polarizzazione.

𝜃𝜃1 = 𝜃𝜃𝐵𝐵 = arctan𝑛𝑛2𝑛𝑛1

Angolo di Brewster

Questa proprietà viene spesso usata in ottica per ottenere luce polarizzata.


ANGOLO DI BREWSTERSe un’onda con polarizzazione arbitraria incide secondo l’angolo diBrewster, l’onda riflessa risulta polarizzata perpendicolarmente al pianod’incidenza. Per questo motivo 𝜃𝜃𝐵𝐵 è anche detto angolo di polarizzazione.

Questa proprietà viene spesso usata in ottica per ottenere luce polarizzata.


INCIDENZA SOPRA L’ANGOLO LIMITE (𝜃𝜃1>𝜃𝜃L)In questo caso il campo trasmesso non può essere un’onda pianauniforme. Infatti si ha 𝑗𝑗𝑦𝑦 = 0 e deve essere 𝑗𝑗𝑥𝑥 =

𝜔𝜔𝑐𝑐𝑛𝑛1 sin𝜃𝜃1, perciò



E, Honda incidente

𝜃𝜃2 = 90°

𝑗𝑗𝑧𝑧 = 𝑗𝑗22 − 𝑗𝑗𝑥𝑥2 − 𝑗𝑗𝑦𝑦2

=𝜔𝜔𝑐𝑐𝑛𝑛2

2−

𝜔𝜔𝑐𝑐𝑛𝑛1 sin𝜃𝜃1

2= −𝑗𝑗𝛼𝛼𝑧𝑧

Ricordando che 𝑛𝑛2 = 𝑛𝑛1sin𝜃𝜃𝐿𝐿 eche sin𝜃𝜃𝐿𝐿 < sin𝜃𝜃1, semplificandosi ottiene

𝜃𝜃𝐿𝐿

𝛼𝛼𝑧𝑧 =𝜔𝜔𝑐𝑐𝑛𝑛1 sin2𝜃𝜃1 − sin2𝜃𝜃𝐿𝐿


INCIDENZA SOPRA L’ANGOLO LIMITE (𝜃𝜃1>𝜃𝜃L)Pertanto l’onda trasmessa si propaga nella direzione x e si attenua nelladirezione z. Le espressioni dei campi elettrico e magnetico si possonoscrivere come

Dove 𝐹𝐹𝑥𝑥′′e 𝐹𝐹𝑦𝑦′′ sono coefficienti dadeterminare, mentre



E, Honda incidente

𝜃𝜃2 = 90°

𝜃𝜃𝐿𝐿L’onda è piana ma non uniforme,cioè le superfici equifase sonopiani perpendicolari all’asse x, mal’ampiezza del campo cambiaspostandosi nella direzione z.


INCIDENZA SOPRA L’ANGOLO LIMITE (𝜃𝜃1>𝜃𝜃L)L’ampiezza del campo diventa trascurabile quando ci si allontanadall’interfaccia fra i due mezzi. Per questa ragione viene detta ondaevanescente.

e−𝛼𝛼𝑧𝑧𝑧𝑧

La velocità dell’onda è

Si tratta quindi di un’onda lenta, la cui velocità diminuisce all’aumentaredell’angolo d’incidenza.


INCIDENZA SOPRA L’ANGOLO LIMITE (𝜃𝜃1>𝜃𝜃L)L’espressione del campo riflesso è la stessa del caso di incidenza al disottodell’angolo limite. I coefficienti di riflessione assumono la seguenteespressione:

Si nota che, per l’incidenza sopra l’angolo limite, risulta sempre

Γ⊥ = Γ∥ = 1


Esempio: fibra ottica

INCIDENZA SOPRA L’ANGOLO LIMITE (𝜃𝜃1>𝜃𝜃L)


INCIDENZA SOPRA L’ANGOLO LIMITE (𝜃𝜃1>𝜃𝜃L)Esempio: se la fibra ottica viene piegata con un raggio di curvatura troppostretto, una parte dell’energia sfugge al confinamento.

z

𝜃𝜃1 > 𝜃𝜃𝐿𝐿𝜃𝜃1 < 𝜃𝜃𝐿𝐿

z


INCIDENZA SOPRA L’ANGOLO LIMITE (𝜃𝜃1>𝜃𝜃L)Esempio: da sopra il pelo dell’acqua si vedono gli oggetti in posizionefalsata fintanto che i raggi sono al disotto dell’angolo limite, mentre essi«scompaiono» se l’angolo d’incidenza è sopra l’angolo limite.


RIFLESSIONE E RIFRAZIONE

z

µ2

µ1

µ1

n1 < n2

µ1

µ1

µL

µ2

z

n1 > n2 µ1 < µL

µ1 zµL

ondaevanescente

µ1

n1 > n2 µ1 > µL

Riassumendo, nel caso di incidenza obliqua si possono avere le tresituazioni mostrate in figura:


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DELL’ENERGIASi vuole calcolare la potenza media che attraversa la superficie di 1 m2 aridosso dell’interfaccia, che coincide con .



E, Honda incidente


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DELL’ENERGIACalcolando il vettore di Poynting, tenendo conto che il campo nel mezzo 1è dato dalla somma del campo incidente e di quello riflesso, si ha

0

Osservando che

si ha

Densità di potenza incidente

Densità di potenza riflessa

(dimostrazione nel problema 4.3.1 del libro)


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DELL’ENERGIACalcolando il vettore di Poynting, tenendo conto che il campo nel mezzo 1è dato dalla somma del campo incidente e di quello riflesso, si ha

0

Osservando che

si ha

Densità di potenza incidente

Densità di potenza riflessa


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DELL’ENERGIALa densità della potenza incidente è data da

doveDensità di potenza trasportata dalla componente perpendicolare

Densità di potenza trasportata dalla componente parallela

Analogamente

Si noti che si sommano le densità di potenze. Questo è solitamente errato,ma in questo caso è lecito poiché le componenti di E sono ortogonali.


