apostila po - introducao a modelagem

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INTRODUO PESQUISA OPERACIONALModelagem matemtica, reviso de funes lineares e introduo programao linearProf. Dr. Vilmar Rodrigues Moreira

1 estabelecendo frmulas e restriesEm todos os problemas em que necessrio estabelecer frmulas para a resoluo, o primeiro passo identificar as variveis envolvidas para em seguida estabelecer as frmulas. As frmulas nada mais so que os relacionamentos das variveis com os objetivos do problema. Na maioria das vezes este relacionamento entre as variveis representa funes, ou simples relaes entre conjuntos.Geralmente, nos modelos matemticos, so impostas condies restritivas relacionadas s variveis de deciso. Uma restrio qualquer condio imposta pela realidade, como a demanda mnima e mxima de um produto, o espao fsico reservado para sua alocao, o tempo mximo que podemos dispensar a cada produto fabricado por uma mquina, etc. As restries tambm so expressas atravs de frmulas (funes) relacionadas s variveis de deciso do problema.1.1 Exerccios propostos

1. Estabelea uma frmula que fornea a soma S de um nmero, diferente de zero, com o seu inverso. Calcule o valor da soma para x = 3, x = e x = -2/5.2. Estabelea uma frmula que calcule o quadrado de um nmero mais o seu triplo.

3. A soma dos nmeros positivos x e y 10. Expresse a soma S do quadrado de x com o cubo de y, em funo de x.

4. Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes condies: uma taxa fixa de R$ 50,00 e mais R$ 0,30 por km rodado. Expresse o custo de locao em funo dos quilmetros rodados.5. Suponha que uma outra locadora B alugue, tambm, carro popular nas seguintes condies: uma taxa fixa de R$ 20,00 e R$ 0,35 por km rodado. Qual a locadora voc escolheria para alugar um carro?

6. Um arteso lucra R$ 3 por cada cinzeiro que vende e lucra R$ 8 por cada abajur. Qual o lucro obtido com a venda destes objetos?

7. Um operador cuida da manuteno de trs mquinas, A, B e C. Para cada assistncia prestada mquina A, gasta, em mdia, 10 min, para cada assistncia a B, em mdia 15 min e para cada assistncia a C, 18 min. Qual o tempo total de assistncias as mquinas, se cada uma delas requer nmeros diferentes de reparos, x, y e z?

8. Numa agncia bancria, existem 5 caixas, A, B, C, D e E. O tempo mdio de atendimento prestado por cada um deles a clientes do banco so, em minutos, 1,2; 1,8; 4,0; 1,0; 2,8. Qual a funo tempo trabalhado nesta agncia?9. Numa cidade, o imposto predial (IPTU) proporcional rea construda em m2. Sabe-se que a rea construda no pode ser menor que 30 m2, nem maior que 800 m2. Se tal imposto igual a 1,80 UFIR por m2, determine a funo IPTU em termos da rea construda em m2 e expresse as restries.10. Numa mercearia, o preo de venda de um refrigerante A igual a R$ 1,20, enquanto que o de outro refrigerante B igual a R$ 1,40. Pesquisas mostraram que as demandas mnimas para cada refrigerante so, por semana, em mdia de 30 refrigerantes A e 24 refrigerantes B. Sabe-se tambm que o refrigerador da mercearia comporta, no mximo, 60 unidades de refrigerantes. Expresse a receita total relativa venda dos refrigerantes e as restries do problema.11. Numa livraria, com os livros da rea jurdica se obtm um lucro mdio de R$ 30,00 / livro e tem-se uma demanda mensal de 400 unidades; com os livros da rea mdica um lucro mdio de R$ 48,00 / livro e uma demanda mensal de 300 unidades; e com os livros da rea gerencial tem-se R$ 25,00 / livro de lucro e uma demanda de 250 unidades. A livraria tem uma capacidade de armazenamento de no mximo 1100 livros. Expresse a funo lucro com a venda de livros destas trs reas e as restries de armazenamento e demanda.12. Uma transportadora cobra R$ 0,80 por quilmetro rodado para volumes de at 10 litros, cobra R$ 1,00 para volumes de 10 a 15 litros, R$ 1,15 para volumes de 15 a 20 litros e R$ 1,30 para volumes de 20 a 30 litros. Expresse a receita em funo dos nmeros de volumes de diferentes especificaes transportados numa viagem de 1 km. Alm disso, considere que o caminho tem a capacidade para acondicionar 100000 litros. Nesse caso, expresse tal restrio, considerando a capacidade mxima de cada volume.

13. Uma indstria de sabonetes fabrica 2 tipos de sabonetes, A e B. Com o tipo A, a indstria lucra R$ 0,10 por unidade e com o tipo B, lucra R$ 0,15 por unidade. A empresa gasta 2 segundos para fabricar o sabonete A e 3 segundos para a fabricao de B. O tempo disponvel para a fabricao de sabonetes de 2 horas. As demandas em dias anteriores orientaram o fabricante a limitar em 2400 unidades de sabonete A e limitar em 1800 unidades de sabonete B. Exprima o lucro da fbrica com os sabonetes A e B e as restries.1.2 Trabalhando com exclusividade e restries especiaisUma das restries mais complicadas nos problemas de P.L. a que expressa exclusividade. Exemplos:Uma restrio afirma: pode produzir 1800 unidades de X1 ou 2700 de X2, ou qualquer combinao dos dois, mantendo esta proporo no uso de recurso. Primeiro observe esta tal de proporo: (X1/1800) + (X2/2700) 1. Esta restrio pode, ento, ser rescrita sob a forma: 1,5 X1 + X2 2700.Uma restrio afirma: A proporo de X1 no total (X1 + X2) tem que ser de, pelo menos, 30%. Primeiro escreva: X1/(X1 + X2) 0,3, Esta restrio deve ser rescrita sem frao, como: 0,7 X1 - 0,3 X2 0 ou - 07 X1 + 0,3 X2 0.

