construccion del conocimiento matematico

Lasmatemáticas ylaeducaciónVo

l. 9

Núm

. 46

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200

9

Vol

. 9 N

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. 46

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009

Instituto Politécnico Nacional

José Enrique Villa RiveraDirector General

Efrén Parada AriasSecretario General

Yoloxóchitl Bustamante DíezSecretaria Académica

Luis Humberto Fabila CastilloSecretario de Investigación y Posgrado

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Luis Antonio Ríos CárdenasSecretario Técnico

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Jesús Ortiz GutiérrezSecretario Ejecutivo del Patronato de Obras e Instalaciones

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Luis Alberto Cortés OrtizAbogado General

"La Técnica al Servicio de la Patria"www.ipn.mx

CECSA

GRUPO EDITORIAL PATRIA

PAIDÓS PAIDÓS

Inmersa en una peculiar sociedad de vertigi-

nosos cambios que caracterizan el siglo XXI,

Innovación Educativa tiene el compromiso de

difundir los avances en innovación e investiga-

ción educativa, generar y compartir información,

conocimiento y experiencias con la comunidad

educativa nacional y latinoamericana. Pero,

además, como avanzar es la raíz y razón de

la evolución, está en permanente proceso de

mejora a fin de satisfacer las demandas de la

comunidad académica.

Por ello a partir de este año Innovación

Educativa pasa a ser monográfica en su versión

impresa. El primer número en este concepto

está dedicado a la problemática de la enseñan-

za y el aprendizaje de las matemáticas en los

diversos niveles educativos, tema que por su

extensión no se agota con este número.

Varios términos en el área educativa se refie-

ren a estudios, actividades docentes e investi-

gaciones en la línea de procesos pedagógicos

en matemáticas: en Europa se designan como

didáctica de la matemática, en América Latina

como educación matemática, y en México un

gran sector de docentes le denominan mate-

mática educativa.

Es claro que el lector no encontrará una

fórmula para la enseñanza y aprendizaje de

las matemáticas, ya que es una problemática

muy compleja en la que intervienen diversas

variables didácticas y en general educativas. De

hecho, no existe una receta para enseñar mate-

máticas en los diferentes niveles educativos,

pero sí se puede contar con lineamientos recto-

res que ayudan a la enseñanza efectiva y a un

mejor aprendizaje en los estudiantes; para ello,

cada docente deberá adaptarlos según el tipo

de alumnos que tenga, los objetivos que persiga

y la modalidad educativa en que trabaje.

Las matemáticas y la educación

1Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 • enero-marzo

2 Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 • enero-marzo

Directora

Coordinadora Editorial

Com

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Yoloxóchitl Bustamante Díez

Alicia Lepre Larrosa

Alfonso Ramírez Ortega, INDEPENDIENTE Alicia Vázquez Aprá, UNRC, ARGENTINA

Ana Ángela Chiesa, CIBA, ARGENTINA

Carlos Barroso Ramos, IPN

Claudia Marina Vicario Solórzano, IPN

Esperanza Gracia Expósito, UCM, ESPAÑA

Francisco J. Chávez Maciel, IPN

Hernando Roa Suárez, UPN, COLOMBIA

Jesús Sebastián, CSIC, ESPAÑA

Jorge Alejandro Fernández Pérez, BUAP

Juan Cristóbal Cobo Romaní, FLACSO, SEDE MÉXICO

Juan Silva Quiroz, UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, CHILE

Ma. Covadonga de la Iglesia Villasol, UCM, ESPAÑA

Miguel A. Santos Rego, USC, ESPAÑA

Noel Angulo Marcial, IPN

Patricia Camarena Gallardo, IPN

Patricio H. Daowz Ruiz, IPN

Tomás Miklos, INDEPENDIENTE

Antonio Rivera Figueroa, CINVESTAV

Carmen Trejo Cázares, IPN

Corina Schmelkes, INDEPENDIENTE

Eduardo L. de la Garza Vizcaya, UAM

Ernesto A. Sánchez Sánchez, CINVESTAV

Federico Zayas Pérez, UNISON

Freddy Varona Domínguez, U. DE HOLGUÍN, CUBA

Hugo E. Sáez Arreceygor, UAM Juan Manuel Chabolla Romero, ITC, CELAYA

Lisbeth Baqueiro Cárdenas, INDEPENDIENTE

Lorenza Villa Lever, UNAM

Luis O. Aguilera García, U. DE HOLGUÍN, CUBA

Miguel A. Pasillas Valdez, UNAM

Raúl Derat Solís, UAT

Raúl Rojas Soriano, UNAM

Ricardo Martínez Brenes, UNESCO, COSTA RICA

Rosa M. García Méndez, UNILA

Silvia M. Soto Córdoba, ITCR, COSTA RICA Víctor M. Machuca Pereda, INDEPENDIENTE

Patricia Camarena Gallardo

Alma Alicia Benítez PérezElena Fabiola Ruiz LedesmaMartha Leticia García Rodríguez

Coordinadora del tema

Participantes especiales

Diseño de estrategias de enseñanza para el concepto de variación en áreas de ingeniería

Elena Fabiola Ruiz Ledesma

investigación

27

Estudio de la primera representación gráfica de ecuaciones algebraicas en contexto

Alma Alicia Benítez Pérez

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41

Innovación e investigación en educación matemática

Manuel Santos-Trigo

ensayo

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La matemática en el contextode las ciencias

Patricia Camarena Gallardo

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Innovación Educativa se publica por la Secretaría Académicadel Instituto Politécnico Nacional

Tiro: 6,000 ejemplaresDistribución gratuita

Innovación educativa tiene el propósito incluyente de difundir trabajos de investigación y de divulgación que abarquen

la realidad educativa del país y del Instituto Politécnico Nacional, estar a la vanguardia de los conocimientos científicos

y tecnológicos, y distinguirse como factor en la aplicación de nuevas formas de comunicación.

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El número 46 de la revista Innovación Educativa se terminó de imprimir en marzo 2009 en

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El uso de la modelación enla enseñanza de las matemáticas

María Trigueros Gaisman

75

On the fragility of an internet-based dialogue

Mario Sánchez Aguilar

65

Pedagogical scenario involving Aplusix educational software

Jana Trgalová

investigación

51

Formación docente a distancia en línea un modelo desde la matemática educativa

Gisela Montiel Espinosa

89

4 Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 • enero-marzo4 Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 • enero-marzo


ResumenEl aprendizaje o la construcción del conocimiento mate-mático es una tarea que se promueve dentro o como parte de un sistema global de educación. Aun cuando la caracterización del pensamiento matemático compren-de el desarrollo de algunas estrategias y recursos pro-pios de la disciplina, es relevante reconocer que el estudio de las matemáticas se relaciona con otros saberes como las ciencias naturales, sociales, las artes y la moral. Con este marco global se aborda, en términos generales, los significados asociados con innovación e investigación, en educación matemática, con la intención de identificar resultados que han influido en la práctica de instrucción matemática. En particular, el empleo de herramientas computacionales ofrece rutas importantes para discutir temas relacionados con la estructura y organización del currículo, las dinámicas de instrucción y la formación de los profesores.


* Licenciado en física y matemáticas por la Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM), del Instituto Politécnico Nacional (IPN), obtuvo su doctorado en educación matemática en la Universidad de British Columbia, Canadá y una estancia de posdoctorado en la Universidad de California, Berkeley, EUA. Ha sido profesor invitado en la Universidad de Quebec, Canadá; Universidad de California y Universidad de Purdue en EUA, así como en la Universidad de la Laguna, España, entre otras. Ha publicado innumerables artículos especializados en la materia y actualmente es investigador titular en el Departamento de Matemática Educativa en el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav-IPN), México. E-mail: [email protected]

Manuel Santos-Trigo*

Palabras claveEducación matemática, innovación, resolución de problemas y herramientas computacionales.