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DELL’ENERGIAe sono i coefficienti di riflessione della potenza

Nel caso di incidenza oltre l’angolo limite, e sono unitari, e nonsi ha potenza trasmessa. Pertanto risulta

(incidenza oltre l’angolo limite)

e dalla condizione si ottiene

La potenza che attraversa 1 m2 è anche data da


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DELL’ENERGIAApparentemente la condizione sembra contrad-dire il principio di conservazione della potenza, dato che W'' è maggioreo minore di (W−W') a seconda del valore assunto dagli angoli d’incidenzae di rifrazione. Tuttavia questo non è vero, come mostrato nelle figure:

𝜃𝜃2 < 𝜃𝜃1

cos𝜃𝜃1cos𝜃𝜃2

< 1

𝜃𝜃2 > 𝜃𝜃1cos𝜃𝜃1cos𝜃𝜃2

> 1

La potenza si ottiene integrando la densità di potenza su una superficieperpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda. Nel caso 𝜃𝜃2 <𝜃𝜃1 è W'' < (W−W'), ma la superficie di integrazione è più grande. Alcontrario, Nel caso 𝜃𝜃2 > 𝜃𝜃1 è W'' > (W−W'), ma la superficie diintegrazione è più piccola.


PROPAGAZIONE NEI BUONI CONDUTTORIUn mezzo viene considerato buon conduttore se

(resistenza superficiale)𝑅𝑅𝑠𝑠 =1𝜎𝜎𝛿𝛿

=𝜋𝜋𝜋𝜋𝜀𝜀0𝜎𝜎

𝜎𝜎 ≫ 𝜔𝜔𝜖𝜖0𝜖𝜖𝑟𝑟Se un’onda piana si propaga in un buon conduttore si ha

dove

(spessore della pelle)


PROPAGAZIONE NEI BUONI CONDUTTORI


EFFETTO PELLEConsideriamo un semispazio riempito con un buonconduttore e supponiamo noto il campo magneticotangenziale HT sulla superficie immediatamenteall’esterno del conduttore.

Per la continuità della componente tangenziale delcampo magnetico e conoscendo α, β, η delle ondepiane nel buon conduttore, l’espressione dell’ondapiana uniforme nel conduttore è


EFFETTO PELLEPer la legge di Ohm la densità di correntevolumetrica all’interno del conduttore risulta

la corrente si addensa in una pellicolasuperficiale, tanto più sottile quanto maggioreè la conducibilità o la frequenza.


EFFETTO PELLELa corrente dovuta alla densità di correntevolumetrica si può calcolare come

È quindi possibile introdurre una densità di corrente superficialeequivalente all’effetto della corrente volumetrica.

Sostituendo nell’espressione del campo elettrico e calcolandolo in z=0+ siha


EFFETTO PELLEDa cui si ottiene la relazione tra il campo elettrico e quello magnetico sullasuperficie esterna del conduttore

Che prende il nome di condizione di Leontovĭc

Tale condizione si può estendere a conduttori di forma arbitraria, purchè lacurvatura della superficie nel punto di applicazione sia molto maggioredello spessore della pelle.


RIFLESSIONE DA SUPERFICI CONDUTTRICIMezzo 2 buon conduttore (𝜎𝜎 ≫ 𝜔𝜔𝜖𝜖0𝜖𝜖𝑟𝑟), ci limitiamo a studiare la riflessione.La condizione di continuità dei campi diventa la condizione di Leontovĭc

Consideriamo inizialmente solo il campo perpendicolare al pianod’incidenza (componente y), applicando la condizione all’interfaccia si ha

(resistenza superficiale)𝑅𝑅𝑠𝑠 =1𝜎𝜎𝛿𝛿

=𝜋𝜋𝜋𝜋𝜀𝜀0𝜎𝜎

dove


RIFLESSIONE DA SUPERFICI CONDUTTRICI

In modo analogo, considerando il campo parallelo al piano d’incidenza, siottiene

Sostituendo le espressione delle onde piane incidenti e riflesse si ottiene

da cui


RIFLESSIONE DA SUPERFICI CONDUTTRICIIn tutti i casi pratici si ha Rs


INCIDENZA NORMALENel caso di incidenza in direzione normale all’interfaccia, lo studio dellariflessione e della trasmissione si semplifica notevolmente.

Si possono trattare mezzi con perdite senza particolari complicazioni.

Per ragioni di simmetria i campi delle onde piane riflessa e trasmessa sipropagano nella direzione z e le loro componenti dipendono solo da z.

Nel mezzo 1, oltre all’ondaincidente che si propaga indirezione z, c’è anche l’ondariflessa dall’interfaccia che sipropaga nel verso negativodi z.

Nel mezzo 2, illimitato adestra, c’è solo l’ondatrasmessa, che si propaganel verso positivo di z;


INCIDENZA NORMALEPer soddisfare la condizione di continuità dei campi trasversi all’interfaccia,l’onda riflessa e quella trasmessa devono avere la stessa polarizzazionedell’onda incidente.

Poiché le onde si propagano lungo l’asse z, il piano d’incidenza è unqualunque piano passante per l’asse z.

Inoltre le componenti perpendicolare e parallela rispetto al pianod’incidenza vengono riflesse e trasmesse esattamente allo stesso modo.

Pertanto ci si può limitare a trovare i coefficienti di riflessione e trasmissionenel caso in cui E è diretto lungo x (e quindi H è diretto lungo y), dato che irisultati ottenuti in questo caso valgono anche per un’onda in cui i duecampi hanno direzioni scambiate (E lungo x e H lungo y).


INCIDENZA NORMALEI campi elettrici e magnetici nei due mezzi sono dati da

onda incidente

onda riflessa

onda trasmessa

𝑧𝑧 < 0 𝑧𝑧 > 0


INCIDENZA NORMALEImponendo la continuità dei campi sull’interfaccia (z=0) si ha

definendo i coefficienti di riflessione Γ e di trasmissione 𝒯𝒯 come indicato

si possono ricavare le formule generali

valide per qualunque mezzo di cui si conosca l’impedenza caratteristica(anche complessa).


