apostila po - introducao a modelagem

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INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL Modelagem matemática, revisão de funções lineares e introdução à programação linear PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ Centro de Ciências Sociais Aplicadas - CCSA Escola de Negócios PUCPR

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Page 1: Apostila PO - Introducao a Modelagem

INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL

Modelagem matemática, revisão de funções lineares e

introdução à programação linear

Prof. Dr. Vilmar Rodrigues Moreira

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ

Centro de Ciências Sociais Aplicadas - CCSA

Escola de Negócios PUCPR

Page 2: Apostila PO - Introducao a Modelagem

1 ESTABELECENDO FÓRMULAS E RESTRIÇÕES

Em todos os problemas em que é necessário estabelecer fórmulas para a

resolução, o primeiro passo é identificar as variáveis envolvidas para em seguida

estabelecer as fórmulas. As fórmulas nada mais são que os relacionamentos das

variáveis com os objetivos do problema. Na maioria das vezes este relacionamento entre

as variáveis representa funções, ou simples relações entre conjuntos.

Geralmente, nos modelos matemáticos, são impostas condições restritivas

relacionadas às variáveis de decisão. Uma restrição é qualquer condição imposta pela

realidade, como a demanda mínima e máxima de um produto, o espaço físico reservado

para sua alocação, o tempo máximo que podemos dispensar a cada produto fabricado

por uma máquina, etc. As restrições também são expressas através de fórmulas

(funções) relacionadas às variáveis de decisão do problema.

1.1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Estabeleça uma fórmula que forneça a soma S de um número, diferente de

zero, com o seu inverso. Calcule o valor da soma para x = 3, x = ½ e x = -2/5.

2. Estabeleça uma fórmula que calcule o quadrado de um número mais o seu

triplo.

3. A soma dos números positivos x e y é 10. Expresse a soma S do quadrado de

x com o cubo de y, em função de x.

4. Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes condições: uma taxa fixa

de R$ 50,00 e mais R$ 0,30 por km rodado. Expresse o custo de locação em função dos

quilômetros rodados.

5. Suponha que uma outra locadora B alugue, também, carro popular nas

seguintes condições: uma taxa fixa de R$ 20,00 e R$ 0,35 por km rodado. Qual a

locadora você escolheria para alugar um carro?

6. Um artesão lucra R$ 3 por cada cinzeiro que vende e lucra R$ 8 por cada

abajur. Qual o lucro obtido com a venda destes objetos?

7. Um operador cuida da manutenção de três máquinas, A, B e C. Para cada

assistência prestada à máquina A, gasta, em média, 10 min, para cada assistência a B,

em média 15 min e para cada assistência a C, 18 min. Qual o tempo total de assistências

as máquinas, se cada uma delas requer números diferentes de reparos, x, y e z?

2

Page 3: Apostila PO - Introducao a Modelagem

8. Numa agência bancária, existem 5 caixas, A, B, C, D e E. O tempo médio de

atendimento prestado por cada um deles a clientes do banco são, em minutos, 1,2; 1,8;

4,0; 1,0; 2,8. Qual a função tempo trabalhado nesta agência?

9. Numa cidade, o imposto predial (IPTU) é proporcional à área construída em

m2. Sabe-se que a área construída não pode ser menor que 30 m2, nem maior que 800

m2. Se tal imposto é igual a 1,80 UFIR por m2, determine a função IPTU em termos da

área construída em m2 e expresse as restrições.

10. Numa mercearia, o preço de venda de um refrigerante A é igual a R$ 1,20,

enquanto que o de outro refrigerante B é igual a R$ 1,40. Pesquisas mostraram que as

demandas mínimas para cada refrigerante são, por semana, em média de 30

refrigerantes A e 24 refrigerantes B. Sabe-se também que o refrigerador da mercearia

comporta, no máximo, 60 unidades de refrigerantes. Expresse a receita total relativa à

venda dos refrigerantes e as restrições do problema.

11. Numa livraria, com os livros da área jurídica se obtém um lucro médio de

R$ 30,00 / livro e tem-se uma demanda mensal de 400 unidades; com os livros da área

médica um lucro médio de R$ 48,00 / livro e uma demanda mensal de 300 unidades; e

com os livros da área gerencial tem-se R$ 25,00 / livro de lucro e uma demanda de 250

unidades. A livraria tem uma capacidade de armazenamento de no máximo 1100 livros.

Expresse a função lucro com a venda de livros destas três áreas e as restrições de

armazenamento e demanda.

12. Uma transportadora cobra R$ 0,80 por quilômetro rodado para volumes de

até 10 litros, cobra R$ 1,00 para volumes de 10 a 15 litros, R$ 1,15 para volumes de 15

a 20 litros e R$ 1,30 para volumes de 20 a 30 litros. Expresse a receita em função dos

números de volumes de diferentes especificações transportados numa viagem de 1 km.

Além disso, considere que o caminhão tem a capacidade para acondicionar 100000

litros. Nesse caso, expresse tal restrição, considerando a capacidade máxima de cada

volume.

13. Uma indústria de sabonetes fabrica 2 tipos de sabonetes, A e B. Com o tipo

A, a indústria lucra R$ 0,10 por unidade e com o tipo B, lucra R$ 0,15 por unidade. A

empresa gasta 2 segundos para fabricar o sabonete A e 3 segundos para a fabricação de

B. O tempo disponível para a fabricação de sabonetes é de 2 horas. As demandas em

dias anteriores orientaram o fabricante a limitar em 2400 unidades de sabonete A e

limitar em 1800 unidades de sabonete B. Exprima o lucro da fábrica com os sabonetes

A e B e as restrições.

3

Page 4: Apostila PO - Introducao a Modelagem

1.2 TRABALHANDO COM EXCLUSIVIDADE E RESTRIÇÕES ESPECIAIS

Uma das restrições mais complicadas nos problemas de P.L. é a que expressa

exclusividade. Exemplos:

Uma restrição afirma: “pode produzir 1800 unidades de X1 ou 2700 de X2, ou

qualquer combinação dos dois, mantendo esta proporção no uso de recurso”. Primeiro

observe esta tal de proporção: (X1/1800) + (X2/2700) ≤ 1. Esta restrição pode, então,

ser rescrita sob a forma: 1,5 X1 + X2 ≤ 2700.

Uma restrição afirma: “A proporção de X1 no total (X1 + X2) tem que ser de,

pelo menos, 30%”. Primeiro escreva: X1/(X1 + X2) ≥ 0,3, Esta restrição deve ser

rescrita sem fração, como: 0,7 X1 - 0,3 X2 ≥ 0 ou - 07 X1 + 0,3 X2 ≤ 0.

O problema explicita: ”O recurso B1 se transforma em 30% de produto L, 50%

de M, 10% de N e 10% de perdas; o recurso B2 se transforma em 40% de L, 30% de M,

25% de N e 5% de perdas”. O erro mais comum é escrever:

B1 = 0,3L + 0,5M + 0,1N + 0,1perdas ; B2 = 0,4L + 0,3M + 0,25N + 0,05perdas.

A forma correta de transcrever os dados do problema é:

L = 0,3B1 + 04B2 ; M = 0,5B1 + 0,3B2 ; N = 0,1B1 + 0,25B2

1.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Considerando o exercício 9, com o material que o artesão dispõe, dá para se

fazer somente 100 cinzeiros ou somente 40 abajures. Como o mesmo poderá fazer os

dois objetos, expresse tal restrição.

2. Considerando ainda o exercício 9, no dia de trabalho, o artesão consegue

fazer somente 120 cinzeiros ou somente 50 abajures. Como o mesmo poderá fazer os

dois objetos, expresse tal restrição.

3. Considerando o exercício 14, o espaço físico da livraria permite

acondicionar, em média, somente 1000 litros jurídicos; somente 800 livros médicos ou

somente 1200 livros gerenciais. Como a mesma pretenderá vender os livros das três

áreas, qual a restrição matemática a ser obedecida?