AbstractThe construction of students’ mathematical knowledge is developed within an educational system in which cer-tain values and social goals are promoted. Although the students’ construction of mathematical thinking invol-ves the development or construction of sets of strategies and mathematical resources, it is relevant to recognize that the study of the discipline is closely related to the study of other fields or domains including natural scien-ces, social sciences, the arts and ethic or moral disci-plines. In this context, I present general features of a possible global educational system and review research results from mathematics education that can be useful in mathematics instruction. In particular, I discuss and example to show that the use of computational tools can offer the instructors the opportunity to think of poten-tial instructional routes to foster their students’ mathe-matical learning. In this perspective, they also have the opportunity of addressing issues related to the curricu-lum structure and organization, class dynamics and the teachers’ education.

KeywordsMathematics education, innovation, problem solving and computational tools.

Innovation and research in mathematics education


Sistema de educación global

¿Cómo se define y estructura un sistema educativo en el ámbito nacional? ¿Qué educación matemática y de las ciencias debe promoverse en las instituciones educativas? ¿Qué tipos de conocimiento deben formar parte de la cul-tura general de quien termina los estudios preuniversita-rios? ¿Cuál es el papel de las matemáticas en la educación del individuo? ¿Qué tipo de problemas y actividades de instrucción promueve el aprendizaje de los estudiantes?

Estas son algunas preguntas relevantes de la agenda de investigación en el campo de la educación matemá-tica. Gardner (2000), sugiere que la educación, de todo individuo, debe girar alrededor de tres áreas o campos relacionados: la búsqueda de la verdad a través de los métodos que se han desarrollado en las distintas disci-plinas del estudio de las ciencias, la apreciación y valora-ción de la belleza por medio del estudio de las artes, y el conocimiento y entendimiento del campo de la moral que permite reconocer lo bueno y lo malo en la sociedad. En su propuesta Gardner ilustra esta visión de la educación a partir del desarrollo de la teoría de la evolución como área significativa en el estudio de las ciencias —nocio-nes relevantes incluyen las especies, la variación, la se-lección natural, la adaptación, entre otros. En el campo de la belleza introduce la obra de Mozart Las bodas de Fígaro, donde resalta el lenguaje artístico, la credibilidad de los caracteres, intrigas, emociones, poder, jerarquías sociales y evocaciones de toda una era —estudio del tra-bajo de los artistas o creadores de arte. Finalmente, en el campo de la moralidad aborda la necesidad de enten-der la secuencia de eventos conocidos como holocaus-to. Propone revisar y analizar los elementos históricos y morales de estos sucesos para que el individuo reflexio-ne sobre la maldad y la bondad en esta sociedad.

En esta dirección, las matemáticas se distinguen no solo como una herramienta que ayuda a entender y ana-lizar distintos fenómenos asociados con los tres campos —por ejemplo, el estudio de los modelos matemáticos de los procesos de evolución, los cambios en la pobla-ción o los programas que producen vida artificial— sino que constituyen un ejemplo en la búsqueda de relacio-nes, donde la justificación y la explicación son relevan-tes en la presentación de resultados.

De esta manera, es importante ubicar el estudio de las matemáticas desde una perspectiva multi y transdisci-plinaria, en el sentido de que las formas de pensar aso-ciadas con el pensamiento matemático pueden también ser de utilidad para abordar los problemas desde el con-texto de otras disciplinas del conocimiento o áreas de es-tudio. Por ejemplo, un problema sobre el crecimiento de la población de alguna especie se puede analizar a par-tir de los datos previos de crecimiento y el diseño de un modelo matemático que simule y cuantifique la variación. Este mismo problema también se estudia a partir de los métodos biológicos que dan cuenta del tipo de enferme-dades —causas y consecuencias— que inciden en la re-lación nacimientos y muertes; o desde las perspectivas

de las ciencias sociales al examinar el impacto del desa-rrollo de los medios de comunicación en la participación masiva de los individuos en los procesos de toma de de-cisiones. El reconocimiento de ubicar el estudio de las ma-temáticas en un entorno multi y transdisciplinario implica revisar el tipo de innovaciones necesarias que sustenten los principios para reestructurar aspectos relacionados con el currículo, las prácticas de instrucción y las formas de utilizar las diversas herramientas computacionales.


En general, el término innovación se emplea en el campo de la educación con la finalidad de identificar y comu-nicar cambios o acercamientos novedosos en el siste-ma educativo existente. Así se hablar de innovación en el currículo, en las prácticas de instrucción y en los pro-gramas de investigación. El argumento que con frecuen-cia se utiliza para mostrar una innovación se basa en que la propuesta innovadora ofrece una mejor alterna-tiva que las prácticas existentes. Desafortunadamente, cuando se anuncian innovaciones existe la tendencia de descalificar lo que existe y pocas veces se valora aquellos aspectos que pueden ser considerados como anteceden-tes que proporcionan cierta racionalidad a las acciones o proyectos innovadores. También es elemental recono-cer que los acelerados desarrollos tecnológicos muchas veces impulsan innovaciones con la intención de incorpo-rar los avances de la moda tecnológica, pero sin atender los ajustes que garanticen una transición planeada.

En este panorama, se formulan algunas preguntas que sirven de punto de partida para introducir innovaciones requeridas en la investigación y práctica de la instruc-ción. ¿Qué es lo que define la investigación en educación matemática? ¿Cómo se identifican los temas a investigar en la disciplina? ¿Qué resultados relevantes y aspectos de esta investigación orientan las prácticas de instruc-ción? La discusión de estas preguntas es fundamental para evaluar la relación de la investigación y la práctica o instrucción matemática.

Silver (1990), argumenta que la creencia de un am-plio sector de la sociedad en que algún día la investiga-ción identificará los objetivos importantes en la educación—y como consecuencia generará condiciones para alcan-zar tales metas— y propondrá respuestas inequívocas a las preguntas de los problemas educacionales, ha gene-rado expectativas no realistas de lo que se espera de la investigación en la educación matemática. Por ello, pro-pone cambiar esta creencia —de la existencia de un cura mágica o definitiva— por el reconocimiento de una rela-ción bi-direccional. La práctica educativa debe orientarse por ideas y constructos que emergen de la investigación y viceversa, los marcos de investigación deben considerar aspectos relacionados con los escenarios de instrucción. Es decir, los resultados de investigación producen trans-formaciones en la práctica y la misma práctica influye y retroalimenta la agenda de investigación de la disciplina.


De la misma manera Hiebert reconoce que tomar en cuenta los productos de investigación ayuda a tener in-formación confiable para elegir las mejores decisiones. Sin embargo, afirma que en cada campo la ciencia tiene sus límites. Para ilustrar las limitaciones de la investi-gación en educación plantea una analogía con la investiga-ción sobre la salud: Considere los requerimientos para una vida saludable. Profesionales en la materia proponen estándares para vivir de manera saludable —dieta, ejer-cicio, descanso. Pero la investigación médica no prue-ba que estos estándares son los mejores […] ¿Qué es mejor usar: mantequilla o margarina? ¿Se debe con-sumir exactamente siete raciones de frutas y vegeta-les todos los días o seis es suficiente? Estas preguntas simples no tienen respuestas simples. Hay demasiados factores que influyen en los resultados: la cantidad de ejercicio que hacemos, cuanto pesamos, nuestra gené-tica, nuestro metabolismo, etc. Sería imposible contro-lar todos estos factores para probar que una cierta dieta es la mejor (Hiebert, 1999, p. 5).

Este autor también indica que, en ambientes complejos como el salón de clase existe una relación especial entre la investigación, la elección, y el desarrollo de las actividades de aprendizaje. Las decisiones se basan en estimaciones probabilísticas, y los datos de la investigación nos ayudan a estimar la probabilidad de éxito. Entre más claros sean los resultados, se tiene más confianza de que estamos to-mando buenas decisiones (Hiebert, 1999, p. 5).

En esta realidad se identifican los elementos funda-mentales alrededor de una investigación y las contribu-ciones que pueden aportar a la práctica de la instrucción. Se inicia con una reflexión acerca de las formas de iden-tificar un problema de investigación y la importancia de seleccionar un conjunto de preguntas que la orienten.