INC. NORMALE CON POLARIZZAZIONE ARBITRARIASe il campo dell’onda piana incidente ha una polarizzazione arbitraria,tenendo conto del fatto che non varia lungo le coordinate 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦, senzaperdita di generalità si può scrivere

𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(𝑧𝑧) = �𝒖𝒖𝑥𝑥𝐹𝐹𝑥𝑥 + �𝒖𝒖𝑦𝑦𝐹𝐹𝑦𝑦 e−𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧

𝑯𝑯𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 𝑧𝑧 =�𝒖𝒖𝑧𝑧 × 𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 z

𝜂𝜂1=�𝒖𝒖𝑧𝑧 × 𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 e−𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧

𝜂𝜂1

= 𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 e−𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧

=𝑯𝑯𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 e−𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧

𝜂𝜂1

=�𝒖𝒖𝑦𝑦𝐹𝐹𝑥𝑥 − �𝒖𝒖𝑥𝑥𝐹𝐹𝑦𝑦 e−𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧

𝜂𝜂1


𝑬𝑬𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟 𝑧𝑧 = �𝒖𝒖𝑥𝑥𝐹𝐹𝑥𝑥′ + �𝒖𝒖𝑦𝑦𝐹𝐹𝑦𝑦′ e𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧 = 𝑬𝑬𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟 0 e𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧

Tenendo conto del fatto che l’onda riflessa si propaga in direzione −�𝒖𝒖𝑧𝑧, eche le componenti lungo 𝑥𝑥 e lungo 𝑦𝑦 del campo incidente vengono riflessecon lo stesso coefficiente di riflessione Γ (cioè 𝐹𝐹𝑥𝑥′ = Γ𝐹𝐹𝑥𝑥, 𝐹𝐹𝑦𝑦′ = Γ𝐹𝐹𝑦𝑦), si ottiene

INC. NORMALE CON POLARIZZAZIONE ARBITRARIA

𝑯𝑯𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟 𝑧𝑧 =−�𝒖𝒖𝑧𝑧 × 𝑬𝑬𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟 z

𝜂𝜂1=−�𝒖𝒖𝑧𝑧 × 𝑬𝑬𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟 0 e𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧

𝜂𝜂1

= �𝒖𝒖𝑥𝑥Γ𝐹𝐹𝑥𝑥 + �𝒖𝒖𝑦𝑦Γ𝐹𝐹𝑦𝑦 e𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧 = Γ𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 e𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧

=−�𝒖𝒖𝑧𝑧 × Γ𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 e𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧

𝜂𝜂1= −Γ𝑯𝑯𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 e𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧

=− �𝒖𝒖𝑦𝑦Γ𝐹𝐹𝑥𝑥 + �𝒖𝒖𝑥𝑥Γ𝐹𝐹𝑦𝑦 e𝑗𝑗𝑘𝑘1𝑧𝑧

𝜂𝜂1


L’onda trasmessa si propaga in direzione �𝒖𝒖𝑧𝑧, e le componenti lungo 𝑥𝑥 elungo 𝑦𝑦 del campo incidente vengono trasmesse con lo stesso coefficientedi trasmissione 𝒯𝒯 (cioè 𝐹𝐹𝑥𝑥′′ = 𝒯𝒯𝐹𝐹𝑥𝑥, 𝐹𝐹𝑦𝑦′′ = 𝒯𝒯𝐹𝐹𝑦𝑦), pertanto si ottiene


= �𝒖𝒖𝑥𝑥𝒯𝒯𝐹𝐹𝑥𝑥 + �𝒖𝒖𝑦𝑦𝒯𝒯𝐹𝐹𝑦𝑦 e−𝑗𝑗𝑘𝑘2𝑧𝑧 = 𝒯𝒯𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 e−𝑗𝑗𝑘𝑘2𝑧𝑧

𝑬𝑬𝑡𝑡𝑟𝑟(𝑧𝑧) = �𝒖𝒖𝑥𝑥𝐹𝐹𝑥𝑥′′ + �𝒖𝒖𝑦𝑦𝐹𝐹𝑦𝑦′′ e−𝑗𝑗𝑘𝑘2𝑧𝑧 = 𝒯𝒯𝑬𝑬𝑡𝑡𝑟𝑟 0 e−𝑗𝑗𝑘𝑘2𝑧𝑧

𝑯𝑯𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑧𝑧 =�𝒖𝒖𝑧𝑧 × 𝑬𝑬𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, z

𝜂𝜂2=�𝒖𝒖𝑧𝑧 × 𝑬𝑬𝑡𝑡𝑟𝑟 0 e−𝑗𝑗𝑘𝑘2𝑧𝑧

𝜂𝜂2

=�𝒖𝒖𝑧𝑧 × 𝒯𝒯𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 e−𝑗𝑗𝑘𝑘2𝑧𝑧

𝜂𝜂2= 𝒯𝒯𝑯𝑯𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 e−𝑗𝑗𝑘𝑘2𝑧𝑧

=�𝒖𝒖𝑦𝑦𝒯𝒯𝐹𝐹𝑥𝑥 − �𝒖𝒖𝑥𝑥𝒯𝒯𝐹𝐹𝑦𝑦 e−𝑗𝑗𝑘𝑘2𝑧𝑧

𝜂𝜂2


Se l’onda incidente è polarizzata ellitticamente, l’onda trasmessa e riflessahanno la stessa polarizzazione, e le ampiezze degli assi delle loro ellissi dipolarizzazione sono proporzionali ai moduli di Γ e 𝒯𝒯.


𝑧𝑧 entrante 𝑧𝑧 entrante𝑧𝑧 uscente

Apparentemente l’onda riflessa ha una polarizzazione speculare rispetto all’ondaincidente. Tuttavia, se si tiene conto del verso di propagazione, nell’esempiomostrato in figura le onde sono tutte destrogire.


INC. NORMALE: POTENZA RIFLESSA/TRASMESSALe densità di potenza attiva trasportata dall’onda incidente in direzione 𝑧𝑧 è

𝑊𝑊𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(𝑧𝑧) = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(𝑧𝑧) × 𝑯𝑯𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐∗ (𝑧𝑧)

2� �𝒖𝒖𝑧𝑧 = 𝑅𝑅𝑅𝑅

1𝜂𝜂1

𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(𝑧𝑧) 2

2

= 𝑅𝑅𝑅𝑅1𝜂𝜂1

𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(0) 2

2e−2𝛼𝛼1𝑧𝑧

= 𝑊𝑊𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(0)e−2𝛼𝛼1𝑧𝑧


INC. NORMALE: POTENZA RIFLESSA/TRASMESSALe densità di potenza attiva trasportata dall’onda riflessa in direzione −𝑧𝑧 è

𝑊𝑊𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑧𝑧) = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑬𝑬𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑧𝑧) × 𝑯𝑯𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟∗ (𝑧𝑧)

2� (−�𝒖𝒖𝑧𝑧) = 𝑅𝑅𝑅𝑅

1𝜂𝜂1

𝑬𝑬𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑧𝑧)2

2


𝑬𝑬𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟(0)2

2e2𝛼𝛼1𝑧𝑧 = 𝑅𝑅𝑅𝑅

1𝜂𝜂1

Γ 2 𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(0) 2

2e2𝛼𝛼1𝑧𝑧

= 𝑊𝑊𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟(0)e2𝛼𝛼1𝑧𝑧 = Γ 2𝑊𝑊𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(0)e2𝛼𝛼1𝑧𝑧

da cui

𝑊𝑊𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟(0)𝑊𝑊𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(0)

= Γ 2

e quindi Γ 2 è il coefficiente di riflessione della potenza.


