teoria dello strato limite

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 1 TEORIA DELLO STRATO LIMI TE  3 1 Teori a dell o strato li mi te 1.1 Introduzione In generale la determinazione del campo di moto intorno ad un oggetto o all’interno di un canale si pu` o ottenere risolvendo le equazi oni di conserv azione di massa, quanti t` a di moto ed energia (equazi oni di Navier–S toke s). T uttav ia, tale approccio presenta notevoli di- colt`a; pertanto sono stati sviluppati approcci alternati vi che consen tano la sempl icazione delle equazioni da risolvere, pur preservando la sica del fenomeno in esame. Nelle appli- cazioni aeronautiche un tale approccio `e possibil e adottando il concetto di  strato limite . Secondo la teoria dello strato limite di Prandtl, si possono identicare due regioni distinte nei ussi ad elevato numero di Reynolds,  Re. Nell a pri ma di ques te regioni gli eetti viscosi e di scambio termico sono trascurabili e pertanto il campo di moto `e governato con buona approssimazione dalle equazioni di Eulero. Nella seconda regione, inv ece, che risulta in generale molto piccola (scie e strati limite), sono presenti elevati gradienti di usso (in direzione perpendicolare alle pareti) e gli eetti viscosi sono rilev anti. Infatti, nel caso di ussi in cui la distribuzione di pressione risulta ben approssimata da quella che si ottiene usando l’ipotesi di uido non viscoso, come il usso intorno ad un prolo alare a bassa incidenza, l’inuenza della viscosit` a per alti  Re  ` e connata in una regione molto sottile in prossimit` a delle pareti solide. In tale regione la velocit` a del uido aumenta dal valore nullo a parete (su cui vale la condizione di aderenza) a quello corrispondente al us so este rno non viscoso. Ad esempio, la gur a 1.1 ripr oduce l’ev oluzione qualitati v a Fig ura 1.1: Sviluppo dello strato limite su una lamina piana ad incidenza nulla. del usso su una lastra piana ad incidenza nulla. Si nota la presenza di uno strato limite a parete in cui la velocit` a risulta pi` u piccola rispetto a quella del usso indist urba to. Si nota, inoltre, come lo spessore della strato limite, δ , aumenti nella direzione del usso, x, per eetto della maggior quantit` a di uido inte ressata dagli eetti viscos i. Ovvi amen te, lo spessore dello strato limite diminuisce con la viscosit` a del uido. D’altra parte, anche in presenza di bassi valori della viscosit` a (alti valori di  Re) lo sforzo di taglio,  τ  = µ u/ y , risulta elevato nello strato limite a causa dell’elevato gradiente di velocit` a (in direzione perpendicolare alla parete), mentre al di fuori dello strato limite ` e trascurabile.

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1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

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11.1

Teoria dello strato limiteIntroduzione

In generale la determinazione del campo di moto intorno ad un oggetto o allinterno di un canale si pu` ottenere risolvendo le equazioni di conservazione di massa, quantit` di moto o a ed energia (equazioni di NavierStokes). Tuttavia, tale approccio presenta notevoli dicolt`; pertanto sono stati sviluppati approcci alternativi che consentano la semplicazione a delle equazioni da risolvere, pur preservando la sica del fenomeno in esame. Nelle applicazioni aeronautiche un tale approccio ` possibile adottando il concetto di strato limite. e Secondo la teoria dello strato limite di Prandtl, si possono identicare due regioni distinte nei ussi ad elevato numero di Reynolds, Re. Nella prima di queste regioni gli eetti viscosi e di scambio termico sono trascurabili e pertanto il campo di moto ` governato e con buona approssimazione dalle equazioni di Eulero. Nella seconda regione, invece, che risulta in generale molto piccola (scie e strati limite), sono presenti elevati gradienti di usso (in direzione perpendicolare alle pareti) e gli eetti viscosi sono rilevanti. Infatti, nel caso di ussi in cui la distribuzione di pressione risulta ben approssimata da quella che si ottiene usando lipotesi di uido non viscoso, come il usso intorno ad un prolo alare a bassa incidenza, linuenza della viscosit` per alti Re ` connata in una regione molto a e sottile in prossimit` delle pareti solide. In tale regione la velocit` del uido aumenta dal a a valore nullo a parete (su cui vale la condizione di aderenza) a quello corrispondente al usso esterno non viscoso. Ad esempio, la gura 1.1 riproduce levoluzione qualitativa

Figura 1.1: Sviluppo dello strato limite su una lamina piana ad incidenza nulla. del usso su una lastra piana ad incidenza nulla. Si nota la presenza di uno strato limite a parete in cui la velocit` risulta pi` piccola rispetto a quella del usso indisturbato. Si a u nota, inoltre, come lo spessore della strato limite, , aumenti nella direzione del usso, x, per eetto della maggior quantit` di uido interessata dagli eetti viscosi. Ovviamente, lo a spessore dello strato limite diminuisce con la viscosit` del uido. Daltra parte, anche in a presenza di bassi valori della viscosit` (alti valori di Re) lo sforzo di taglio, = u/y, a risulta elevato nello strato limite a causa dellelevato gradiente di velocit` (in direzione a perpendicolare alla parete), mentre al di fuori dello strato limite ` trascurabile. e

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In alcuni ussi lo spessore dello strato limite aumenta in maniera considerevole e si pu` avere usso inverso. In tali situazioni le particelle dello strato limite vengono spinte o verso lesterno e si ha la separazione dello strato limite. Tale fenomeno ` sempre seguito e dalla formazione di vortici e ampie zone di ricircolazione con elevate perdite di energia e la teoria dello strato limite non ` pi` applicabile. Esso si verica nei ussi intorno a e u corpi tozzi (come cilindri circolari e sfere) che presentano ampie zone di usso decelerato (scie) in cui la pressione risulta sensibilmente pi` bassa rispetto a quella che si avrebbe u nel corrispondente usso non viscoso. Lelevato coeciente di resistenza di tali corpi ` principalmente dovuto alla presenza di questa zona a bassa pressione causata dalla e separazione. La denizione di spessore dello strato limite, , ` in qualche modo arbitraria in quanto e la transizione dalla velocit` a parete a quella del usso indisturbato avviene in maniera a asintotica. Tuttavia, la velocit` nello strato limite assume un valore molto prossimo a a quello del usso esterno gi` ad una distanza molto piccola dalla parete. Quindi ` possibile a e denire lo spessore dello strato limite come la distanza da parete a cui la velocit` dierisce a dell1% dal valore allesterno. Al posto di tale misura si pu` usare una misura alternativa, o detta spessore di spostamento, 1 , denito dalla seguente relazione:

U 1 =y=0

(U u)dy,

(1.1)

dove U indica la velocit` del usso indisturbato allesterno dello strato limite e u = u(y) a la velocit` (parallela alla parete) nello strato limite (vedi gura 1.2). Lo spessore di a

Figura 1.2: Spessore di spostamento. spostamento indica il difetto di massa, rispetto al usso non viscoso, causato dalla presenza dello strato limite, quindi rappresenta la distanza a cui dovrebbe essere spostata la parete in un usso non viscoso per avere la stessa portata1 .Si noti che tale interpretazione ` rigorosa solo nel caso di usso incomprimibile, mentre per ussi e comprimibili bisogna correggere la denizione di 1 per conteggiare la variazione di densit` nello strato a limite.1

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Per ottenere una stima dello spessore dello strato limite, , si pu` considerare che o le forze dattrito, mentre nella regione di usso al suo interno sono dello stesso ordine di grandezza rispetto a quelle dinerzia, a causa dellelevato Re, risultano trascurabili al suo esterno. La forza dinerzia per unit` di volume ` pari a uu/x, quindi di ordine a e U 2 /L, avendo indicato con U ed L la velocit` e la lunghezza di riferimento del usso. a La forza dattrito per unit` di volume risulta /y che, nellipotesi di usso laminare, ` a e pari a 2 u/y 2 . Il gradiente di velocit` in direzione perpendicolare alla parete, u/y, a ` di ordine U/, per cui la forza dattrito per unit` di volume ` proporzionale a U/ 2 . e a e Uguagliando le espressioni cos` ottenute per le forze dinerzia e di attrito si ha: da cui, risolvendo per , si ha: L = U L . U (1.3) U U2 , 2 L (1.2)

Il fattore di proporzionalit` resta al momento indeterminato, ma sar` ricavato nel seguito. a a Lo spessore di strato limite adimensionale, riferito ad L, si scrive: L 1 = , UL ReL (1.4)

dove ReL indica il numero di Reynolds riferito alla lunghezza L. Dallequazione (1.3) si vede come sia proporzionale alla radice quadrata di L e di . Inoltre, se in tale equazione si sostituisce ad L la distanza x dal bordo dattacco, si vede come sia proporzionale alla radice quadrata di x. Dallequazione (1.4) si nota, inoltre, come /L diminuisca al crescere del numero di Reynolds e, nel caso limite di Re tendente allinnito, esso tenda a zero. Quando la velocit` del usso indisturbato ` sucientemente elevata, il usso lungo una a e parete pu` subire la transizione da laminare a turbolento. Nel usso su una lamina piana o tale transizione si pu` individuare chiaramente attraverso un improvviso incremento dello o spessore dello strato limite e dello sforzo di taglio a parete. Secondo lequazione (1.3), in cui si sostituisce la coordinata locale x ad L, la quantit` adimensionale / x/U a risulta costante per usso laminare (tale costante ` allincirca pari a 5). La gura 1.3 e mostra landamento di tale parametro adimensionale in funzione del numero di Reynolds Rex = U x/: per Rex > 3.2105 si osserva una transizione dallandamento costante ad uno crescente linearmente, caratteristico del passaggio del usso da laminare a turbolento. In generale lo spessore di uno strato limite turbolento risulta maggiore di quello di uno strato limite laminare. Per usso su una lamina piana ad incidenza nulla lo spessore dello strato limite turbolento ` proporzionale a x0.8 . Infatti, come verr` ricavato successivamente, si e a ha: 1/5 UL 1/5 = ReL . (1.5) L

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Figura 1.3: Distribuzione dello spessore dello strato al variare di Rex per il usso su una lamina piana ad incidenza nulla (Hansen, 1928).

1.21.2.1

Flusso laminare bidimensionaleFlusso incomprimibile su una lamina piana

Come gi` osservato in precedenza, nei ussi ad elevato Re e in assenza di zone di sepaa razione, la velocit` ` dello stesso ordine di grandezza di quella del usso indisturbato, V , ae ad eccezione della regione in prossimit` delle pareti, e le linee di usso sono molto simili a a quelle del usso potenziale. Tuttavia, nel caso reale il uido aderisce alle pareti e il passaggio dalla velocit` nulla a V avviene in una zona molto sottile, denominata strato a limite. In questo modo si identicano due regioni ben distinte: quella dello strato limite, posta in prossimit` delle pareti, in cui il gradiente di a velocit` in direzione perpendicolare alla parete risulta elevato e, pur in presenza di a bassi valori della viscosit` , gli sforzi viscosi sono rilevanti; a nella rimanente regione uida i gradienti di velocit` sono relativamente piccoli e a

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leetto della viscosit` risulta trascurabile, per cui il usso pu` considerarsi non a o viscoso. Poich lo spessore dello strato limite ` proporzionale alla radice quadrata della viscosit` e e a cinematica, si pu` concludere che esso diminuisce con o, in generale, allaumentare di Re. o Pertanto, nellipotesi di numero di Reynolds molto elevato, le equazioni di NavierStokes allinterno dello strato limite possono essere semplicate assumendo che lo spessore dello strato limite sia molto pi` piccolo di una qualche dimensione caratteristica del usso, L: u L. Descriveremo questo procedimento facendo riferimento, per semplicit`, al caso del a usso su una lamina piana ad incidenza nulla, in cui la direzione del usso indisturbato, parallela a quella della lamina, coincida con lasse x. Nel caso di usso bidimensionale non stazionario il vettore velocit` u in un riferimento cartesiano si scrive: a u = u(x, y, t) + v(x, y, t) e le equazioni di NavierStokes per usso incomprimibile in forma adimensionale si scrivono: u u u 1 p 1 +u +v = + t x y x Re v v 1 p 1 v +u +v = + t x y y Re u v + = 0, x y dove il numero di Reynolds ` denito come e Re = VL V L = . 2u 2u + , x2 y 2 2v 2v + x2 y 2 , (1.6) (1.7) (1.8)

Lo spessore dello strato limite adimensionalizzato, per cui si user` ancora il simbolo , ` a e una quantit` molto pi` piccola dellunit`, 1, e si pu` condurre unanalisi degli ordini a u a o di grandezza dei termini nelle equazioni (1.6)-(1.8) allinterno dello strato limite: u u 1 p 1 u +u +v = + t x y x Re 1 1 1 1 2 2u 2u + 2 x2 y 1 1 2 , (1.10) , (1.9)

v v v 1 p 1 +u +v = + t x y y Re 1 1 2

2v 2v + 2 x2 y 1

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE u v + = 0. x y 1 1

8 (1.11)

Le condizioni al contorno devono imporre che la velocit` sia nulla a parete: a u=v=0 per y = 0,

e che la componente orizzontale della velocit` tende al valore indisturbato allinnito: a u=1 per y .

