unidad 3: lecciÓn 5 relaciones mÉtricas en la …
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CORPORACIOacuteN MUNICIPAL DE DESARROLLO SOCIAL DE CALAMA
LICEO MINERO AMEacuteRICA
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA
ASIGNATURA MATEMAacuteTICA
PROFESOR NELLY BEVILACQUA nbevilacqualiceob10cl (3deg B C D E F G H)
ROMINA NAVARRO rnavarroliceob10cl (3deg A)
P aacute g i n a 1 | 7
MATERIAL EDUCATIVO Ndeg2
UNIDAD 3 LECCIOacuteN 5
RELACIONES MEacuteTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
NOMBRE ALUMNO ___________________________________________________ CURSO 3deg MEDIO______
Unidad Ndeg 3
Nombre de la Unidad Relaciones Meacutetricas en la Circunferencia
Objetivo de Aprendizaje
Resolver problemas de geometriacutea euclidiana que involucran relaciones meacutetricas entre
aacutengulos arcos cuerdas y secantes en la circunferencia de forma manuscrita y con uso
de herramientas tecnoloacutegicas
Resolucioacuten de problemas con aacutengulos en la circunferencia
Indicadores de Evaluacioacuten
Aplican las propiedades de un triaacutengulo inscrito en una semicircunferencia
Aplican el teorema del aacutengulo del centro e inscrito
Retroalimentacioacuten y Consultas a traveacutes de Plataforma meet google
Profesora Nelly Bevilacqua nbevilacqualiceob10cl
Profesora Romina Navarro rnavarroliceob10cl
Material de apoyo audio visual (sugerencia)
Aacutengulo central e inscrito y semiinscrito
httpswwwyoutubecomwatchv=9RilHtvyyGY
httpswwwyoutubecomwatchv=bexKqt5Kj9Q
httpswwwyoutubecomwatchv=OFEYChcxtms
Aacutengulos interiores y exteriores en una circunferencia
httpswwwyoutubecomwatchv=t3YcPOiZuPI
httpswwwyoutubecomwatchv=p2ZKyp1q_Rk
Material de apoyo Libro de Matemaacutetica (sugerencia)
Paacuteginas (56 hasta la 67)
Viernes 15 se enviaraacute a plataforma respuestas a las
actividades propuestas con el objetivo de que se autoevaluacutee
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P aacute g i n a 2 | 7
AacuteNGULOS DEL CENTRO E INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
Objetivo Resolver problemas que involucren aacutengulos del centro e inscrito en una circunferencia
TEOREMAS DE AacuteNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
RECUERDA CONCEPTOS GEOMEacuteTRICOS
Arco Cualquiera de las
partes en que una cuerda
divide a una circunferencia
Cuerda Segmento que une dos
puntos de una circunferencia
Radio Segmento que
une al centro de la
circunferencia con
cualquier punto en ella
Diaacutemetro Segmento que
une dos puntos de la
circunferencia pasando
por el centro Mide el
doble del radio
Centro Punto desde el cuaacutel
equidistan todos los puntos
que forman la circunferencia
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EJEMPLOS
119916119951119957119952119951119940119942119956 119912 = 120788120790deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 119912 = 120784 ∙ 120786120784deg= 120790120786deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 ∡119961 = 120789120787deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 ∡119961 =120790120787deg
120784
= 120786120784 120787deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 119912 = 120783120784120790deg
∡119961 =120791120784
120784= 120786120788deg
∡119961 = 120783120790120782deg
119912 = 120783120790120782deg
119912 = 120783120790120782deg
∡119961 =120783120790120782
120784= 120791120782deg
AacuteNGULO DEL CENTRO Es aquel que tiene su veacutertice en el centro de la
circunferencia y cuyos lados son radios de esta La medida del arco 119860119861 es
igual a la medida del aacutengulo del centro 119860119874119861 Es decir
119898(lt 119860119874119861) = 119898 (119860)
