relaciones métricas en triángulos

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  • www.matesxronda.net Jos A. Jimnez Nieto

    Matemticas 4o ESO (Opcin B) Relaciones mtricas en tringulos 1

    RELACIONES MTRICAS EN TRINGULOS 1. TEOREMA DE PITGORAS

    La relacin entre los lados y los ngulos de un tringulo rectngulo viene dada por el teorema de Pitgoras, uno de los ms importantes de la geometra, enunciado en el siglo V a. C.

    Teorema de Pitgoras

    En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

    Recprocamente, si los lados de un tringulo verifican la relacin de Pitgoras, el tringulo es rectngulo.

    c2 = a2 + b2

    EJERCICIOS 1. Calcula la medida de la diagonal de los rectngulos cuyos lados, en centmetros, miden:

    a) a = 4, b = 5 b) 10,7 == ba

    2. La diagonal de un rectngulo mide 20 cm y la base mide 16 cm. Calcula la altura y el rea del rectngulo.

    3. La diagonal de un rectngulo mide 26 cm y el permetro 68 cm. Halla los lados del rectngulo.

    4. Calcula la medida de los lados de los siguientes cuadrados sabiendo que las diagonales, en centmetros, miden:

    a) d = 74 b) 21=d 5. Comprueba cules de los siguientes tringulos son rectngulos.

    a) 4 cm, 5 cm, 6 cm b) 6 cm, 8 cm, 10 cm c) 9 cm, 10 cm, 11 cm d) cm 2 cm, 2 cm, 2 2. PROYECCIONES ORTOGONALES

    Dada una recta r y un punto P, se traza la recta perpendicular a ella pasando por el punto, obtenindose el punto P como interseccin de ambas rectas. Este punto P es la proyeccin ortogonal del punto P sobre la recta r.

    En la figura del margen puedes tienes distintas proyecciones sobre la recta r:

    P = proyeccin del punto P

    AB = proyeccin del segmento AB

    CD = proyeccin del segmento CD

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    Observa que:

    La proyeccin ortogonal del segmento AB sobre la recta r es el segmento AB, cuyos extremos son las pro-yecciones de los extremos A y B.

    La proyeccin ortogonal de un punto de la recta, es l mismo. 2.1. Elementos y proyecciones en un tringulo rectngulo

    Dado el tringulo ABC rectngulo en C, sus elementos y proyecciones son:

    ngulos: A, B y C. Catetos: a y b. Hipotenusa: c. Alturas: de las tres alturas que tiene un tringulo rectngulo, dos de

    ellas son los catetos. a es la altura sobre el lado b. b es la altura sobre el lado a. h es la altura sobre la hipotenusa c.

    Proyecciones: m es la proyeccin del cateto b sobre la hipotenusa. n es la proyeccin del cateto a sobre la hipotenusa.

    3. TEOREMA DE LA ALTURA

    Vamos a obtener la relacin entre la altura sobre la hipotenusa (h) y las proyecciones de los catetos sobre la misma (m y n).

    A partir de la siguiente ilustracin, aplicando el teorema de Pitgoras a los tringulos rectngulos I y II se tiene:

    Tringulo I: b2 = h2 + m2

    Tringulo II: a2 = h2 + n2

    Sumando ambas relaciones se obtiene:

    a2 + b2 = 2h2 + m2 + n2 [1]

    En el tringulo ABC, nuevamente aplicando el teorema de Pitgoras obtenemos: c2 = a2 + b2

    Sustituimos esta relacin en [1] y resulta: c2 = 2h2 + m2 + n2 [2]

    Sustituimos en [2] la relacin c = m + n: (m + n)2 = 2h2 + m2 + n2

    Despejamos 2h2 y desarrollamos (m + n)2:

    2h2 = (m + n)2 - m2 - n2 = m2 + n2 + 2mn - m2 - n2 2h2 = 2mn mnh =2

    Teorema de la altura

    El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos so-bre la hipotenusa.

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    Ejemplo. Con los datos de la figura (unidades en cm) calcula la altura CD del tringulo ABC sabiendo que es rec-tngulo en C.

    La altura de la hipotenusa en funcin de las proyecciones de los catetos viene dada por:

    h2 = mn

    h2 = 160 250 = 40.000 200000.40 ==h

    Por tanto, la altura es 200 cm = 2m.

    Ejemplo. Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda perpendicular al dimetro la divide en dos segmen-tos, uno de los cuales mide 20 cm. Calcula la medida de la cuerda.

    Uniendo el extremo C de la cuerda con los extremos del dimetro A y B se forma el tringulo ABC que es rectngulo en C. En efecto, el ngulo ACB es inscrito a la circunferencia y abarca un arco de 180, luego su medida, que es la mitad del arco, vale 90.

    En este tringulo la semicuerda es la altura sobre la hipotenusa, y por el teorema de la altura, se tiene:

    h2 = mn = m(2r - m), siendo r el radio;

    h2 = 20 80 = 1.6000 h = 40

    Por tanto, la cuerda mide 80 cm.