Poich u/x ` di ordine 1, dallequazione di continuit` si ha che anche v/y ` di ordine e e a e 1 e quindi, allinterno dello strato limite, v ` di ordine , cos` come v/x e 2 v/x2 . e 2 2 Inoltre, u/x ` di ordine 1. Poich la componente orizzontale di velocit` passa da zero e e a (parete) ad uno (usso indisturbato) attraverso lo strato limite di spessore , si ha: 1 u , y mentre 2u 1 2, y 2

v 2v 1 1, 2 . y y 2 Con questi ordini di grandezza, dalla componente orizzontale dellequazione della quantit` a di moto si deduce che le forze dinerzia sono dello stesso ordine di grandezza delle forze dattrito solo se Re ` di ordine 1/ 2 . Pertanto lequazione (1.9) si pu` semplicare trae o 2 2 2 2 a scurando il termine u/x rispetto a u/y , mentre lequazione di continuit` (1.11) resta inalterata. Dallequazione (1.10) si deduce che p/y ` di ordine , per cui la vae riazione di pressione attraverso lo strato limite sarebbe di ordine 2 , quindi trascurabile. Infatti, si assume che la pressione nello strato limite sia costante e pari a quella che regna allesterno, determinata dal usso non viscoso: la pressione risulta quindi una funzione nota del problema, p = p(x, t). Al bordo esterno dello strato limite, u diventa uguale a U(x, t) e poich in tale regione e i termini viscosi nellequazione (1.9) sono trascurabili, si ha: U U 1 p +U = . t x x Nel caso di usso stazionario questa espressione di semplica ulteriormente: U 1 dp dU = , dx dx (1.13) (1.12)

che, integrata, costituisce lequazione di Bernoulli: p+ 1 U 2 = cost. 2 (1.14)

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In denitiva, siamo ora in grado di scrivere le equazioni semplicate valide allinterno dello strato limite, note come equazioni dello strato limite di Prandtl.2 Riadottando le quantit` dimensionali, si ha: a u u u 1 p 2u +u +v = + 2, t x y x y u v + = 0, x y con le condizioni al contorno y = 0 : u = v = 0; y = : u = U(x, t), (1.17) (1.15) (1.16)

e opportune condizioni iniziali. In questo modo il usso potenziale allesterno dello strato limite (U(x, t), p(x, t)) deve considerarsi noto. Nel caso di usso stazionario le equazioni appena ricavate si semplicano ulteriormente: u u 1 dp 2u u +v = + 2, x y dx y u v + = 0, x y con le condizioni al contorno y = 0 : u = v = 0; y = : u = U(x). (1.20) (1.18) (1.19)

La semplicazione introdotta ` notevole in quanto il problema in esame presenta solo due e equazioni nelle incognite u e v, mentre la pressione ` un dato. Inoltre, dalla considerazione e che Re risulta inversamente proporzionale al quadrato dello spessore dello strato limite adimensionale, segue che: 1 = , (1.21) L VL Re da cui , come precedentemente ricavato. Prima di passare alla risoluzione delle equazioni dello strato limite, ` utile fare alcune e considerazioni a proposito della separazione. In particolare ` importante denire in quali e circostanze il usso pu` separare. In presenza di un usso in prossimit` di una parete con o a gradiente di pressione avverso, le particelle nello strato limite non possono procedere molto oltre nella regione di pressione maggiore a causa della loro bassa energia cinetica; pertanto, alcune particelle si muoveranno nella direzione opposta a quella del usso principale e lo strato limite devier` dalla parete spostandosi nella regione del usso principale. In a generale, le particelle uide dopo il punto di separazione seguono la direzione impressa loro dal gradiente di pressione e si muovono in direzione opposta a quella della corrente

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Figura 1.4: Separazione dello strato limite su una lamina piana

principale, vedi gura 1.4. Il punto di separazione ` denito come la condizione limite in e cui il usso cambia direzione nelle immediate vicinanze della parate, u y = 0.y=0

(1.22)

Per poter sapere quando si ha la separazione bisogner` risolvere le equazioni dello strato a limite. In generale, tali equazioni sono valide sino al punto di separazione: a valle di esso lo strato limite diventa troppo grande e le assunzioni fatte per ricavare le suddette equazioni non sono pi` valide. Il ruolo fondamentale giocato dal gradiente di pressione u avverso (dp/dx > 0) sulla separazione si pu` rilevare se si considera che per y = 0 o lequazione (1.18) diventa: 2u dp = , (1.23) 2 y y=0 dx da cui, dierenziando rispetto ad y, 3u y 3 = 0.y=0

(1.24)

Quindi, nelle immediate vicinanze della parete la curvatura del prolo di velocit` dia pende solo dal gradiente di pressione e la curvatura a parete cambia col segno del gradiente di pressione. Nel caso di diminuzione della pressione (dp/dx < 0, accelerazione del usso) si ha che ( 2 u/y 2)y=0 < 0 e quindi 2 u/y 2 < 0 nellintero strato limite. Viceversa, in presenza di un incremento della pressione (dp/dx > 0, decelerazione del usso), ( 2 u/y 2 )y=0 > 0; tuttavia, poich in prossimit` del bordo dello strato limite e a 2 2 2 2 u/y < 0, esister` un punto in cui u/y = 0, cio` un punto di esso nel graco del a e prolo di velocit` con la possibilit` di separazione. a aNel ricavare le equazioni dello strato limite si ` fatto riferimento al caso del usso su una lamina e piana. Tuttavia, lo stesso procedimento pu` essere esteso al caso di pareti curve con piccole variazioni o della curvatura.2

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Il caso pi` semplice in cui arontare la risoluzione delle equazioni dello strato limite u ` quello del usso su una lamina piana di spessore innitamente sottile. Individuato il e bordo dattacco della lamina come lorigine del riferimento cartesiano, x = y = 0, si assume che la lamina sia parallela allasse x, vedi gura 1.5. Si consideri il caso di usso

Figura 1.5: Strato limite lungo una lamina piana ad incidenza nulla stazionario con velocit` indisturbata di modulo U nella direzione dellasse x. In questo a caso dp/dx = 0 e le equazioni (1.18) e (1.19) si scrivono: u u 2u u +v = 2, x y y u v + = 0, x y con y = 0 : u = v = 0; In questo caso si pu` supporre che i proli di velocit` u(y) a diverse distanze x dal bordo o a dattacco risultino identici purch si usino degli opportuni fattori di scala per u e y. Tali e fattori risultano pari a U e (x), rispettivamente. Quindi per i proli di velocit` nello a strato limite si ha: y u . = U Si introduce la coordinata adimensionale =y e la funzione di corrente = U x f (), (1.29) dove f () indica la funzione di corrente adimensionale. In questo modo lequazione di continuit` risulta identicamente soddisfatta e le componenti di velocit` si scrivono: a a u= = = U f (), y y (1.30) U x (1.28) y = : u = U . (1.27) (1.25) (1.26)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE in cui f () indica la derivata prima di f rispetto ad ; analogamente v= 1 = x 2 U [f () f ()] . x

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(1.31)

Usando tali relazioni, lequazione (1.25) si scrive: 2 2 U2 U U f f + (f f ) f = f , 2x 2x x

(1.32)

che si semplica nella forma seguente f f + 2f = 0, con le condizioni al contorno: = 0 : f = 0, f = 0; = : f = 1. (1.34) (1.33)

In questo modo, grazie allintroduzione delle variabili autosimilari, il problema ` stato e ridotto alla soluzione di ununica equazione dierenziale ordinaria, la cui soluzione analitica ` stata ottenuta per la prima volta da Blasius attraverso un complesso procedimento e matematico. La tabella 1 riporta i valori di f , f = u/U e f per valori discreti di . La variazione di u/U ` riportata in gura 1.6. La componente verticale di velocit` ` invece e ae

Figura 1.6: Componente orizzontale della velocit` nello strato a limite lungo una lamina piana (Blasius, 1908). fornita in gura 1.7: si noti come al bordo dello strato limite, , tale componente sia diversa da zero: . v = 0.8604 U x U

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITEU x u U 0.00000 0.06641 0.13276 0.19894 0.26471 0.32978 0.39378 0.45626 0.51676 0.57476 0.62977 0.68131 0.72898 0.77246 0.81151 0.84604 0.87608 0.90176 0.92333 0.94112 0.95552 0.96696 0.97587 0.98268 0.98779 0.99154 0.99425 0.99616 0.99748 0.99838 0.99897 0.99936 0.99961 0.99977 0.99986 0.99992 0.99996 0.99998 0.99999 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

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=y 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0

f 0.00000 0.00664 0.02656 0.05973 0.10611 0.16557 0.23795 0.32298 0.42032 0.52952 0.65002 0.78119 0.92229 1.07251 1.23098 1.39681 1.56909 1.74695 1.92953 2.11603 2.30575 2.49804 2.69236 2.88825 3.08532 3.28327 3.48187 3.68092 3.88029 4.07988 4.27962 4.47946 4.67936 4.87930 5.07926 5.27924 5.47923 5.67922 5.87922 6.07921 6.27921 6.47921 6.67921 6.87921 7.07921 7.27921

f =

f 0.33206 0.33198 0.33147 0.33008 0.32739 0.32301 0.31659 0.30787 0.29666 0.28293 0.26675 0.24835 0.22809 0.20645 0.18401 0.16136 0.13913 0.11788 0.09809 0.08013 0.06423 0.05052 0.03897 0.02948 0.02187 0.01591 0.01134 0.00793 0.00543 0.00365 0.00240 0.00155 0.00098 0.00061 0.00037 0.00022 0.00013 0.00007 0.00004 0.00002 0.00001 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

Tabella 1: Strato limite su una lamina piana con gradiente di pressione nullo.

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Figura 1.7: Componente verticale della velocit` nello strato a limite lungo una lamina piana. (Blasius, 1908)

A questo punto dellanalisi si pu` determinare la resistenza su uno dei lati della lastra o come:L

D=bx=0

0 dx,

(1.35)

dove b indica la profondit` e L la lunghezza della lastra. Lo sforzo dattrito a parete vale: a 0 (x) = u y = Uy=0

U f (0) = 0.332 U x

U , x

(1.36)

dove f (0) = 0.332. Il coeciente dattrito vale quindi: cf = 0 (x) = 0.664 2 1/2 U 0.664 = . U x Re (1.37)

Quindi, utilizzando lequazione (1.35) si ha: D = 0.332 b U U L

dx = 0.664 b U x

L U .

(1.38)

x=0

La resistenza complessiva (somma di quella sulle due facce) vale: 2 D = 1.328 b3 L U .