4. Um feirante vende maçãs, uvas e melancias, lucrando por quilograma,

respectivamente, R$ 0,20, R$ 0,30 e R$ 0,40. Expresse a função lucro. Sua barraquinha

no entanto, daria para acomodar 50 quilos de maçã, caso só vendesse tal fruta, 40 quilos

4

Page 5: Apostila PO - Introducao a Modelagem

de uvas se só vendesse uvas e 30 quilos de melancias caso comercializasse apenas esta

fruta. Expresse matematicamente esta restrição.

1.4 EXEMPLO PRÁTICO

Imagine que você gerencia um minimercado horti-granjeiro do tipo sacolão e

seu objetivo é o de minimizar os custos de seus produtos, a fim de se tornar competitivo

no mercado. Imagine também que você venda apenas 3 tipos de produtos: tomates,

cenouras e batatas. As estatísticas têm mostrado que o consumo semanal destes

alimentos é de 600 kg. Assim, você deseja adquirir quantidades tais dos três produtos

que resultem em 600 kg. No entanto, cada produto tem um custo diferente:

• tomates : R$ 0,30 / kg

• cenouras : R$ 0,40 / kg

• batatas : R$ 0,50 / kg

Vamos também considerar que o preço de venda do sacolão é calculado com

base no custo total mais 50%.

1. Considerando as condições acima, indique um plano de compras tal que o

custo total seja o menor possível. Calcule o preço que o sacolão cobrará por quilo.

2. Obviamente, um sacolão que se preze não deveria negociar um único

produto, mas todos, conforme sua procura. Vamos colocar, então, que a demanda

mínima de cada um dos produtos seja:

• tomates : mínimo de 100 kg

• cenouras : mínimo de 130 kg

• batatas : mínimo de 90 kg.

Refaça o plano de compras e calcule o custo total e o preço a ser cobrado.

3. Podemos agora tornar o problema ainda mais complexo com a adição de

uma nova restrição: O espaço físico. Sabemos que os legumes possuem tamanhos

diferentes e exigem condições especiais de acomodação nas barracas. Assim, vamos

agora supor que a quantidade máxima de cada um dos legumes acima, se fossem

comprados com exclusividade, fossem:

• tomates : máximo de 500 kg

• cenouras : máximo de 700 kg

• batatas : máximo de 600 kg

Isto significa que se comprarmos 500 kg de tomates, os mesmos ocuparão todo

o sacolão e não haveria espaço para acomodar mais nada. Se comprarmos 250 kg de

5

Page 6: Apostila PO - Introducao a Modelagem

tomates, estes ocupariam a metade do sacolão e a outra metade poderia ser preenchida

com 350 kg de cenouras; etc. Esta restrição que envolve quantidades a serem

acomodadas com exclusividade pode ser escrita da seguinte forma:

Partindo da solução do item 2), verificamos que o resultado encontrado não

verifica a restrição acima. Como deve ser o novo plano de compras?

2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES LINEARES

2.1 FUNÇÃO CONSTANTE

A função constante é toda aquela na forma y = f(x) = k, onde k é um número

qualquer. A representação gráfica da função constante é uma reta.

2.1.1 Exercícios propostos

Representar graficamente as seguintes funções:

a) y = 3 b) y = -2 c) y = 0 d) x = 5

2.2 FUNÇÃO LINEAR

A função linear é toda função dada na forma y = f(x) = mx + n, onde m e n são

números quaisquer. A função linear também é conhecida como função afim. A

representação gráfica da função linear é uma reta. Para esboçar o gráfico de uma função

linear basta determinar dois de seus pares ordenados, relacionados entre si pela função,

transportá-los para o plano cartesiano na forma de pontos, e unir esses pontos.

Exemplo: Suponha uma função y = x + 2. Esta função é linear e o valor de m é

1 e o valor de n é 2. Para esboçar o gráfico desta função, vamos inicialmente atribuir

dois valores possíveis para x e calcular os valores y relacionados (resultados da

substituição dos valores x na expressão da função), determinando assim dois pares

ordenados que pertencem à função. Observe que os valores a serem atribuídos a x

podem ser quaisquer, desde que pertençam ao domínio da função (como não foi

especificada nenhuma restrição quanto ao domínio de x, os valores a serem atribuídos a

x podem ser quaisquer números reais).

6

Page 7: Apostila PO - Introducao a Modelagem

x y = f(x) = x + 2 Par ordenado resultante (x, y)

-1 y = f(-1) = (-1) + 2 = 1 (-1, 1)

2 y = f(2) = 2 + 2 = 4 (2, 4)

Transportando os dois pares resultantes para o plano cartesiano, na forma de

pontos e unindo-os, determinamos a reta que representa o gráfico da função dada:

A forma padrão de uma função linear representa a equação de uma reta, onde o

elemento m é o coeficiente angular desta reta e n o coeficiente linear. Em termos

práticos, o coeficiente angular representa a inclinação da reta enquanto que o coeficiente

linear representa a coordenada y do ponto onde a reta cruza o eixo das ordenadas (eixo

dos valores y - vertical). Se o coeficiente angular m for positivo os valores de y crescem

à medida que x aumenta. Caso contrário, se coeficiente angular m for negativo, os

valores de y decrescem à medida que x aumenta.

m > 0 m = 0 m < 0

7

1

2

1 2 3 . . .

3

.

.

.

-3

-2

-1

-3 -2 -1. . .0

y

x

B

4

Page 8: Apostila PO - Introducao a Modelagem

2.2.1 Exercícios propostos

1. Representar graficamente as seguintes funções:

a) y = 2x + 1

b) y = -4x + 12 ; x [0, 3]

c) y = x

d) y = -2x + 3

e) y = 4 – x ; x (0, 4)

2. Duas locadoras de automóveis A e B alugam carros populares nas seguintes

condições:

A – uma taxa fixa de $ 25,00 mais $ 0,20 por km rodado

B – uma taxa fixa de $ 10,00 mais $ 0,35 por km rodado.

Expresse o custo de locação em A e em B em função dos quilômetros rodados.

Em que locadora é mais vantajosa a locação? Discuta graficamente.

3. Suponha que a quantidade q de um determinado produto, demandada

mensalmente pelos consumidores, dependa linearmente do preço unitário p. Sabe-se que

ao preço p = 10 são consumidas 3000 unidades e ao preço p = 15, 2000 unidades.

a) Expresse q em função de p.

b) Que quantidade será consumida ao preço p = 18?

c) Esboce o gráfico da função.

4. Suponha que o custo total de uma empresa, que produz um único produto,

cresça linearmente com a quantidade q produzida e que o custo fixo seja de $ 800,00.

Suponha, ainda, que o custo total para produzir 20 unidades seja de $ 3.200,00. Dê a

expressão do custo total em função da quantidade q produzida. Qual o custo variável?

Quantas unidades representam um custo de produção na ordem de $ 2.960,00?

5. Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de estacionamento é

$ 20,00. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for $

15,00, estacionarão 75 automóveis. Admitindo linear a curva de demanda, obtenha a

função.

6. Um pequeno fabricante verificou que o custo para produzir 1.000

espremedores de frutas em uma semana é de R$ 9.000,00 e, para produzir 1.500

espremedores de frutas em uma semana, R$ 12.000,00. Supondo que a dependência do

8

Page 9: Apostila PO - Introducao a Modelagem

custo em relação ao número de espremedores produzidos é linear, assinale o que for

CORRETO.

a) Se a produção semanal for nula, então o custo também será nulo.

b) A função custo é dada por C(x) = 6x + 3000, onde x representa a

quantidade produzida de espremedores.

c) O gráfico da função custo é dada por:

d) Dentro do limite de produção semanal, quanto maior for a produção

semanal, maior será o custo por peça produzida.

e) O custo fixo de produção é de R$ 2.000,00.

