programación clase a clase 1º semestre 2012 nombre del curso: matemáticas foaud115

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Programación Clase a Clase 1º Semestre 2012 Nombre del curso: Matemáticas FOAUD115. Nombre del Profesor: Carlos Beyzaga Medel - [email protected] Unidad I. Conjuntos Mg. Carlos Beyzaga M. Georg Ferdinand Cantor. - PowerPoint PPT Presentation

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  • Programacin Clase a Clase1 Semestre 2012Nombre del curso: Matemticas FOAUD115.Nombre del Profesor: Carlos Beyzaga Medel - [email protected]

    ContenidoSesinSemanaConjuntos1 25/3 12/3N Reales , enteros, racionales, irracionales, operatorias3 419/3 26/3Prueba 152/4Polinomios69/4Potencias races716/4Ecuaciones 1er y 2do. Grado823/4Funciones / Representacin Grafica, recta, curvas, logaritmos y exponenciales9 1030/4 7/5Prueba 21114/5Sumatoria, binomio de Newton/ Factorial/ N Combinatorio1221/5Limite/derivada/integrales13 - 1428/5Prueba 3154/6Prueba recuperativa1611/6Examen1718/6Examen extraordinario1825/6

  • Unidad IConjuntosMg. Carlos Beyzaga M.

  • Georg Ferdinand Cantor

    (San Petersburgo, 1845-Halle, Alemania, 1918) Matemtico alemn de origen ruso. El joven Cantor permaneci en Rusia junto a su familia durante once aos, hasta que la delicada salud de su padre les oblig a trasladarse a Alemania. En 1862 ingres en la Universidad de Zurich, pero tras la muerte de su padre, un ao despus, se traslad a la Universidad de Berln, donde estudi matemticas, fsica y filosofa. Se doctor en 1867 y empez a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle.En 1874 public su primer trabajo sobre teora de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostr que el conjunto de los nmeros enteros tena el mismo nmero de elementos que el conjunto de los nmeros pares, y que el nmero de puntos en un segmento es igual al nmero de puntos de una lnea infinita, de un plano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamao.Consider estos conjuntos como entidades completas con un nmero de elementos infinitos completos. Llam a estos nmeros infinitos completos nmeros transfinitos y articul una aritmtica transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879.Sin embargo, el concepto de infinito en matemticas haba sido tab hasta entonces, y por ello se granje algunos enemigos, especialmente Leopold Kronecker. Sus teoras slo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y admitido tanto en la Sociedad Matemtica de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga. En la actualidad se le considera como el padre de la teora de conjuntos, punto de partida de excepcional importancia en el desarrollo de la matemtica moderna. Muri en una institucin mental.

  • ConjuntoEs toda coleccin, lista, agrupaciones, clasificacin de objetos que pasan a llamarse elementos del conjunto.Se acostumbra designar los conjuntos con letras maysculas: A, B, C,; sus elementos con letras minsculas a , b , c,;que se escriben dentro de un parntesis de llave, por ejemplo el conjunto A que tiene los elementos a ,b , c se escribe: A={a , b , c}

  • Conjunto VacioEs el conjunto que no tiene elementos se le designa por .Es distinto el conjunto cuyo elemento es el cero al conjunto vacio.

  • Singleton Es el conjunto de un solo elemento

    A = {a}

  • Definicin de un conjuntoPor extensin: cuando se le define nombrando todos sus elementos, ejemplo el conjunto de mis dos hijos. A = { carlos , camilo}Por comprensin: cuando se le define indicando una cualidad de los elementos que lo forman. Por ejemplo el conjunto de mis hijos se indica: A = { mis hijos} o bien A = { x | x es mi hijo}

  • Pertenencia y no pertenenciaSi el conjunto A tiene a x como uno de sus elementos, se dice que x pertenece a A lo que se escribe x A.El signo significa pertenece a o esta en, el signo significa no pertenece o no esta en ejemplo: sea A={capitales sudamericanas} implica Santiago A y Paris A

  • Conjunto Universo (o referencia)Es el conjunto formado por todos los elementos de una teora especficamente indicada. Generalmente se le representa por un rectngulo y se le designa por E o U.Por ejemplo, el conjunto Universal puede ser el conjunto de los nmeros reales, el espacio vectorial, el conjunto de todos los puntos de un plano, etc.

