ACTIVIDAD # 1TEMA: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PERCENTILES)

Módulo de estadística I ESAP pagina 43 ejemplo 3.3 calcule e interprete:

a) cuartiles del 25% y 75%.

b) deciles del 10% y 60%.

c) percentiles del 45% y 82%

ACTIVIDAD # 2TEMA: MEDIDAS DE DISPERSION

Módulo de estadística I ESAP pagina 67 A 69 resolver los ejercicios del 1 al 6.

ACTIVIDAD # 3TEMA: CONTEO

1A) Se distribuyen tres regalos distintos entre cinco chicos. De cuántas formas pueden hacerlo si:

a) cada chico sólo puede recibir un regalo

b) a cada chico le puede tocar más de un regalo;

c) cada chico sólo puede recibir un regalo pero los tres son idénticos.

2B) Una persona tiene 6 chaquetas y 10 pantalones. ¿De cuántas formas distintas puede combinar estas prendas?.

3C) Un amigo le quiere regalar a otros dos libros y los quiere elegir entre los 15 que le gustan. ¿De cuántas formas puede hacerlo?

4D) ¿Cuántos planos distintos determinan 6 puntos en el espacio, si nunca hay más de 3 en un mismo plano? (Nota: tres puntos determinan un plano)

5E) ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar con los vértices de un pentágono regular?

6E) Un entrenador dispone de 22 jugadores para formar un equipo de fútbol. ¿Cuántas alineaciones de 11 jugadores puede hacer?

7D) Una familia, formada por los padres y tres hijos, van al cine. Se sientan en cinco butacas consecutivas. a) ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse? b) ¿Y si los padres se sientan en los extremos?

8C) ¿Cuántas opciones tienes, si debes escoger tres asignaturas entre seis optativas?

9B) Con los números 3, 5, 6, 7 y 9 ¿cuántos productos distintos se pueden obtener multiplicando dos de estos números? ¿Cuántos de ellos son múltiplos de 2?

10A) ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer al lanzar un dado 4 veces?

11D) ¿Cuántos números hay entre 2000 y 3000 que tengan sus cifras diferentes?

12C) Un barco tiene diez banderas diferentes para hacer señales y cada señal se forma colocando 4 banderas en un mástil. ¿Cuántas señales distintas pueden hacer desde el barco?

13B) A un congreso asisten 60 personas de las cuales 40 sólo hablan inglés y 20 sólo alemán. ¿Cuántos diálogos pueden establecerse sin intérprete?

14E) Una cafetería vende 10 tipos de café diferentes. Cinco amigos quieren tomar cada uno un café. ¿Cuántas formas posibles tienen de hacerlo?

15A)a) ¿Cuántos números de 6 cifras puedes escribir con los dígitos 1, 2 y 3?. b) ¿Cuántos de ellos contienen todos los dígitos 1, 2 y 3 al menos una vez?

16C) Todas las personas que asisten a una reunión se estrechan la mano. Si hubo 105 apretones, ¿cuántas personas asistieron?

17B) ¿Cuántos triángulos quedan determinados por 10 puntos si tres cualesquiera no están alineados?.

18A) ¿De cuántas formas se pueden sentar tres personas en seis sillas?

19E) Para hacer una apuesta en la lotería primitiva hay que marcar con cruces seis números (donde figuran números del 1 al 49). ¿De cuántas formas diferentes puede marcar una persona?

20D) ¿De cuántas formas se pueden cubrir los puestos de Presidente y Secretario de una comunidad de vecinos, contando con 10 vecinos para ello?

21B) Te enseñan 6 discos para que elijas 3 como regalo. ¿De cuántas formas puedes elegir?.

22A) Ocho amigos van de viaje llevando para ello dos coches. Si deciden ir 4 en cada coche. a) ¿De cuántas formas pueden ir si todos tienen carnet de conducir? b) ¿De cuántas formas pueden ir si sólo tres tienen carnet de conducir?

23C) En una carrera compiten 10 caballos. En los boletos hay que indicar el nombre del 1º, 2º y 3º. ¿Cuántos deberemos rellenar para asegurarnos de que ganaremos?

24E) Se quiere formar un equipo de futbol-sala (cinco jugadores) de un total de 10. Si sólo tenemos un portero, ¿cuántos equipos distintos podemos formar?

25D) Con los dígitos 1, 3, 5 y 7, ¿cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar? ¿Y cuántos si se pueden repetir las cifras?