AacuteNGULO INSCRITO Es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia y
cuyos lados son cuerdas de la misma La medida del aacutengulo inscrito 119860119862119861 es
la mitad del aacutengulo del centro 119860119874119861 Es decir
119898(lt 119860119862119861) = 119898(lt 119860119874119861)
2
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Ejemplo 1
∡120572 =88deg
2= 44deg
Ejemplo 2 ∡120573 = 2 ∙ 39deg = 78deg
Ejemplo 3
119912 = 120791120785deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 ∡120631 = 120791120785deg
119923119958119942119944119952 ∡120630 =120791120785deg
120784
= 120786120788 120787deg
Ejemplo 4
∡120631 = 120784 ∙ 120787120787deg = 120783120783120782deg
119912119941119942119950aacute119956 119940119952119950119952 119912 = ∡120631 119942119951119957119952119951119940119942119956 ∡120631 = 120783120783120782deg
ACTIVIDAD Calcula la medida de 120572 en cada caso
Las dos propiedades anteriores se relacionan de la siguiente forma
∡120630 =∡120631
120784
120784 ∙ ∡120630 = ∡120631
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ACTIVIDAD Resuelve los siguientes problemas
a) Si ∡119874119870119869 y ∡119869119867119874 miden 30deg iquestCuaacutel es la medida de ∡119870119874119867
b) Si 119875119876 es diaacutemetro y la medida angular de 119876 es 60deg iquestCuaacutel es la medida
de ∡119875119872119874
c) Si 119860 mide 50deg 119861119862 es diaacutemetro y 119862 es punto de tangencia a la
circunferencia iquestCuaacuteles son las medidas de 120572 119910 120573
AacuteNGULO SEMIINSCRITO Es aquel cuyo veacutertice pertenece a la
circunferencia Ademaacutes uno de sus lados es una cuerda y el otro es
tangente a la circunferencia
TEOREMA Si un aacutengulo del centro y un aacutengulo semiinscrito en una
circunferencia subtienden el mismo arco el aacutengulo del centro mide el
doble que el aacutengulo semiinscrito
∡119912119913119914 = ∡120630 = 120787120782deg Entonces ∡119912119926119913 = 120784∡120630 = 120784120787120782deg = 120783120782120782deg
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Ejemplo Si el arco (119914) = 120790120788deg y el arco (119915) = 120783120786120786deg iquestCuaacutento mide el
∡119860119875119863
Tenemos que ∡119861119875119863 =119950(119914)+119950(119915)
120784
∡119861119875119863 =86deg + 144deg
2
∡119861119875119863 =230deg
2= 115deg
Luego ∡119861119875119863 + ∡119860119875119863 = 180deg (Son aacutengulos suplementarios)
115deg + ∡119860119875119863 = 180deg(Despejar ecuacioacuten)
∡119860119875119863 = 180deg minus 115deg
∡119860119875119863 = 65deg
Actividad Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119860) = 80deg y 119898 (119862) = 40deg
b) Donde 119909 = 119898(∡119860119864119861) 119898 (119863) = 185deg 119898 (119861) = 73deg
AacuteNGULO INTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119863 y 119861119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo interior es igual a la semisuma de los
arcos que subtienden sus lados y la propagacioacuten de ellos
120630 =119950(119913) + 119950(119914)
120784
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Ejemplo Si 119898(119914) = 120790120782deg
Tenemos que ∡119860119875119862 =119950(119914)minus119950(119915)
120784 (Reemplazamos)
10deg =80degminus119898(119863)
2 (Transposicioacuten de teacuterminos)
10deg bull 2 = 80deg minus 119898(119863)
20deg minus 80deg = minus119898(119863)
minus60deg = minus119898(119863) (bull minus1)
60deg = 119898(119863)
ACTIVIDAD Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119861) = 100deg y 119898 (119863) = 60deg
b) 119898 (119863) = 10deg
c) 119898 (119863) = 30deg
d) La medida de ∡119870119867119872 es 30deg y la