(1.39)

Si noti che la resistenza aumenta con la radice quadrata della lunghezza: questo implica che il contributo principale alla resistenza viene fornito dalle regioni pi` vicine al bordo u

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dattacco dove lo strato limite ` pi` sottile e, di conseguenza, lo sforzo dattrito a parete e u risulta maggiore. Come di consueto, si pu` denire il coeciente di resistenza come o cd = 2D 2 1/2 U S

dove la supercie di riferimento vale S = 2 b L. Quindi, usando lequazione (1.39), si ha: 1.328 , cd = ReL (1.40)

dove ReL = U L/. Queste relazioni sono valide per regime di usso laminare, vale a dire per valori di ReL minori di 5 105 106 . Per ussi turbolenti, Re > 106 , la resistenza diventa notevolmente maggiore di quella fornita dallequazione (1.40), come sar` discusso a nel seguito. Alla luce dei risultati ottenuti ` ora possibile determinare lo spessore dello strato e limite. La componente orizzontale della velocit`, u, tende in maniera asintotica al valore a U del usso potenziale (la funzione f tende asintoticamente ad 1). Poich si ` denito e e lo spessore dello strato limite la distanza dalla parete dove u = 0.99 U , dalla tabella 1 si osserva che questo avviene quando 5; pertanto lo spessore dello strato limite diventa: 5

x . U

(1.41)

Lo spessore di spostamento, denito dallequazione (1.1), si scrive:

U 1 =y=0

(U u)dy,

=

1 =y=0

1

u U

dy;

(1.42)

poich u/U = f (), si ha: e

1 =

x U=0

[1 f ()] d =

x [1 f (1 )] , U

(1.43)

dove 1 indica un punto allesterno dello strato limite. Dalla tabella 1 si vede come 1 f (1 ) = 1.7208, per cui lo spessore di spostamento vale: 1 = 1.7208 x . U (1.44)

Unulteriore grandezza notevole nello studio dello strato limite ` lo spessore di quantit` e a di moto, 2 , che esprime la perdita di quantit` di moto rispetto al usso potenziale, a

0

u(U u)dy; la sua espressione ` la seguente: e 2 U 2 = y=0

u (U u) dy

=

2 =y=0

u U

1

u U

dy.

(1.45)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

16

Nel caso della lamina piana ad incidenza nulla, lo spessore di quantit` di moto assume la a forma seguente3 :

2 =

x U=0

f () [1 f ()] d

=

2 = 0.664

x . U

(1.46)

` E importante notare come al bordo dattacco della lamina la teoria dello strato limite non sia valida, in quanto lipotesi che | 2 u/x2 | | 2 u/y 2 | non ` soddisfatta, essendo e questo un punto singolare.

Figura 1.8: Coeciente di attrito lungo una lamina piana ad incidenza nulla: confronto tra risultati analitici e sperimentali (Liepmann & Dhawan, 1951). I risultati della teoria sopra esposta risultano in ottimo accordo con i dati sperimentali. In particolare, la gura 1.8 mostra la variazione del coeciente dattrito in funzione di Rex . Nel regime laminare il confronto tra le misure e lespressione (1.37) ` eccellente, a e conferma della teoria. Si noti, inne, che per 2 105 < Rex < 6 105 sono possibili sia il usso laminare che quello turbolento.Per ottenere la forma nale di 2 , si ` utilizzata lintegrazione per parti di e allequazione (1.33)3

f 2 d unitamente

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE 1.2.2 Propriet` generali delle equazioni dello strato limite a

17

Le assunzioni alla base delle equazioni dello strato limite risultano tanto pi` accurate u quanto maggiore ` il numero di Reynolds. Pertanto, la teoria dello strato limite pu` e o essere considerata come un processo di integrazione asintotica delle equazioni di Navier Stokes per Re molto elevati. Questo porta ad analizzare la relazione tra le caratteristiche dello strato limite ed il numero di Reynolds. A questo proposito si ricordi che nel ricavare le equazioni dello strato limite si ` fatto riferimento a quantit` adimensionali, assumendo e a come grandezze di riferimento la velocit` del usso indisturbato, U , e una lunghezza a caratteristica del corpo, L. Indicando le grandezze adimensionali con un apice, si ha: u u u dU 1 2 u , + v = U + x y dx Re y 2 u v + = 0, x y y = 0 : u = v = 0; y = : u = U (x ). (1.47) (1.48) (1.49)

Si noti che la soluzione delle equazioni dello strato limite dipende da Re = U L/, noti U (x ) e la geometria del corpo. Unulteriore trasformazione consente di eliminare anche la dipendenza da Re. Ponendo: v v = v Re = U U L , (1.50) (1.51)

y U L y = y Re = , L le equazioni dello strato limite si possono riscrivere come segue: u u dU 2 u u + v = U + 2 , x y dx y u v + = 0, x y y = 0 : u = v = 0; y = : u = U (x );

(1.52) (1.53) (1.54)

queste equazioni e la corrispondente soluzione non dipendono dal numero di Reynolds. Infatti, per un dato corpo, le componenti adimensionali della velocit` u/U e (v/U )(U L/)1/2 a dipendono dalle coordinate adimensionali x/L e (y/L)(U L/)1/2 , e tali relazioni sono indipendenti dal numero di Reynolds. Pertanto baster` risolvere una sola volta tali equaa zioni in funzione delle grandezze adimensionali sopra denite: tale soluzione sar` valida a per ogni Re nel caso di usso laminare. Un ulteriore aspetto rilevante riguarda le condizioni per cui due soluzioni delle equazioni dello strato limite possono essere considerate simili. Con questo si intende soluzioni

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

18

per cui la componente u di velocit` presenta due proli u(x, y) a diverse posizioni x che a dieriscono solo per un fattore di scala per u e y. Pertanto i proli della velocit` u a a diversi valori di x sono congruenti se diagrammati in termini di quantit` adimensionali a ottenute attraverso opportune grandezze di riferimento. La condizione pu` essere scritta o nel modo seguente: u{x1 , [y/g(x1)]} u{x2 , [y/g(x2)]} = . (1.55) U(x1 ) U(x2 ) La soluzione dello strato limite su lamina piana ad incidenza nulla possiede tale propriet`. a La velocit` del usso indisturbato U ` il fattore di scala per u, mentre il fattore di scala a e per y ` g = x/U . Tutti i proli di velocit` coincidono se riportati su un graco e a a di u/U in funzione di y/g = y U /( x) = . Limportanza di questa propriet` risiede nel fatto che in tal caso ` possibile ridurre il sistema di equazioni dierenziali alle e derivate parziali che governano il fenomeno ad ununica equazione dierenziale ordinaria, con conseguente semplicazione del problema, come visto nel caso di lamina piana con gradiente di pressione nullo. Ci chiediamo ora quali ussi potenziali consentano di avere soluzioni autosimilari delle equazioni dello strato limite. Il punto di partenza ` rappresentato dalle equazioni dello e strato limite: u u u dU 2u +v =U + 2, x y dx y u v + = 0, x y y=0: u = v = 0; y = : u = U. (1.56) (1.57) (1.58)

Introducendo al funzione di corrente (x, y), u= lequazione del moto si scrive: 2 2 dU 3 =U + 3. y x y x y 2 dx y (1.60) , y v= , x (1.59)

Usando L e U come lunghezza e velocit` di riferimento, si possono denire le seguenti a coordinate adimensionali: y Re x . (1.61) = , = L L g(x) La funzione di corrente adimensionale si scrive: (x, y) Re . f (, ) = L U(x) g(x) (1.62)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE Di conseguenza le componenti di velocit` si scrivono: a u= f =U = U f , y f g L f , g

19

(1.63) (1.64)

d =L f (U g) + U g Re v = Re x dx

dove f indica dierenziazione rispetto ad , mentre g rispetto ad x. Dalla precedente denizione di soluzioni autosimilari si ha che f deve dipendere solo da e la dipendenza da deve annullarsi, consentendo di ottenere unequazione dierenziale ordinaria in f (). Introducendo tali grandezze adimensionali nellequazione del moto si ha: f + f f + (1 f ) = con =2

U 2 g U

f

f f f

,

(1.65)

Lg d L 2 dU (Ug); = g ; (1.66) U dx U dx Anch si abbiamo soluzioni autosimilari lequazione deve avere il termine a secondo e membro pari a zero: 2 f + f f + (1 f ) = 0. (1.67) Quindi, dallequazione (1.66) si ottiene la seguente condizione: 2 = quindi, per 2 = 0, Si ha, inoltre: = da cui: L d (U g 2 ); U x (1.68)

x U 2 g = (2 ) . U L L g g U, U

(1.69)

(1.70)

U L 2 g g ( ) = g U = . U U g g U U()

(1.71)

Integrando: = K g , (1.72)

dove K ` una costante. Eliminando g dalle equazioni (1.69) e (1.72) si ottiene la distrie buzione di velocit` del usso potenziale: a2 x U = K 2 (2 ) U L 2

(1.73)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE e g= x (2 ) L U U

20

1/2

,

(1.74)

con 2 = 0. Assumendo = 1 e ponendo m = /(2 ), la distribuzione di velocit` del usso a potenziale ed il fattore di scala g diventano: U = K (1+m) U g= 2 x 1+m Lm

(1.75)

2 x U . 1+m L U Per adimensionalizzare y si avr` la variabile a =y 1.2.3 1+m U . 2 x

(1.76)

(1.77)

Equazioni integrali dello strato limite

La soluzione delle equazioni dierenziali dello strato limite per corpi di forma arbitraria non ` sempre possibile. Lintroduzione delle equazioni integrali ha lo scopo di fornire e uno strumento che consente di risolvere il problema dello strato limite, in maniera approssimata, tutte le volte che la soluzione delle equazioni dello strato limite risulta poco agevole. Limitando lanalisi al caso di ussi stazionari bidimensionali, bisogna integrare le equazioni (1.18) e (1.19) in y tra y = 0 (parete) a y = h, con h che contiene lo strato limite. Usando lequazione (1.13) per esprimere dp/dx nellequazione (1.18), si ha:h

uy=0

u u dU +v U x y dx

dy =

0 ,

(1.78)

dove 0 = (u/y)0 . Si noti che questa equazione ` valida sia per ussi laminari che e per ussi turbolenti, purch nel secondo caso u e v indichino le grandezze medie. Usando e lequazione (1.19) si ha:y

v=0

u dy, x

(1.79)

per cui lequazione (1.78) diventa: h u u u x yy=0

y

0

u 0 dU dy = . dy U x dx

(1.80)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE Il secondo termine al primo membro si pu` integrare per parti: o y h h h u u u u dy dy = U dy u dy, y x x xy=0 0 0 0

21

(1.81)

e lequazione (1.80) si scrive:h

2uy=0

u dU u U U x x dx

dy =

0 .

(1.82)

Questa equazione si pu` riscrivere, riarrangiando i termini, come oh

y=0

dU [u (U u)] dy + x dx

h

y=0

(U u) dy =

0 .

(1.83)

Ricordando la denizione di spessore di spostamento, equazione (1.1), e di spessore di quantit` di moto, equazione (1.45), lequazione (1.83) diventa: a dU 0 d U 2 2 + 1 U = , dx dx (1.84)

che viene indicata come equazione integrale di von Krmn. Si noti che, nel caso particoa a lare di usso su una lamina piana ad incidenza nulla, la suddetta equazione si semplica nel modo seguente: 0 2 d2 U = ; (1.85) dx tale relazione si ricava alternativamente osservando che la resistenza pu` essere espressa o sia come difetto di usso di quantit` di moto che come integrale dello sforzo a parete: a x

D(x) = b y=0

u (U u) dy = b0

0 (x) dx,

da cui segue che

d 0 (x) = dxy=0

u (U u) dy

e, usando la denizione di spessore di quantit` di moto, si ricava inne lequazione (1.85). a Lequazione integrale dello strato limite pu` essere ricavata applicando le equazioni di o conservazione ad un volume di controllo di lunghezza innitesima dx, compreso tra x e x + dx, che si estende per tutto lo strato limite, vedi gura 1.9; tale procedimento viene di

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

22

U p

p dx e

0 dx x x + dx 111111111111111111111111 000000000000000000000000Figura 1.9: Volume di controllo nello strato limite.