Se sostiene que el proceso de definir un problema de investigación es similar a la actividad de planear esce-narios de instrucción donde los estudiantes tengan opor-tunidad de desarrollar sus ideas matemáticas. En ambas tareas resulta cardinal problematizar la actividad. En otras palabras, transformar las metas en dilemas o pre-guntas que deben atenderse en forma sistemática. Pos-teriormente, se identifican posibles contribuciones que aparecen en la práctica de la instrucción, considerando aspectos de la investigación relacionados con los marcos teóricos, algunos métodos de investigación incluyendo problemas que pueden ser útiles en la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes.

Aportaciones de la investigación en educación matemática

¿Cuáles son los aportes de la investigación de los pro-gramas de investigación en educación matemática en la organización del currículo y la instrucción?

Existen semejanzas entre los procesos de investigar y de seleccionar e implementar actividades de instrucciónque promuevan el desarrollo del conocimiento matemá-tico de los estudiantes. La tarea de realizar una inves-

tigación en educación matemática implica identificar un conjunto de preguntas que servirán de guía en el desarro-llo del estudio. La selección de las preguntas de investiga-ción se basa en un análisis detallado del tema, las metas y las condiciones de desarrollo de la investigación. De la misma manera, planear un escenario de instrucción inclu-ye reflexionar —plantear y discutir preguntas— acerca del tema en estudio —¿qué significa aprender el concepto de derivada?; ¿cuáles son los recursos y procesos fundamen-tales alrededor del concepto?; ¿qué tipo de problemas son importantes en la construcción del concepto?

Es decir, se examina el tema y se identifican trayecto-rias potenciales de aprendizaje que los estudiantes pue-den seguir durante la instrucción. La visión que aporta la revisión de la literatura en el proceso de desarrollar una investigación es similar a la forma de estructurar la instrucción a partir de la incorporación de los resultados de la investigación. Se reconoce que en la construcción del conocimiento matemático es fundamental que el es-tudiante aprenda a formular preguntas y a buscar distin-tos caminos para encontrar respuestas a esas preguntas. En esta perspectiva es fundamental construir escena-rios de aprendizaje donde el alumno tenga oportunidad de reflexionar acerca del uso de recursos y procesos del quehacer matemático a fin de extender y robustecer sus formas de plantear y resolver problemas.

Influencia de los marcos teóricos en la instrucción

Un marco teórico se define alrededor de los principios que rigen la estructura y desarrollo de la investigación. En la resolución de problemas, por ejemplo, es primor-dial analizar el proceso cognitivo y no solo los productos que muestra el estudiante durante sus experiencias de aprendizaje. Además, en esta perspectiva existen cons-tructos teóricos que ayudan a caracterizar el desarrollo del conocimiento matemático de los estudiantes en tér-minos de la visión de la disciplina (creencias), los recur-sos básicos que disponen y puedan acceder durante la comprensión de las ideas matemáticas y la resolución de problemas, las estrategias cognitivas relevantes en el proceso de solución y las de monitoreo, evaluación y autorregulación que guían la resolución de problemas.

Estos aspectos han influido no solamente en la forma de estructurar los escenarios de instrucción sino en la se-lección e implementación de actividades de aprendizaje que faciliten a los estudiantes revelar y atender el de-sarrollo de estos constructos. En particular, una instruc-ción basada en la resolución de problemas intenta crear un microcosmo del quehacer matemático en el salón de clases (Schoenfeld, 2008), que refleje los valores y prin-cipios de la disciplina. Términos como problemas no ruti-narios y comunidades de aprendizaje que promuevan los valores del quehacer de la materia son relevantes en una instrucción basada en la resolución de problemas.

En la instrucción matemática es común que converjan principios e ideas asociadas con varios marcos teóricos y no con un marco específico. La visión de la matemática


que se sustenta en un marco teórico también ha influi-do notablemente las actividades de aprendizaje que se promueven en el salón de clases. Esta dirección resalta que, aprender matemáticas va más allá de memorizar un conjunto de fórmulas o procedimientos para resolver un determinado tipo de problemas; aprender matemá-ticas implica desarrollar y apreciar los valores propios del quehacer de la disciplina. Esto incluye la tendencia a formular preguntas, representar relaciones, buscar con-jeturas, plantear argumentos, resolver problemas, co-municar resultados y plantear problemas. Esta visión de las matemáticas es consistente con la que se promueve en el documento de los estándares.

La propuesta refleja las sugerencias e influencias de muchas fuentes. La investigación en educación sirve como base para muchas de las propuestas y asevera-ciones que aparecen en el documento acerca de que es posible para los estudiantes aprender en ciertas áreas de contenido, en ciertos niveles y bajo ciertas condicio-nes pedagógicas (NCTM, 2000, p. xii).

Importancia de los métodos de investigación

Un efecto a destacar que emerge de la investigación en educación matemática es reconocer que los estudiantes participan activamente en la construcción de su propio conocimiento matemático. Asimismo, esta construcción se basa en los conocimientos y recursos que han apren-dido en las experiencias previas de aprendizaje. Muchos de los métodos utilizados en la investigación para pro-mover la reflexión y fomentar el aprendizaje incluyen el trabajo en grupos pequeños, participación en discusio-nes con toda la clase y en la resolución de problemas mediante entrevistas estructuradas.

Estos métodos de investigación han sido exportados a la instrucción matemática, por ello es común que los estudiantes discutan problemas con sus compañeros, ex-pongan ideas y, en algunos casos, participen en la re-solución de problemas en entrevista con el docente. La intervención —en grupos pequeños en clase y en las en-trevistas— es un medio eficaz para revelar ideas y co-nocer las de los compañeros, pero también como forma de refinar y extender las propias. Estos modos de es-tructurar las actividades de aprendizaje en el salón de clase han aportado información valiosa relacionada con la evaluación del aprovechamiento o competencias ma-temáticas de los estudiantes. Además, los mismos pro-blemas utilizados en los programas de investigación se convirtieron en significativos recursos para los profeso-res en la construcción del pensamiento matemático de sus alumnos.

Escenarios de instrucción

Como ya se mencionó, es relevante la construcción acti-va que tienen los educandos en su propio conocimiento matemático, en donde es fundamental crear escenarios flexibles para que sus ideas, recursos, estrategias y for-

mas de pensar se manifiesten libremente en beneficio de la clase.

En este sentido el profesor organiza y orienta el desa-rrollo de las actividades y promueve una comunidad de aprendizaje a fin de valorar la formulación de preguntas, la búsqueda de conjeturas, el uso de distintas represen-taciones y la comunicación de resultados. Por supuesto, no existe un formato único acerca de cómo estructurar las distintas actividades de aprendizaje. Cada maestro de acuerdo con su propia instrucción, selecciona, organiza e implementa series de actividades que promuevan la:

• Participación de los estudiantes en la discusión de tareas o problemas en pequeños grupos.

• Presentación de los acercamientos de los estudian-tes a los problemas a toda la clase o grupo.

• Retroalimentación y orientación por parte del pro-fesor para identificar las estrategias y métodos de solución y la necesidad de enseñar nuevos conte-nidos.

• Reflexión individual del estudiante con el objetivo de incorporar y refinar los distintos acercamientos vistos en el desarrollo de las actividades.

Currículo matemático

La National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), (2000), propone un marco con visión global de las mate-máticas que debe estudiarse en el nivel preuniversitario. El documento destaca cinco estándares de contenidos —números y operaciones; geometría y sentido espa-cial; patrones, relaciones y álgebra; medición; análisis de datos y probabilidad— y cinco estándares de proce-sos del pensamiento matemático —resolución de proble-mas; razonamiento y prueba; comunicación; conexiones; representaciones. La visión matemática que se promue-ve ha sido referencia de peso en propuestas curricula-res en países como Alemania, Estados Unidos, Portugal y México, entre otros.