medida angular de (119870) es 140deg
AacuteNGULO EXTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119861 y 119863119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo exterior es igual a la mitad de la
diferencia de los arcos que subtienden los lados del aacutengulo
120630 =119950(119915) minus 119950(119913)
120784
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AacuteNGULOS DEL CENTRO E INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
Objetivo Resolver problemas que involucren aacutengulos del centro e inscrito en una circunferencia
TEOREMAS DE AacuteNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
RECUERDA CONCEPTOS GEOMEacuteTRICOS
Arco Cualquiera de las
partes en que una cuerda
divide a una circunferencia
Cuerda Segmento que une dos
puntos de una circunferencia
Radio Segmento que
une al centro de la
circunferencia con
cualquier punto en ella
Diaacutemetro Segmento que
une dos puntos de la
circunferencia pasando
por el centro Mide el
doble del radio
Centro Punto desde el cuaacutel
equidistan todos los puntos
que forman la circunferencia
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EJEMPLOS
119916119951119957119952119951119940119942119956 119912 = 120788120790deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 119912 = 120784 ∙ 120786120784deg= 120790120786deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 ∡119961 = 120789120787deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 ∡119961 =120790120787deg
120784
= 120786120784 120787deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 119912 = 120783120784120790deg
∡119961 =120791120784
120784= 120786120788deg
∡119961 = 120783120790120782deg
119912 = 120783120790120782deg
119912 = 120783120790120782deg
∡119961 =120783120790120782
120784= 120791120782deg
AacuteNGULO DEL CENTRO Es aquel que tiene su veacutertice en el centro de la
circunferencia y cuyos lados son radios de esta La medida del arco 119860119861 es
igual a la medida del aacutengulo del centro 119860119874119861 Es decir
119898(lt 119860119874119861) = 119898 (119860)
AacuteNGULO INSCRITO Es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia y
cuyos lados son cuerdas de la misma La medida del aacutengulo inscrito 119860119862119861 es
la mitad del aacutengulo del centro 119860119874119861 Es decir
119898(lt 119860119862119861) = 119898(lt 119860119874119861)
2
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ROMINA NAVARRO rnavarroliceob10cl (3deg A)
P aacute g i n a 4 | 7
Ejemplo 1
∡120572 =88deg
2= 44deg
Ejemplo 2 ∡120573 = 2 ∙ 39deg = 78deg
Ejemplo 3
119912 = 120791120785deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 ∡120631 = 120791120785deg
119923119958119942119944119952 ∡120630 =120791120785deg
120784
= 120786120788 120787deg
Ejemplo 4
∡120631 = 120784 ∙ 120787120787deg = 120783120783120782deg
119912119941119942119950aacute119956 119940119952119950119952 119912 = ∡120631 119942119951119957119952119951119940119942119956 ∡120631 = 120783120783120782deg
ACTIVIDAD Calcula la medida de 120572 en cada caso
Las dos propiedades anteriores se relacionan de la siguiente forma
∡120630 =∡120631
120784
120784 ∙ ∡120630 = ∡120631
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ACTIVIDAD Resuelve los siguientes problemas
a) Si ∡119874119870119869 y ∡119869119867119874 miden 30deg iquestCuaacutel es la medida de ∡119870119874119867
b) Si 119875119876 es diaacutemetro y la medida angular de 119876 es 60deg iquestCuaacutel es la medida
de ∡119875119872119874
c) Si 119860 mide 50deg 119861119862 es diaacutemetro y 119862 es punto de tangencia a la
circunferencia iquestCuaacuteles son las medidas de 120572 119910 120573
