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RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

1. RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

1.1. TEOREMA DE LAS CUERDAS.

Si en una circunferencia dos cuerdas se cortan, el producto de las longitudes de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados en la otra.

1.2. TEOREMA DE LAS SECANTES.

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de las longitudes de una secante entera por su parte exterior es igual producto de las longitudes de la otra secante entera por su parte exterior.

COROLARIO: En la figura ABCD es un cuadrilátero inscriptible, entonces se cumple: bc ad = . También, se cumple el recíproco de esta propiedad.

1.3. TEOREMA DE LA TANGENTE Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una secante y un tangente, la longitud de la tangente al cuadrado es igual al producto de las longitudes de la secante entera con su parte externa.

1.4. RECTAS ISOGONALES. Dos rectas que pasan por el vértice de un ángulo se dicen que son rectas conjugadas isogonales o simplemente isogonales con respecto a este ángulo, si los ángulos que forman dichas rectas con los lados del ángulo son congruentes. En símbolos si m∠AOM = m∠NOB , entonces OM

y ON

son rectas isogonales del ∠AOB .

1.5. TEOREMA DE LAS ISOGONALES.

En todo triángulo inscrito en una circunferencia, el producto de las longitudes de dos lados es igual al producto de longitudes de dos segmentos isogonales (trazados desde el vértice en común) del ángulo determinado por dichos lados. Una de tales isogonales es cuerda y la otra es ceviana interior.

A N

P

M

n

b

a

m

B

a b

n

m

B A

L

M P

d a

c

b

A D P

C

B

a

n

m

T

A

P

B

A M N B

O

y segmentos isogonales del ∠ABC ⇒ c.a = x.y

GEOMETRÍA

8 CIENCIAS

Si: y se cortan en P ⇒

Si: secantes ⇒

Si: tangente y secante ⇒

Si: ABCD inscriptible ⇒

c

x y

P Q

C

a

B

A

Geometría Teoría y ejercicios – Semana 8

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1.6. TEOREMA DEL PRODUCTO DE DOS LADOS. En todo triángulo inscrito en una circunferencia, el producto de las medidas de dos lados cualesquiera es igual al producto de las medidas del diámetro y la altura relativa al tercer lado.

2. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO

RECTÁNGULO. Son las relaciones que existen entre las longitudes de los lados, altura y proyecciones de un triángulo rectángulo

2.1. Proyección ortogonal de un punto sobre una recta: La proyección ortogonal de un punto “P” sobre una recta L, es el pie de la perpendicular ´ trazada desde P hasta L.

2.2. Proyección ortogonal de un segmento AB

sobre una recta L. La proyección ortogonal del segmento AB sobre la recta L es el segmento A´B´ cuyos extremos son las proyecciones ortogonales de los extremos A y B sobre L.

En la figura anterior, se muestran las proyecciones de un segmento AB sobre la recta L en las diferentes posiciones. Observación: Para hallar la proyección de un segmento sobre una

recta, basta con bajar las perpendiculares desde sus extremos hasta la recta.

2.3. Elementos de un triángulo Rectángulo.

a; c: son las longitudes de los catetos AB y BC c : es la longitud de la hipotenusa AC . h : es la altura relativa a la hipotenusa. m: es la longitud de la proyección del cateto AB

sobre la hipotenusa. n : es la longitud de la proyección del cateto BC

sobre la hipotenusa. Observación: Los triángulos AHB, BHC y ABC son semejantes. “b” es la suma de las proyecciones de los catetos

sobre la hipotenusa. La proyección de la hipotenusa sobre un cateto es

este mismo cateto. La proyección de un cateto sobre el otro cateto es

un punto que viene a ser el vértice del ángulo recto (B).

2.4. TEOREMA. En todo triángulo rectángulo al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa se verifican las siguientes relaciones métricas:

c h

R

a

C A

B

• “Q”: es la proyección ortogonal de P sobre L.

• : proyectante

P

Q L

A´

A

B

B´ A´

B

B´ A´ A

B

B´ A´

A B

A B

B´ A´ A

L

Si: R circunradio del ∆ABC ⇒

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1ra. R. M: Proyección de catetos. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella, esto es, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección. 2da. R. M: Altura relativa a la hipotenusa. La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa. COROLARIO:

3ra. R.M. Producto de catetos. El producto de catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura relativa. 4ta. R.M: Teorema de Pitágoras. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 5ta. R.M: Inversa de los catetos y de la altura. La suma de las inversas de los cuadrados de los catetos es igual a la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa.

EJERCICIOS DE CLASE 1. En la figura, AB = 4 cm, BC = 3 cm y CD = 1 cm.

Halle DE.

A) 13

cm B) 23

cm C) 43

cm D) 53

cm E) 34

cm

2. En la figura, O es centro de la circunferencia. Si OA = AB = BP = 2 m, halle OP. A) 2 3 m

B) 3 2 m

C) 3 3 m

D) 2 2 m

E) 3 m 3. En la figura, ED es diámetro, T y B son puntos de

tangencia. Si AE = 4 cm, EC = DP = 2 cm y CD = 8 cm, halle el valor numérico de AB2 + PT2.