La pertinencia y consistencia entre las metas, el es-píritu del documento —los estándares— y las propues-tas del currículo que emergen al incorporar los principios y la visión que se promueve es un tema trascendental que debe abordarse directamente entre educadores y profesores de matemáticas. Una reflexión inicial implica discutir los cambios que demanda la estructura y orga-nización de los contenidos en una propuesta, que a su vez refleje de manera clara los principios y visión mate-mática de los estándares. Es común encontrar propues-tas que introducen el uso del lenguaje de los estándares y mantienen la rigidez y estructura de los contenidos en forma tradicional; o se suman a propuestas tradiciona-les ciertos apartados que hacen referencia a los propó-sitos de los estándares.

Santos-Trigo (2007), reporta que varias propuestas curriculares explícitamente identifican a la resolución de problemas como una actividad central en el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes y el lenguaje


en la presentación distingue aspectos del quehacer mate-mático; sin embargo, no existe claridad en cuanto al sig-nificado de organizar un currículo bajo la perspectiva de la resolución de problemas. ¿Cuáles son los contenidos fundamentales de la educación preuniversitaria? ¿Cómo se estructuran en términos de actividades de resolución de problemas? ¿Cómo hacer visible la interdependen-cia entre los contenidos y los procesos de la práctica de la disciplina? Este tipo de preguntas han estado fuera de discusión en la agenda de la resolución de problemas y, como consecuencia, no existe consenso sobre lo que una propuesta curricular, que refleje la resolución de pro-blemas, debe incluir más allá de un discurso que señale fomentar las actividades propias de esta perspectiva.

El reconocimiento de que pueden existir varios cami-nos para organizar una propuesta del currículo que pro-mueva la resolución de problemas implica explicitar cómo los principios de esta perspectiva se distinguen en la or-ganización y estructura de los contenidos. Por ejemplo, si interesa que los estudiantes identifiquen, represen-ten, exploren y justifiquen diversas conjeturas asocia-das con la comprensión de los conceptos matemáticos, entonces resulta esencial que el currículo se organice al-rededor de los conceptos fundamentales que deben estu-diarse a profundidad en los distintos niveles educativos. Es decir, es imprescindible transformar las listas exten-sas de temas que aparecían en las propuestas tradicio-nales del currículo en un conjunto de temas relevantes, donde se muestre su desarrollo y las formas de conec-tarse en diversos dominios que antes se estudiaban de manera independiente como el álgebra, la geometría, la estadística, el cálculo y la probabilidad.

La resolución de problemas exitosa requiere del cono-cimiento del contenido matemático, del conocimiento de estrategias de resolución de problemas, de un auto-mo-nitoreo efectivo, y una disposición productiva a plantear y resolver problemas. La enseñanza de la resolución de problemas requiere aún más de los profesores, ya que deben ser capaces de promover tal conocimiento y acti-tudes en sus estudiantes. […] La enseñanza en sí misma es una actividad de resolución de problemas (NCTM, 2000, p. 341). En este contexto, la resolución de pro-blemas es una forma de interactuar y pensar acerca de las situaciones que demandan el empleo de recursos y estrategias matemáticas.

Uso de herramientas computacionales

El empleo de herramientas computacionales en la cons-trucción del conocimiento matemático de los estudiantes facilita la identificación e implementación de estrategias de resolución y potencia el repertorio de las heurísti-cas (Santos-Trigo, 2008). El uso de la tecnología influye directamente en la conceptualización y forma de inte-ractuar con los problemas, como corolario incide en el desarrollo de una teoría que explique las competen-cias de los estudiantes. Moreno-Armella y Santos-Trigo (2008), establecen que el uso de herramientas digitales

ha permitido la introducción y consideración de aspec-tos cognitivos matemáticos nuevos en el desarrollo de las competencias y ofrecen un potencial para repensar y estructurar nuevas agendas de investigación.

Conviene presentar un ejemplo donde se ilustre el po-tencial de una herramienta en el proceso de trabajar una tarea o problema inicialmente caracterizado como rutina-rio, pero que con un acercamiento inquisitivo por parte de los alumnos se transforma en oportunidades para identificar y explorar diversas relaciones matemáticas. En el desarrollo de la actividad (Santos-Trigo y Cristó-bal-Escalante, 2008 y Santos-Trigo, 2008), se identifi-can algunos acercamientos que mostraron estudiantes de bachillerato trabajando en una comunidad de apren-dizaje que promueve el uso de herramientas computa-cionales en actividades de resolución de problemas. En particular, en la solución de la actividad se destaca el uso de un software dinámico, Cabri-Geometry, en la repre-sentación de la situación y búsqueda de relaciones.

El problema del reparto

A dos estudiantes, Luis y Pablo, encargados de la siembra de hortalizas en el jardín de la escuela se les asigna un pedazo de tierra en forma de cuadrado y deci-den repartirse el terreno en dos partes de tal manera que a cada uno le corresponda la misma área (imagen 1).

Imagen 1Terreno escolar.

Fuente: Software Google Earth.

Las figuras 1 y 2 representan las dos formas que ini-cialmente se consideraron para dividir el terreno. Otro es-tudiante, Pedro, les sugiere seleccionar cualquier punto, sobre cualquier lado del cuadrado, y trazar una recta que pase por ese punto y el centro del cuadrado. Pedro les afirma que esta recta divide el cuadrado en dos re-giones que tienen la misma área (figura 3). ¿Es cierta la afirmación de Pedro? ¿Siempre funciona ese método de dividir el terreno? ¿Existe alguna relación entre el mé-todo original de Luis y Pablo con el procedimiento que propone Pedro?


Figura 1 M y M’ son puntos medios

de AB y DC.

Figura 2 AC es la diagonal de ABCD.

Figura 3M es el centro del cuadrado

y P y P’ están sobre el perímetro.

Fuente: Elaboración propia.

Durante el proceso de solución emergieron diversas maneras de dividir el cuadrado en dos regiones con la misma área. El uso de la herramienta Cabri-Geometry ayudó a examinar cada caso en forma visual numérica y a utilizar argumentos basados en propiedades geométricas (figuras 4 a 10).

Figura 4

Triángulos PMC y P’MA son congruentes por LAL. Como la diagonal divide al rectángulo en dos triángulos congruentes entonces los polígonos

AMPD y CMP’B tienen la misma área.

Figura 5

Argumento de los rectángulos.Los rectángulos AGPF, GBHP, HCEP, y FPED se dividen

en dos triángulos congruentes que permite afirmar que las áreas de las dos regiones son iguales.

Figura 6

Los rectángulos PQDR, PTCQ, PSBT y ASPR cada unose divide en dos triángulos congruentes. Por lo tanto,

el área del cuadrilátero RSTQ es la mitad del áreadel cuadrado ABCD.

Figura 7

Área de QRST es la mitad del área de ABCD.


Figura 8

El punto E’ es la intersección de la recta perpendicular a la recta EF que pasa por el punto I y

la recta EF; el punto C’ es la intersección de esa perpendicular con la recta BC, B’ es el punto de intersección de la recta BC y la perpendicular a

BC que pasa por el punto G; y el punto F’ es la intersección de esa perpendicular con la recta EF. Argumentaron que el área del rectángulo E’F’B’C’

correspondía al área del hexágono original.

Figura 9

Rotar una de las regiones (e.g. SBCDR) 180 grados alrededor del punto O (centro del hexágono), la

región SBCDR coincidía con la región REFAS.

Figura 10Cuando P se sitúa en el centro del cuadrado,

el cuadrilátero QRST alcanza el perímetro mínimo.


Se observa que, para el estudiante un problema/tarea representa la oportunidad de formular conjeturas o re-laciones, buscar distintos caminos de solución, estable-cer conexiones, generalizaciones, sustentar y comunicar resultados.

Formación y actualización de docentes

¿Qué formación tienen que recibir los futuros profesores de matemáticas? ¿Cómo mantener vigentes sus cono-cimientos pedagógicos y matemáticos? ¿Quiénes deben participar en los programas de formación y actualiza-ción? David y Simmt (2006), sugieren que los progra-mas de preparación de docentes deben enfocarse en la construcción de sus ideas matemáticas a fin de apreciar relaciones, interpretaciones, y el empleo de varios tipos

de argumentos para validar conjeturas y relaciones más que estudiar cursos formales de matemáticas.