7. A conta d’água de uma cidade é calculada da seguinte forma:

Consumo até 10m3, o valor a pagar é de R$ 7,00;

Consumo acima de 10m3, acrescenta-se R$ 1,50 por m3 excedente a 10m3.

Representando a conta por y e o consumo d’água por x, tem-se que a sentença

que expressa uma conta com consumo acima de 10m3 é:

a) y = 7,00 + 1,50(x - 10)

b) y = 1,50x

c) y = 7,00 + 1,50x

d) y = 7,00x

e) y = 7,00 + 1,50(x + 10)

9

Page 10: Apostila PO - Introducao a Modelagem

3 REPRESENTAÇÃO DE SUBCONJUNTOS DO PLANO CARTESIANO

Utilizando-se o plano cartesiano, é possível definir subconjuntos de pontos

(pares ordenados) através de funções com igualdades e desigualdades.

Exemplos:

1. A = {(x, y) 2 / y = 4}

é o conjunto de todos os pares de números reais do tipo (x, 4)

2. A = {(x, y) 2 / x 2}

é o conjunto de todos os pares de números reais tal que a coordenada x 2

3. A = {(x, y) 2 / x 0, y 0}

4. A = {(x, y) 2 / 1 y 2}

10

y

x

4

y = 4

0

y

x0 2

y

x0

y

x0

y = 22

Page 11: Apostila PO - Introducao a Modelagem

5. B = {(x, y) 2 / x + y 2}

6. I = {(x, y) 2 / x 0, y 0, x + 2y 4, 4x + 3y 12}

A(x,y) é um ponto comum às retas 4x + 3y = 12 e x + 2y = 4. Neste caso é

possível achar as coordenadas deste ponto através da solução do sistema de

equações:

4x + 3y = 12

x + 2y = 4

3.1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Representar graficamente cada um dos subconjuntos de 2:

1. I = {(x, y) 2 / y 5}

2. I = {(x, y) 2 / y -2}

11

1 y = 1

y

x0

2

2

y

x0

4

3

2

4

A

x + 2y = 4

4x + 3y = 12

I

Page 12: Apostila PO - Introducao a Modelagem

3. I = {(x, y) 2 / y 0}

4. I = {(x, y) 2 / x 4}

5. I = {(x, y) 2 / x + y 10}

6. I = {(x, y) 2 / y x + 1}

7. I = {(x, y) 2 / x 0, y 0, x + y 1, x 4, y 5}

8. I = {(x, y) 2 / x 0, y 0, 2x + y 20, y 18, x 8}

9. I = {(x, y) 2 / x 0, y 0, -x + y 3, -x + y -3}

12

Page 13: Apostila PO - Introducao a Modelagem

4 PROGRAMAÇÃO LINEAR

Em diversas áreas do mundo real existe a escassez de um certo produto ou

matéria-prima por sua dificuldade de produção e/ou obtenção, entre outras razões. Esta

dificuldade gera problemas para empregar melhor estes recursos escassos de forma

eficiente e eficaz. Busca-se, portanto, maximizar ou minimizar uma quantidade (lucro,

custo, receita, número de produtos, entre outros), chamada de objetivo, que depende de

um ou mais recursos escassos. Estes processos de otimização de recursos são aplicados

a diversas áreas:

Determinação de mix de produtos

Escalonamento de produção

Roteamento e logística

Planejamento financeiro

Carteiras de investimento

Análise de projetos

Alocação de recursos de mídia

Designação de equipe

A área que estuda a otimização de recursos é denominada Programação

Matemática, a qual é uma sub-área de interesse dos estudos da Pesquisa Operacional –

área do conhecimento que fornece um conjunto de procedimentos voltados para tratar

problemas que envolvem escassez de recursos. Na Programação Matemática a

quantidade a ser maximizada ou minimizada é descrita como uma função matemática

dos recursos (variáveis de decisão) escassos. As relações entre as variáveis são

formalizadas através de restrições ao problema, expressas como equações e/ou

inequações matemáticas. A programação matemática, por ser uma área muito extensa, é

subdividida em áreas menores, dependendo do tipo das funções utilizadas nas funções

objetivo e restrições:

(i) Programação linear – programação matemática em que todas as funções-

objetivo e restrições são representadas por funções lineares.

(ii) Programação não-linear – programação matemática em que pelo menos

uma das funções-objetivo e/ou restrições são representadas por funções não-lineares.

Entre os diversos tipos de programação não-linear encontram-se alguns tipos

importantes, como a programação côncava, convexa e quadrática.

13

Page 14: Apostila PO - Introducao a Modelagem

O nosso objeto de estudo será os problemas passíveis de serem resolvidos via

Programação Linear, a técnica de Pesquisa Operacional mais utilizada e conhecida.

Diversos tipos de problemas em Administração, Contabilidade, Finanças, etc. podem ser

revolvidos via PL, tais como: decisões de investimento, fluxos de caixa, orçamentos de

capital, mix de produção, organização de transportes, políticas de estoques, etc. Como o

próprio nome indica, as relações matemáticas dos problemas de PL devem ser lineares.

Embora muitos dos problemas do mundo de negócios tenham um comportamento de

não-linearidade, é certo afirmar que muitos deles podem ser tratados com o emprego da

PL, com razoável nível de aproximação.

Observação: nos problemas de programação linear, as variáveis de decisão

podem assumir valores fracionados. Contudo, para considerável número de situações do

dia-a-dia das empresas, as variáveis devem restringir-se a soluções inteiras. Quando, por

exemplo, o gerente de compras da Empresa Freitas Ltda. decide efetuar a compra de

determinada quantidade de geladeiras, não é possível realizá-la de forma fracionada,

isto é, seu pedido deverá indicar um número inteiro de produtos para cada fornecedor.

Nessas situações, utiliza-se a técnica da Programação Inteira. Pode-se entender a

Programação Linear Inteira (PLI) como um modelo similar ao da PL, que requer a

definição de restrições e de uma função-objetivo, se diferenciado, de outra parte, por

exigir que uma ou todas as variáveis de decisão assumam um valor inteiro na solução

final.

4.1 BREVE HISTÓRICO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR

A programação linear foi desenvolvida conceitualmente após a Segunda

Guerra Mundial, pelo soviético Kolmogorov, com o objetivo de resolver problemas de

logística militares. A primeira aplicação de PL foi feita em 1945, por Stigler em um

problema referente à composição de uma mistura.

O grande marco na evolução dos estudos de PL, contudo, ocorreu em 1947,

como desenvolvimento pelo jovem matemático Dantzig do método que denominou

“método simplex”. Dantzig, matemático da força aérea e em contato com questões

relacionadas à logística, percebeu que problemas que envolviam limitação de recursos

podiam ser resolvidos por meio de uma sistemática de busca de solução ótima entre um

conjunto de possíveis soluções.

14

Page 15: Apostila PO - Introducao a Modelagem

O rápido avanço dos computadores fez com que a PL passasse a ser utilizada

como ferramenta de gestão empresarial. Tanto que o russo Kantorovich ganhou o

Prêmio Nobel em Economia pelo desenvolvimento de conceitos de planejamento ótimo.

Mais recentemente, em 1984, Karmakar desenvolveu um algoritmo que se tem

mostrado superior ao simplex para a resolução de problemas extremamente grandes.

Contudo, o método simplex continua sendo o mais utilizado nos dias de hoje, inclusive

como base lógica das planilhas eletrônicas.

4.2 OBJETIVOS DO ESTUDO

Nossa análise de problemas resolvíveis via PL objetivará as seguintes etapas:

1. A partir de um problema concreto obter a sua modelagem matemática – esta é a

parte mais difícil, pois exige habilidades em modelagem e raciocínio abstrato.

2. A partir do modelo gerado, obter a resposta graficamente ou por meio do

computador com o auxílio de uma planilha eletrônica ou softwares específicos.