INC. NORMALE: POTENZA RIFLESSA/TRASMESSALe densità di potenza attiva trasportata dall’onda trasmessa in direzione 𝑧𝑧 è

𝑊𝑊𝑡𝑡𝑟𝑟(𝑧𝑧) = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑬𝑬𝑡𝑡𝑟𝑟(𝑧𝑧) × 𝑯𝑯𝑡𝑡𝑟𝑟∗ (𝑧𝑧)

2� �𝒖𝒖𝑧𝑧 = 𝑅𝑅𝑅𝑅

1𝜂𝜂2

𝑬𝑬𝑡𝑡𝑟𝑟(𝑧𝑧) 2

2


𝑬𝑬𝑡𝑡𝑟𝑟(0) 2

2e−2𝛼𝛼2𝑧𝑧 = 𝑅𝑅𝑅𝑅

1𝜂𝜂2

𝒯𝒯 2 𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(0) 2

2e−2𝛼𝛼2𝑧𝑧

= 𝑊𝑊𝑡𝑡𝑟𝑟(0)e−2𝛼𝛼2𝑧𝑧 =𝑅𝑅𝑅𝑅 ⁄1 𝜂𝜂2𝑅𝑅𝑅𝑅 ⁄1 𝜂𝜂1

𝒯𝒯 2𝑊𝑊𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(0)e−2𝛼𝛼2𝑧𝑧

Per la conservazione dell’energia si deve avere 𝑊𝑊𝑡𝑡𝑟𝑟 0 = 𝑊𝑊𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 −𝑊𝑊𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟(0)da cui

𝑊𝑊𝑡𝑡𝑟𝑟(0)𝑊𝑊𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(0)

=𝑅𝑅𝑅𝑅 ⁄1 𝜂𝜂2𝑅𝑅𝑅𝑅 ⁄1 𝜂𝜂1

𝒯𝒯 2 = 1 − Γ 2

e quindi 1 − Γ 2 ≠ 𝒯𝒯 2 è il coefficiente di trasmissione della potenza.


INC. NORMALE: DIELETTRICI A BASSE PERDITENel caso di dielettrici a basse perdite (o senza perdite) per entrambi i mezzisi ha

𝜂𝜂1 ≈𝜂𝜂0𝑛𝑛1


si ottiene

Sostituendo nelle formule generali

dielettrici a basse perdite o senza perdite


INC. NORMALE SU BUON CONDUTTORENel caso in cui il mezzo 1 è dielettrico a basse perdite e il mezzo 2 è unbuon conduttore Si ha


𝜂𝜂2 = 𝑅𝑅𝑠𝑠(1 + 𝑗𝑗)

Sostituendo nelle formule generali si ottiene

Γ =𝑅𝑅𝑠𝑠 1 + 𝑗𝑗 − ⁄𝜂𝜂0 𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠 1 + 𝑗𝑗 + ⁄𝜂𝜂0 𝑛𝑛1

= −1 − 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1 ⁄𝑅𝑅𝑠𝑠 𝜂𝜂01 + 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1 ⁄𝑅𝑅𝑠𝑠 𝜂𝜂0

𝒯𝒯 =2𝑅𝑅𝑠𝑠 1 + 𝑗𝑗

𝑅𝑅𝑠𝑠 1 + 𝑗𝑗 + ⁄𝜂𝜂0 𝑛𝑛1=

2 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1 ⁄𝑅𝑅𝑠𝑠 𝜂𝜂01 + 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1 ⁄𝑅𝑅𝑠𝑠 𝜂𝜂0


INC. NORMALE SU BUON CONDUTTOREPoiché solitamente è ben verificata la condizione 𝑅𝑅𝑠𝑠 ≪ ⁄𝜂𝜂0 𝑛𝑛1, ricordandoche 1

1+𝑥𝑥≈ 1 − 𝑥𝑥 per 𝑥𝑥 ≪ 1, dalle formule precedenti si ottiene

Γ = −1 − 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1 ⁄𝑅𝑅𝑠𝑠 𝜂𝜂01 + 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1 ⁄𝑅𝑅𝑠𝑠 𝜂𝜂0

≈ − 1 − 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0

2

≈ −1 + 2 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0− 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1

𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0

2

𝒯𝒯 =2 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1 ⁄𝑅𝑅𝑠𝑠 𝜂𝜂0

1 + 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1 ⁄𝑅𝑅𝑠𝑠 𝜂𝜂0≈ 2 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1


1 − 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0

≈ 2 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0− 2 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1


2

≈ −1 + 2 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0

≈ 2 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0

trascurabile

trascurabile


Il coefficiente di riflessione della potenza è

INC. NORMALE SU BUON CONDUTTORE

Γ 2 ≈ −1 + 2𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0

2

+ 2𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0

2

1 − Γ 2 ≈ 4𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0

≈ 1 − 4𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0

+ 8 𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0

2

≈ 1 − 4𝑛𝑛1𝑅𝑅𝑠𝑠𝜂𝜂0

mentre il coefficiente di trasmissione della potenza risulta

trascurabile

Nel caso di metalli ad alta conducibilità quasi tutta la potenza incidenteviene riflessa (la piccola parte trasmessa è assorbita vicino alla superficie).Esempio: rame, argento e alluminio fino a un centinaio GHz hanno 𝑅𝑅𝑠𝑠 < 100 mΩ ela potenza riflessa differisce da quella incidente per meno di 1/1000 ( Γ 2 ≈ 1).

Nel vicino infrarosso e nel visibile 𝑅𝑅𝑠𝑠 aumenta e la potenza riflessa puòdifferire di qualche percento da quella incidente.


Nel caso di un conduttore perfetto 𝑅𝑅𝑠𝑠 = 0 i coefficienti di riflessione etrasmissione diventano

INC. NORMALE SU CONDUTTORE PERFETTO

Γ = −1 𝒯𝒯 = 0

Γ 2 = 1 1 − Γ 2 = 0

I coefficienti di riflessione e trasmissione della potenza risultano

Quindi tutta la densità di potenza incidente viene riflessa.