  • Subconjunto (o inclusin)Cuando cada elemento de un conjunto B es tambin un elemento de un conjunto A se dice que B es un subconjunto de A o que el conjunto B esta incluido en el conjunto A. Por lo tanto, todos lo elementos del conjunto B pertenecen al conjunto A. simblicamente se indica : B A

  • Propiedades de los conjuntos y subconjuntosa) Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si todos los elementos de A pertenecen a B y viceversa A = B si y solo si A B y B Ab) El conjunto vacio es subconjunto de cualquier conjunto. Para todo conjunto a A.c) Dados dos conjuntos A y B, se dice que A y B son conjuntos disjuntos si y solo si la interseccin de ellos es vaca A B =

  • d) Reflexividad: todo conjunto esta incluido en si mismo, para todo A, A Ae) Antisimetra: si A es subconjunto de B y B subconjunto de A, entonces ambos conjuntos son iguales.f) Transitividad: si A es subconjunto de B, y B subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

  • Familia de conjuntosCuando los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos, se obtiene una familia de conjuntos. por ejemplo A= {{1,9},{6,4},{2}} no es familia B = { 2, {f , g}, {12},0}

  • Conjunto potenciaSe designa por P(E) y esta formado por la familia de todos los subconjuntos de un conjunto E. P(E) = { x | x E }Propiedades del conjunto potencia.Si E es distinto de vacio, el conjunto potencia tiene al menos dos subconjuntos E y Vacio, es decir P(E) = {, {E}}Si E no es un conjunto unitario (singleton) ni el , el conjunto P(E) tiene tantos subconjuntos como puedan formarse con sus elementos tomados de a uno, de a dos, por ejemplo si E = {a,b,c}P(E) = {, {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},E} en general si E tiene n elementos, P(E) tiene 2n elementos

  • Operaciones entre conjuntos InterseccinLa interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto que se obtiene con los elementos que pertenecen al mismo tiempos a ambos conjuntos. A B.Cuando B es subconjunto de A, entonces A B = BSi A y B no tienen elementos comunes la interseccin es vaca.

  • Operaciones entre conjuntos UninLa unin de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B o a ambos (los elementos repetidos se consideran una sola vez) A B

    Si B es subconjunto de A, entonces la unin es A

  • Operaciones entre conjuntosComplementacinEl complemento de un conjunto A respecto a un conjunto Universal E es el conjunto A que tiene por elementos los elementos de E que no pertenecen a A.El complemento del conjunto universo es el vacio.

  • Operaciones entre conjuntosDiferenciaLa diferencia entre conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Se indica A-B

  • Ejemplo: si A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos estar formada por todos los elementos que estn solamente en A, esto es: AB = { b, c, d}

  • Diagramas de VennLosdiagramas de Vennson ilustraciones usadas en la rama de laMatemticayLgica de clasesconocida comoteora de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar grficamente la agrupacin de cosaselementosenconjuntos, representando cada conjunto mediante un crculo o un valo. La posicin relativa en el plano de tales crculos muestra la relacin entre los conjuntos. Por ejemplo, si los crculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un rea comn a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el crculo del conjunto A aparece dentro del crculo de otro B, es que todos los elementos de A tambin estn contenidos en B.

  • John Venn( Drypool ,4 de agostode1834-Cambridge,4 de abrilde1923), fue unmatemticoylgicobritnico. Destac por sus investigaciones en lgica inductiva. Es especialmente conocido por su mtodo de representacin grfica de proposiciones (segn su cualidad y cantidad) y silogismos. Losdiagramas de Vennpermiten, adems, una comprobacin de la verdad o falsedad de un silogismo. Posteriormente fueron utilizados para mostrar visualmente las operaciones ms elementales de lateora de conjuntos.

  • PropiedadesPROPIEDADES UNION 1.- Idempotencia A A = A 2.- Conmutativa A B = B A 3.- Asociativa A (B C) = (A B) C 4.- Neutro A = A 5.- Absorcin A (A B) = A 6.- Distributiva A (B C) = (A B) (A C) 7.- Complementariedad A A' = U

  • PropiedadesPROPIEDADES INTERSECCIN 1. - Idempotencia A A = A 2. - Conmutativa A B = B A 3. - Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C 4. Neutro A = 5. - Absorcin A ( A B ) = A 6. - Distributiva A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) 7. - Complementariedad A A' =

  • Producto cartesiano de dos conjuntoDados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados ( a, b) donde a es un elemento de A y b es un elemento de B. A X B = {(a, b): a A y b B} Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano es el conjunto A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

    El cardinal de un conjunto A es el nmero de elementos del conjunto A. Se anota # A. El cardinal del producto cartesiano es el producto de los cardinales de los dos conjuntos, # {A x B} = #{A} x #{B}. Dos pares (a, b) y (c, d) de A X B son iguales si a = c y b = d.

  • Ejercicios

  • Bibliografa y sitios web

    [Schaum - Seymour Lipschutz] Teora de conjuntos y Temas Afineshttp://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntos

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