3. Analisar as respostas obtidas. Este passo é conhecido como análise de sensibilidade

e visa aprimorar a qualidade do processo decisório segundo critérios racionais e de

otimização econômica. Envolve também uma melhor compreensão da natureza e da

estrutura do problema e a análise da solução ótima sendo afetada por modificações

no modelo original.

4.3 TERMINOLOGIA

Solução – qualquer especificação de valores (dentro do domínio da função

objetivo) para as variáveis de decisão, independente de se tratar de uma escolha

desejável ou permissível.

Solução viável – uma solução em que todas as restrições são satisfeitas

(nenhuma é violada)

Solução ótima – uma solução viável que tem o valor mais favorável da função

objetivo, isto é, maximiza ou minimiza o valor da função objetivo em toda a região

viável, podendo ser única ou múltiplos valores.

15

Page 16: Apostila PO - Introducao a Modelagem

4.4 SOLUÇÃO GRÁFICA

Vamos analisar o seguinte exemplo:

A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa deltas. Para a produção são

necessárias horas de duas linhas de montagem. A 1a linha tem 100 horas disponíveis

para fabricação dos produtos, enquanto que a 2a tem apenas 42 horas disponíveis. Cada

um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1 enquanto que na linha 2 o

pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado quer

comprar toda a produção e que o lucro de cada pára-quedas é de $ 60,00 e de cada asa-

delta é de $ 40,00, como programar a produção de tal forma que o lucro seja o máximo

possível?

No exemplo acima, encontramos um problema de programação de produção.

Para determinar qual a melhor programação é possível utilizar a resolução proposta pela

programação linear (neste caso a resolução gráfica através dos máximos e mínimos

condicionados).

Nosso objeto de estudos será o método gráfico que consiste em determinar o

valor máximo ou o valor mínimo de funções lineares de duas variáveis, ligadas entre si

por um conjunto de restrições lineares.

Para funções com mais de duas variáveis utiliza-se o método simplex.

Para a resolução gráfica de um problema de programação linear devemos

seguir os seguintes passos:

1. Determinar as variáveis de decisão

2. Determinar a função objetivo que será da seguinte forma:

Z = Ax + By onde A e B são números quaisquer e x e y são as

variáveis de decisão. Devemos então encontrar o valor máximo ou mínimo desta

função, que está condicionada a um conjunto de restrições.

3. Determinar as restrições que será um conjunto de funções na forma:

ax + by c ou ax + by c onde a, b e c são números reais.

4. Representar graficamente o subconjunto de 2 que atende às restrições.

5. Determinar as coordenadas dos vértices do subconjunto da resolução (área

factível) e determinar o valor da função objetivo em cada um destes vértices através do

uso de suas coordenadas.

16

Page 17: Apostila PO - Introducao a Modelagem

Tente resolver agora o problema apresentado no exemplo anterior.

4.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Calcular x e y através de programação linear:

a) Max z = 4x + 3y sujeito a:

x + 3y 7; 2x + 2y 8; x + y 3; y 2; x,y 0

R: x = 3; y = 0

b) Min z = 4x + 8y sujeito a:

3x + 2y 18; x + y 5; x 4; x,y 0

R: x = 4; y = 1

2. Determinar os valores máximo e mínimo da função z = 2x + 3y, sujeitos às

restrições: y + 2x 7 ; 3y – 2x 13 ; x + y 4 ; 2y + 5x 34 ; 2x – y 10 ;

x 0 ; y 0

R: Max = 29 e Min = 8.

3. Determinar o valor mínimo da função dada por z = 20x + 30y, sabendo-se

que

x + y 20 ; y 25 ; x 10 ; y 0 R: 400.

4. Uma fábrica de brinquedos pretende produzir dois tipos de aeromodelos. O

1º com corpo de madeira, uma hélice e um conjunto de rodas para pouso. O 2º com

corpo de aço, duas hélices e dois conjuntos de rodas. Sabe-se que a fábrica pode

produzir, por hora, 30 hélices, 20 conjuntos de rodas, 10 corpos de madeira e 6 corpos

de aço. Determinar a quantidade de cada um dos tipos de aeromodelo a ser produzido

por hora para se obter o lucro máximo, sabendo-se que o aeromodelo de madeira

proporciona lucro unitário de $ 2,00 e o de aço lucro de $ 5,00. R: 8 e 6.

5. Um agricultor está indeciso quanto a plantio de milho e feijão em sua

propriedade. A renda do milho é de $ 600,00 / ha e do feijão é de $ 400,00 / ha. Para

plantar o milho são necessárias 40 horas/homem/ha de mão-de-obra e 5 horas de

trator/ha. Para plantar o feijão são necessários 20 horas/homem/ha e 5 horas de

trator/ha. Sabendo-se que a área total da propriedade é de 120 ha e o produtor dispõe de

2000 horas/homem de mão-de-obra e 300 horas de trator, determinar as áreas (em ha)

de plantio do milho e do feijão, tal que a renda seja a máxima possível. R: 40 ha de

milho e 20 ha de feijão.

6. Uma empresa possui dois tipos de máquinas, M1 e M2. A máquina M1 pode

produzir diariamente 1000 arruelas do tipo 1, 2000 arruelas do tipo 2 e 1500 do tipo 3.

17

Page 18: Apostila PO - Introducao a Modelagem

A máquina M2 produz 5000 arruelas do tipo 1, 800 do tipo 2 e 1500 do tipo 3. O custo

operacional diário de M1 é de $ 200,00 e o de M2 é de $ 250,00. Deseja-se saber

quantos dias cada máquina deverá ser operada para produzir, com o menor custo

possível, pelo menos 40000 arruelas do tipo1, 24000 do tipo 2 e 30000 do tipo 3. R: 15

e 5.

7. Suponha que uma pequena fábrica faz dois produtos P1 e P2, vendendo toda

a produção a ser realizada. Cada produto necessita de um tempo de fabricação em cada

uma das três seções de trabalho A, B, C, tal como apresentado na tabela 1. A quantidade

fixa de horas por semana disponíveis em cada seção de trabalho é apresentada na tabela

2. Quantas unidades dos produtos P1 e P2 devem ser fabricadas de maneira a maximizar

o lucro da empresa, sabendo-se que o lucro unitário proporcionado pelo produto P1 é de

$2,00 e pelo produto P2 $3.00? R: 20 unidades de P1 e 50 unidades de P2.

Produto Tempo de fabricação (em horas)

Seção de trabalho A Seção de trabalho B Seção de trabalho C

P1 3 1,5 5

P2 3 3 3

Tabela 1 – necessidades de tempo de fabricação para produzir uma unidade de cada produto em cada seção de trabalho

Seção de trabalho Homens/hora

A 210

B 180

C 330

Tabela 2 – limites de capacidade de fabricação

8. As indústrias Barbieri fabricam os produtos 1 e 2. As empresas conseguem

vender todos os produtos. Cada produto passa por três departamentos e os tempos de

fabricação requeridos encontram-se na tabela 1.

Departamento A Departamento B Departamento C

Produto 1 2 1 4

Produto 2 2 2 2

Tabela 1 – necessidades de tempo de fabricação para produzir uma unidade de cada produto em cada departamento

18

Page 19: Apostila PO - Introducao a Modelagem

Cada departamento, entretanto, tem uma capacidade fixa de homens-hora por mês,

como demonstrado na tabela 2:

Tabela 2 – disponibilidade da mão-de-obra por departamento

O lucro do produto 1 é de $ 1,00 por unidade e o do produto 2 é de $ 1,50 por unidade.

O problema consiste em determinar quanto fabricar de cada produto com o objetivo de

maximizar o lucro total. R: 40 unidades do produto 1 e 40 do produto 2.

Departamento Capacidade máxima em homens/hora

A 160

B 120

C 280

19

Page 20: Apostila PO - Introducao a Modelagem

4.6 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

No mundo dos negócios dificilmente são conhecidos com certeza todos os

custos ou recursos envolvidos em uma situação problema. A análise de sensibilidade

auxilia na determinação de faixas de valores que garantem uma dada solução ótima.