Quindi sull’interfaccia il campo elettrico riflesso è uguale e opposto a quelloincidente e il campo trasmesso nel conduttore è nullo:

𝑬𝑬1 0 = 𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 + 𝑬𝑬𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟 0 = 𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 + Γ𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 = 0

𝑯𝑯1 0 = 𝑯𝑯𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 + 𝑯𝑯𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟 0 = 𝑯𝑯𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 − Γ𝑯𝑯𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0 = 2𝑯𝑯𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 0


INTERFERENZA E ONDA STAZIONARIAConsideriamo un’onda piana uniforme che incidenormalmente su un conduttore perfetto (𝑅𝑅𝑠𝑠 = 0).

Poiché Γ = −1, la sovrapposizione deicampi dell’onda incidente e dell’ondariflessa nel mezzo 1 risulta:

La fase è costante a tratti (± ⁄𝜋𝜋 2 per 𝐸𝐸𝑥𝑥 e ±𝜋𝜋 per 𝐻𝐻𝑦𝑦, assumendo che 𝐹𝐹sia reale) e i due campi sono in quadratura.

Dunque, non si ha propagazione e il campo considerato costituisceun’onda stazionaria.


INTERFERENZA E ONDA STAZIONARIAPassando dai fasori ai campi nel dominio del tempo si ha


INTERFERENZA E ONDA STAZIONARIA


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DA UNO STRATOConsideriamo la situazione in cuiun’onda piana uniforme incideperpendicolarmente su uno strato dimateriale che separa il mezzo 1 dalmezzo 2.

Senza perdita di generalità, si può considerare il campo elettrico incidentepolarizzato linearmente lungo x. Per simmetria, i risultati ottenuti sarannovalidi anche per un’onda con il campo elettrico polarizzato linearmentelungo y. Nel caso di una polarizzazione arbitraria, sarà sufficientecombinare i due risultati.

Vogliamo trovare l’onda riflessa nelmezzo 1 e quella trasmessa nelmezzo 2.

Per simmetria, le onde incidenti e trasmesse nel mezzo 1 e nello strato el’onda trasmessa nel mezzo due saranno piane e uniformi, conpropagazione nella direzione z.


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DA UNO STRATOI campi nelle tre regioni si possono scriverecome:

Si noti che nel mezzo 2 è stato aggiunto un termine di fase e−𝑗𝑗𝑘𝑘2𝑑𝑑 in modoche il campo sull’interfaccia strato/mezzo 2 risulti uguale a 𝐹𝐹′′.


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DA UNO STRATOCalcolando i campi 𝐸𝐸1, 𝐻𝐻1 e 𝐸𝐸2, 𝐻𝐻2 sulleinterfacce usando l’espressione dei campinello strato

si ottiene


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DA UNO STRATOEliminando A e B, con qualche passaggio siottiene

Se 𝑗𝑗 è complesso (𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 − 𝑗𝑗𝛼𝛼), possono essere utili le formule:

La matrice di trasmissione e i coefficienti di trasmissione descrivono illegame tra i campi alle interfacce dello strato.


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DA UNO STRATOImponendo la continuità delle componentitangenziali dei campi, considerando leespressioni delle onde nei mezzi 1 e 2, siottiene:

da cui


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DA UNO STRATORicavando i termini incogniti 𝐹𝐹′ e 𝐹𝐹′′ infunzione dell’ampiezza (nota) 𝐹𝐹 del campoincidente, si ottengono il coefficiente diriflessione Γ e il coefficiente di trasmissione𝒯𝒯 dello strato:


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DA UNO STRATOLe densità di potenza trasportate dall’onda incidente nel mezzo 1 è:

Le densità di potenza trasportate dall’onda riflessa nel mezzo 1 risulta

e la densità di potenza trasportate dall’onda trasmessa nel mezzo 2 è

Risulta sempre 𝑊𝑊′′ ≤ 𝑊𝑊 −𝑊𝑊′ e si ha

𝑊𝑊𝑑𝑑𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑑𝑑𝑠𝑠𝑡𝑡𝑟𝑟𝑑𝑑 = 𝑊𝑊 −𝑊𝑊′ −𝑊𝑊′′

Se la lastra è senza perdite si ha 𝑊𝑊′′ = (1 − Γ 2)𝑊𝑊.


STRATO IN MEZZ’ONDASe lo spessore dello strato è pari a mezza lunghezza d’onda, si ha

da cui

e quindi

Nel caso 𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝜆𝜆/2 (m intero) l’espressione del coefficiente di riflessionerimane identica, mentre quella del coefficiente di trasmissione e le relazionitra i campi sono moltiplicate per −1 𝑚𝑚.

𝐸𝐸1 = −𝐸𝐸2 𝐻𝐻1 = −𝐻𝐻2Inoltre


STRATO IN QUARTO ONDASe lo spessore dello strato è pari a un quarto di lunghezza d’onda, si ha

da cui

e quindi

Nel caso 𝑑𝑑 = (𝑚𝑚 + 1)𝜆𝜆/4 (m intero) l’espressione del coefficiente diriflessione rimane identica, mentre quella dee coefficiente di trasmissione ele relazioni tra i campi sono moltiplicate per −1 𝑚𝑚.

𝐸𝐸1 = 𝑗𝑗𝜂𝜂𝐻𝐻2 𝐻𝐻1 = 𝑗𝑗𝐸𝐸2/𝜂𝜂Inoltre


STRATO IN QUARTO ONDASe lo strato è realizzato con un dielettrico senza perdite, introducendol’indice di rifrazione si ottiene

In questo caso, tutta l’energia incidente sulla prima interfaccia si trasmetteal mezzo 2.

Si nota che il coefficiente di riflessione si annulla se

E’ quindi possibile realizzare uno strato antiriflesso inserendo alladiscontinuità fra due mezzi una lastra di spessore 𝜆𝜆/4 di materiale conindice di rifrazione 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛1𝑛𝑛2.


SCHERMO CONDUTTOREÈ interessante il caso di uno strato costituito da un buon conduttore.

Se assumiamo che lo strato sia molto spesso rispetto allo spessore dellapelle (𝑑𝑑 ≫ 𝛿𝛿), condizione ben verificata a microonde per buoni conduttorigià con spessori dell’ordine di poche decine di µm, si ha la condizione

Ricordando che

cosh 𝑥𝑥 =𝑅𝑅𝑥𝑥 + 𝑅𝑅−𝑥𝑥

2sinh 𝑥𝑥 =

𝑅𝑅𝑥𝑥 − 𝑅𝑅−𝑥𝑥

2

si può fare l’approssimazione


SCHERMO CONDUTTORESostituendo nelle espressioni dei coefficienti di trasmissione si ottiene

e i coefficienti di riflessione e trasmissione risultano


SCHERMO CONDUTTORE

Poiché per i buoni conduttori vale 𝑅𝑅𝑠𝑠 ≪ 𝜂𝜂1, si ottiene Γ ≈ −1. Quindi lariflessione avviene come se lo strato fosse infinitamente spesso. In altreparole, non è importante quale sia il mezzo 2

Già per spessori di qualche δ si ha una trasmissione di potenza pressochénulla.