El conocimiento matemático que se necesita para la enseñanza no es un versión diluida de las matemáticas formales; sino un área seria y demandante del traba-jo matemático (Davis y Simmt, 2006, p. 295). En este sentido se recomienda que el conocimiento pedagógico y matemático del docente debe ser abordado, revisado y extendido en una comunidad intelectual que promue-va un método inquisitivo o de reflexión. Los participantes en esa comunidad tienen que ser matemáticos, educa-dores matemáticos y los propios maestros, con la inten-ción de construir trayectorias potenciales de aprendizaje que orienten las prácticas de instrucción.

Es decir, los docentes requieren interactuar en una comunidad que les motive y proporcione un suporte co-


legiado donde puedan compartir y discutir ideas para en-riquecer sus conocimientos matemáticos y estrategias de resolución de problemas. Además, esta comunidad debe favorecer y analizar el uso sistemático de diversas he-rramientas computacionales y así identificar y evaluar los proyectos de innovación que surjan al llevar estos acer-camientos al salón de clase.

A manera de conclusión

Se considera ineludible que matemáticos, educadores y profesores trabajen en conjunto para el diseño de planes y programas que, en realidad, reflejen la esencia de lo que significa aprender la disciplina. En particular, lo que interesa es que los estudiantes desarrollen una forma de pensar y disposición hacia el estudio de las matemáticas, donde exhiban distintas formas de representar fenóme-nos, identifiquen relaciones y patrones, formulen conje-turas, justifiquen y comuniquen resultados.

La idea es ir más allá del empleo de exámenes es-tandarizados y promover formas de evaluación donde los estudiantes tengan oportunidad de mostrar distintos procesos de razonamiento, extender o buscar conexio-nes y eventualmente formular sus propios problemas o preguntas. En este sentido, es esencial proponer un cu-rrículo en términos de secuencias de problemas donde se reflejen los aspectos inherentes que transforman las asignaturas tradicionales en líneas de pensamiento nu-mérico, algebraico, geométrico y estadístico.

Además, los procesos de evaluación no deben sepa-rarse de las actividades de instrucción que se desarrollan en las clases, deben ser parte de las actividades cotidia-nas. El trabajo individual es solo un aspecto a incluir en la evaluación; el estudiante debe valorar y aceptar que parte de su aprendizaje es escuchar a los demás y ex-poner sus propias ideas a escrutinio en clase. El entendi-miento de las ideas matemáticas no es un proceso final sino dinámico que se robustece en función de responder y resolver series de cuestionamientos que emerjan den-tro y fuera de la propia comunidad de aprendizaje.

Un aspecto crucial en las agendas de resolución deproblemas es la interacción y discusión abierta entre los grupos de investigación sobre los aspectos comunes y principios que distinguen cada uno de los programas. Esto promovería la colaboración entre los distintos grupos y evitaría la repetición de estudios con agendas similares.

En la resolución de problemas se reconoce también que pueden existir caminos distintos para promover el desarrollo del pensamiento matemático de los estudian-tes; sin embargo, tanto los programas de investigación como las prácticas de instrucción coinciden en reconocer la relevancia de conceptualizar la disciplina en términos de dilemas o preguntas que los estudiantes tienen que responder y discutir en términos de recursos matemá-ticos (Santos-Trigo, 2008). En este proceso, ellos desa-rrollan un método inquisitivo que les permite reflexionar profundamente sobre las diversas maneras de represen-tar y explorar las ideas matemáticas.

Es decir, los estudiantes construyen, desarrollan, refi-nan o transforman sus formas de comprender y resolver problemas como resultado de formular preguntas rele-vantes y responderlas con el uso de distintos medios, incluyendo las herramientas computacionales. Los acer-camientos iniciales en la resolución de problemas pue-den ser incoherentes o limitados, pero éstos se refinan cuando los estudiantes presentan y discuten abierta-mente sus ideas en una comunidad de aprendizaje que valora y promueve el cuestionamiento matemático o mé-todo inquisitivo.

Existe evidencia de que algunas propuestas del cu-rrículo matemático a nivel preuniversitario sugieren or-ganizar y estructurar el contenido y las prácticas de instrucción a partir de actividades de resolución de pro-blemas; sin embargo, un asunto pendiente es discutir y reflexionar sobre los cambios y la forma de estructurar los contenidos bajo la perspectiva de la resolución de problemas. Asimismo, es relevante establecer una agen-da académica para la actualización de profesores en ser-vicio, así como la educación y formación de los nuevos profesores que resalte las actividades de aprendizaje que se deben promover en el salón de clase. Esta agen-da debe incluir formas de utilizar diversas herramien-tas computacionales en la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes (Santos-Trigo, 2007).

Se reconoce que diversas herramientas pueden ofre-cer distintas oportunidades al estudiantado para recons-truir conocimiento matemático, por ejemplo, el uso del software dinámico favorece la construcción de repre-sentaciones de los objetos matemáticos o del problema. Como consecuencia, algunas heurísticas como la medi-ción de atributos —longitudes, áreas, perímetros—, el arrastre de algunos elementos dentro de una configura-ción, la descripción de lugares geométricos, y el uso ade-cuado del sistema cartesiano se deducen importantes en la búsqueda de conjeturas o relaciones y formas de jus-tificarlas. La aplicación de distintas herramientas exige actualizar los marcos conceptuales que emergieron de estudios donde los alumnos interactuaban principalmen-te con problemas a partir del uso de lápiz y papel. Aquí interesa caracterizar las formas de razonamiento que los alumnos desarrollan cuando utilizan de manera sistemá-tica varias herramientas computacionales.

Finalmente, es urgente establecer comunicación y co-laboración académica con los distintos grupos que pro-mueven el desarrollo del conocimiento en programas de investigación, propuestas curriculares y la instrucción.

Recibido noviembre 2008Aceptado marzo 2009

Bibliografía

Davis, B., y E. Simmt, “Mathematics-for-teaching: an ongoing investigation of the mathematics that teachers (need) to know” en Educational Studies in

Mathematics, 61, Netherlands, 2006, Springer.

Gardner, H., The disciplined mind. Beyond facts and standarized tests, the K-12 education that every child deserves, New York, 2000, Penguin Books.

Hiebert, J., “Relationship between research and the NCTM standards”, Journal for Research in Mathematics Education, 30(1), 1999, pp. 3-19.

Moreno-Armella, L. y M. Santos-Trigo, “Democratic access and use of powerful mathematics in an emerging country” en L. English (ed.), Handbook of

International Research in Mathematics Education. Directions for the 21st Century, 2nd edn, New York, 2008, Routledge.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), Principles and standards for school mathematics, USA, 2000, Reston VA: The Council.

Santos-Trigo, M., “La resolución de problemas matemáticos: avances y perspectivas en la construcción de una agenda de investigación y práctica” en R.

Luengo, B. Gómez, M. Camacho y L. Blanco (eds.), Investigación en educación matemática XII, XII Simposio de la Sociedad Española de Investigación en

Educación Matemática, 2008, Badajoz, España.

Santos-Trigo, M., y C. Cristóbal-Escalante, “Emerging high school students’ problem solving trajectories based on the use of dynamic software”, Journal of

Computers in Mathematics and Science Teaching, 27(3), 2008, pp. 325-340.

Santos-Trigo, M., “Mathematical problem solving: an evolving research and practice domain”, ZDM The International Journal on Mathematics Education, 39,

5-6, 2007, pp. 523-536.

Schoenfeld, H. A., “Research methods in (mathematics) education” en L. D. English (ed.), Handbook of International Research in Mathematics Education,

467-519, New York, 2008, Routledge.

Silver, E., “Contribution of research to practice: applying findings, methods, and perspectives” en T. Cooney y C.R. Hirsch (eds.), Teaching and learning mathematics in the 1990s, USA, 1990, Yearbook, Reston VA: The Council.