Esta análise pode ser entendida como sendo o “grau de manobra” que possuímos com

relação a uma solução ótima.

Considerando uma e apenas uma alteração por vez, a análise de sensibilidade

destina-se a analisar as seguintes questões:

Qual o efeito de uma mudança em um dos coeficientes da função objetivo?

– alteração na contribuição marginal, no custo unitário, na receita unitária,

etc. de uma das variáveis de decisão.

Qual o efeito de uma mudança em uma constante de uma restrição? –

normalmente a disponibilidade de um determinado recurso.

Qual o efeito de uma mudança em um dos coeficientes de uma restrição? –

normalmente o grau de utilização de um recurso por uma unidade da

variável de decisão.

Exemplo (Ragsdale, 2004, p. 143)

A empresa Cordilheira Azul Banheiras fabrica e vende dois tipos de banheiras

de hidromassagem: Aqua-Spa e Hydro-Lux. Howie Jones, proprietário e gerente,

precisa decidir quanto produzir de cada tipo no próximo ciclo de produção. A empresa

adquire os moldes pré-fabricados de fibra das banheiras de um fornecedor e monta as

banheiras adicionando a bomba e a tubulação. O fornecedor pode entregar quantas

banheiras forem necessárias. Howie instala o mesmo tipo de bomba em ambos os

modelos de banheiras. Ele dispõe de 200 bombas para o próximo ciclo de produção. A

única diferença entre os modelos é a quantidade de tubos utilizada e as horas requeridas

de trabalho na montagem. Cada Aqua-Spa requer 9 horas de trabalho na montagem e 12

pés de tubulação. Cada Hydro-Lux requer 6 horas de trabalho e 16 pés de tubulação.

Howie espera ter disponível 1566 horas de montagem e 2880 pés de tubulação

disponíveis durante o próximo ciclo de produção. A empresa lucra R$ 350,00 para cada

Aqua-Spa vendido e R$ 300 para cada Hydro-Lux. Howie está confiante que conseguirá

vender tudo o que produzir. Quantas unidades de Aqua-Spas e Hydro-Luxes a empresa

deverá produzir para maximizar seus lucro durante o próximo ciclo de produção?

20

Page 21: Apostila PO - Introducao a Modelagem

Solução:

(i) Variáveis de decisão

x1 – quantidade de Aqua-Spas

x2 – quantidade de Hydro-Luxes

(ii) Objetivo – maximizar o lucro

Max z = 350x1 + 300x2

(iii) Restrições

Bombas: x1 + x2 200

Tubulação: 12x1 + 16x2 2880

Horas de montagem: 9x1 + 6x2 1566

Solução gráfica:

A solução ótima ocorrerá no ponto (122, 78), ou seja, deverão ser fabricados

122 unidades do modelo Aqua-Spa e 78 unidades do modelo Hydro-Lux, gerando um

lucro de R$ 66100.

21

50

100

50 100 150

150

0

x2

x1

200

9x1 + 6x2 = 1566 (horas)

200 250

250x1 + x2 = 200 (bombas)

12x1 + 16x2 = 2880 (tubulação)

(0, 180) z = 54000

(80, 120)z = 64000

(122, 78) z = 66100

(174, 0)z = 60900

350x1 + 300x2 = 66100 (função-objetivo)

Page 22: Apostila PO - Introducao a Modelagem

Na solução ótima há folga apenas na utilização da tubulação disponível:

Aqua-Spas Hydro-Luxes

Qtde. a produzir 122 78 Lucro total

Lucro unitário 350 300 66100

Restrições Usado Disponível

Bombas 1 1 200 200

Horas de Montagem 9 6 1566 1566

Tubulação 12 16 2712 2880

4.6.1 Coeficientes da função-objetivo

Suponha que a empresa não possua total controle sobre os custos dos moldes

pré-fabricados das banheiras ou, então, que a empresa esteja pensando em trocar de

fornecedor e por conta disso o custo unitário de cada molde possa variar. Nesse caso, os

lucros unitários de R$ 350,00 e R$ 300,00 poderiam sofrer alterações. Qual o espectro

possível das alterações sem que a solução ótima (122, 78) seja alterada?

Solução:

A reta z = 350x1 + 300x2 está no espectro possível de variação limitado pelas

retas 9x1 + 6x2 = 1566 e x1 + x2 = 200. Passando pelo ponto (122, 78), e mantendo o

coeficiente linear, alterações no coeficiente angular da reta z geram alterações na

inclinação da reta.

z = 350x1 + 300x2

9x1 + 6x2 = 1566 x2 = 261 – 1,5x1 (I)

x1 + x2 = 200 x2 = 200 – x1 (II)

Considerando as possíveis mudanças nos coeficientes de x1 e x2, 350 e 300

respectivamente, da função objetivo, vamos denominar de C1 o coeficiente de x1 e C2 o

coeficiente de x2. Como a reta z está entre as retas (I) e (II), o coeficiente angular da reta

z está entre os coeficientes angular das retas:

22

Page 23: Apostila PO - Introducao a Modelagem

-1,5 -1

a) mantendo-se fixo o coeficiente C2 em 300 e variando C1:

-1,5 C1 450

–1 C1 300

Assim, 300 C1 450

b) mantendo-se fixo o coeficiente C1 em 350 e variando C2:

-1,5 C2 233

–1 C2 350

Assim, 233 C2 350

Logo, verificamos que os coeficientes de x1 e x2, que representam o lucro

unitário de cada modelo, podem variar de:

300 a 450 para o lucro unitário de cada Aqua-Spa e;

233 a 350 para o lucro unitário de cada Hydro-Lux.

Sem que a solução ótima seja alterada, ou seja, 122 unidades de Aqua-Spa e 78

de Hydro-Lux.

Vale lembrar que a alteração nos coeficientes da função-objetivo altera o valor

ótimo do problema, mas não a solução ótima.

4.6.2 Alteração nas constantes das restrições (RHS) e o preço-sombra

As restrições que efetivamente limitam a solução ótima possuem o conhecido

preço-sombra (shadow-price).

Para as restrições que não participam da solução ótima, o preço-sombra é nulo.

Na solução do nosso problema, as restrições limitantes da solução ótima são as

restrições de disponibilidade de bombas (x1 + x2 = 200) e de horas de montagem

(9x1 + 6x2 = 1566).

23

Page 24: Apostila PO - Introducao a Modelagem

a) qual seria o impacto no valor da função-objetivo se adicionarmos uma

unidade disponível de bombas?

A reta da restrição das bombas se deslocaria paralelamente para cima e a nova

solução ótima seria o ponto dado pelo cruzamento das retas:

O novo valor para o lucro (função-objetivo) seria z = 66300. A melhora seria:

z = 66300 – 66100 = 200.

Logo, uma unidade adicional de bombas disponíveis melhoraria a função

objetivo em R$ 200,00. Podemos considerar que este é o valor máximo que estaríamos

dispostos a pagar pela disponibilidade de uma unidade a mais deste recurso. O valor de

R$ 200,00 é o preço-sombra para o recurso bombas.

b) qual seria o impacto no valor da função-objetivo se dispormos de uma hora a

mais de horas de montagem?

A reta da restrição das horas de montagem se deslocaria paralelamente para

cima e a nova solução ótima seria o ponto dado pelo cruzamento das retas:

O novo valor para o lucro (função-objetivo) seria z = 66116,66. A melhora

seria:

z = 66116,66 – 66100 = 16,66.

Logo, uma unidade adicional de horas de montagem disponíveis melhoraria a

função objetivo em R$ 16,66. Podemos considerar que este é o valor máximo que

estaríamos dispostos a pagar pela disponibilidade de uma unidade a mais deste recurso.