AacuteNGULO SEMIINSCRITO Es aquel cuyo veacutertice pertenece a la
circunferencia Ademaacutes uno de sus lados es una cuerda y el otro es
tangente a la circunferencia
TEOREMA Si un aacutengulo del centro y un aacutengulo semiinscrito en una
circunferencia subtienden el mismo arco el aacutengulo del centro mide el
doble que el aacutengulo semiinscrito
∡119912119913119914 = ∡120630 = 120787120782deg Entonces ∡119912119926119913 = 120784∡120630 = 120784120787120782deg = 120783120782120782deg
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Ejemplo Si el arco (119914) = 120790120788deg y el arco (119915) = 120783120786120786deg iquestCuaacutento mide el
∡119860119875119863
Tenemos que ∡119861119875119863 =119950(119914)+119950(119915)
120784
∡119861119875119863 =86deg + 144deg
2
∡119861119875119863 =230deg
2= 115deg
Luego ∡119861119875119863 + ∡119860119875119863 = 180deg (Son aacutengulos suplementarios)
115deg + ∡119860119875119863 = 180deg(Despejar ecuacioacuten)
∡119860119875119863 = 180deg minus 115deg
∡119860119875119863 = 65deg
Actividad Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119860) = 80deg y 119898 (119862) = 40deg
b) Donde 119909 = 119898(∡119860119864119861) 119898 (119863) = 185deg 119898 (119861) = 73deg
AacuteNGULO INTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119863 y 119861119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo interior es igual a la semisuma de los
arcos que subtienden sus lados y la propagacioacuten de ellos
120630 =119950(119913) + 119950(119914)
120784
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ROMINA NAVARRO rnavarroliceob10cl (3deg A)
P aacute g i n a 7 | 7
Ejemplo Si 119898(119914) = 120790120782deg
Tenemos que ∡119860119875119862 =119950(119914)minus119950(119915)
120784 (Reemplazamos)
10deg =80degminus119898(119863)
2 (Transposicioacuten de teacuterminos)
10deg bull 2 = 80deg minus 119898(119863)
20deg minus 80deg = minus119898(119863)
minus60deg = minus119898(119863) (bull minus1)
60deg = 119898(119863)
ACTIVIDAD Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119861) = 100deg y 119898 (119863) = 60deg
b) 119898 (119863) = 10deg
c) 119898 (119863) = 30deg
d) La medida de ∡119870119867119872 es 30deg y la
medida angular de (119870) es 140deg
AacuteNGULO EXTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119861 y 119863119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo exterior es igual a la mitad de la
diferencia de los arcos que subtienden los lados del aacutengulo
120630 =119950(119915) minus 119950(119913)
120784
CORPORACIOacuteN MUNICIPAL DE DESARROLLO SOCIAL DE CALAMA
LICEO MINERO AMEacuteRICA
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA
ASIGNATURA MATEMAacuteTICA
PROFESOR NELLY BEVILACQUA nbevilacqualiceob10cl (3deg B C D E F G H)
ROMINA NAVARRO rnavarroliceob10cl (3deg A)
P aacute g i n a 3 | 7
EJEMPLOS
119916119951119957119952119951119940119942119956 119912 = 120788120790deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 119912 = 120784 ∙ 120786120784deg= 120790120786deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 ∡119961 = 120789120787deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 ∡119961 =120790120787deg
120784
= 120786120784 120787deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 119912 = 120783120784120790deg
∡119961 =120791120784
120784= 120786120788deg
∡119961 = 120783120790120782deg
119912 = 120783120790120782deg
119912 = 120783120790120782deg
∡119961 =120783120790120782
120784= 120791120782deg
AacuteNGULO DEL CENTRO Es aquel que tiene su veacutertice en el centro de la
circunferencia y cuyos lados son radios de esta La medida del arco 119860119861 es