    4. TEOREMA DEL CATETO

    Ahora vamos a obtener la relacin entre los catetos (a y b) y sus proyecciones sobre la hipotenusa (m y n). Para ello, aplicaremos el teorema de Pitgoras a los tringulos I y II y haremos uso del teorema anterior, h2 = mn.

    Tringulo I:

    b2 = m2 + h2 = m2 + mn = m(m + n) = mc cmb =2

    Tringulo II:

    a2 = n2 + h2 = n2 + mn = n(n + m) = nc cna =2

    Teorema del cateto

    El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccin del cateto sobre la misma.

    Ejemplo. En el siguiente tringulo de los lados 30 cm, 40 cm y 50 cm, calcula la altura sobre la hipotenusa y las

    proyecciones de los catetos sobre la misma.

    El tringulo ABC es rectngulo es C, pues verifica la relacin de Pitgoras:

    302 + 402 = 900 + 1.600 = 2.500 = 502 a2 + b2 = c2

    Aplicando el teorema del cateto tenemos:

    302 = 50m, de donde m = 18 cm.

    402 = 50n, de donde n = 32 cm; o tambin, n = c - m = 32 cm.

    Aplicando ahora el teorema de la altura obtenemos:

    h2 = 18 32 = 576, de donde h = 24 cm.

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    Ejemplo. La seccin de un tejado tiene la forma de un tringulo rec-tngulo y sus dimensiones son las indicadas en la figura. Se quiere colocar una viga h para que resista mejor. Halla su altura y la distancia de su pie a los extremos.

    El planteamiento de nuestro problema se basa en el siguiente tringulo:

    Por el teorema de Pitgoras, a2 + 402 = 582, de donde a = 42 dm.

    Por el teorema del cateto, tenemos:

    402 = 58m, de donde m = 27586 dm 276 dm.

    422 = 58n, de donde n = 30414 dm 304 dm.

    Por ltimo, el teorema de la altura nos proporciona:

    h2 = 276 304 = 83904, de donde h = 2896 dm 29 dm.

    EJERCICIOS 6. En un tringulo rectngulo ABC las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 cm y 16 cm. Calcula la

    hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos.

    7. En un tringulo rectngulo ABC la hipotenusa mide 20 cm y uno de los catetos 10 cm. Calcula el otro cateto, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa.

    8. En un tringulo rectngulo ABC los catetos miden 3 cm y 4 cm. Calcula la hipotenusa, las proyecciones de los cate-tos sobre la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa.

    9. En el siguiente tringulo rectngulo, calcula la medida de los segmentos desconocidos, indicados por letras.

    10. Los lados de un tringulo rectngulo miden a = 6 cm, b = 8 cm y c = 10 cm. Cunto mide la distancia desde el vr-tice C al centro del lado opuesto?

    11. Una hormiga est correteando en un crculo de 60 cm de radio. Se para en un punto A de un dimetro a 30 cm del centro y decide acercarse a la circunferencia perpendicularmente al dimetro. Qu distancia recorrer?

    12. Calcula el lado de un tringulo equiltero inscrito en un crculo de radio 20 cm. Generaliza el resultado para un cr-

    culo de radio r. Generaliza el resultado para un crculo de radio r.

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    5. TEOREMA DE PITGORAS GENERALIZADO

    En este epgrafe vamos a extender el teorema de Pitgoras a un tringulo escaleno (que tiene los tres lados distintos), es decir, vamos a buscar una frmula que permita relacionar los lados del tringulo.

    Distinguiremos dos casos, segn que el lado se oponga a un ngulo agudo o a un ngulo obtuso.

    El ngulo opuesto es agudo

    Para hallar el valor de a2 aplicaremos el teorema de Pitgoras en los dos tringulos rectngulos que forman la altura h.

    El ngulo opuesto es obtuso

    Igualmente, aplicaremos el teorema de Pitgoras en los dos tringulos rectngulos que forman la altura h: los tringulos DBC y el DAC.

    Tringulo II:

    a2 = h2 + (c - m)2 = h2 + c2 + m2 - 2cm [1]

    Tringulo I:

    b2 = h2 + m2 h2 = b2 - m2 [2]

    Sustituyendo [2] en [1] se obtiene:

    a2 = b2 - m2 + c2 + m2 - 2cm

    Luego:

    cmcba 2222 -+=

    Tringulo DBC:

    a2 = h2 + (c + m)2 = h2 + c2 + m2 + 2cm [3]

    Tringulo DAC:

    b2 = h2 + m2 h2 = b2 - m2 [4]

    Sustituyendo [4] en [3] obtenemos:

    a2 = b2 - m2 + c2 + m2 + 2cm

    Por tanto:

    cmcba 2222 ++=

    Teorema de Pitgoras generalizado

    El cuadrado del lado opuesto

    a un ngulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre l.

    a un ngulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.

    a un ngulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados ms el doble producto de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre l.

    Ejemplo. Con los datos de la figura, cuyas medidas estn dadas en centmetros, halla la medida del lado BC.

    Aplicando el teorema de Pitgoras generalizado con a = BC, b = 66, c = 180 y m = 46, se tiene:

    a2 = b2 + c2 - 2cm = 662 + 18

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