O valor de R$ 16,66 é o preço-sombra para o recurso horas de montagem.

c) faixa de valores em que o preço-sombra permanece inalterado

Para as restrições que participam da solução ótima, o preço-sombra

permanecerá inalterado enquanto as retas forem restritivas, ou seja, enquanto não

houver sobra de recurso. Para as restrições que não participam da solução ótima, o

preço-sombra permanecerá igual a zero enquanto houver sobra do recurso. A análise

dos intervalos se dá através de alterações nos valores dos coeficientes lineares, que

representam a disponibilidade de cada recurso. Alterações nesses coeficientes

implicarão na obtenção de novas retas paralelas às originais.

24

Page 25: Apostila PO - Introducao a Modelagem

Para a restrição de bombas:

x1 + x2 = C

limite inferior: ponto (174, 0) 174 + 0 = 174

limite superior: ponto dado pelas retas

108 + 99 = 207

Logo o intervalo de variação da disponibilidade de bombas, representado pelo

seu coeficiente linear C, é:

174 C 207

Para esta faixa de valores da disponibilidade de bombas o preço-sombra de

R$ 200,00 não se altera.

Para a restrição de horas:

9x1 + 6x2 = C

limite inferior: ponto (80, 120) 9(80) + 6(120) = 1440

limite superior: ponto (200, 0) 9(200) + 6(0) = 1800

Logo o intervalo de variação da disponibilidade de horas, representado pelo seu

coeficiente linear C, é:

1440 C 1880

Para esta faixa de valores da disponibilidade de horas o preço-sombra de

R$ 16,66 não se altera.

Para a restrição de tubulação:

12x1 + 16x2 = C

limite inferior: ponto (122, 78) 12(122) + 16(78) = 2712

limite superior: não há

2712 C

Para esta faixa de valores da disponibilidade de tubulação o preço-sombra de

R$ 0 não se altera.

4.6.3 Aplicações e interpretações do preço-sombra – custo-reduzido

O preço-sombra representa os valores marginais dos recursos. Por conta disso,

o preço-sombra nos auxilia a avaliar várias questões gerenciais relevantes. Por exemplo:

25

Page 26: Apostila PO - Introducao a Modelagem

Suponha que a empresa Cordilheira Azul esteja considerando a possibilidade

de produção de um novo modelo: Typhoon-Lagoon. Cada unidade deste modelo requer

1 bomba, 8 horas de montagem e 13 pés de tubulação. Cada unidade deste novo modelo

gera um lucro marginal de R$ 320,00. A produção do novo modelo seria lucrativa para

empresa?

Análise:

A empresa possui limitações em seus recursos e por isso a produção de

qualquer quantidade do novo modelo consumirá recursos destinados aos outros modelos

Aqua-Spas e Hydro-Luxes. Os preços-sombra mostram que a redução de uma unidade

de bombas disponíveis gera uma redução de R$ 200,00 na função-objetivo. A redução

de uma hora disponível de montagem diminui R$ 16,67 na função-objetivo. Na

tubulação não há redução na função-objetivo, pois há sobra desse recurso.

Considerando a quantidade de recursos utilizados na produção do novo

modelo, e o decréscimo correspondente no valor da função-objetivo, temos:

consumo de bombas + consumo de horas + consumo de tubulação:

R$ 200,00(1) + R$ 16,67(8) + R$ 0(13) = R$ 333,33 redução no valor da F.O.

Como cada unidade gera um lucro marginal de apenas R$ 320,00, cada unidade

produzida do novo modelo reduziria o lucro (F.O.), alcançado anteriormente, em R$ -

13,33.

Este valor é conhecido como custo-reduzido (ou reduced-cost) e é apresentado

no relatório de sensibilidade do Excel após resolvido o modelo ajustado:

(i) Variáveis de decisão

x1 – quantidade de Aqua-Spas

x2 – quantidade de Hydro-Luxes

x3 – quantidade de Typhoon-Lagoon

(ii) Objetivo – maximizar o lucro

Max z = 350x1 + 300x2 + 320x3

(iii) Restrições

Bombas: x1 + x2 + x3 200

26

Page 27: Apostila PO - Introducao a Modelagem

Horas de montagem: 9x1 + 6x2 + 8x3 1566

Tubulação: 12x1 + 16x2 + 13x3 2880

Solução ótima encontrada pelo Excel: (122, 78, 0); z = 66100

O custo-reduzido de cada variável é igual à sua contribuição marginal à F.O.

menos o valor consumido de cada recurso:

Custo-reduzido para Aqua-Spa (x1) = 350 – 200(1) – 16,67(9) – 0(12) = 0

Custo-reduzido para Hydro-Lux (x2) = 300 – 200(1) – 16,67(6) – 0(16) = 0

Custo-reduzido para Typhoon-Lagoon (x3) = 320 – 200(1) – 16,67(8) – 0(13) = -13,33

Segundo Ragsdale (2004), na análise do custo-reduzido, quando se trata de

maximização, se o valor da variável:

tiver assumido o menor valor possível, significa que forçar uma unidade na

solução ótima, piora a F.O. e o valor do custo-reduzido 0.

tiver assumido o máximo possível, conseguir produzir mais melhora a F.O.

e o custo-reduzido 0.

estiver entre os limites inferior e superior, o valor do custo-reduzido será

zero.

4.6.4 Alterações nos coeficientes das restrições

Para verificar o impacto das alterações dos coeficientes das restrições, devemos

refazer o modelo e executá-lo novamente. Mas haverá utilidade analisar tais alterações

em conjunto com os preços-sombra e os custos-reduzidos.

Exemplo: para a produção do Typhoon-Lagoon, considerando a sua

contribuição marginal e os recursos consumidos, não é gerado lucro. Mas se as horas

necessárias para a montagem passarem de 8 para 7, o custo-reduzido seria:

R$ 320 – R$ 200(1) – R$ 16,67(7) – R$ 0(13) = R$ 3,31.

Ou seja, passaria a gerar lucro. Qual seria então a quantidade máxima de horas

que poderia ser utilizada para que ainda houvesse lucro?

R$ 320 – R$ 200(1) – R$ 16,67(h) – R$ 0(13) 0

h 7,2

27

Page 28: Apostila PO - Introducao a Modelagem

Logo, a produção do Typhoon-Lagoon seria economicamente viável se a

quantidade de horas de montagem requeridas não excedesse 7,2 horas.

Outras questões gerenciais podem ser respondidas através das relações

existentes entre o custo-reduzido, preços-sombra e condições de otimalidade.

4.6.5 Relatório de sensibilidade

Abaixo é apresentado o relatório de sensibilidade para o exemplo trabalhado. É

possível verificar que o Excel procede a maioria dos cálculos necessários para a análise

de sensibilidade.

Microsoft Excel 12.0 Relatório de sensibilidadePlanilha: [Banheiras.xlsx]Plan1Relatório criado: 27/07/2009 15:01:51

Células ajustáveis Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível

Célula Nome Valor Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo

$B$2 Qtde. a produzir Aqua-Spas 122 0 350 100 50$C$2 Qtde. a produzir Hydro-Luxes 78 0 300 50 66,66666667

Restrições Final Sombra Restrição Permissível Permissível

Célula Nome Valor Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo

$D$5 Bombas Usado 200 200 200 7 26$D$6 Horas de Montagem Usado 1566 16,66666667 1566 234 126$D$7 Tubulação Usado 2712 0 2880 1E+30 168

28

Page 29: Apostila PO - Introducao a Modelagem

4.6.6 Exercício proposto

Um agricultor está indeciso quanto a plantio de milho e feijão em sua

propriedade. A renda líquida do milho é de $ 600,00 / ha e do feijão é de $ 400,00 / ha.