111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000

seguito riportato in modo da ricavare le equazioni integrali nel caso di usso comprimibile. Il usso di massa attraverso le sezioni x e x + dx vale

Qx = 0

u dy,

Qx+dx = Qx

dQx dx; dx

quindi, in condizioni stazionarie, il usso di massa entrante attraverso il bordo dello strato limite vale: Si consideri ora la componente lungo x dellequazione della quantit` di moto. La risultante a delle forze applicate vale: dFx = p p + dp dx dx ( + d) + p + 1 dp dx d 0 dx; 2 dx d Qe = Qx+dx Qx = dx 0

u dy dx.

semplicando e trascurando i termini del secondordine, si ha: dFx = dp + 0 dx dx.

La componente in x del usso di quantit` di moto attraverso le sezioni x e x + dx vale: a

Mx =

u2 dy,0

Mx+dx = Mx

dMx dx; dx

mentre il usso (lungo x) di quantit` di moto entrante attraverso il bordo dello strato a limite vale: Me = U Qe .

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE In denitiva, la componente in x dellequazione della quantit` di moto si scrive: a d dx0

23

d u2 dy U dx0

u dy =

dp 0 ; dx

Considerando le denizioni di spessore di spostamento e di quantit` di moto per ussi a comprimibili:

questa equazione si pu` riscrivere come: o d u2 u U dy + dx0

0

u dy

dp dU = 0 . dx dx

(1.86)

1 =y=0

1

u 1 U

dy,

(1.87)

2 =y=0

u u 1 1 U U

dy,

(1.88)

dove 1 indica la densit` al bordo dello strato limite, lequazione (1.86) diventa: a dU dU dp d 1 U 2 2 + 1 U 1 U 1 = 0 . dx dx dx dx (1.89)

Il secondo termine a primo membro ` uguale al primo termine a secondo membro in virt` e u dellequazione di Bernoulli (1.13), pertanto lequazione si semplica ulteriormente come segue: d dU 1 U 2 2 + 1 U 1 = 0 , (1.90) dx dx che, nel caso di usso incomprimibile, risulta identica allequazione (1.84) precedentemente ricavata. 1.2.4 Soluzione delle equazioni integrali dello strato limite

Luso dellequazione integrale di von Krmn consente di risolvere il problema dello strato a a limite in maniera approssimata ed in forma integrale, cio` per grandezze mediate sulline tero spessore (, 1 , cf , etc.), piuttosto che in ogni punto al suo interno. In tale approccio, lequazione (1.84) pu` essere risolta se si assume una forma plausibile del prolo di veo locit` nello strato limite4 che consenta di passare ad unequazione dierenziale ordinaria aLa funzione consente di soddisfare le condizioni al contorno del problema (aderenza a parete e valore del usso indisturbato al bordo dello strato limite). Inoltre, in presenza di un gradiente di pressione diverso da zero, deve essere garantita la possibilit` della presenza di punti di esso e di separazione a (derivata prima in y nulla a parete).4

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

24

facile da risolvere. Il primo e pi` noto metodo per la soluzione approssimata dellequau zione integrale ` quello dovuto a Pohlhausen, che propose la seguente rappresentazione e adimensionale del prolo di velocit` nello strato limite in funzione di = y/(x): a u = f () = a + b 2 + c 3 + d 4 , per 0 1; (1.91) U mentre per > 1 si assume u/U = 1. I quattro coecienti di tale espressione si determinano imponendo le condizioni al contorno: y=0: y=: u = 0; u = U; 2u 1 dp dU = = U ; 2 y dx dx 2u = 0. y 2 (1.92) (1.93)

u = 0, y 2 dU dx

Introducendo la grandezza adimensionale = si ottengono i seguenti valori: , b= , 6 2 per cui il prolo di velocit` si scrive: a a=2+ c = 2 + , 2 d=1 ; 6 (1.95) (1.94)

u = F () + G() = (2 2 3 + 4 ) + ( 3 2 + 3 3 4 ). U 6

(1.96)

Le funzioni F () e G() sono riportate nella gura 1.10. In questo modo si ` ottenuta e una famiglia di curve con un parametro libero, , che pu` essere interpretato come il o rapporto tra forze di pressione e forze viscose 2 dU dp = = . dx dx U/ La distribuzione di velocit` al variare di ` riportata in gura 1.11. Il caso particolare a e in cui = 0 corrisponde alla situazione di assenza di gradiente di pressione, ovvero al caso di lamina piana ad incidenza nulla, ed il prolo corrispondente apprissoma quello di Blasius; per > 0 il usso accelera, mentre per < 0 il usso decelera. Il prolo che si ha in caso di separazione, (u/y)y=0 = 0, corrispondente alla condizione a = 0, si ha per = 12. Inoltre, per > 12 risulterebbe u/U > 1, situazione non accettabile. Per cui dovr` assumere valori compresi tra 12 e 12. a In questo modo siamo in grado di valutare 1 , 2 e 0 . Dalla denizione di spessore di spostamento, equazione (1.1), usando la (1.96), si ha: 1 = 1

[1 F () G()] d ==0

3 . 10 120

(1.97)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

25

Figura 1.10: Andamento delle funzioni F () e G() per il calcolo della distribuzione di velocit` nello strato limite (Schlichting, a 1968).

Allo stesso modo, usando le equazioni (1.45) e (1.96), si ha: 2 = 1

[F () + G()] [1 F () G()] d ==0

1 63

37 2 . 5 15 144

(1.98)

0 =2+ . (1.99) U 6 A questo punto della procedura resta da determinare solo . A tale scopo, ` necessario e rielaborare lequazione integrale (1.84) moltiplicando ambo i membri per 2 /U in modo da ottenere la seguente rappresentazione adimensionale: U 2 2 1 + 2+ 2 2 U 2 0 2 = . U

Inne, lo sforzo a parete vale:

(1.100)

Questa equazione dovr` essere risolta per 2 e si valuter` dallaequazione (1.98). Seguena a do la soluzione proposta da Holstein e Bohlen, si introduce il parametro adimensionale2 2 dU dx la cui denizione ` simile a quella di , con sostituito da 2 . Ponendo e

K=

(1.101)

Z=

2 2

(1.102)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

26

Figura 1.11: Andamento del prolo di velocit` nello strato a limite al variare di (Schlichting, 1968).

dU . dx Si pu` vericare che la relazione tra K e ` la seguente o e K=Z K= 37 1 1 2 315 945 90722

si ha

(1.103)

.

(1.104)

Denendo il fattore di forma H12 5 , H12 = e la quantit` adimensionale a 1 = f1 (K), 2 (1.105)

0 2 = f2 (K), U

(1.106)

lequazione (1.100) diventa 1 dZ U + [2 + f1 (K)] K = f2 (K). 2 dx5

(1.107)

Il fattore di forma H12 assume valori compresi tra 2.25 (per = 12) e 3.5 (per = 12) nel caso di usso laminare, mentre per per ussi turbolenti si hanno valori compresi tra 1.3 e 2.2. Nel punto di transizione si ha un decremento sensibile di H12 .

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE Adottando la posizione F (K) = 2 f2 (K) 4 K 2 K f1 (K), lequazione (1.107) si scrive dZ F (K) = ; dx U K = Z U .

27

(1.108)

(1.109)

Questa ` unequazione dierenziale ordinaria non lineare del primordine di Z in funzione e di x. La forma complessa di F in funzione di non costituisce una dicolt` nella a soluzione dellequazione (1.109) in quanto essa ha validit` universale (non dipende dalla a geometria in esame). La soluzione dellequazione (1.109) partir` dal punto di ristagno, a x = 0, dove U = 0 e dU/dx assume un valore nito (in genere diverso da zero). Al bordo dattacco F (K) = 0, da cui si ricava che 0 = 7.052 e K0 = 0.077; la singolarit` di dZ/dx a nellequazione (1.109) ` risolta attraverso un processo al limite che porta a valutare e Z0 = K0 0.077 = ; U0 U0 dZ dx = 0.0652 U0 . U0 2

(1.110)

0

Questi valori iniziali consentono di procedere allintegrazione dellequazione dierenziale, noti U(x) e dU/dx dalla soluzione del usso potenziale. La procedura di soluzione pu` o quindi essere cos` sintetizzata: 1. sono note U(x) e dU/dx lungo la parete; 2. integrando lequazione (1.109) si ottiene Z(x) e il parametro adimensionale K(x); si pu` quindi valutare 2 (x) usando lequazione (1.101), e si pu` determinare leveno o tuale punto di separazione (caratterizzato da = 12 e K = 0.1567); 3. landamento di (x) si ricava dallequazione (1.104); 4. si valutano lo spessore di spostamento 1 (x) e lo sforzo a parete, 0 (x), mediante le equazioni (1.105) e (1.106); 5. lo spessore di strato limite si valuta da una delle equazioni (1.97) o (1.98); 6. inne, il prolo di velocit` ` calcolato dallequazione (1.96). ae Per avere una misura dellerrore commesso nella soluzione dello strato limite mediante lapproccio appena descritto si pu` considerare il caso della lamina piana ad incidenza o nulla, per cui si ha la soluzione di Blasius. In questo caso ` facile vericare che il prolo e di velocit`, equazione (1.96), si scrive: a u = F () = 2 2 3 + 4 , U

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

28

essendo = 0. Inltre, poich U(x) = U = cost., U = 0, da cui K = 0 e e lequazione (1.109) diventa dZ F (0) 0.4698 = = . dx U U Considerato che Z(0) = 0, si ha: Z = 0.4698 x U = 2 = 0.686 x , U

da confrontare con il coeciente 0.664 della soluzione esatta. Tali valori corrispondono anche ai coecienti della quantit` a 1 cf 2 Quindi, x , U contro il valore esatto pari a 1.7208. Inne, il fattore di forma H12 vale 2.554 contro il valore esatto 2.592. ` a E gi` stato osservato come nei ussi con gradiente di pressione avverso, comuni nelle applicazioni pratiche, si pu` sviluppare una separazione, situazione non desiderata a causa o delle perdite di energia ad essa associate. Vedremo come i ussi laminari sono in grado di evitare la separazione solo per piccoli valori del gradiente di pressione avverso, mentre per i valori comunemente incontrati essi porterebbero quasi sempre ad una separazione. In realt` ci` non accade in quanto la maggior parte dei ussi, essendo turbolenti, riescono a a o sopportare valori elevati del gradiente di pressione avverso senza subire separazione. Verr` a ora ottenuta una stima del massimo modulo del gradiente di pressione in uno strato limite laminare consentito da un usso senza separazione. Il procedimento, dovuto a Prandtl, usa la soluzione approssimata dellequazione integrale precedentemente descritta. Si suppone che lo strato limite si sviluppa seguendo la distribuzione di pressione del usso potenziale sino al punto di separazione. Da questo punto in poi si suppone che il gradiente di pressione sia tale da non modicare il prolo di velocit` a valle, ovvero che il parametro a resti invariato; poich alla separazione = 12, si usa = 10, cui corrispondono i e valori K = 0.1369 e F (K) = 1.523. Con questi dati, dalle equazioni (1.102) e (1.103) si vede come per evitare la separazione deve valere la seguente relazione 1 = 1.7522 2 0.1369 =Z = . U (x)

Ux

1/2

.