ACTIVIDAD # 4TEMA: CONJUNTOS

1) Sean los conjuntos:V ={d }, W={c , d }, X ={a , b , c}, Y={a , b} y Z={a , b , d }. Establece la veracidad de las siguientes afirmaciones, justificando en cada caso tu respuesta:a) Y⊂X , b) W⊅V , c) W≠Z , d) Z⊃V , e) V⊄Y , f) Z⊅X , g) V ⊂X , h) Y⊄Z , i) X =W y j) W⊂Y

2) Consideremos U={a , b , c , d , e} como conjunto universal y los subconjuntos A={a , b , d } , B={b , d , e} y C={a ,b , e }. Halla:

A∪B , A∩B , A∪B∪C , A∩B∩C ,A∩B∩C , A−B, A' , B−A, B∩A' , A−A, A'' , (A∩C)' , U ' , A∪A' , A∩A' , ∅' , A'∪C ' , (A∪B) ' , A'∩B' , (B−C)' , A∪B' , B'−A'. Las operaciones que te den igual resultados represéntalas en diagramas de Venn. ¿Qué concluyes?

3) Escribe la expresión que corresponde al conjunto marcado en gris en el diagrama de la derecha.

4) Determinar la cardinalidad de los conjuntos A , B,C⊂U , si | U | = 30, |(A U B U C)'| = 5,| A U B |= 23, | A-C | = 12, | A ∩ C | = 4, | B ∩ C | = 8, | A ∩ B ∩C | = 3, | A ∩ B | = 11.

5) Se realizó una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A y B. Obteniéndose lo siguientes resultados:El número de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7.El número de personas que prefirieron ambos productos fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de los dos productos.El número de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B fueron 3.Se desea saber:a) ¿Cuantas personas prefieren el producto A?b) ¿Cuantas personas prefieren el producto B solamente?c) ¿Cuantas personas prefieren ambos productos?

6. Una tienda de artículos electrónicos vende en un día 44 equipos de música, todos los que tienen lector de CD (C.D.) tienen lector de casetes (T.C.). Algunos tienen control

remoto (C.R) y otros ninguna de las tecnologías nombradas. Si se vendieron: 16 equipos con (C.R) pero sin (C.D), 12 equipos con (TC) pero sin (CD) ni (CR), 24 equipos sin (C.R), 9 equipos con (C.R) y (T.C), 16 equipos con (T.C) pero sin (C.R): a) .Cuantos equipos que tenían alguna de estas tecnologías se vendieron? b) .Cuantos equipos se vendieron con (CD) y (CR)? c) ¿Cuantos equipos con (CR) pero sin (TC) se vendieron?

EJEMPLO 3.3

El consumo de agua, en metros cúbicos, durante el mes pasado o se midió en una muestra de 200 hogares de un sector, obteniendo los siguientes da tos:

TABLA 2.

CONSUMO( ) NÚMERO DE HOG ARES

CONSUMO MEDIO

( ) ( (

4-6 18 5 90

6-8 38 7 266

8-10 80 9 720

10-12 48 11 528

12-14 12 13 156

14-16 4 15 60

TOTAL 200 1820

Observar que a las dos primeras columnas, que son las básic as de la distribución de frecuencias, se le han agrega do dos c olumnas: la de las

marcas de clase o puntos me dios de los intervalos y la del producto de las marcas de clase por las frecuencias, entonces la media aritmétic a del

consumo es:

=

MEDIA ARITMÉTIC A PONDERADA

Cuando a los diferentes valores que toma una variable se le asigna pesos o ponderaciones que indique la importancia que se le asigna a cada valor, se define la media aritmética ponderada com o:

Dónde:

Son los diferentes valores que toma la variable.

: son los pesos o ponderaciones que se le asignan a c ada uno de los valores de la variable.

EJEMPLO 4.4

Utilizando los da tos del ejemplo 2, ya se había obtenido que

Utilizando ahora pa ra la varianza la fórmula deriva da, obtenemos

Que es el mismo resultad o obtenido anteriormente.

EJEMPLO 4.5.

Utilizando los da tos del ejem plo 4.3

Para este ejem plo, los c álculos necesarios se present an en la columna 6 de la ta bla 4.1

4.5 DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

La desviación estándar se define como la raíz cuadrad o positiva de la varianza.

La desviación estándar se expresa en las mismas unid ad es de medida en que esté expresada la variable, por lo cual resulta más fácil y comprensible su interpretación que la varianza.

EJEMPLO 4.6

Si tomamos la varianza calculada en el ejemplo 2, tenemos que la desviación estándar se puede obtener como:

Lo cual significa que: En promedio, la experiencia que tienen los operarios se dispersa o varía alrededor de la experiencia promedio en 7.43 años.

Observar que este valor tiende a ser grande, lo cual indica que la experiencia es muy variable entre los operarios, es decir, no son uniformes en esta característica.

4.6 CO EFICIENTE DE VARIACIÓN

El coeficiente de variación de un conjunto de da tos se define como el cociente entre la desviación estándar y la media aritmética de un conjunto de da tos.