igual a la medida del aacutengulo del centro 119860119874119861 Es decir
119898(lt 119860119874119861) = 119898 (119860)
AacuteNGULO INSCRITO Es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia y
cuyos lados son cuerdas de la misma La medida del aacutengulo inscrito 119860119862119861 es
la mitad del aacutengulo del centro 119860119874119861 Es decir
119898(lt 119860119862119861) = 119898(lt 119860119874119861)
2
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PROFESOR NELLY BEVILACQUA nbevilacqualiceob10cl (3deg B C D E F G H)
ROMINA NAVARRO rnavarroliceob10cl (3deg A)
P aacute g i n a 4 | 7
Ejemplo 1
∡120572 =88deg
2= 44deg
Ejemplo 2 ∡120573 = 2 ∙ 39deg = 78deg
Ejemplo 3
119912 = 120791120785deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 ∡120631 = 120791120785deg
119923119958119942119944119952 ∡120630 =120791120785deg
120784
= 120786120788 120787deg
Ejemplo 4
∡120631 = 120784 ∙ 120787120787deg = 120783120783120782deg
119912119941119942119950aacute119956 119940119952119950119952 119912 = ∡120631 119942119951119957119952119951119940119942119956 ∡120631 = 120783120783120782deg
ACTIVIDAD Calcula la medida de 120572 en cada caso
Las dos propiedades anteriores se relacionan de la siguiente forma
∡120630 =∡120631
120784
120784 ∙ ∡120630 = ∡120631
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P aacute g i n a 5 | 7
ACTIVIDAD Resuelve los siguientes problemas
a) Si ∡119874119870119869 y ∡119869119867119874 miden 30deg iquestCuaacutel es la medida de ∡119870119874119867
b) Si 119875119876 es diaacutemetro y la medida angular de 119876 es 60deg iquestCuaacutel es la medida
de ∡119875119872119874
c) Si 119860 mide 50deg 119861119862 es diaacutemetro y 119862 es punto de tangencia a la
circunferencia iquestCuaacuteles son las medidas de 120572 119910 120573
AacuteNGULO SEMIINSCRITO Es aquel cuyo veacutertice pertenece a la
circunferencia Ademaacutes uno de sus lados es una cuerda y el otro es
tangente a la circunferencia
TEOREMA Si un aacutengulo del centro y un aacutengulo semiinscrito en una
circunferencia subtienden el mismo arco el aacutengulo del centro mide el
doble que el aacutengulo semiinscrito
∡119912119913119914 = ∡120630 = 120787120782deg Entonces ∡119912119926119913 = 120784∡120630 = 120784120787120782deg = 120783120782120782deg
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ROMINA NAVARRO rnavarroliceob10cl (3deg A)
P aacute g i n a 6 | 7
Ejemplo Si el arco (119914) = 120790120788deg y el arco (119915) = 120783120786120786deg iquestCuaacutento mide el
∡119860119875119863
Tenemos que ∡119861119875119863 =119950(119914)+119950(119915)
120784
∡119861119875119863 =86deg + 144deg
2
∡119861119875119863 =230deg
2= 115deg
Luego ∡119861119875119863 + ∡119860119875119863 = 180deg (Son aacutengulos suplementarios)
115deg + ∡119860119875119863 = 180deg(Despejar ecuacioacuten)
∡119860119875119863 = 180deg minus 115deg
∡119860119875119863 = 65deg
Actividad Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119860) = 80deg y 119898 (119862) = 40deg
b) Donde 119909 = 119898(∡119860119864119861) 119898 (119863) = 185deg 119898 (119861) = 73deg
AacuteNGULO INTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119863 y 119861119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo interior es igual a la semisuma de los
arcos que subtienden sus lados y la propagacioacuten de ellos
120630 =119950(119913) + 119950(119914)
120784
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ROMINA NAVARRO rnavarroliceob10cl (3deg A)
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Ejemplo Si 119898(119914) = 120790120782deg