Ne consegue che U dZ = 0.1369 2 , dx U da cui U U U dZ = 0.1369 2 = 0.1369 ; dx U con = U U . U 2 (1.111)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE I proli di velocit` a valle della separazione sono forniti usando lequazione (1.109): a U dZ = F (K) = 1.523, dx

29

(1.112)

dove si ` usato il valore di F (K) corrispondente a = 10. Pertanto, dalle due precedenti e equazioni risulta che rimane costante se 0.1369 = 1.523, ovvero = U U = 11.125 11, U 2 (1.113)

che costituisce la condizione limite per la separazione. Quindi per > 11 non si avr` a separazione, mentre per < 11 si avr` separazione. Alla luce dei risultati ottenuti si pu` a o considerare che, in presenza di un gradiente di pressione avverso (U < 0) la condizione necessaria per non avere separazione ` che U > 0, ovvero che il modulo del gradiente di e pressione deve diminuire nella direzione del usso; mentre, la separazione si presenter` in a caso contrario (U < 0) e nel caso limite U = 0 di gradiente costante lungo la direzione del usso. Quindi la condizione suciente per evitare la separazione `: e U 2 . U > 11 U

Per avere una stima delle caratteristiche del usso potenziale e del corrispondente strato limite in condizioni di incipiente separazione, si considdera il caso limite, U U = 11 , U U da cui, integrando: ln U = 11 ln U + ln(C1 )

C1 =

U . U 11

(1.114)

Ripetendo lintegrazione, si ha: 1 10 U = C1 x + C2 , 10 dove, poich per x = 0, U(x) = U0 , e C2 = 1 10 U . 10 0 (1.115)

10 Posto C1 = C1 U0 , la distribuzione di velocit` potenziale per cui si pu` evitare la a o separazione si scrive U0 . (1.116) U(x) = (1 + 10 C1 x)1/10

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

30

La costante C1 si pu` determinare noto il valore dello spessore dello strato limite a x = 0, o 0 . Ricordando che nel punto di separazione = 10, si ha = Dallequazione (1.116) si ha: U = per cui 10 (1 + 10 C1 x)11/20 . C1 U0 Dalla condizione che = 0 per x = 0, si ha = C1 = da cui U(x) = U0 (x) = 0 x 1 + 100 2 U0 0 1 + 100 x 2 U0 0 10 , 2 U0 00.1

U 2 = 10

=

=

10 . U

C1 U0 (1 + 10 C1 x)11/10

,

,0.55

(1.117) (1.118)

.

Si vede come la massima decelerazione ammissibile sia proporzionale a x0.1 .

1.3

Transizione

Nelle situazioni reali il comportamento del uido dierisce molto da quello precedentemente descritto per il caso laminare in quanto il usso ` turbolento. Lorigine della e turbolenza e la conseguente transizione da usso laminare a usso turbolento ` uno dei e problemi fondamentali della meccanica del uidi. I primi studi sistematici, condotti da Reynolds per i ussi in condotti e in canali, rilevarono che la transizione da usso laminare a turbolento avviene in prossimit` dello stesso parametro adimensionale (numero di a Reynolds) w d/, dove w indica la velocit` media (rapporto tra la portata volumetrica e a la sezione). Nel caso di usso in un condotto, il valore critico a cui si osserva la transizione ` circa pari a 2300: per valori di Re inferiori al valore critico il usso ` laminare, mentre e e per valori superiori il usso ` turbolento. Il valore critico dipende dalla natura del usso e allingresso del condotto e della parete del condotto. La transizione laminare-turbolento ` caratterizzata da un notevole incremento della resistenza al moto, come illustrato in e gura 1.12. Unanalisi dettagliata del processo di transizione rivela che in un intervallo del numero di Reynolds prossimo al valore critico il usso diventa intermittente: si susseguono nel tempo periodi in cui il usso ` laminare e quindi turbolento, e la successione dei e

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

31

Figura 1.12: Coeciente dattrito per lamina piana (liscia) ad incidenza nulla; confronto tra teoria ed dati sperimentali (Schlichting, 1968).

Figura 1.13: Fattore di intermittenza in funzione dellascissa del condotto e per vari numeru di Reynolds per il usso in un condotto in regime transizionale (Rotta, 1956).

periodi risulta random. Inoltre, con riferimento al usso in un canale in cui si mantiene costante la portata, nella mezzeria la velocit` laminare risulta maggiore di quella media a del usso turbolento, mentre succede il contrario in punti prossimi alle pareti. Questi ussi possono essere caratterizzati con laiuto di un fattore di intermittenza, , denito come la frazione di tempo durante la quale il usso ` turbolento in un dato punto. Pertanto e = 1 corrisponde a usso completamente turbolento, mentre = 0 indica usso laminare. Landamento di al variare di x in un condotto in regime di usso transizionale ` riportato e in gura 1.13.

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

32

Figura 1.14: Crescita di uno spot turbolento nello strato limite laminare su una lamina piana ad incidenza nulla (Mayle, 1991).

In generale ci sono tre modalit` fondamentali di transizione. La prima si dice natua rale e viene causata da uninstabilit` debole (onde di TollmienSchlichting) nello strato a limite laminare (i piccoli disturbi non vengono smorzati da meccanismi di dissipazione) e procede attraverso vari stadi in cui linstabilit` viene amplicata sino al raggiungimento a della condizione turbolenta. Nel secondo modo, noto col nome di transizione di bypass, la transizione ` causata dai disturbi presenti nel usso esterno (quali gli alti livelli di e intensit` di turbolenza) escludendo la precedente modalit`. La terza modalit` ` ina a a e ne legata alla presenza di zone di separazione laminare e pu` coinvolgere instabilit` di o a TollmienSchlichting. Le ultime due modalit` sono tipiche dei ussi nella turbomacchine. a La transizione ` un fenomeno stocastico, non stazionario e tridimensionale che si estene de nella regione di moto in cui coesistono usso laminare e turbolento. Infatti, la transizione avviene attraverso la produzione random (nello spazio e nel tempo) di spot turbolenti nello strato limite laminare che crescono propagandosi a valle no a quando il usso diventa completamente turbolento, gura 1.14. Usando la denizione di fattore di intermittenza ` possibile valutare le propriet` del usso nella zona di transizione coe a me media pesata delle propriet` relative a usso laminare e turbolento. Per esempio, il a coeciente di attrito si pu` esprimere nel modo seguente: o cf = (1 ) cf,L + cf,T . (1.119)

Per poter meglio approssimare landamento sperimentale, nellequazione precedente si

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

33

Figura 1.15: Distribuzione del coeciente di attrito su una lamina piana attraverso la transizione (Dhawan e Narasimha, 1958).

Figura 1.16: Inuenza dellintensit` turbolenta sul numero di a Reynolds critico nel caso di usso su lamina piana ad incidenza nulla (Schubauer e Skramstad, 1947).

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

34

Figura 1.17: Proli di velocit` nello strato limite su una lamina a piana ad incidenza nulla (Schubauer e Klebano, 1955).

Figura 1.18: Variazione del fattore di forma H12 per il usso su lamina piana nella regione di transizione (Schubauer e Klebano, 1955).

dovr` supporre nella valutazione di cf,T che lo strato limite turbolento si sviluppi a partire a dallinizio della transizione, xt . Il risultato ` mostrato in gura 1.15. e

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

35

La transizione da usso laminare a turbolento interessa il usso allinterno dello strato limite ed ` inuenzata da diversi parametri quali la distribuzione di pressione del usso e esterno, la rugosit` delle pareti e lentit` del disturbo nel usso esterno (intensit` di a a a turbolenza). Ancora una volta consideriamo il caso della lamina piana ad incidenza nulla. Lo spessore dello strato limite aumenta proporzionalmente alla radice quadrata della distanza x dal bordo dattacco, dove, in assenza di separazione, lo strato limite ` laminare e per diventare turbolento pi` a valle. Per usso con intensit` turbolenta allincirca pari a u a 0.5% la transizione avviene alla distanza denita dal numero di Reynolds Rex,cr = U x = 3.5 105 106 .

cr

Come gi` evidenziato, uno dei parametri che inuenzano la transizione ` lintensit` turboa e a lenta, T = 100 1/3 u 2 + v 2 + w 2 /U , del usso indisturbato: allaumentare di T la transizione viene anticipata, vedi gura 1.16. La transizione pu` anche essere individuata o dallanalisi della variazione del prolo di velocit` nello strato limite. Dalla gura 1.17 si a nota come la transizione sia caratterizzata da un brusco incremento dello spessore dello strato limite e da una diversa forma del prolo di velocit`; infatti, il fattore di forma, moa strato in gura 1.18, passa dal valore 2.6 (laminare) al valore 1.4 (turbolento) attraverso una zona di transizione. Tali caratteristiche possono essere utilizzate per quanticare il punto di inizio transizione e la lunghezza della zona di transizione.

1.4

Flusso turbolento

La maggior parte dei ussi di interesse pratico sono turbolenti, indicando con questo termine i ussi che presentano uttuazioni irregolari sovrapposte ai valori medi delle grandezze. Il miscelamento conseguente alla presenza di tali uttuazioni ` molto importante in quane to i suoi eetti sono simili a quelli prodotti da una viscosit` che pu` essere di ordini di a o grandezza superiore a quella dinamica. Per valori elevati di Re si ha un continuo trasporto di energia dal usso principale a strutture vorticose di grande taglia sino a quelle pi` piccole, dove lenergia viene dissipata e tale processo avviene allinterno dello strato u limite di parete. A causa della complessit` dei ussi turbolenti, si aronter` lo studio dello strato limite a a in tali condizioni facendo riferimento alle grandezze del usso medio; tale approccio, unitamente alluso di opportune ipotesi, consente di ottenere risultati in buon accordo con i dati sperimentali. Dallanalisi dei ussi turbolenti si evince che le grandezze di usso, quali velocit` e a pressione, in un punto dello spazio non sono costanti nel tempo, ma presentano uttuazioni irregolari ad elevata frequenza. Pertanto ` conveniente dal punto di vista matematico e separare le grandezze di usso in una componente media ed una uttuante, dove la media ` intesa qui come media nel tempo: e u = u + u ; v = v + v; w = w + w; p = p + p . (1.120)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

36

Nel caso di ussi comprimibili sar` necessario introdurre le corrispondenti relazioni per a densit` e temperatura a = + ; T = T + T . (1.121) I valori medi sono valutati come 1 u= t1t0 +t1

u dt,t0

(1.122)

in cui t1 indica un intervallo di tempo sucientemente grande da rendere la media indipendente dal suo valore. Quindi, per denizione, le medie temporali delle uttuazioni sono nulle: u = 0, v = 0, w = 0, p = 0, = 0, T = 0. (1.123) La caratteristica notevole dei ussi turbolenti ` che tali uttuazioni inuenzano in modo e non trascurabile le grandezze medie e queste presentano un incremento notevole nella resistenza alla deformazione. In pratica, la presenza delle uttuazioni si manifesta in un aumento apparente della viscosit` del usso. Se f e g sono due variabili dipendenti e s a indica una variabile indipendente, valgono le seguenti regole: f = f; f + g = f + g; f g = f g; f f = ; s s f ds = f ds. (1.124)

Per meglio comprendere la natura degli sforzi apparenti nei ussi turbolenti, si consideri un elemento di area dA appartenente al piano y z (con normale parallela a x), le cui componenti di velocit` siano u, v e w. La massa di uido che attraversa tale supercie a nel tempo dt vale u dA dt e i ussi di quantit` di moto nelle direzioni x, y, z valgono a dMx = u2 dA; dMy = u v dA; dMz = u w dA.

Considerando che la densit` ` costante, le medie dei ussi di quantit` di moto valgono: ae a dM x = (u2 + u 2 ) dA; dM y = (u v + u v ) dA; dM y = (u w + u w ) dA.

Da queste relazioni si deduce che sullarea in esame, perpendicolare allasse x, agiscono le tensioni (u2 + u 2 ) lungo x, (u v + u v ) lungo y e (u w + u w ) lungo z. Pertanto, la sovrapposizione delle uttuazioni al usso medio comporta la presenza di sforzi addizionali, xx = u 2 ; yx = u v ; zx = u w .