ResumenEn el artículo se describe brevemente la teoría educativa denominada matemática en el contexto de las ciencias, que nace en 1982 en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), y considera al proceso de la enseñanza y el apren-dizaje de esta materia, en carreras donde la matemá-tica no es una meta, como un sistema presente en el ambiente de aprendizaje. La teoría está constituida por cinco fases: cognitiva, epistemológica, didáctica, curri-cular y de formación docente. En el cuerpo del artículo se describen los resultados de las investigaciones más relevantes de cada una de las cinco fases de esta teo-ría educativa.

La matemática en el contextoLa matemática en el contextode las cienciasde las ciencias

* Licenciada en física y matemáticas por la Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM), maestría y doctorado en ciencias con especialidad en matemática educativa por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados (Cinvestav), ambos del IPN. Premio nacional 2000 de la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior (ANUIES), a la mejor tesis de doctorado del nivel superior en contribución a la educación superior; miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI), nivel 2; evaluadora internacional para la acreditación de carreras en matemáticas y en educación; representante de México ante el Consejo Interamericano de Educación Matemática; coordinadora de la Red Internacional de Matemáticas en el Contexto de las Ciencias. Titular de más de 25 proyectos de investigación, destacando entre los productos de investigación la metodología dipcing para el diseño de programas de estudio de las ciencias básicas en ingeniería. Autora de cinco libros sobre la materia, de innumerables artículos especializados, e invitada especial de eventos y conferencias interna-cionales en todo el continente americano. Actualmente es profesora-investigadora en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME, Zacatenco) del IPN, México. E-mail: [email protected]

Patricia Camarena Gallardo*

Palabras claveMatemáticas en contexto, matemáticas, modelación, ciencias, didáctica, currículo, epistemología, cognición.

AbstractThis paper describes briefly what Mathematics in the Sciences Context theory is, which born since 1982 in the Instituto Politécnico Nacional. This theory takes mathe-matics learning and teaching in engineering careers as a system in the learning environment. The theory includes five phases: cognitive, epistemological, didactic, curricu-lum and teachers training. It is included the most impor-tant research results of each phase of the Mathematics in the Sciences Context.

Keywords Mathematics in context, mathematics, modeling, sciences, didactic, curriculum, epistemology, cognition.

Mathematics in the sciences context


Introducción

En el ámbito mundial es reconocida la problemática que en-frentan los estudiantes de todos los niveles educativos con el aprendizaje de la matemática, asignatura que, en general, no es de su agrado. En este conflicto inci-den muchos factores de tipo social, económico, de orden curricular, asociados a la didáctica —que inciden en el aprendizaje y en la enseñanza de esta materia— inhe-rentes a la formación de los docentes, inferidos al propio tema de estudio, por causas de la infraestructura cognos-citiva de los alumnos, entre otros (Camarena, 1984).

Se puede decir que la gran mayoría del alumnado no tiene claro por qué estudia matemáticas, lo cual demerita la motivación hacia esta ciencia; a ello se agrega que, en los objetivos de las carreras técnicas y profesionales se menciona que el egresado deberá poseer una formación integral pero en ninguna parte del currículo se especifica cómo lograrlo. Desde esta perspectiva, la desarticulación entre los cursos de matemática y los de las demás asig-naturas se convierte en un cotidiano conflicto para los alumnos. Para enfrentar estas realidades nace la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias.

En el presente trabajo se muestran los resultados de varias investigaciones educativas relacionadas con el proceso de la enseñanza y el aprendizaje de la matemá-tica en áreas de la ingeniería, específicamente, áreas en donde la matemática no es una meta en sí misma. Esta serie de investigaciones convergen en el nacimiento de la teoría educativa ya mencionada —matemática en el contexto de las ciencias— en el nivel universitario, en in-geniería, que en la actualidad se está aplicando en los ni-veles educativos anteriores, así como en las demás áreas del conocimiento que no forman matemáticos.

La teoría

La teoría matemática en contexto de las ciencias nació en 1982 en el IPN, y reflexiona acerca de la vinculación que debe existir entre la matemática y las ciencias que la requieren, entre la matemática y las situaciones de la vida cotidiana, así como entre la matemática y los pro-blemas de la actividad laboral y profesional del futuro egresado (Camarena, 1984, 1987, 1995, 2001a, 2005a, 2007). De hecho, se trata de construir en el estudiante una matemática para la vida que se fundamenta en los siguientes paradigmas:

• La matemática es una herramienta de apoyo y disciplina formativa.

• La matemática tiene una función específica en el nivel universitario.

• Los conocimientos nacen integrados.

El supuesto filosófico-educativo de esta teoría consis-te en que el estudiante debe estar capacitado para rea-lizar la transferencia del conocimiento de la matemática

a las áreas que la requieren y con ello las competencias profesionales y laborales son favorecidas. Esta teoría, a través de investigaciones, concibe al proceso de la en-señanza y el aprendizaje como un sistema en donde in-tervienen varios factores, entre los más relevantes se encuentran las características cognitivas, psicológicas y afectivas de los estudiantes; los conocimientos y concep-ciones de los profesores; la epistemología del contenido a aprender y a enseñar; el tipo de currículo y la didác-tica a emplearse (Camarena, 1990, 2004b). Además, el proceso de la enseñanza y el aprendizaje está influenciado e inmerso en un ambiente no tangible de tipo social, cul-tural, económico y político, siempre presente en el con-texto de aprendizaje.

De hecho, los factores descritos se han agrupado en tres elementos fundamentales: el estudiante, el profesor y el contenido a enseñar; más dos elementos de inte-racción: el currículo y la didáctica (figura 1). Por la im-portancia de los elementos fundamentales, éstos se han constituido en una de las llamadas ternas doradas de la educación, lo cual da origen a las cinco fases que forman la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias:

1. Curricular, desarrollada desde 1984. 2. Didáctica, iniciada en 1987. 3. Epistemológica, abordada en 1988. 4. Formación docente, definida en 1990. 5. Cognitiva, estudiada desde 1992.

Figura 1 Terna dorada en educación.

Social Cognitiva Cultural

Económico Alumno Político

Curricular Didáctica

Contenido Profesor

EPISTEMOLÓGICA FORMACIÓN DE PROFESORES

Fuente: Camarena, 2000.

Es claro que en el ambiente de aprendizaje están pre-sentes las cinco fases y éstas interactúan entre sí con algún efecto ponderado sobre las demás, es decir, no están aisladas unas de las otras y tampoco son ajenas a las condiciones sociológicas de los actores del proce-so educativo; sin embargo, la exposición formal de la teoría hace necesario fragmentarla en las cinco fases. A continuación se exponen los elementos más relevan-tes de cada una de estas fases, en orden didáctico y no cronológico.


Fase curricular

La fase curricular posee una metodología denominada dipcing —diseño de programas de estudio de matemáti-cas en carreras de ingeniería— (Camarena, 1984), fun-damentada en el paradigma educativo que considera que con los cursos de matemáticas el estudiante poseerá los elementos y herra mientas que utilizará en las materias específicas de su carrera, es decir, las asignaturas de matemáticas no son una meta por sí mismas; sin dejar a un lado el hecho de que la matemática debe ser “for-mativa” para el alumno. Asimismo, la premisa alrededor de la cual gira la metodología considera que el currícu-lo de matemáticas debe ser objetivo, es decir, fundado sobre bases objetivas.

Para cumplir con la premisa en el marco del paradig-ma educativo planteado, se propone una estrategia de investigación en tres etapas: central, precedente y con-secuente:

• Etapa central. Análisis de los contenidos matemá-ticos tanto explícitos como implícitos en los cursos específicos de la ingeniería.

• Etapa precedente. Definición y detección del nivel de competencias matemáticas que tienen los alum-nos a su ingreso a la carrera.

• Etapa consecuente. Definición de las competencias matemáticas para el desarrollo de la actividad la-boral y profesional.

Con la metodología se obtiene la vinculación curricu-lar interna —entre la matemática y las asignaturas de las ciencias básicas, la matemática y las ciencias bási-cas de la ingeniería, la matemática y las especialidades de la ingeniería—, así como la externa —entre el nivel medio superior y superior, el superior con el posgrado, entre la escuela y la industria. Algunos de los construc-tos teóricos sobresalientes son los diferentes tipos de contenidos que se presentan —algunos apoyan las par-tes teóricas de la ingeniería mientras otros los temas y conceptos de aplicación— quedando por determinar en qué temas deben desarrollarse las habilidades y destre-zas matemáticas y en cuáles no es necesario desarro-llarlas (Camarena, 2002a).