Inoltre si ha


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DA MULTISTRATOSupponiamo che la struttura sia costituita da una successione di strati didiverso materiale frapposti fra il mezzo 1 e il mezzo 2.


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DA MULTISTRATOPer lo strato n-esimo valela seguente relazione fra icampi sulle interfacce

Per la continuità dei campi tangenziali si può scrivere


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DA MULTISTRATODa cui si ottiene

di trasmissione è data dal prodotto di tutte le matrici di trasmissione deisingoli strati:

Una volta calcolati i coefficienti di 𝐚𝐚 , si possono ottenere i coefficienti diriflessione e trasmissione con le formule note:

Il sistema multistrato èequivalente ad un solo stratocomposito, la cui matrice


ANALOGIA O.P.U./LINEE DI TRASMISSIONE

Onde piane uniformi Linee di trasmissione

𝑉𝑉 𝑧𝑧 = 𝑉𝑉0+ 𝑅𝑅−𝑗𝑗𝛽𝛽𝑧𝑧 + Γ𝑅𝑅𝑗𝑗𝛽𝛽𝑧𝑧

𝐼𝐼 𝑧𝑧 =𝑉𝑉0+

𝑍𝑍0𝑅𝑅−𝑗𝑗𝛽𝛽𝑧𝑧 − Γ𝑅𝑅𝑗𝑗𝛽𝛽𝑧𝑧

Nel caso dell’incidenza normale, c’è una stretta analogia tra ilcomportamento del campo elettrico e magnetico delle onde piane uniformie quello delle tensioni e correnti delle linee di trasmissione.

𝐸𝐸𝑥𝑥 𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝑥𝑥 e−𝑗𝑗𝑘𝑘𝑧𝑧 + Γe𝑗𝑗𝑘𝑘𝑧𝑧

𝐻𝐻𝑦𝑦 𝑧𝑧 =𝐹𝐹𝑥𝑥𝜂𝜂

e−𝑗𝑗𝑘𝑘𝑧𝑧 − Γe𝑗𝑗𝑘𝑘𝑧𝑧

Γ =𝑉𝑉0−

𝑉𝑉0+=𝑍𝑍𝐿𝐿 − 𝑍𝑍0𝑍𝑍𝐿𝐿 + 𝑍𝑍0

Γ =𝐹𝐹𝑥𝑥𝐹𝐹𝑥𝑥′

=𝜂𝜂2 − 𝜂𝜂1𝜂𝜂2 + 𝜂𝜂1

Pertanto l’andamento dei campi elettrici e magnetici all’interno degli strati èsimile a quello di tensione e corrente nelle linee di trasmissione.


DIAGRAMMA D’ONDA STAZIONARIA

𝐸𝐸𝑥𝑥 𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝑥𝑥e−𝑗𝑗𝑘𝑘𝑧𝑧 1 + Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝑥𝑥 1 + Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧

𝐻𝐻𝑦𝑦 𝑧𝑧 =𝐹𝐹𝑥𝑥𝜂𝜂1

e−𝑗𝑗𝑘𝑘𝑧𝑧 1 − Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧 =𝐹𝐹𝑥𝑥𝜂𝜂1

1 − Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧

Consideriamo l’interfaccia fra due dielettrici senza perdite e vogliamovalutare l’andamento dell’ampiezza di campi elettrico e magneticoall’interno del mezzo 1

Al variare di z la funzione 1 + Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧descrive sul piano complesso unacirconferenza centrata nel punto (1,0),si vede che 1 + Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧 oscilla fra ilvalore minimo 1 − Γ e il valoremassimo 1 + Γ .

Re

Im

1

1 − Γ

1 + Γ


Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧

z crescente



𝐸𝐸𝑥𝑥 𝑧𝑧 min = 𝐹𝐹𝑥𝑥 1 − Γ

Pertanto i campi elettrici e magnetici oscillano tra i valori

𝐸𝐸𝑥𝑥 𝑧𝑧 max = 𝐹𝐹𝑥𝑥 1 + Γ

𝐻𝐻𝑦𝑦 𝑧𝑧 min =𝐹𝐹𝑥𝑥𝜂𝜂1

1 − Γ 𝐻𝐻𝑦𝑦 𝑧𝑧 max =𝐹𝐹𝑥𝑥𝜂𝜂1

1 + Γ

Il rapporto tra il campo massimo e quello minimo si chiama rapporto dionda stazionaria (𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)

𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =𝐸𝐸𝑥𝑥 𝑧𝑧 max𝐸𝐸𝑥𝑥 𝑧𝑧 min

=𝐻𝐻𝑦𝑦 𝑧𝑧 max𝐻𝐻𝑦𝑦 𝑧𝑧 min

=1 + Γ1 − Γ

e può assumere valori tra 1 e ∞.



1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

z

λ/2

λ/4

Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧 reale positivo𝑍𝑍max = 𝜂𝜂1 � 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅

Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧 reale negativo𝑍𝑍min = 𝜂𝜂1/𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅

𝐸𝐸𝑥𝑥 𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝑥𝑥 1 + Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧 𝐻𝐻𝑦𝑦 𝑧𝑧 =𝐹𝐹𝑥𝑥𝜂𝜂1


1 + Γ

1 − Γ

1 + Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧


Esempio con Γ = 0.1 − 𝑗𝑗𝑗.2


ANALOGIA O.P.U./LINEE DI TRASMISSIONEUn identico ragionamento vale se si considera la coppia 𝐸𝐸𝑦𝑦 e 𝐻𝐻𝑥𝑥, quindinelle formule precedenti si può sostituire 𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 al posto di 𝐹𝐹𝑥𝑥 , ottenendo leformule per una qualsiasi polarizzazione del campo incidente.