Tenemos que ∡119860119875119862 =119950(119914)minus119950(119915)
120784 (Reemplazamos)
10deg =80degminus119898(119863)
2 (Transposicioacuten de teacuterminos)
10deg bull 2 = 80deg minus 119898(119863)
20deg minus 80deg = minus119898(119863)
minus60deg = minus119898(119863) (bull minus1)
60deg = 119898(119863)
ACTIVIDAD Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119861) = 100deg y 119898 (119863) = 60deg
b) 119898 (119863) = 10deg
c) 119898 (119863) = 30deg
d) La medida de ∡119870119867119872 es 30deg y la
medida angular de (119870) es 140deg
AacuteNGULO EXTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119861 y 119863119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo exterior es igual a la mitad de la
diferencia de los arcos que subtienden los lados del aacutengulo
120630 =119950(119915) minus 119950(119913)
120784
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Ejemplo 1
∡120572 =88deg
2= 44deg
Ejemplo 2 ∡120573 = 2 ∙ 39deg = 78deg
Ejemplo 3
119912 = 120791120785deg
119916119951119957119952119951119940119942119956 ∡120631 = 120791120785deg
119923119958119942119944119952 ∡120630 =120791120785deg
120784
= 120786120788 120787deg
Ejemplo 4
∡120631 = 120784 ∙ 120787120787deg = 120783120783120782deg
119912119941119942119950aacute119956 119940119952119950119952 119912 = ∡120631 119942119951119957119952119951119940119942119956 ∡120631 = 120783120783120782deg
ACTIVIDAD Calcula la medida de 120572 en cada caso
Las dos propiedades anteriores se relacionan de la siguiente forma
∡120630 =∡120631
120784
120784 ∙ ∡120630 = ∡120631
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ACTIVIDAD Resuelve los siguientes problemas
a) Si ∡119874119870119869 y ∡119869119867119874 miden 30deg iquestCuaacutel es la medida de ∡119870119874119867
b) Si 119875119876 es diaacutemetro y la medida angular de 119876 es 60deg iquestCuaacutel es la medida
de ∡119875119872119874
c) Si 119860 mide 50deg 119861119862 es diaacutemetro y 119862 es punto de tangencia a la
circunferencia iquestCuaacuteles son las medidas de 120572 119910 120573
AacuteNGULO SEMIINSCRITO Es aquel cuyo veacutertice pertenece a la
circunferencia Ademaacutes uno de sus lados es una cuerda y el otro es
tangente a la circunferencia
TEOREMA Si un aacutengulo del centro y un aacutengulo semiinscrito en una
circunferencia subtienden el mismo arco el aacutengulo del centro mide el
doble que el aacutengulo semiinscrito
∡119912119913119914 = ∡120630 = 120787120782deg Entonces ∡119912119926119913 = 120784∡120630 = 120784120787120782deg = 120783120782120782deg
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Ejemplo Si el arco (119914) = 120790120788deg y el arco (119915) = 120783120786120786deg iquestCuaacutento mide el
∡119860119875119863
Tenemos que ∡119861119875119863 =119950(119914)+119950(119915)
120784
∡119861119875119863 =86deg + 144deg
2
∡119861119875119863 =230deg
2= 115deg
Luego ∡119861119875119863 + ∡119860119875119863 = 180deg (Son aacutengulos suplementarios)
115deg + ∡119860119875119863 = 180deg(Despejar ecuacioacuten)
∡119860119875119863 = 180deg minus 115deg
∡119860119875119863 = 65deg
Actividad Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119860) = 80deg y 119898 (119862) = 40deg
b) Donde 119909 = 119898(∡119860119864119861) 119898 (119863) = 185deg 119898 (119861) = 73deg
AacuteNGULO INTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119863 y 119861119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo interior es igual a la semisuma de los
arcos que subtienden sus lados y la propagacioacuten de ellos
120630 =119950(119913) + 119950(119914)
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Ejemplo Si 119898(119914) = 120790120782deg