El coeficiente de variación también se suele expresar en porcentaje (multiplic ar por 100%)

El coeficiente de variación es una medida de dispersión relativa que se utiliza para establecer el grado de variación que presenta un conjunto de valores alrededor de su media aritmética. La varianza y la desviación estánda r son las medida s más extensamente utilizada s para medir la dispersión o variación de los valores alrededor de su media, sin embargo, a veces puede resultar difícil establecer si su magnitud es grande o pequeña. El coeficiente de variación puede en este sentido facilitar su interpretación. Se considera que si el coeficiente de variación es menor a 0.15 (o 15%) los valores tienen muy poca dispersión, es decir los elementos tienden a ser homogéneos. Si el coeficiente de variación está entre 0.15 y 0.30 (o entre el 15% y 30%), se considera que los valores present an una dispersión moderada, o sea, los elementos tienden a ser ligeramente homogéneos. Si el coeficiente de variación es mayor a 0.30 ( o el 30%), los valores tienen una alta dispersión y los elementos tienden a ser heterogéneos.

EJEMPLO 4.7

Para un grupo de emplead os de una empresa se ha encontrad o que su salario mensual tiene una media de $1200000 y una desviación estándar de

$500000.¿Es uniforme el salario de estos empleados?.

Al observar la magnitud de la desviación estándar p arece que es grande, esto se puede confirmar con el coeficiente de variación:

Que está bastante por encima de 0.30, por lo cual podemos decir que el salario de los trabajadores es bastante disperso, es decir el grupo de emplead os es bastante heterogéneo con respecto a su salario mensual.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN: Medida de dispersión relativa que se utiliza para comparar diferentes distribuciones y se expresa la relación entre la desviación estándar y la media.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR: definida como la raíz cuadrada positiva de la varianza; es una medida de dispersión que se expresa en las mismas unidades de medida que la variable estudiada.

DISPERSIÓN: Variabilidad que presenta un conjunto de datos.

MEDIDA DE DISPERSIÓN: medida que expresa la magnitud en la variación que presenta un conjunto de datos.

RANGO: Diferencia entre el mayor y menor valor de un conjunto de datos.

VARIANZA: Medida que expresa el promedio de las distancias al cuadrado entre los valores y su media aritmética.

EJERCICIOS

1. Durante nueve días se observó el número de unidades que produjeron dos trabajadores de una fábrica que elaboraban el mismo artículo, obteniendoOPERARIO 1: 22 25 28 29 35 27 26 20 30OPERARIO 2: 21 24 26 28 28 27 29 24 26Cuál de los dos operarios es:a. Más eficiente en su producción diaria ? Porqué ?b. Más uniforme en su producción diaria ? Porqué ?

2. El consejo de Administración de una corporación está estudiando la posibilidad de adquirir una de dos compañías y para ello analiza la administración de cada una en relación con su inclinación a correr riesgos. En los últimos cinco años, la primera compañía alcanzó un promedio de rendimiento sobre las inversiones del 28% con una desviación estándar de 5.3%. La segunda tuvo un rendimiento medio de 37.8% con una desviación estándar de 6.29%. Cuál de estas dos empresas ha aplicado una estrategia más riesgosa en sus inversiones? Por qué? Cuál de las dos empresas recomendaría comprar ? Por qué?

3. En dos empresas, A y B, dedicadas a la producción de un mismo artículo, se tomaron muestras de 10 trabajadores de la empresa A y 15 de la empresa B y se contó el número de unidades semanales, X, que elaboraba cada uno de ellos, obteniendo :

A : Xi = 191 Xi2 = 3721

B : Xi = 274 Xi2 = 5148

Comparar la producción semanal de los trabajadores de cada empresa en cuanto a la producción media, variación absoluta de la producción semanal, y variación relativa de la producción semanal.

4. Un inversionista está interesado en hacerse socio en una de dos empresas de inversiones. El desearía ser socio de aquella empresa de la cual considere que obtiene mayor rentabilidad con menor riesgo. Para decidir observa que las últimas inversiones realizadas por las empresas han tenido las siguientes rentabilidades ( %) : EMPRESA A : 27 32 31 28 25 22 24EMPRESA B: 25 29 24 26 24 30 35 23En cuál de las dos empresas le recomendaría invertir? Por qué ?.

5. Se preguntó el precio (X, en $ ) de un artículo en 20 tiendas y los datos obtenidos se resumieron así : Xi

= 4000 , Xi2 = 928000. Obtener e interpretar el coeficiente de variación del precio del artículo.

6. Día a día durante el mes de Julio pasado y lo mismo durante el mes de Agosto se tomó el precio (libra) de venta mayorista para un producto agrícola. En Julio se encontró que el precio tuvo una media de $180 y desviación estándar de $36; en Agosto el precio tuvo una media de $240 y desviación estándar de $44. En cuál de los dos meses fue más estable el precio del producto?