Fase de formación de profesores

En la fase de formación de profesores se diseñó una espe-cialidad en docencia de la ingeniería matemática en elec-trónica, en donde las asignaturas de matemáticas se vinculan con otras disciplinas propias de la electrónica y sus ramas afines (Camarena, 1990), (tabla 1).

Tabla 1Áreas vinculadas.

Matemáticas en el contexto

de la ingeniería electrónica

Matemáticas Ingeniería

electrónica

Introducción al análisis matemático de una

variable realElectrónica básica

Cálculo vectorial Electromagnetismo

Álgebra lineal Control electrónico

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Circuitos eléctricos

Análisis de FourierAnálisis de señales electromagnéticas

ProbabilidadAnálisis de señales

aleatorias

Procesos estocásticos Telefonía

Fuente: Camarena, 1990.

De hecho la investigación, que para tales fines se rea-lizó, arrojó cuatro categorías cognitivas que deberían incluirse en un programa de formación docente en ma-temáticas para el nivel universitario: conocimiento sobre los estudios de ingeniería en donde se labora, conoci-miento de los contenidos a enseñar, conocimiento sobre el uso de tecnología electrónica para apoyar el apren-dizaje del estudiante, y conocimiento acerca del proce-so de enseñanza y de aprendizaje de la matemática. En esta última categoría se incluyen cursos de conocimiento científico y técnico, historia y fundamentos de la mate-mática, procesos de aprendizaje, didáctica y evaluación del aprendizaje, entre otros.

Fase epistemológica

Las investigaciones que se han efectuado verificaron que gran parte de la matemática que se incluye en los cursos de áreas de ingeniería nace en el contexto de problemas específicos de otras áreas del conocimiento, y que con el tiempo pierden su contexto para ofrecer una matemáti-ca “pura” que es llevada a los ambientes de aprendizaje, lo cual carece de sentido para aquellos estudiantes que no desean ser matemáticos, como lo describe Chevallard (1991). Con la matemática en el contexto de las cienciasse muestra que así como los contextos de otras ciencias le dan sentido y significado a la matemática, ésta a su vez le da sentido y significado a los temas y conceptos de las ciencias del contexto, reconceptualizándolos (Muro y Camarena, 2002; Camarena, 1987).


Hay situaciones en donde el ingeniero emplea proce-sos o métodos sin conocer su origen, la fase epistemo-lógica de la teoría que se presenta pone a la luz estas génesis (Camarena, 1987), como el caso de las impe-dancias complejas en circuitos eléctricos.

También se ha determinado un constructo teórico de-nominado transposición contextualizada (figura 2), aquí

la matemática aprendida por los estudiantes en la escuela sufre transformaciones para adaptarse a la forma de trabajar de otras ciencias (Camarena, 2001a), como el caso de la delta de Dirac para modelar una señal eléc-trica impulsiva.

Figura 2 Transposiciones.

Conocimientoerudito

Transposición Conocimiento aser enseñado

Transposición Conocimiento a ser aplicado

Transposición didáctica Transposición contextualizada

Fuente: Camarena, 2001a.

Como parte de esta etapa se cuenta con una serie de situaciones de matemática contextualizada para ser usa-das en clase, como los cursos de ecuaciones diferenciales ordinarias en el contexto de los circuitos eléctricos (Ca-marena, 1987), cálculo vectorial en el contexto de la teo-ría electromagnética (Ongay, 1994), análisis de Fourier en el contexto del análisis de señales electromagnéticas (Camarena, 1993), ecuaciones diferenciales parciales en el contexto de la cuerda vibrante (Camarena, 2004a), transformada de Laplace en el contexto de los circuitos eléctricos (Suárez y Camarena, 2000), serie de Fourier en el contexto de la transferencia de masa (Muro y Ca-marena, 2002), por nombrar algunos. Los obstáculos epistemológicos, como han sido definidos por Brousseau (1983), se identifican en esta fase para ser usados en la planeación didáctica de los cursos mediante el diseño de actividades de aprendizaje que ayuden a revolverlos

Fase didáctica

Esta fase contempla un proceso metodológico para el desarrollo de las competencias profesionales, con el cualse fomenta el desarrollo de las habilidades para la transferencia del conocimiento, éste incluye tres etapas (Camarena, 2005a):

1. Presentar la estrategia didáctica de la matemáticaen contexto en el ambiente de aprendizaje.

2. Implantar cursos extracurriculares con actividades destinadas a desarrollar las habilidades del pensa-miento, habilidades metacognitivas y habilidades para aplicar heurísticas al resolver eventos con-textualizados, así como actividades para bloquear creencias negativas.

3. Instrumentar un taller integral e interdisciplinario en los últimos semestres de los estudios del alumno, a fin de resolver eventos reales de la industria.

Primera etapa

Presentación a los estudiantes de la estrategia didác-tica la matemática en contexto (Camarena, 1995), con una matemática contextualizada en las áreas del conoci-miento de su futura profesión en estudio, en actividades de la vida cotidiana, profesionales y laborales a través de eventos contextualizados que pueden ser problemas o proyectos. En general, esta estrategia didáctica desarro-lla la teoría matemática de acuerdo con las necesidades y ritmos que dictan los cursos de la ingeniería.

La matemática en contexto contempla nueve etapas que se despliegan en el ambiente de aprendizaje en equi-pos de tres estudiantes —líder académico, líder emocio-nal, líder de trabajo.

1. Identificar los eventos contextualizados.2. Plantear el evento contextualizado.3. Determinar las variables y las constantes del

evento.4. Incluir los temas y conceptos matemáticos necesa-

rios para el desarrollo del modelo matemático y so-lución del evento.

5. Determinar el modelo matemático.6. Dar la solución matemática del evento.7. Determinar la solución requerida por el evento.8. Interpretar la solución en términos del evento y dis-

ciplinas del contexto.9. Presentar una matemática descontextualizada

De las etapas mencionadas se tiene dos observaciones, una referida a la planeación didáctica y otra a la modela-ción matemática.

Observación 1. Es importante hacer notar que los puntos 4 y 9 requieren de una planeación didáctica es-pecífica que se traduce por parte del docente en el dise-ño de actividades didácticas guiadas por los siguientes elementos (Camarena, 2004b):


• Tránsito entre los diferentes registros de represen-tación. En la matemática se cuenta con los registros numérico, algebraico, analítico, contextual y visual, este último incluye gráficas, diagramas, esquemas y dibujos que deben ser usados por el profesor para llegar a los diferentes estilos de aprendizaje del es-tudiante.

• Tránsito del lenguaje natural al matemático y vicever-sa. Se cuenta con una categorización de las represen-taciones en este tránsito: problemas con enunciado literal, con enunciado evocador y con enunciado com-plejo (Olazábal y Camarena, 2003).

• Construcción de modelos matemáticos. Si el alum-no no puede construir un modelo matemático de un evento a abordar, significa que no puede hacer la transferencia del conocimiento matemático a otras ciencias. Es importante que este elemento forme parte de los hilos conductores de la enseñanza y del aprendizaje.

• Resolución de eventos contextualizados. Es nece-sario ayudar al alumno a desarrollar las habilidades para lograr la resolución de eventos. La matemáticaen contexto toma como herramienta la resolución de problemas y el aprendizaje basado en proyec-tos, así como sus elementos de formación: heurís-ticas, metacognición, creencias, entre otros.

• Argumentación, habilidad de conjeturar y partir de supuestos. Uno de los elementos formativos que ofrece la matemática es argumentar, conjeturar y seguir un proceso a partir de supuestos, sin que se desee formar como matemáticos a los futuros inge-nieros, pero sí es deseable que desarrollen las ha-bilidades formativas que otorga la matemática para un mejor desempeño profesional.