Tenemos que ∡119860119875119862 =119950(119914)minus119950(119915)
120784 (Reemplazamos)
10deg =80degminus119898(119863)
2 (Transposicioacuten de teacuterminos)
10deg bull 2 = 80deg minus 119898(119863)
20deg minus 80deg = minus119898(119863)
minus60deg = minus119898(119863) (bull minus1)
60deg = 119898(119863)
ACTIVIDAD Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119861) = 100deg y 119898 (119863) = 60deg
b) 119898 (119863) = 10deg
c) 119898 (119863) = 30deg
d) La medida de ∡119870119867119872 es 30deg y la
medida angular de (119870) es 140deg
AacuteNGULO EXTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119861 y 119863119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo exterior es igual a la mitad de la
diferencia de los arcos que subtienden los lados del aacutengulo
120630 =119950(119915) minus 119950(119913)
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ACTIVIDAD Resuelve los siguientes problemas
a) Si ∡119874119870119869 y ∡119869119867119874 miden 30deg iquestCuaacutel es la medida de ∡119870119874119867
b) Si 119875119876 es diaacutemetro y la medida angular de 119876 es 60deg iquestCuaacutel es la medida
de ∡119875119872119874
c) Si 119860 mide 50deg 119861119862 es diaacutemetro y 119862 es punto de tangencia a la
circunferencia iquestCuaacuteles son las medidas de 120572 119910 120573
AacuteNGULO SEMIINSCRITO Es aquel cuyo veacutertice pertenece a la
circunferencia Ademaacutes uno de sus lados es una cuerda y el otro es
tangente a la circunferencia
TEOREMA Si un aacutengulo del centro y un aacutengulo semiinscrito en una
circunferencia subtienden el mismo arco el aacutengulo del centro mide el
doble que el aacutengulo semiinscrito
∡119912119913119914 = ∡120630 = 120787120782deg Entonces ∡119912119926119913 = 120784∡120630 = 120784120787120782deg = 120783120782120782deg
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Ejemplo Si el arco (119914) = 120790120788deg y el arco (119915) = 120783120786120786deg iquestCuaacutento mide el
∡119860119875119863
Tenemos que ∡119861119875119863 =119950(119914)+119950(119915)
120784
∡119861119875119863 =86deg + 144deg
2
∡119861119875119863 =230deg
2= 115deg
Luego ∡119861119875119863 + ∡119860119875119863 = 180deg (Son aacutengulos suplementarios)
115deg + ∡119860119875119863 = 180deg(Despejar ecuacioacuten)
∡119860119875119863 = 180deg minus 115deg
∡119860119875119863 = 65deg
Actividad Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119860) = 80deg y 119898 (119862) = 40deg
b) Donde 119909 = 119898(∡119860119864119861) 119898 (119863) = 185deg 119898 (119861) = 73deg
AacuteNGULO INTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119863 y 119861119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo interior es igual a la semisuma de los
arcos que subtienden sus lados y la propagacioacuten de ellos
120630 =119950(119913) + 119950(119914)
120784
CORPORACIOacuteN MUNICIPAL DE DESARROLLO SOCIAL DE CALAMA
LICEO MINERO AMEacuteRICA
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA
ASIGNATURA MATEMAacuteTICA
PROFESOR NELLY BEVILACQUA nbevilacqualiceob10cl (3deg B C D E F G H)
ROMINA NAVARRO rnavarroliceob10cl (3deg A)
P aacute g i n a 7 | 7
Ejemplo Si 119898(119914) = 120790120782deg
Tenemos que ∡119860119875119862 =119950(119914)minus119950(119915)
120784 (Reemplazamos)
10deg =80degminus119898(119863)
2 (Transposicioacuten de teacuterminos)
10deg bull 2 = 80deg minus 119898(119863)
20deg minus 80deg = minus119898(119863)
minus60deg = minus119898(119863) (bull minus1)
60deg = 119898(119863)
ACTIVIDAD Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119861) = 100deg y 119898 (119863) = 60deg