A) 96

B) 76

C) 108

D) 102

E) 80

m n H B A

P

x

P

B

A

QO

A

DC

B

EG

F

A P

T

E DC

B

Si: diámetro y ⇒

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4. En la figura ABCD es un trapecio isósceles, B y C son puntos de tangencia. Si AB.BM =10 cm2. Halle numéricamente BC.AD. A) 8

B) 12

C) 16

D) 6

E) 10

5. En al figura, BH = DQ, AB = 6 m, BC = 12 m y

AD = 8 m. Halle CD. A) 5 m

B) 6 m

C) 7 m

D) 9m

E) 10 m 6. En la figura, BM = MC, AB = 4 m, AH = 5 m y

HC = 2 m. Halle BC. A) 21m B) 23 m C) 22 m D) 2 5 m E) 26 m

7. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la mediatriz MN del lado AC (M en AC y N en BC). Si BN = 4 m y NC = 8 m, halle la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. A) 4 m B) 6 m C) 5 m D) 6 3 m E) 2 m

8. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BH . Si AH – HC = 1 cm y BH = 42 cm, halle AC. A) 11 cm B) 12 cm C) 13 cm D) 14 cm E) 10 cm

9. En un triángulo rectángulo el producto de las longitudes de los catetos es numéricamente igual a 27. SI la razón de las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es 1/9, halle el perímetro del triángulo en cm. A) 21 B) 3(4+ 10 ) C) 4(3+ 10 ) D) 24 E) 20

10. En la figura, BC = 3DG, DE = 5 cm, m∠EDF = 37°

y m∠ BCD = m∠FDG. Halle BE. A) 37 m B) 23 m C) 35 m D) 34 m E) 39 m

11. En la figura, AH = PH, PC = 2BH = 12 m. Halle HQ.

A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 3 m

A

M

H C

B

A

M

D

CB

D

H CA

B

QA

GF

C

D

E

B

A H

QP

C

B

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12. En la figura, AC = 12 m, G es baricentro del triángulo ABC. Halle GC. A) 2 13 m B) 2 14 m C) 3 13 m D) 4 13 m E) 13 m

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN 1. En la figura, las circunferencias son concéntricas

y numéricamente AB.BD = 10. Halle numéricamente FH.HI

A) 8

B) 5

C) 7

D) 10

E) 12 2. En la figura, MC es diámetro. D es un punto de

tangencia y M es punto medio de AC . SI AB = 5 m y AC = 13 m, halle BD.

A) 5 2 m

B) 6 3 m

C) 6 2

D) 2 6 m

E) 3 2 m

3. En la figura, F es punto de tangencia. BP = 3AP = 6 m y AF = BQ. Halle numéricamente BE.EF. A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8 4. En la figura, Q es punto de tangencia. AQ = 8 m.

Si AOB es un cuadrante, halle OA. A) 5 2 m

B) 3 m

C) 4 m

D) 4 2 m

E) 3 2 m

5. En la figura, AT = 4 m, BC = 2 m y T es punto de tangencia. Halle TB. A) 1m

B) 2 m

C) 3 m

D) 2,5 m

E) 3,5 m 6. En la figura, 2BO = 5BE = 30 m, AB = 24 m,

3BC = 2CD y O es centro. Halle CD. A) 13,5 m

B) 12 m

C) 14 m

D) 11 m

E) 13 m

A

IHG

F

DC

B

A

QE

F

P

C

B

α α

A

B

C

D

M

A CD

G

B

30°

A

BO

P

Q

R

A

CT

E

D

B

A

D

O

C

EB

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7. En la figura, C es punto de tangencia y AB = 10 m. halle BC. A) 8 m

B) 14 m

C) 15 m

D) 12 m

E) 10 m 8. El lado AB de un rectángulo ABCD es congruente

al segmento que une los pies de las perpendiculares trazadas de B y D a la diagonal AC y mide 8 m. Halle BC. A) 8 3 m B) 10 3 m C) 7 3 m D) 6 3 m E) 9 3 m

9. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si

numéricamente 2 2 21 1 1 2+ + =

9AM QN DP y

AM.QN.DP = 72. Halle AD en cm. A) 6 cm

B) 7cm

C) 8 cm

D) 9 cm

E) 10 cm

10. En la figura, m∠BAN y m∠CDN son complementarios. BM = MC y AN = ND. Si numéricamente AB2 + CD2 = 12, halle MN en cm. A) 3 cm

B) 5 cm

C) 6 cm

D) 7 cm

E) 2 5 cm

11. En la altura BH de un triángulo rectángulo ABC se considera el punto M tal que m∠AME = 90° (E en AC ). Si numéricamente AH.EC = 27 y BM = MH, halle BH en metros. A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 6 2

12. Si por el punto medio de uno de los catetos de un

triángulo rectángulo se traza una perpendicular a la hipotenusa, ésta queda dividida en dos segmentos cuyas medidas son 5 m y 3 m; halle la medida del otro cateto. A) 5,2 m B) 5 m C) 4 m D) 3,6 m E) 4,5 m

13. En un triángulo rectángulo ABC, se ubica un punto

O en el lado AC , por el vértice C se traza una perpendicular CD a la prolongación de BO tal que OC sea bisectriz del ∠BCD. Si numéricamente AO.AC = 12cm2, halle AB. A) 2 m B) 3 m C) 6 m D) 8 m E) 4 m

14. En un triángulo rectángulo ABC se trazan la bisectriz interior AD del ángulo BAC y la altura BH cuya intersección es el punto O. Si numéricamente AD.OD = 50, halle OB.

A) 22 m B) 23 m C) 26 m D) 28 m E) 25 m

A

C

FD

E

B α

α

P R

C

PN

M

D

B

A

Q

C

N

M

D

B

A