Para plantar o milho são necessárias 40 horas/homem/ha de mão-de-obra e 5 horas de

trator/ha. Para plantar o feijão são necessários 20 horas/homem/ha e 5 horas de

trator/ha. A área total da propriedade é de 120 ha e o produtor dispõe de 2000

horas/homem de mão-de-obra e 300 horas de trator.

a) Determinar as áreas (em ha) de plantio do milho e do feijão, tal que a renda

líquida seja a máxima possível.

b) Quanto o produtor estaria disposto a pagar por uma hora adicional de mão-de-

obra, de trator e por um ha a mais de área? Por quê? (calcule os preços-sombra)

c) O produtor está considerando a possibilidade de plantar amendoim na mesma

área. A renda unitária por há é de R$ 450,00. São necessárias 30

horas/homem/ha e 5 horas/trator/ha para o plantio. É viável economicamente?

Por quê?

d) Qual o intervalo de variação possível para os lucros unitários sem que se altere a

solução ótima? (ver relatório de análise de sensibilidade do Excel)

e) Qual o intervalo de variação das disponibilidades de recursos tal que seja viável

investir? (ver relatório de análise de sensibilidade do Excel)

f) Se o agricultor decidir que devam ser plantados 20 ha de amendoim no mínimo

(por questões mercadológicas), qual será a alteração na solução e no relatório de

sensibilidade? (proceda a alteração no modelo incluindo uma nova variável

referente a ha a plantar de amendoim e crie uma nova restrição a respeito da área

mínima a plantar do amendoim)

29

Page 30: Apostila PO - Introducao a Modelagem

4.6.7 Exercícios complementares

1. A empresa Cordilheira Azul Banheiras fabrica e vende dois tipos de banheiras de hidromassagem: Aqua-Spa e Hydro-Lux. Howie Jones, proprietário e gerente, precisa decidir quanto produzir de cada tipo no próximo ciclo de produção. A empresa adquire os moldes pré-fabricados de fibra das banheiras de um fornecedor e monta as banheiras adicionando a bomba e a tubulação. O fornecedor pode entregar quantas banheiras forem necessárias. Howie instala o mesmo tipo de bomba em ambos os modelos de banheiras. Ele dispõe de 200 bombas para o próximo ciclo de produção. A única diferença entre os modelos é a quantidade de tubos utilizada e as horas requeridas de trabalho na montagem. Cada Aqua-Spa requer 9 horas de trabalho na montagem e 12 pés de tubulação. Cada Hydro-Lux requer 6 horas de trabalho e 16 pés de tubulação. Howie espera ter disponível 1566 horas de montagem 2880 pés de tubulação disponíveis durante o próximo ciclo de produção. A empresa lucra R$ 350,00 para cada Aqua-Spa vendido e R$ 300 para cada Hydro-Lux. Howie está confiante que conseguirá vender tudo o que produzir.

a) Determine a solução ótima pelo método gráfico. R: 122 Aqua-Spa e 78 Hydro-Lux.

b) Suponha que a empresa Cordilheira Azul esteja considerando a possibilidade de produção de um novo modelo de banheira: Typhoon-Lagoon. Cada unidade deste modelo requer 1 bomba, 7 horas de montagem e 13 pés de tubulação. Calcule os preços-sombra associados aos recursos e responda: Para que seja viável produzir essa nova banheira, quanto deveria ser, no mínimo, o seu lucro unitário? R: 316,69

30

Page 31: Apostila PO - Introducao a Modelagem

2. Uma empresa de artigos de couro fabrica dois tipos de produtos: malas e mochilas. As malas são vendidas com um lucro de $ 50,00 por unidade e o lucro por mochila é de $ 40,00. As quantidades de horas necessárias para confeccionar cada produto, assim como o número total de horas disponíveis em cada departamento, são apresentados no quadro abaixo:

Departamento Capacidade (horas)Horas necessárias para fabricação

Mala MochilaCorte 300 2 0Tingimento 540 0 3Costura 440 2 2Embalagem 300 1,2 1,5

A seguir é apresentada a representação gráfica das restrições do problema.

a) Quanto a empresa estaria disposta a pagar por uma hora adicional em cada setor? R: corte: 5 ; tingimento: 0 ; costura: 20 ; Embalagem: 0

b) A empresa está considerando a possibilidade de fabricar cintos também. Para a produção de um cinto são necessárias 1 hora de corte, 3 horas de tingimento, 1,5 horas de costura e 2 horas de embalagem. Qual deveria ser, no mínimo, o lucro de cada cinto para que sua produção fosse viável para a empresa?R: 35

31

50

100

50 100 150

150

0

x2

x1

200

2x1 + 2x2 = 440 (costura)

200 250

250

1,2x1 + 1,5x2 = 300 (embalagem)

A B

C

D

180

220

220

E

2x1 = 300 (corte)

3x2 = 540 (tingimento)

Page 32: Apostila PO - Introducao a Modelagem

3. A Whitt Window Co. é uma empresa com apenas três funcionários que fazem dois tipos diferentes de janelas feitas à mão: uma com esquadria de madeira e outra com esquadria de alumínio. Eles têm um lucro de R$ 60,00 por janela com esquadria de madeira e de R$ 30,00 para janela com esquadria de alumínio. João faz as de esquadria de madeira e é capaz de construir seis delas por dia. Maria faz as janelas com esquadrias de alumínio e é capaz de construir quatro delas por dia. Roberto monta e corta os vidros e é capaz de fazer 48 m²/dia. Cada janela com esquadria de madeira usa 6 m² de vidro e cada janela com esquadria de alumínio usa 8 m² de vidro. A empresa quer determinar quantas janelas de cada tipo de esquadria podem ser fabricadas diariamente para maximizar o lucro total.

A seguir são apresentadas as retas das restrições.

a) Baseado na representação gráfica das restrições, encontre a solução ótima e verifique quantas esquadrias João e Maria estão produzindo e quantos m² Roberto está fazendo de vidro (considerando a solução ótima). R: 6 ; 1,5 ; 48.

b) Quanto melhoraria o lucro se João conseguisse produzir mais uma esquadria de madeira, Maria mais uma esquadria de alumínio e Roberto mais um m² de vidro? R: 37,5 ; 0 ; 3,75.

c) Suponha que a empresa esteja considerando a possibilidade de produção de um novo modelo de janela de alumínio. Cada unidade deste novo modelo gera um lucro unitário de R$ 35,00, requer 10m² de vidro e, obviamente, uma esquadria de alumínio. Quanto deveria ser no mínimo o lucro unitário deste novo modelo de janela para que a sua produção seja viável? R: 37,5.

32

2

4

2 4 6

6

0X1

8

6x1 + 8x2 = 48

8

x1 = 6

x2 = 4

X2

Page 33: Apostila PO - Introducao a Modelagem

4. Uma empresa de móveis de cozinha fabrica três tipos de mesas de fórmica: quadrada, retangular e redonda. Cada mesa passa por dois processos: produção e acabamento. Os dados abaixo resumem o número de horas requerido por mesa em cada um dos processos juntamente com suas respectivas disponibilidades, e o lucro unitário de cada mesa. Também é apresentado o relatório de sensibilidade com a solução ótima.

HorasMesa Produção Acabamento Lucro/unidadeQuadrada 2 2 R$ 40,00Retangular 3 2 R$ 41,50Redonda 4 2 R$ 43,00Tempo máximo disponível 1000 600

Microsoft Excel 10.0 Relatório de sensibilidade

Células ajustáveis    Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível

Célula Nome Valor Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo

$B$2 Qtde a prod. Quadrada 100 0 40 3 0$C$2 Qtde a prod. Retangular 0 0 41,5 0 1E+30$D$2 Qtde a prod. Redonda 200 0 43 37 0

Restrições    Final Sombra Restrição Permissível Permissível

Célula Nome Valor Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo

$E$6 Produção 1000 1,5 1000 200 400$E$7 Acabamento 600 18,5 600 400 100

a) Se a empresa conseguisse reduzir seus custos e, com isso, melhorar o lucro da mesa quadrada em R$ 3,00, o que aconteceria com o lucro total (quanto alteraria)?

b) Suponha que seja necessário parar a Produção durante 30 horas por conta de um problema técnico. Qual seria o impacto no lucro gerado pela solução ótima do problema?