b) 119898 (119863) = 10deg
c) 119898 (119863) = 30deg
d) La medida de ∡119870119867119872 es 30deg y la
medida angular de (119870) es 140deg
AacuteNGULO EXTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119861 y 119863119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo exterior es igual a la mitad de la
diferencia de los arcos que subtienden los lados del aacutengulo
120630 =119950(119915) minus 119950(119913)
120784
CORPORACIOacuteN MUNICIPAL DE DESARROLLO SOCIAL DE CALAMA
LICEO MINERO AMEacuteRICA
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PROFESOR NELLY BEVILACQUA nbevilacqualiceob10cl (3deg B C D E F G H)
ROMINA NAVARRO rnavarroliceob10cl (3deg A)
P aacute g i n a 6 | 7
Ejemplo Si el arco (119914) = 120790120788deg y el arco (119915) = 120783120786120786deg iquestCuaacutento mide el
∡119860119875119863
Tenemos que ∡119861119875119863 =119950(119914)+119950(119915)
120784
∡119861119875119863 =86deg + 144deg
2
∡119861119875119863 =230deg
2= 115deg
Luego ∡119861119875119863 + ∡119860119875119863 = 180deg (Son aacutengulos suplementarios)
115deg + ∡119860119875119863 = 180deg(Despejar ecuacioacuten)
∡119860119875119863 = 180deg minus 115deg
∡119860119875119863 = 65deg
Actividad Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119860) = 80deg y 119898 (119862) = 40deg
b) Donde 119909 = 119898(∡119860119864119861) 119898 (119863) = 185deg 119898 (119861) = 73deg
AacuteNGULO INTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119863 y 119861119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo interior es igual a la semisuma de los
arcos que subtienden sus lados y la propagacioacuten de ellos
120630 =119950(119913) + 119950(119914)
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Ejemplo Si 119898(119914) = 120790120782deg
Tenemos que ∡119860119875119862 =119950(119914)minus119950(119915)
120784 (Reemplazamos)
10deg =80degminus119898(119863)
2 (Transposicioacuten de teacuterminos)
10deg bull 2 = 80deg minus 119898(119863)
20deg minus 80deg = minus119898(119863)
minus60deg = minus119898(119863) (bull minus1)
60deg = 119898(119863)
ACTIVIDAD Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119861) = 100deg y 119898 (119863) = 60deg
b) 119898 (119863) = 10deg
c) 119898 (119863) = 30deg
d) La medida de ∡119870119867119872 es 30deg y la
medida angular de (119870) es 140deg
AacuteNGULO EXTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119861 y 119863119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo exterior es igual a la mitad de la
diferencia de los arcos que subtienden los lados del aacutengulo
120630 =119950(119915) minus 119950(119913)
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Ejemplo Si 119898(119914) = 120790120782deg
Tenemos que ∡119860119875119862 =119950(119914)minus119950(119915)
120784 (Reemplazamos)
10deg =80degminus119898(119863)
2 (Transposicioacuten de teacuterminos)
10deg bull 2 = 80deg minus 119898(119863)
20deg minus 80deg = minus119898(119863)
minus60deg = minus119898(119863) (bull minus1)
60deg = 119898(119863)
ACTIVIDAD Calcula el valor de 119909 en cada caso
a) 119898 (119861) = 100deg y 119898 (119863) = 60deg
b) 119898 (119863) = 10deg
c) 119898 (119863) = 30deg
d) La medida de ∡119870119867119872 es 30deg y la
medida angular de (119870) es 140deg
AacuteNGULO EXTERIOR Dada una circunferencia de centro O con 119860119861 y 119863119862
secantes que se intersecan en el punto 119864 se cumple lo siguiente
TEOREMA La medida de un aacutengulo exterior es igual a la mitad de la
diferencia de los arcos que subtienden los lados del aacutengulo
120630 =119950(119915) minus 119950(119913)
120784