(1.125)

Tali sforzi apparenti vengono detti sforzi di Reynolds del usso turbolento. Analizzando il caso di superci perpendicolari agli assi y e z si ottengono espressioni analoghe che deniscono il tensore degli sforzi di Reynolds. Tali sforzi compaiono nelle equazioni di NavierStokes una volta che ad esse viene applicata la procedura di media temporale

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

37

(nota come procedura di media di Reynolds). Infatti, le equazioni di NavierStokes per ussi incomprimibili si scrivono: u (u2 ) (u v) (u w) p = + + + + 2 u; t x y z x p v (v u) (v 2 ) (v w) = + + + + 2v; t x y z y p w (w u) (w v) (w 2 ) = + 2 w; + + + t x y z z u v w + + = 0. x y z (1.126) (1.127) (1.128) (1.129)

Usando la decomposizione in quantit` medie e uttuazioni, equazione (1.120), e operando a la media sullequazione di continuit` si ha: a u v w + + = 0; (1.130) x y z da cui u v w + + = 0. x y z Inoltre, operando la medie sulle componenti dellequazione della quantit` di moto e usando a il risultato dellequazione della massa, si ha: u u u u +v +w x y z = p + 2 u x (u 2 ) (u v ) (u w ) ; + + x y z (1.131) (u v ) (v 2 ) (v w ) ; + + x y z (1.132) (u w ) (v w ) (w 2 ) . + + x y z (1.133)

u

v v v +v +w x y z

=

p + 2 v y

u

w w w +v +w x y z

=

p + 2 w z

In queste equazioni il termine in parentesi quadre a secondo membro rappresenta lo sforzo addizionale prodotto dalle uttuazioni turbolente sul usso medio. Il tensore degli sforzi di Reynolds, la cui forma ` la seguente, e u 2 u v u w xx xy xz (1.134) xy yy yz = u v v 2 v w , xz yz zz u w v w w 2

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

38

introduce sei nuove incognite nel problema che bisogner` valutare attraverso la formulaa zione di opportuni modelli. Nei modelli pi` semplici ed usati nelle applicazioni pratiche si adotta lipotesi di u Boussinesq che, in analogia con la legge valida nel caso di ussi laminari, l = u , y u , y

ha ipotizzato un analogo comportamento degli sfrozi turbolenti: t = u v = (1.135)

dove indica un coeciente di viscosit` turbolenta apparente. Ovviamente tale paraa metro dipende a sua volta dalle grandezze di usso. In questo modo ` stata introdotta e una semplicazione notevole nella risoluzione del problema in quanto ` stato ridotto il e numero di grandezze addizionali da sei ad una, a spese di una approssimazione. Infatti, le equazioni mediate nel tempo possono essere riscritte in maniera identica a quelle relative alle grandezze istantanee una volta sostituita alla viscosit` dinamica la sua somma con la a viscosit` turbolenta. Pertanto, le equazioni (1.15) e (1.16), valide nel caso di usso incoma primibile, bidimensionale, nel caso di usso turbolento e usando lipotesi di Boussinesq diventano: u 1 dp u u ( + ) , (1.136) +v = + u x y dx y y u v + = 0, x y (1.137)

dove = /. Lipotesi di Boussinesq non consente di risolvere il problema in quanto bisogna denire una relazione che modelli la dipendenza di dal usso medio. In tal senso il metodo pi` semplice ` quello della lunghezza di miscelamento di Prandtl, che verr` di seguito u e a illustrato in riferimento al caso di usso incomprimibile bidimensionale parallelo, in cui le linee di corrente sono rette parallele tra di loro, gura 1.19. Indicando con x la direzione principale del usso, si ha: u = u(y); v = 0; in questo caso lunico sforzo non nullo ` e xy = t = u v =

u . y

(1.138)

Nel modello di Prandtl si ipotizza che in una data posizione y1 arrivino (ad intervalli random) masse uide da posizioni a distanza l. La massa uida proveniente dalla posizione (y1 l) conservando la propria quantit` di moto, produrr` una variazione di a a velocit` in y1 pari a a u1 = u(y1 ) u(y1 l) u(y1 ) u(y1 ) l du dy =l1

du dy

,1

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

39

Figura 1.19: Lunghezza di miscelamento.

con v > 0. Analogamente, la massa uida che arriva in y1 da (y1 +l) possiede una velocit` a maggiore rispetto a quella del uido circostante, e provoca una dierenza di velocit` a u2 = u(y1 + l) u(y1 ) l du dy ,1

con v < 0. Le dierenze di velocit` causate dal moto trasversale possono essere considea rate come le uttuazioni turbolente in y1 , per cui: |u | = 1 (|u1 | + |u2 |) = l 2 du dy ,1

(1.139)

dove l indica la lunghezza di miscelamento. Il concetto di lunghezza di miscelamento di Prandtl ` simile a quello di cammino libero e medio della teoria cinetica dei gas con la dierenza che, mentre questultima teoria si riferisce allanalisi microscopica del moto di molecole, la teoria di Prandtl tratta del moto macroscopico di agglomerati di particelle uide. La lunghezza di miscelamento pu` essere interpretata come la distanza in direzione o trasversale al usso che deve essere percorsa da una massa uida che si muove con la sua velocit` originale in modo che la dierenza di velocit` tra tale valore e quello nella nuova a a posizione sia uguale alla uttuazione media del usso turbolento. Per ragioni di continuit` la uttuazione in direzione verticale sar` dello stesso ordine a a di grandezza di quella orizzontale; quindi: |v | = cost |u| = cost l du dy . (1.140)

Dallanalisi precedente si pu` dedurre che la massa uida che arriva in y1 dal basso (alto) o produrr` in generale una uttuazione u < 0(> 0), con v > 0(< 0), quindi u v < 0. a

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE Pertanto u v = c |u| |v |; con 0 < c < 1 (c = 0).

40

(1.141)

Combinando le relazione cos` ottenute si ha: u v = cost l2

du dy

2

.

(1.142)

Il valore della costante pu` essere inglobato in quello della lunghezza di miscelamento per o scrivere lo sforzo di taglio turbolento come segue: t = u v = l2

du dy

2

.

(1.143)

u Poich il segno di t deve cambiare con quello di du/dy lespressione pi` appropriata e risulta du du , (1.144) t = l2 dy dy dove, usando lipotesi di Boussinesq, = l 2 du . dy (1.145)

La viscosit` turbolenza ` cos` legata alla lunghezza di miscelamento, ancora una grandezza a e locale del usso, per cui esistono alcune semplici relazioni che ne consentono la valutazione in funzione della lunghezza caratteristica del usso in esame. 1.4.1 Legge universale di parete

Le equazioni (1.144) e (1.145), che esprimono lipotesi della lunghezza di miscelamento di Prandtl, consentono di ottenere risultati in buon accordo con i dati sperimentali in alcuni casi di notevole importanza, quale il usso turbolento lungo pareti solide e in getti liberi. In particolare, tratteremo il caso del usso su una parete piana liscia, indicando con y la distanza da parete e u(y) la velocit`, e deniremo la legge universale per il prolo di a velocit` a parete, applicabile anche a casi diversi. In prossimit` della parete si assume a a che la lunghezza di miscelamento sia proporzionale alla distanza dalla parete: l = y, (1.146)

dove indica una costante adimensionale. Tale ipotesi ` ragionevole in quanto lo sforzo e turbolento a parete ` nullo essendo nulle le uttuazioni. Quindi, usando lipotesi di e Prandtl, si ha: 2 du 2 2 . (1.147) = y dy

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

41

Lipotesi aggiuntiva fatta da Prandtl in questo caso assume che lo sforzo apparente sia costante, = 0 . Introducendo la velocit` di taglio o dattrito a parete, a v0 = si ha:2 v0

0 , du dy2

(1.148)

= y

2

2

,

(1.149) (1.150)

ovvero

du v0 = . dy y v0 ln y + C,

Integrando questa equazione si ha: u= (1.151)

dove la costante di integrazione ` determinata dalla condizione a parete e deve consentire la e continuit` tra il prolo di velocit` turbolento e quello allinterno del sottostrato laminare. a a Ipotizzando che lequazione (1.151) valga sino a y = h, dove u = umax , si la la seguente legge: v0 ln h + C, (1.152) umax = da cui umax u 1 h = ln , (1.153) v0 y nota come legge della dierenza o difetto di velocit`. a La costante di integrazione nellequazione (1.151) si determina imponendo che la velocit` sia nulla ad una certa distanza y0 (circa pari allaltezza del sottostrato laminare): a u= v0 (ln y ln y0 ) . (1.154)

Con argomenti di tipo dimensionale si pu` concludere che tale distanza sia proporzionale o al rapporto /v0 , per cui si pone , (1.155) y0 = v0 con costante adimensionale. Lequazione (1.154) pu` quindi essere riscritta come segue: o u 1 = v0 ln yv0 ln . (1.156)

Questa ` la legge (adimensionale) universale logaritmica della distribuzione di velocit` che e a asserisce che la velocit` di taglio v0 ` funzione della distanza adimensionale da parete, a e yv0 /. Tale equazione contiene due costanti, e . La prima ` una costante universale e del usso turbolento indipendente dala natura della parete (liscia o rugosa), il cui valore,

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

42

determinato da dati sperimentali ` = 0.4. La seconda costante, , dipende invece dalla e natura della supercie. La legge universale appena ricavata, equazione (1.156), ` stata ottenuta per usso ture bolento e tiene in conto, a parte il sottostrato laminare a parete, solo gli sforzi turbolenti; essa ` valita, quindi, solo per numeri di Reynolds elevati. Nel caso di numeri di Reynolds e pi` piccoli, quando gli sforzi laminari forniscono un contributo non trascurabile anche u fuori dal sottostrato, i dati sperimentali suggeriscono che una legge pi` appropriata sia u quella di potenza, u yv0 n =C , (1.157) v0 dove n ` circa uguale a 1/7 per numero di Reynolds no a 105 . e 1.4.2 Flusso turbolento in condotti

Dal confronto con i dati sperimentali nel caso di usso in condotti a sezione circolare i valori di C ed n nellequazione (1.157) variano con il numero di Reynolds secondo la tabella 2. Dallequazione (1.157) per n = 7 si pu` ottenere la seguente relazione per la o Re n C 105 7 8.74 5 105 8 9.71 106 9 10.6 2 106 10 11.5

Tabella 2: Coecienti della legge di potenza, equazione (1.157). velocit` v = v0 : a v = 0.15 u da cui:2 0 = v = 0.0225 u7/4 7/8 1/8

y

(1.158) y1/4

,

(1.159)

ovvero, indicando con R il raggio del condotto, 0 = 0.0225 U 7/4 R1/4

.

(1.160)

Poich lesponente che compare nellespressione dello sforzo di taglio e nella legge della e velocit` diminuisce allaumentare di Re, si ottengono relazioni che tenderanno asintoticaa mente a espressioni che potranno essere considerate valide per elevati numeri di Reynolds e che devono contenere il logaritmo della variabile indipendente 6 . In eetti, i dati sperimentali confermano la validit` della legge logaritmica per valori del numero di Reynolds molto a alti, indicando che a tali regimi il contributo allo sforzo dattrito del termine molecolare6

in quanto limite di un polinomio per valori bassi dellesponente.

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

43

(laminare) diventa trascurabile rispetto a quello turbolento. In realt` la legge logaritmica a ` gi` stata introdotta nellequazione (1.156) che, introducendo le nuove variabili e a u+ = pu` essere riscritta come o u+ (y + ) = A ln y + + D, con A= (1.162) u , v0 y+ = yv0 , (1.161)

1 1 ; D = ln . (1.163) Applicando tale equazione al caso del usso in un condotto, dal confronto con i dati sperimentali di Nikuradse validi per pareti lisce, si osserva un buon accrodo per i seguenti valori delle costanti: A = 2.5 = = 0.4; D = 5.5 = = 0.111.