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Page 34: Apostila PO - Introducao a Modelagem

5. A empresa Serra Serrador fabrica três tipos de madeiras compensadas (placas de aglomerados). Os dados abaixo resumem a produção em horas por unidade em cada uma das três operações de produção, o tempo máximo disponível em cada operação e o lucro unitário de cada placa. Também é apresentado o relatório de sensibilidade com a solução ótima.

Operações em HorasAglomerado I II III Lucro/unidadePlaca A 2 2 4 R$ 40,00Placa B 3 2 2 R$ 30,00Placa C 10 1 2 R$ 35,00Tempo máximo disponível 900 400 600

Microsoft Excel 10.0 Relatório de sensibilidadeCélulas ajustáveis

    Final Reduzido Objetivo Permissível PermissívelCélula Nome Valor Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo$B$3 Qtde. a produzir Placa A 77,78 0 40 17,14 12,35$C$3 Qtde. a produzir Placa B 100 0 30 11,67 6,67$D$3 Qtde. a produzir Placa C 44,44 0 35 30,00 15,00

Restrições    Final Sombra Restrição Permissível Permissível

Célula Nome Valor Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo$F$7 Operação I Usado 900 1,67 900 1400 400$F$8 Operação II Usado 400 6,67 400 200 100$F$9 Operação III Usado 600 5,83 600 200 164,71

a) Até quantas horas adicionais em cada operação seriam viáveis de serem adquiridas de forma a melhorar o lucro?

b) Suponha que seja necessário parar a linha de produção durante 10 horas por conta de um problema técnico na Operação III. Neste caso o lucro total gerado pela solução ótima seria alterado. Qual seria o novo valor do lucro total?

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6. Um agricultor está indeciso quanto a plantio de milho e feijão em sua propriedade. A renda líquida do milho é de $ 600,00/ha (hectare) e do feijão é de $ 400,00/ha. Para plantar o milho são necessárias 40 horas/homem/ha de mão-de-obra e 5 horas de trator/ha. Para plantar o feijão são necessários 20 horas/homem/ha e 5 horas de trator/ha. A área total da propriedade é de 120 ha e o produtor dispõe de 2000 horas/homem de mão-de-obra e 300 horas de trator. Abaixo são apresentados os resultados pós-otimização, gerados pelo Solver do Excel, para este problema, visando a maximização da receita.

Microsoft Excel 10.0 Relatório de sensibilidadeCélulas ajustáveis

Célula NomeFinalValor

ReduzidoCusto

ObjetivoCoeficiente

PermissívelAcréscimo

PermissívelDecréscimo

$B$2 Qtde (ha) a plantar Milho 40 0 600 200 200$C$2 Qtde (ha) a plantar Feijão 20 0 400 200 100

Restrições

Célula NomeFinalValor

SombraPreço

RestriçãoLateral R.H.S.

PermissívelAcréscimo

PermissívelDecréscimo

$D$6 Área Utilizado 60 0 120 1E+30 60$D$7 Horas m.o. Utilizado 2000 10 2000 400 800$D$8 Horas de trator Utilizado 300 40 300 200 50

a) Considerando a solução ótima apresentada no relatório de sensibilidade, qual a renda total que está sendo gerada?

b) Quantos hectares de área e quantas horas adicionais de mão-de-obra e de trator o agricultor poderia adquirir de forma a melhorar a solução ótima (renda máxima)?

c) Suponha que o trator apresente um defeito e pare de funcionar por 30 horas. Qual seria o impacto na renda apresentada pela solução ótima?

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Page 36: Apostila PO - Introducao a Modelagem

7. Uma pequena empresa produz pôsteres de bandas de Rock. Ela fabrica quatro tipos de pôsteres (A, B, C, D), que diferem em tamanho e nas cores utilizadas. Para produzir os pôsteres a empresa dispõe de uma máquina multifuncional, com disponibilidade de horas de operação limitadas, onde cada pôster é impresso, cortado e dobrado. Nesta máquina são disponíveis para impressão 15000 horas e para corte e dobragem 20000 horas. A empresa consegue um lucro líquido de R$ 1,00 para cada pôster A ou B produzidos e R$ 2,00 para cada pôster C ou D produzidos. Atualmente existe uma demanda de 1000 unidades para cada tipo de pôster. A solução do problema está representado abaixo pelo relatório de sensibilidade gerado pelo Excel.

Microsoft Excel 10.0 Relatório de sensibilidadeCélulas ajustáveis

    Final Reduzido Objetivo Permissível PermissívelCélula Nome Valor Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo$B$3 Poster A 1500 0 1 1 0,33$C$3 Poster B 1000 0 1 0,33 1E+30$D$3 Poster C 1000 0 2 0,33 1E+30$E$3 Poster D 2833,33 0 2 1 0,5Restrições

    Final Sombra Restrição Permissível PermissívelCélula Nome Valor Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo$F$7 Impressão 15000 0,5 15000 1000 3666,67$F$8 Corte 16500 0 20000 1E+30 3500$F$9 Dobragem 20000 0,17 20000 7000 1000$F$10 Demanda de A 1500 0 1000 500 1E+30$F$11 Demanda de B 1000 -0,33 1000 1750 1000$F$12 Demanda de C 1000 -0,33 1000 500 1000$F$13 Demanda de D 2833,33 0 1000 1833,33 1E+30

a) Para impressão, corte e dobragem, quantas horas adicionais seriam viáveis de serem adquiridas de forma a melhorar o lucro?

b) Suponha que reduzíssemos o limite mínimo de produção de 1000 em UM dos itens para 800. Qual pôster deveria ter sua produção diminuída e qual seria o lucro adicional da empresa?

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8. A Beta Inc. deve produzir no mínimo 1000 automóveis Beta. A empresa tem quatro fábricas. Devido a diferenças na mão-de-obra e avanços tecnológicos, as plantas diferem no custo de produção de cada carro. Elas também utilizam diferentes quantidades de matéria-prima e mão-de-obra, resumidas na tabela abaixo.

Fábrica Custo (R$ mil) Mão-de-obra (horas) Matéria-prima (toneladas)Rio 15 2 3São Paulo 10 3 4Vitória 9 4 5Uberaba 7 5 6

Um acordo trabalhista assinado requer que pelo menos 400 carros sejam produzidos na fábrica de Vitória. A empresa pode transferir seus funcionários livremente entre as fábricas sem nenhum ônus. O fornecedor pode entregar a matéria-prima em qualquer uma das cidades sem nenhum custo adicional. Existe uma disponibilidade de 3300 horas de mão-de-obra e 4000 toneladas de matéria-prima que podem ser alocadas entre as quatro fábricas. A empresa deseja definir quantos carros produzir em cada fábrica visando o menor custo. Abaixo é apresentado o relatório de sensibilidade com a solução ótima.

Microsoft Excel 12.0 Relatório de sensibilidade

Células ajustáveis

Final Reduzido Objetivo Permissível PermissívelCélul

a Nome Valor Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo

$B$2 Carros a produzir Rio 400 0 15 1E+30 3,5

$C$2 Carros a produzir São Paulo 200 0 10 2 1E+30

$D$2 Carros a produzir Vitória 400 0 9 1E+30 4

$E$2 Carros a produzir Uberaba 0 7 7 1E+30 7

Restrições

Final Sombra Restrição Permissível PermissívelCélul

a Nome Valor Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo

$F$6 Mão-de-obra LHS 3000 0 3300 1E+30 300

$F$7 Matéria-prima LHS 4000 -5 4000 300 200

$F$8 Total carros LHS 1000 30 1000 66,66666667 100

$F$9 Produção Vitória LHS 400 4 400 100 400

a) Quanto custaria produzir mais um veículo?

b) Qual seria a variação no custo total se o acordo trabalhista fosse de 200 carros a menos?

c) Como mudaria a solução ótima (quantidades) se custasse somente 13 mil para produzir na fábrica do Rio?

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