O problema explicita: O recurso B1 se transforma em 30% de produto L, 50% de M, 10% de N e 10% de perdas; o recurso B2 se transforma em 40% de L, 30% de M, 25% de N e 5% de perdas. O erro mais comum escrever: B1 = 0,3L + 0,5M + 0,1N + 0,1perdas ; B2 = 0,4L + 0,3M + 0,25N + 0,05perdas. A forma correta de transcrever os dados do problema : L = 0,3B1 + 04B2 ; M = 0,5B1 + 0,3B2 ; N = 0,1B1 + 0,25B2

1.3 Exerccios propostos

1. Considerando o exerccio 9, com o material que o arteso dispe, d para se fazer somente 100 cinzeiros ou somente 40 abajures. Como o mesmo poder fazer os dois objetos, expresse tal restrio.

2. Considerando ainda o exerccio 9, no dia de trabalho, o arteso consegue fazer somente 120 cinzeiros ou somente 50 abajures. Como o mesmo poder fazer os dois objetos, expresse tal restrio.

3. Considerando o exerccio 14, o espao fsico da livraria permite acondicionar, em mdia, somente 1000 litros jurdicos; somente 800 livros mdicos ou somente 1200 livros gerenciais. Como a mesma pretender vender os livros das trs reas, qual a restrio matemtica a ser obedecida?

4. Um feirante vende mas, uvas e melancias, lucrando por quilograma, respectivamente, R$ 0,20, R$ 0,30 e R$ 0,40. Expresse a funo lucro. Sua barraquinha no entanto, daria para acomodar 50 quilos de ma, caso s vendesse tal fruta, 40 quilos de uvas se s vendesse uvas e 30 quilos de melancias caso comercializasse apenas esta fruta. Expresse matematicamente esta restrio.

1.4 exemplo prtico

Imagine que voc gerencia um minimercado horti-granjeiro do tipo sacolo e seu objetivo o de minimizar os custos de seus produtos, a fim de se tornar competitivo no mercado. Imagine tambm que voc venda apenas 3 tipos de produtos: tomates, cenouras e batatas. As estatsticas tm mostrado que o consumo semanal destes alimentos de 600 kg. Assim, voc deseja adquirir quantidades tais dos trs produtos que resultem em 600 kg. No entanto, cada produto tem um custo diferente:

tomates : R$ 0,30 / kg

cenouras : R$ 0,40 / kg

batatas : R$ 0,50 / kg

Vamos tambm considerar que o preo de venda do sacolo calculado com base no custo total mais 50%.

1. Considerando as condies acima, indique um plano de compras tal que o custo total seja o menor possvel. Calcule o preo que o sacolo cobrar por quilo.2. Obviamente, um sacolo que se preze no deveria negociar um nico produto, mas todos, conforme sua procura. Vamos colocar, ento, que a demanda mnima de cada um dos produtos seja:

tomates : mnimo de 100 kg

cenouras : mnimo de 130 kg

batatas : mnimo de 90 kg.

Refaa o plano de compras e calcule o custo total e o preo a ser cobrado.3. Podemos agora tornar o problema ainda mais complexo com a adio de uma nova restrio: O espao fsico. Sabemos que os legumes possuem tamanhos diferentes e exigem condies especiais de acomodao nas barracas. Assim, vamos agora supor que a quantidade mxima de cada um dos legumes acima, se fossem comprados com exclusividade, fossem: tomates : mximo de 500 kg

cenouras : mximo de 700 kg

batatas : mximo de 600 kg

Isto significa que se comprarmos 500 kg de tomates, os mesmos ocuparo todo o sacolo e no haveria espao para acomodar mais nada. Se comprarmos 250 kg de tomates, estes ocupariam a metade do sacolo e a outra metade poderia ser preenchida com 350 kg de cenouras; etc. Esta restrio que envolve quantidades a serem acomodadas com exclusividade pode ser escrita da seguinte forma:

Partindo da soluo do item 2), verificamos que o resultado encontrado no verifica a restrio acima. Como deve ser o novo plano de compras?2 representao grfica de funES LINEARES2.1 Funo constante

A funo constante toda aquela na forma y = f(x) = k, onde k um nmero qualquer. A representao grfica da funo constante uma reta.

2.1.1 Exerccios propostos

Representar graficamente as seguintes funes:

a) y = 3b) y = -2c) y = 0d) x = 5

2.2 Funo linear

A funo linear toda funo dada na forma y = f(x) = mx + n, onde m e n so nmeros quaisquer. A funo linear tambm conhecida como funo afim. A representao grfica da funo linear uma reta. Para esboar o grfico de uma funo linear basta determinar dois de seus pares ordenados, relacionados entre si pela funo, transport-los para o plano cartesiano na forma de pontos, e unir esses pontos.

Exemplo: Suponha uma funo y = x + 2. Esta funo linear e o valor de m 1 e o valor de n 2. Para esboar o grfico desta funo, vamos inicialmente atribuir dois valores possveis para x e calcular os valores y relacionados (resultados da substituio dos val