Lo studio delle onde stazionarie si effettua esattamente come nel casodelle linee di trasmissione. I risultati salienti sono:

• nelle sezioni z in cui il coefficiente di riflessione Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧 è reale e positivosi hanno i massimi di campo elettrico e i minimi di campo magnetico

• nelle sezioni z in cui il coefficiente di riflessione Γe𝑗𝑗2𝑘𝑘𝑧𝑧 è reale e negativosi hanno i minimi di campo elettrico e i massimi di campo magnetico

• se Γ = 0 non si ha riflessione e i valori massimi e minimi di campocoincidono. In questo caso 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1

• la carta di Smith può essere un valido strumento per determinarel’andamento dell’onda stazionaria e per calcolare i valori di impedenza edel coefficiente di riflessione al variare della sezione z


DIAGRAMMA D’ONDA STAZIONARIAPoiché si è assunto che il mezzo 1 è senza perdite, la densità di potenzache transita in ogni sezione z è data da

𝑊𝑊 𝑧𝑧 = 𝑊𝑊𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐 𝑧𝑧 −𝑊𝑊𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑧𝑧) =𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(𝑧𝑧) 2

2𝜂𝜂11 − Γ 2

Dato che 𝑬𝑬𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐(𝑧𝑧) =𝑬𝑬 𝑧𝑧 max1 + Γ sostituendo si ottiene

𝑊𝑊 𝑧𝑧 =𝑬𝑬 𝑧𝑧 max2

2𝜂𝜂1 1 + Γ 21 − Γ 2 =

𝑬𝑬 𝑧𝑧 max2

2𝜂𝜂11 − Γ1 + Γ

=𝑬𝑬 𝑧𝑧 max2

2𝜂𝜂1𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅

𝑬𝑬 𝑧𝑧 max = 2𝜂𝜂1𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 � 𝑊𝑊 𝑧𝑧 = 2𝑍𝑍max𝑊𝑊 𝑧𝑧

da cui

Calcolare 𝑬𝑬 𝑧𝑧 max è particolarmente importante per determinare se vi è ilrischio di scarica. La scarica avviene quando l’intensità del campo elettricosupera la rigidità dielettrica del mezzo (~30 kV/cm per l’aria secca)


OTTICA GEOMETRICASi consideri un’onda, in genere né piana né uniforme, che si propaga in unmezzo omogeneo isotropo e senza perdite di indice di rifrazione n.

Facciamo l’ipotesi che

• la lunghezza d’onda 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆0/𝑛𝑛 sia moltominore dei raggi di curvatura (locale) dellesuperfici equifase

• sulle superfici equifase le variazioni delcampo siano apprezzabili solo su distanzemolto maggiori della lunghezza d’onda

La superficie equifase Ω può esserescomposta in elementi ΔΩ di dimensionimolto maggiori della lunghezza d’onda e –ciò nonostante – talmente piccoli da poteressere considerati piani e con il campodistribuito uniformemente.

campo uniforme


OTTICA GEOMETRICASu ΔΩ l’onda può essere considerata piana e uniforme e (localmente) si ha

• velocità di fase costante 𝑣𝑣 = 𝑐𝑐/𝑛𝑛 sututta la superficie equifase

• onda TEM: 𝑯𝑯 = �𝒖𝒖 × 𝑬𝑬/𝜂𝜂, 𝑬𝑬 = 𝜂𝜂𝑯𝑯 × �𝒖𝒖dove 𝜂𝜂= 𝜂𝜂0/𝑛𝑛

• vettore di Poynting perpendicolarealla superficie equifase, dato da

𝑺𝑺 = 𝑊𝑊�𝒖𝒖 =𝑬𝑬 𝟐𝟐

2𝜂𝜂�𝒖𝒖 = 𝜂𝜂

𝑯𝑯 𝟐𝟐

2�𝒖𝒖

• polarizzazione immutata nelladirezione �𝒖𝒖 normale alle superficiequifase


OTTICA GEOMETRICAPoiché la velocità di fase non dipende dalla posizione, la distanza che separain direzione normale una coppia di superfici equifase è uguale dappertutto.Su dimensioni molto più grandidella lunghezza d’onda, l’insiemedelle superfici equifase puòavere una conformazione del tipomostrato in figura.

Le linee normali alle superficisono rettilinee. Esse vengonodette raggi e coincidono con lelinee di flusso del vettore diPoynting.

La polarizzazione non cambialungo uno stesso raggio.


OTTICA GEOMETRICANell’OG lo studio della propagazione viene ricondottoal tracciamento dei raggi e allo studio dell’andamentodell’ampiezza e della fase dei campi lungo i raggi.

Questo metodo è ampiamente usato nellapianificazione dei sistemi wireless.


OTTICA GEOMETRICASe si conosce il campo in un punto è possibile (entro certi limiti)determinare il campo lungo tutto il raggio che passa per quel punto.

Il fascio di raggi è un tubo di flusso del vettore di Poynting, quindi lapotenza che attraversa tutte le sue sezioni trasversali è la stessa (il mezzoè senza perdite):

dove

fattore di divergenza

tiene conto dell’allargamento/restringimento del fascio.


OTTICA GEOMETRICALa densità di potenza è proporzionale al quadrato del modulo del campoelettrico e del campo magnetico. Si ha quindi

Inoltre, poiché la propagazione sui raggi è come quella delle onde pianeuniformi, il ritardo di fase che si ha passando da P a Q risulta

da cui

Quindi il valore del campo in un qualunque punto si può determinareconoscendo il campo in un altro punto sullo stesso raggio.


OTTICA GEOMETRICAIn alcune situazione le formule dei campi lungo i raggi non sono utilizzabili.Questo accade quando non sono verificate le ipotesi dell’OG.

Se la dimensione del fascio si annulla (come nei punti A, B, C e F), il fattoredi divergenza tende ad infinito e l’OG non è più valida.

caustica fuoco

Benché il calcolo del campi con l’OG sia errato in prossimità di caustiche efuochi, le formule forniscono risultati corretti per i punti al di là di esse,purché si introduca un’opportuna correzione dello sfasamento (π per unfuoco).


OTTICA GEOMETRICAL’OG cade in difetto anche quando si considera il calcolo di un fascio diraggi paralleli su grande distanza. Secondo le formule dell’OG, il fattore didivergenza è 1 e i raggi dovrebbero rimanere paralleli fino all’infinito.

Si dimostrerà che da una certa distanza i raggi divergono e l’onda tende adiventare sferica.La distanza alla quale i raggi divergono è tanto più grande quanto minore èλ. Idealmente, per frequenza infinita i raggi sono paralleli.


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE NELL’OGLe leggi della riflessione/trasmissione possono essere applicate perstudiare onde non piane e/o non uniformi, nell’approssimazione dell’OG. Leonde vengono rappresentate e studiate come raggi, a patto che nell’intornodel punto di incidenza all’interfaccia fra i due mezzi la superficie didiscontinuità possa essere assimilata ad un piano.