Quindi, per numeri di Reynolds elevati e usso in condotti con pareti lisce, vale la seguente legge: u+ (y + ) = 2.5 ln y + + 5.5, (1.164) Questa equazione ` valida solo per ussi turbolenti, quindi dove gli sforzi dattrito laminae ri possono essere trascurati. Nelle immediate vicinanze della parete, gli sforzi turbolenti vanno a zero e lunico contributo allattrito ` proprio di natura laminare (sottostrato e laminare). Pertanto, in tale regione il prolo di velocit` non segue la legge fornita dallea quazione (1.164), ma quella corrispondente alla condizione per cui 0 = u/y. Dato che 2 0 = v , si ha: v u =y = u+ (y + ) = y + . (1.165) v Quindi per y v / < 5 gli sforzi turbolenti sono trascurabili; per y v / > 70 il contributo laminare ` trascurabile, mentre per 5 < y v / < 70 entrambi i contributi sono dello stesso e ordine: v y < 5 : sforzo laminare; v 5 70 : sforzo turbolento. (1.166) (1.167) (1.168)

Lo spessore del sottostrato laminare risulta l 5/v . Il confronto tra i risultati di questa teoria e i dati sperimentali ` riportato in gura 1.20. e Nelle realizzazione pratiche le pareti dei condotti non possono in genere essere considerate come lisce, specialmente per elevati numeri di Reynolds. Infatti la resistenza prodotta da condotti con pareti rugose risulta maggiore di quella di condotti con pareti lisce. La natura del fenomeno pu` essere ricondotta al parametro adimensionale k/R, dove o

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

44

Figura 1.20: Legge universale di parete per condotti lisci (Schlichting, 1968).

k indica laltezza delle protrusioni e R il raggio del condotto. In particolare, il fenomeno dipende dallo spessore del sottostrato laminare l , per cui il parametro k/l risulta rilevante. La rugosit` non produce un incremento della resistenza se k ` minore di l , per cui a e le pareti possono essere considerate lisce. La gura 1.21 riproduce il coeciente dattrito, = p/(1/2 u2) d/L, in condotti con diversi gradi di rugosit`. Per regime laminare a tutti i condotti presentano lo stesso comportamento. Quindi, in regime turbolento, esiste un intervallo di Re per cui condotti con data rugosit` si comportano come quelli lisci. a Inne, per ssato Re, il cui valore aumenta al diminuire di k/R, si osserva un incremento di rispetto al caso di parete liscia. Quindi si possono individuare tre diverse regioni: 1. (idraulicamente) liscia: 0 2. transizione: 5 3. completamente turbolenta: k v > 70 : = (k/R). k v 5: = (Re);

k v 70 :

= (k/R, Re);

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

45

Figura 1.21: Coeciente dattrito per condotti: curca (1) usso laminare; curve (2) e (3) usso turbolento su parete liscia (Schlichting, 1968).

Di conseguenza la legge logaritmica di parete, equazione (1.154), resta valida se y0 viene opportunamente determinato: u y = 2.5 ln + B, (1.169) v k dove B assume valori diversi nelle diverse regioni sopra denite: per pareti completamente rugose B = 8.5, mentre pareti lisce B = 5.5 + 2.5 ln(v k/). 1.4.3 Flusso turbolento su lamina piana

Data la dicolt` di individuare una legge di transizione per il prolo di velocit` allinterno a a di uno strato limite turbolento tra quella valida nel sottostrato laminare e quella valida nella zona completamente turbolenta, il calcolo non pu` essere eettuato a partire dalle o equazioni (1.136) e (1.137), come fatto nel caso laminare. Pertanto si dovr` fare ricorso a a metodi approssimati basati sulle equazioni integrali della quantit` di moto che, come a osservato, sono valide sia nel caso di usso laminare che in quello di usso turbolento. Si aronter` il caso pi` semplice di usso su una lamina piana ad incidenza nulla, per a u cui il gradiente di pressione ` nullo, risolvendo lequazione (1.84), di seguito riportata, e dU 0 d U 2 2 + 1 U = , dx dx

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

46

e assumendo unadeguato prolo di velocit` nello strato limite. Nel seguito si assume a che lo strato limite ` turbolento a partire dal bordo dattacco della lamina (x = 0) e, e in accordo con lipotesi di Prandtl, che la distribuzione di velocit` nello strato limite sia a 7 identica a quella in un condotto . In tal senso una legge per il prolo di velocit` ` la a e seguente, u y 1/7 , (1.170) = U dove = (x) ` lo spessore dello strato limite (da valutare mediante il calcolo), cui e corrisponde la legge per lo sforzo di taglio fornita dallequazione (1.159), 0 = 0.0225 2 U U 1/4

.

(1.171)

Usando queste equazioni si ricavano i seguenti valori per gli spessori di spostamento e quantit` di moto: a 7 2 = . (1.172) 1 = ; 8 72 Pertanto, lequazione integrale diventa 7 d 0 . = 2 72 dx U Confrontando le equazioni (1.171) e (1.173) si ha: 7 d = 0.0225 72 dx U 1/4

(1.173)

.

(1.174)

Integrando questa equazione dierenziale ordinaria in (x) con condizione iniziale (0) = 0, si ottiene lespressione 1/5 U x (x) = 0.37 x , (1.175) da cui 2 (x) = 0.036 x U x 1/5

.

(1.176)

Si nota da queste relazioni come lo spessore dello strato limite aumenta proporzianalmente a x4/5 , mentre nel caso laminare si ha x1/2 . La resistenza globale su una lamina piana di lunghezza l e profondit` b vale: a D=7

2 0.036 U b l

U l

1/5

.

(1.177)

Tale ipotesi comporta delle approssimazioni che i dati sperimentali hanno mostrato essere trascurabili per Re < 106 .

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE9/5

47

Quindi la resistenza totale per usso turbolento ` proporzianale a U e l4/5 , mentre per e 3/2 usso laminare si ha, rispetivamente, U e l1/2 . A questo punto si possono valutare i coecienti dattrito e di resistenza, cf = e sapendo che 0 , 2 1/2 U cd = D , 2 1/2 U b l

d2 dx 2 D(x) = b U 2 (x)2 0 (x) = U

(1.178) (1.179) (1.180)

si ha: cf = 2 Usando lequazione (1.176) si ha: cf = 0.0576 U x

d2 , dx

cd = 2

2 (l) . l

1/5

,

cd = 0.072

U l

1/5

.

(1.181)

In realt` la seconda equazione costituisce unottima stima dei dati sperimentali per ussi a turbolenti lungo tutta la lamina (a partire dal bordo dattacco), se si usa il valore 0.074 al posto di 0.072: cd = 0.074 (Rel )1/5 , 5 105 < Rel < 107 . (1.182)

Apportando la stessa correzione al coeciente di attrito si ha: cf = 0.0592 (Rex )1/5

= 0.0256

U 2

1/4

.

(1.183)

Lequazione (1.182) ` valida nellipotesi che il usso sia turbolento a partire dal bordo e dattacco della lamina. In generale il usso ` laminare a partire dal bordo dattacco e e subisce la transizione turbolenta ad una certa distanza. La posizione del punto di transizione dipende dallintensit` turbolenta del usso indisturbato ed ` denita da un a e numero di Reynolds critico, Recr = (U x/)cr , compreso tra 3 105 e 3 106. La presenza di una porzione laminare dello strato limite comporta una riduzione del coeciente di resistenza rispetto al valore fornito dallequazione (1.182). Pertanto la suddetta equazione viene corretta come segue: cd = 0.0741/5 Rel

A , Rel

5 105 < Rel < 107 ,

(1.184)

dove A vale 1050, 1700, 3300, 8700 rispettivamente per Recr pari a 3 105 , 5 105 , 106 , 3 106 .

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

48

Per applicazioni con Re > 107 risultati accurati si ottengono utilizzando nel procedimento sopra descritto la legge universale di parete al posto della legge di potenza. I passaggi, tuttavia, non sono semplici come nel caso precedente e non verranno quindi descritti. La legge universale si scrive u+ (y + ) = A ln y + + D, con u yv , y+ = . v Dal confronto coi dati sperimentali i valori delle costanti sono i seguenti: u+ = A = 5.85 D = 5.56. (1.185)

(1.186)

(1.187)

Il coeciente di resistenza ` ben approssimato dalla seguente relazione: e cd = A 0.455 , 2.58 (log Rel ) Rel 107 < Rel < 109 , (1.188)

che conteggia anche la correzione dovuta alla presenza di una porzione laminare attraverso il coeciente A, i cui valori sono identici a quelli usati nellequazione (1.184). Lequazione (1.188) ` noto come equazione di PrandtlSchlichting per il coeciente di attrito su e una lamina piana ad incidenza nulla. In molte applicazioni la parete della lamina non pu` essere considerata (idraulicameno te) liscia. Il parametro che individua la rugosit` relativa ` il rapporto tra laltezza delle a e asperit` e lo spessore dello strato limite, k/. La dierenza tra questo caso e quello del a usso in un condotto consiste nel fatto che la rugosit` relativa decresce lungo la lamina (k a ` circa costante, mentre aumenta), mentre in un condotto k/R rimane costante. Assue mendo che lo strato limite sia turbolento a partire dal bordo dattacco, si avr` dapprima a un usso su parete rugosa, seguito da una zona di transizione e, inne, si potr` avere un a usso su parete liscia. I limiti tra le diverse zone sono individuati dal parametro adimensionale v k/, come visto nel caso di usso in condotti. I risultati ottenuti in questo caso possono essere estesi al caso del usso su lamina piana come visto in precedenza. I calcoli, basati sulla legge universale di parete, equazione (1.169), portano ai risultati mostrati nelle gure 1.22 e 1.23. La prima gura fornisce il coeciente di resistenza in funzione del numero di Reynolds U l/ per diversi valori di l/k, mentre la seconda fornisce il coeciente dattrito in funzione di U x/ per diversi valori di x/k. I graci riportano anche le curve (tratteggiate) che delimitano la zona completamente rugosa. In tale zona valgono le seguenti formule di interpolazione: cf = 2.87 + 1.58 log cd = x k2.5

,2.5

(1.189) (1.190)

l 1.89 + 1.62 log k

,

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

49

Figura 1.22: Coeciente di resistenza per lamina piana (Schlichting, 1968).

con 102 < l/k < 106 . In relazione a tale argomento ` rilevante denire la rugosit` ammissibile come la mase a sima rugosit`, ammissibile in applicazioni ingegneristiche, che non comporta incrementi a di resistenza rispetto al caso di parete liscia. Tale misura ` rilevante in quanto legata alla e lavorazione (quindi al costo) che si richiede per il manufatto. Nel caso di strato limite turbolento la parete pu` essere considerata liscia se le protuberanze sono contenute allino terno del sottostrato laminare, il cui spessore ` una piccola frazione dello spessore dello e strato limite. Come visto nel caso di usso in condotti, la condizione per cui una parete possa essere considerata liscia ` e v k < 5, v = 0 . (1.191)

Tale risultato sar` considerato valido anche per il caso di lamina piana ad incidenza nulla. a Dal punto di vista pratico ` pi` immediato esprimere tale risultato in funzione della e u rugosit` relativa k/l. Dal graco di gura 1.22 si ottiene il valore ammissibile per k/l a dal punto in cui una curva per dato valore di l/k = cost. si stacca dalla curva relativa alla parete liscia: si nota come il valore ammissibile di k/l diminuisce allaumentare di U l/. Una relazione approssimata per la determinazione della rugosit` ammissibile ` la a e seguente: U ka = 100, (1.192)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

50

Figura 1.23: Coeceinte dattrito per lamina piana (Schlichting, 1968).

che, seppur approssimata, fornisce un solo valore di ka per tutta la lamina: ka 100 . U (1.193)

Per le applicazioni ` ancora pi` pratico legare la rugosit` ammissibile direttamente alla e u a lunghezza della lamina (o del corpo in esame). A tale scopo lequazione (1.193) si pu` o riscrivere 100 ka l . (1.194) Rel Nel valutare leetto del gradiente di pressione sullo strato limite turbolento, si usa lo spessore di quantit` di moto, 2 , come dimensione caratteristica dello strato limite. Per a conteggiare il gradiente di pressione e quindi la sua inuenza sul prolo di velocit` si a denisce il seguente parametro adimensionale = 2 dU U dx U 2 1/4

,

(1.195)

corrispondente a quello usato nel caso di usso laminare, equazione (1.101). Per > 0 il usso accelera, mentre per < 0 decelera. In base a misurazioni sperimentali si ha separazione per 0.06. Un parametro alternativo per denire la forma del prolo di

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE velocit` in presenza di gradiente di pressione ` a e =1 u(2 ) U2

51

,

(1.196)

dove u(2 ) indica la velocit` nello strato limite misurata alla distanza 2 dalla parete. a Lutilit` di tale parametro ` dimostrata dal graco in gura 1.24 che riporta i dati speria e mentali di Nikuradse: quando la pressione diminuisce < 0.46 mentre quando aumenta > 0.46; si ha separazione per 0.8. In corrispondenza della separazione il fattore di

Figura 1.24: Proli di velocit` in canali convergenti e a divergenti: u/U in funzione di y/2 (Schlichting, 1968). forma H12 = 1 /2 ` compreso tra 1.8 e 2.4. Questo si pu` dedurre osservando che esiste e o una corrispondenza tra H12 e , riportata in gura 1.25, che si pu` ricavare assumendo o che il prolo di velocit` possa essere espresso mediante una legge del tipo u/U = (y/)1/n . a Infatti, per tale legge si ha 1 1 = , 1+n da cui H12 = 2+n 1 = , 2 n 2 n = , (1 + n)(2 + n) = n= 2 ; H12 1

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE quindi:

52

12 2 H12 1 H12 1 . = , = = 1 H12 (H12 + 1) H12 (H12 + 1) Il confronto tra i risultati di questa relazione e i dati sperimentali, gura 1.25, mostra un buon accordo.