Al fascio dei raggi incidenti si fa corrispondere un fascio di raggi riflessi e diraggi trasmessi, applicando la legge della riflessione e della trasmissioneper ciascun raggio.


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE NELL’OGI campi elettrici nei punti Q’ e Q’’ sono dati da


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE NELL’OGUn caso di interesse pratico è la riflessione da un’interfaccia piana confascio incidente omocentrico (i raggi passano per un punto). In questo casosi determinano facilmente il fattore di divergenza e lo sfasamento:


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE NELL’OGNel caso di un ostacolo conduttore perfetto i coefficienti di riflessione sonoΓ∥ = 1 e Γ⊥ = −1, pertanto il campo è tutto riflesso e non c’è campotrasmesso nel conduttore.

Pertanto, secondo l’OGesiste una zona d’ombrain cui il campo è nullo.Questo è però contrarioall’esperienza comune (laluce trasmessa attraversoun foro illumina tutta unastanza).

Infatti, il fenomeno della diffrazione fa sì che anche la zona dietro l’ostacolovenga illuminata. L’OG cade in difetto perché la zona d’ombradeterminerebbe una brusca variazione del campo, contrariamente alleipotesi dell’OG.


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE NELL’OGPuò accadere che due o più fasci provenientidalla stessa sorgente attraversino la stessazona dopo aver seguito percorsi diversi. Nellazona d’incrocio il campo è la somma dei campidei singoli fasci e l’ampiezza del camporisultante può subire variazioni anche notevolisu distanze dell’ordine della lunghezza d’onda(fenomeno dell’interferenza).

Dai percorsi multipli dipende il ben noto effettoper il quale, quando ci si muove con unradioricevitore FM in un ambiente denso diostacoli (interni, strade cittadine ecc.),l’ampiezza del segnale ricevuto cambianotevolmente, anche per spostamentidell’ordine del metro.


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE NELL’OGL’OG è di grande utilità nella progettazione dei dispositivi ottici. Nell’esempiosi considera una lente convergente che trasforma un fascio di raggi paralleli(onda piana) in un fascio focalizzato nel fuoco (onda sferica). La lente hasimmetria assiale intorno all’asse z. Uguagliando i cammini ottici di tutti ipercorsi si ottiene

da cui


RIFLESSIONE E TRASMISSIONE NELL’OGUn altro importante esempio di applicazione dell’OG riguarda lo studio di unriflettore metallico che trasforma un fascio omocentrico in un fascio di raggiparalleli. Anche in questo caso la forma della superficie del riflettore vienetrovata imponendo l’uguaglianza dei cammini ottici fra le sfere e i pianiequifase:

Come è noto dalla geometria, il luogodei punti che soddisfa questacondizione è un riflettore parabolicocon fuoco nel punto F.

Il metodo degli uguali cammini ottici non dipende dal verso dei raggi.Quindi, i dispositivi funzionano correttamente anche scambiando il fasciotrasmesso/riflesso con quello incidente.

Slide Number 1Slide Number 2SommarioNotazioneRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRichiami sulle onde pianeRiflessione e rifrazioneRiflessione e rifrazioneRiflessione e rifrazioneRiflessione e rifrazioneRiflessione e rifrazioneRiflessione e rifrazione: legge di SnellRiflessione e rifrazione: legge di SnellRiflessione e rifrazione: legge di SnellRiflessione e rifrazione: angolo limiteRiflessione e rifrazione: angolo limiteIncidenza sotto l’angolo limite (𝜃1𝜃L)Incidenza sopra l’angolo limite (𝜃1>𝜃L)Incidenza sopra l’angolo limite (𝜃1>𝜃L)Incidenza sopra l’angolo limite (𝜃1>𝜃L)Incidenza sopra l’angolo limite (𝜃1>𝜃L)Incidenza sopra l’angolo limite (𝜃1>𝜃L)Incidenza sopra l’angolo limite (𝜃1>𝜃L)Riflessione e rifrazioneRiflessione e trasmissione dell’energiaRiflessione e trasmissione dell’energiaRiflessione e trasmissione dell’energiaRiflessione e trasmissione dell’energiaRiflessione e trasmissione dell’energiaRiflessione e trasmissione dell’energiaPropagazione nei buoni conduttoriPropagazione nei buoni conduttoriEffetto pelleEffetto pelleEffetto pelleEffetto pelleRiflessione da superfici conduttriciRiflessione da superfici conduttriciRiflessione da superfici conduttriciIncidenza normaleIncidenza normaleIncidenza normaleIncidenza normaleInc. normale con polarizzazione arbitrariaInc. normale con polarizzazione arbitrariaInc. normale con polarizzazione arbitrariaInc. normale con polarizzazione arbitrariaInc. normale: potenza riflessa/trasmessaInc. normale: potenza riflessa/trasmessaInc. normale: potenza riflessa/trasmessaInc. normale: dielettrici a basse perdite Inc. normale su buon conduttoreInc. normale su buon conduttoreInc. normale su buon conduttoreInc. normale su conduttore perfettoInterferenza e onda stazionariaInterferenza e onda stazionariaInterferenza e onda stazionariaRiflessione e trasmissione da uno stratoRiflessione e trasmissione da uno stratoRiflessione e trasmissione da uno stratoRiflessione e trasmissione da uno stratoRiflessione e trasmissione da uno stratoRiflessione e trasmissione da uno stratoRiflessione e trasmissione da uno stratoStrato in mezz’ondaStrato in quarto ondaStrato in quarto ondaSchermo conduttoreSchermo conduttoreSchermo conduttoreRiflessione e trasmissione da multistratoRiflessione e trasmissione da multistratoRiflessione e trasmissione da multistratoAnalogia o.p.u./linee di trasmissioneDiagramma d’onda stazionariaDiagramma d’onda stazionariaDiagramma d’onda stazionariaAnalogia o.p.u./linee di trasmissioneDiagramma d’onda stazionariaOttica GeometricaOttica GeometricaOttica GeometricaOttica GeometricaOttica GeometricaOttica GeometricaOttica GeometricaOttica GeometricaRiflessione e trasmissione nell’OGRiflessione e trasmissione nell’OGRiflessione e trasmissione nell’OGRiflessione e trasmissione nell’OGRiflessione e trasmissione nell’OGRiflessione e trasmissione nell’OGRiflessione e trasmissione nell’OG

prof. luca perregrini - microwave labmicrowave.unipv.it/pages/campi_pr/appunti/01_cec-pr... ·...

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