H 1

Figura 1.25: Andamento del fattore di forma H12 in funzione di (Schlichting, 1968). La maggior parte dei metodi per il calcolo di 2 usa lequazione integrale dello strato limite, equazione (1.84), che pu` essere riscritta nella forma seguente: o 2 dU 0 d2 + (H12 + 2) = . (1.197) dx U dx U2 Quindi, per valutare la variazione di 2 lungo la parete bisogna conoscere H12 e 0 /( U 2 ). Nel caso di lamina piana ad incidenza nulla si pu` supporre che lo sforzo di taglio sia o pari a quella fornito dallequazione (1.183), con la dierenza che in questo caso la velocit` a esterna non ` costante. Quindi: e 0 = , (1.198) 2 U (U 2 /)1/n dove n = 4 : = 0.0128 (vedi equazione (1.183)) n = 6 : = 0.0065.

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

53

Figura 1.26: Variazione dello spessore di quantit` di moa to e del fattore di forma in corrispondenza della transizione (Schlichting, 1968).

Poich H12 ` presente solo come coeciente del secondo termine a primo membro, ase e

Figura 1.27: Variazione di H12 con (U 2 /)t (Schlichting, 1968).

sumendo un valore medio, che per la lamina piana ` H12 = 1.4, e la semplicazione e

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE introdotta dallequazione (1.198), lequazione (1.197) pu` essere integrata: o x 1/n U 2 U b dx 2 = U b C1 + a x=xt

54

(1.199)

n+1 n+1 1 b= (H12 + 2) , n n n in cui xt indica lascissa di transizione e C1 ` una costante determinata dalla soluzione e dello strato limite laminare a xt . Inoltre, nellipotesi di validit` dellequazione (1.198) si a ha: 0 0.0288 = (1.200) 2, 2 U (U 2 log 4.075 Si osserva che si possono usare procedure pi` accurate per il calcolo di 2 e di 0 . Tuttavia, u ` necessario in ogni caso considerare che in corrispondenza della transizione il fattore e di forma diminuisce della quantit` H12 , come mostrato in gura 1.26; inoltre, H12 a dipende dal valore alla transizione del numero di Reynolds basato sulla quantit` di moto, a Re2,t = (U 2 /)t , come illustrato nella gura 1.27. a=

con

1.51.5.1

Flusso comprimibileFlusso laminare

Lanalisi condotta nei paragra precedenti ` valida nellipotesi di usso incomprimibile. e Nei ussi in cui la comprimibilit` e la variazione di temperatura non sono trascurabili a bisogner` arontare lo studio prendendo in considerazione anche le variazione di e T , a utilizzando lequazione dellenergia. Ad esempio, lequazione di conservazione dellenergia termodinamica si scrive De + p u = (kT ) + , Dt (1.201)

dove e indica lenergia interna per unit` di massa e = : u la funzione di dissipazione. a Poich, grazie allequazione di conservazione della massa, risulta e u = e ricordando che dh = de + d lequazione (1.201) diventa: cp Dp DT = + (kT ) + . Dt Dt (1.204) p = cp dT = cv dT + d p , (1.203) 1 D Dt (1.202)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

55

Anche per questa equazione si pu` condurre unanalisi dellordine di grandezza dei vari o termini allinterno dello strato limite. A tale scopo conviene riscrivere la stessa in forma adimenzionale ( indica la temperatura adimensionalizzata mediante (T )0 = Tw T ) e per ussi stazionari bidimensionali: u 1 +v = x y P r Re 1 T2 T

2 2 + 2 x2 y 1 1 2 T

+E

u

p p +v x y

+E

1 , Re 2 1 . 2

(1.205)

1 1

1 1

Nellequazione precedente ` stato indicato con T lo spessore dello strato limite termico, e mentre P r e E indicano, rispettivamente, il numero di Prandtl e il numero di Eckert: Pr = cp , k E=2 U , cp (T )0

(1.206)

con (T )0 = Tw T , dierenza tra la temperatura di parete e quella del usso indisturbato. Si noti che P r ` di ordine 1 per i gas (circa 0.7 per laria) e variabile tra 10 e 1000 e per liquidi. Dallequazione (1.205) si deduce che T L e, poich 1/ Re, si ha: e2

1 , P r Re

(1.207)

T 1 (1.208) , Pr da cui si ottiene unutile stima del rapporto tra strato limite termico e cinematico: per i gas essi saranno allincirca dello stesso ordine di grandezza, mentre per i liquidi lo strato limite termico sar` inferiore a quello cinematico. a In questo modo, le equazioni dello strato limite, nellipotesi di usso stazionario bidimensionale, si scrivono (in forma dimensionale): ( u) ( v) + = 0, x y u u u +v x y = =u dp + dx y u y , u y2

(1.209) (1.210)

cp

u

T T +v x y

dp 2T +k 2 + dx y

,

(1.211)

con condizioni al contorno: y=0: u = v = 0; T = Tw ; y=: u = U(x); T = T (x);

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

56

Il sistema precedente ` chiuso dallequazione di stato p/ = R T e dalla legge di variazione e di con la temperatura. Nel caso dellaria la formula di Sutherland fornisce risultati accurati: 3/2 T0 + S T = , (1.212) 0 T0 T +S dove 0 indica la viscosit` alla temperatura T0 (0 = 1.7894 105 kg/(ms) a T0 = a 273.11 K), mentre S = 110 K. Nel caso semplice di usso su una lamina piana ad incidenza nulla e ipotizzando il usso incomprimibile e a propriet` costanti, le equazioni che governano il usso si scrivono: a u v + = 0, x y u u u +v x y = 2u , y 2 2T + y 2 u y2

(1.213) (1.214)

cp

u

T T +v x y

=k

.

(1.215)

In questo caso limite la temperatura risulta indipendente dalla velocit`, per cui si possono a prima risolvere le prime due equazioni e quindi il campo di temperatura. Nel caso in cui il termine di dissipazione nellequazione (1.215) pu` essere trascurato, le equazioni di o quantit` di moto ed energia sono formalmente identiche (con T al posto di u) se a k = cp = P r = 1.

Quindi in questo caso il campo di temperatura esiste solo se T Tw > 0 (sottrazione di calore), e la distribuzione di temperatura ` e u T Tw = T Tw U (P r = 1). (1.216)

Lasciando il termine dissipativo nellequazione (1.215), la distribuzione di temperatura sar` fornita dalla soluzione della seguente equazione: a d2 T P r dT U2 2 + f = P r f , d 2 2 d cp (1.217)

dove f e sono le funzioni introdotte per la soluzione di Blasius. Questa equazione pu` o essere risolta usando la sovrapposizione di due soluzioni: T () T = C 1 () +2 U 2 (), 2 cp

(1.218)

dove 1 () indica la soluzione dellomogenea associata e 2 () una soluzione particolare dellequazione non omogenea. Inoltre, per comodit`, si assume che 1 () sia la soluzione a

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

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del problema con scambio termico con data dierenza di temperatura, Tw T , mentre per 2 () si adotta la condizione adiabatica a parete. In questo modo si hanno i due problemi seguenti: 1 1 + P r f 1 = 0, (1.219) 2 con 1 = 1 per = 0 e 1 = 0 per = ; 2 +

1 2 P r f 2 = 2 P r f , 2

(1.220)

con 2 = 0 per = 0 e 2 = 0 per = . Il valore 2 (0) consente il calcolo di C nellequazione (1.218) in modo che T = Tw per = 0: 2 U 2 (0). 2 cp

C = Tw T

(1.221)

La soluzione dellequazione (1.219) ` riportata in gura 1.28 per diversi valori di P r. e Come gi` osservato in precedenza, per P r = 1 landamento coincide con quello del prolo a di velocit`. Per P r > 1 lo strato limite termico ` pi` piccolo di quello cinematico, mentre a e u per P r < 1 risulta pi` grande. Considerando ora la soluzione dellequazione (1.220), u

Figura 1.28: Distribuzione di temperatura su una lamina piana ad incidenza nulla in presenza di scambio termico (Schlichting, 1968). la distribuzione di temperatura su una parete adiabatica pu` essere espressa in forma o adimensionale come: T2 () T 2 (, P r) T2 () T = = , T2w T Ta T b(P r) (1.222)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE dove Ta indica la temperatura adiabatica di parete:

58

2 U b(P r), b(P r) = 2 (0, P r). (1.223) 2 cp Per valori bassi di P r si pu` assumere b = P r, mentre per P r si ha b(P r) = o 1.9P r 1/3 . La temperatura adiabatica di parete al variare del numero di Reynolds U x/ ` riportata in gura 1.29: laccordo tra lequazione (1.223) e i dati sperimentali ` buono e e per usso laminare; in corrispondenza della transizione si osserva un improssivo aumento. La distribuzione di temperatura dellequazione (1.222) ` riportata in gura 1.30 per e diversi valori di P r. La soluzione generale dellequazione (1.218) ` inne riportata in e

T2w T = Ta T =

Figura 1.29: Temperatura adiabatica di parete su una lamina piana ad incidenza nulla per P r = 0.7 (Eckert e Weise, 1942).2 gura 1.31 per diversi valori del numero di Eckert, E = U /[cp (Tw T )]. Per E > 0 si ha introduzione di calore e per E < 0 sottrazione di calore. Inoltre, per b E = 2 si ha la condizione di parete adiabatica; quindi per b E > 2 lo strato limite a parete risulta pi` u caldo della parete stessa a causa del calore generato per attirto. Il usso termico a parete T q(x) = k (1.224) n n=0 pu` essere espresso mediante il parametro adimensionale o

N(x) = da cui q(x) =

l (T )0

T n

(1.225)n=0

k k N (Tw T ) = N (T )0 . (1.226) l l Nel caso si trascuri leetto del calore di dissipazione e la soluzione ` espressa come e T () T = (Tw T ) 1 (),

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE

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Figura 1.30: Distribuzione della temperatura T2 su una lamina piana ad incidenza nulla in presenza di parete adiabatica (Schlichting, 1968).

Figura 1.31: Distribuzione di temperatura nello strato limite laminare su una lamina piana ad incidenza nulla per P r = 0.7 (Schlichting, 1968).

si ha: q(x) = 0.332 k (P r)1/3 U (Tw T ); x (1.227)

1 TEORIA DELLO STRATO LIMITE il usso termico sullintera lamina