• Búsqueda de analogías. Las analogías que pueda usar el docente en clase asistirá al estudiante para que establezca amarres a las estructuras cogniti-vas establecidas.

• Identificación de nociones previas. Si se conocen las nociones previas con que cuenta el estudiante, el docente podrá diseñar sus actividades a partir de éstas y apoyar la construcción de conocimien-tos significativos en el sentido de Ausubel, Novak, y Hanesian (1990).

• Identificación de obstáculos. Los obstáculos se cla-sifican en epistemológicos en el sentido que los maneja Brousseau, didácticos los que provoca el profesor, cognitivos los que están inferidos a los conocimientos anteriores del estudiante y ontogé-nicos aquellos que son inherentes a las caracterís-ticas físicas y hereditarias del estudiante.

• El conocimiento se presenta en espiral. Es impor-tante que el docente tome en cuenta este hecho porque le abre el camino para repasar constante-mente conocimientos ya tratados en el mismo curso o en estudios anteriores, lo cual apoya la construc-ción y reconstrucción del conocimiento.

• Uso de la tecnología electrónica. En el presente siglo la tecnología no puede estar fuera de ninguna actividad profesional, para el caso de la docencia es imperioso que se incorpore como una herramien-ta de apoyo al aprendizaje. Por lo común, no hay tiempo en los espacios didácticos para incursionar en otras actividades que consuman los tiempos pro-gramáticos, por lo cual debe incursionarse en la tecnología —plataformas tecnológicas educativas, foros de discusión, comunidades virtuales— que de alguna manera extienden los tiempos del aula.

Las tecnologías de la información y la comunicación (TIC), hacen que el estudiante vaya a sus propios ritmos porque los tiempos cognitivos son diferentes a los didác-ticos. Además, le facilita retroceder o avanzar cuando desee, repasando y reforzando los conocimientos.

Observación 2. Una de las etapas centrales de la estrategia didáctica de la matemática en contexto es la elaboración del modelo matemático, situación que exigió investigaciones (Camarena, 2001b), que abordaron las interrogantes: ¿qué es un modelo matemático?; ¿qué es modelación matemática?; ¿qué elementos cognitivos in-tervienen?; ¿qué habilidades del pensamiento son indis-pensables para la modelación?

La matemática en ingeniería es un lenguaje, ya que casi todo lo que se dice en esta área se representa con la simbología matemática. Es más, que se represente a través de la terminología matemática y se haga uso de la matemática en la ingeniería, le ayuda a la ingenie-ría a tener carácter de ciencia por un lado, y le facilita su comunicación con la comunidad científica de ingenie-ros por el otro.

Dentro del conocimiento de la ingeniería hay proble-mas de ingeniería, asimismo se tiene objetos de la in-geniería que para su mejor manejo o referencia se les representa matemáticamente, y también se tiene situa-ciones que se pueden describir a través de la simbolo-gía matemática. Estos casos permitirán caracterizar a los modelos matemáticos. A continuación se muestran ejemplos de cada caso:

a) Problemas. Se quiere conocer el fenómeno de carga de un condensador (capacitor) cuya capacitancia es C y está conectado en serie con un resistor de resis-tencia R a las terminales de una batería que sumi-nistra una tensión constante V. Este planteamiento se puede representar en una ecuación diferencial lineal:

R ddt

q(t) � 1c

q(t) � V

Bajo el término problema se incluyen los fenóme-nos que se presentan en la ingeniería como la carga de un condensador, la caída libre de un cuerpo, el movimiento de un péndulo, entre otros.


b) Objetos. Una señal eléctrica del tipo alterno sinusoi-dal; la señal es el objeto de la ingeniería que se re-presenta con la siguiente la función:

f(t) � A sen (t��)

c) Situaciones. El condensador de carga q=q(t) está totalmente descargado al inicio del problema. Es-ta situación se puede representar matemáticamente tomando en cuenta que al inicio del problema t=0 y que la carga es una función del tiempo como q(0)=0.

De los tres casos mencionados, lo que caracteriza a los modelos trabajados en esta investigación son los ob-jetos y los problemas, por lo que la definición de modelo matemático es aquella relación matemática que describe objetos o problemas de la ingeniería. El análisis de pro-blemas reales, de problemas trabajados en investigacio-nes de la ingeniería y problemas abordados en los textos de ingeniería, clasifica a los modelos matemáticos según se muestra en la figura 3.

Figura 3 Clasificación de los modelos matemáticos

según su caracterización.

Caracterización de los modelos matemáticos

Modelaje de objetos de la ingeniería

Modelaje de problemas de la ingeniería

La clasificación está en función del uso que le da

la ingeniería

La clasificación está en función de las áreas cog-nitivas de la ingeniería

Fuente: Camarena, 2001b.

De las etapas de la matemática en contexto y lo de-tectado en el análisis de los problemas estudiados para la investigación, se construye la definición del término modelación matemática como el proceso cognitivo que se tiene que llevar a cabo para llegar a la construcción del modelo matemático de un problema u objeto del área del contexto. Este proceso cognitivo consta de tres momentos que constituyen los indicadores de la mode-lación matemática:

1. Identificar variables y constantes del problema, se incluye la identificación de lo que varía y lo que per-manece constante que por lo general está implícito.

2. Establecer relaciones entre éstas a través de los conceptos involucrados en el problema, implícita o explícitamente, ya sean del área de la matemática o del contexto.

3. Validar la relación matemática que modela al pro-blema, para lo cual hay que regresar y verificar que se involucre todos los datos, variables y conceptos. Dependiendo del problema, algunas veces, se puede validar el modelo matemático mediante la expresión matemática cuando predice la información otorga-da o la experimental. En otros casos, para validar el modelo, es necesario dar la solución matemática para que se predigan los elementos involucrados.

Un punto importante es que el modelo matemático no es único, hay varias representaciones matemáticas que describen el mismo problema, razón por la cual es pre-ciso su validación (tercer momento). La forma de abor-dar (o resolver) matemáticamente el modelo matemático tampoco es única, elemento que permite verificar la ver-satilidad de la matemática así como su consistencia.

Elementos cognitivos (Camarena, 2005b). Para lle-var a cabo la modelación matemática son indispensables los siguientes elementos cognitivos:

• Enfoques de los temas y conceptos matemáticos del área del contexto. Cada tema y concepto posee va-rios enfoques, por ejemplo, la derivada es un co-ciente de diferenciales, es un límite muy particular, es la operación inversa a integrar, es una razón de cambio, es la pendiente de la recta tangente a la curva, entre otros. Conocer estos enfoques es ne-cesario para modelar.

• La transposición contextualizada. Es conocido el hecho de que el saber científico sufre una trans-formación para convertirse en un saber a enseñar, denominado transposición didáctica (Chevallard). El conocimiento que se lleva al aula sufre otra transformación para convertirse en un saber de aplicación, a lo que se denomina transposición con-textualizada (Camarena, 2001a).

• Manejo conceptual de la matemática descontextua-lizada. Es importante que sea del conocimiento del alumno que la matemática es universal en el sen-tido de que es aplicable a varios contextos. Den-tro de la matemática en el contexto de las cienciasse concibe como matemática conceptual aquella de la cual si se tiene el concepto es porque se puede transferir ese conocimiento, porque se conocen los diferentes enfoques de concepto, se conocen los puntos de control de error del concepto, se cono-cen los patrones de comportamiento del concepto cuando se mueven los parámetros que lo compo-nen, porque se puede transitar entre los diferen-tes registros de representación del concepto, entre muchos otros.

Habilidades del pensamiento (Camarena, 2005b).Al igual que en los elementos cognitivos —a través del análisis de la instrumentación de problemas de cada área


cognitiva de la ingeniería en electrónica— se detectan las habilidades del pensamiento que entran en acción en la construcción del modelo matemático. Así, para llevar a cabo la modelación matemática hay que desarrollar en el estudiante las siguientes habilidades del pensamiento:

• Identificar los puntos de control de error como ele-mento metacognitivo; esta habilidad forma parte de la matemática conceptual como se mencionó.

• Transitar del lenguaje natural al lenguaje matemá-tico y viceversa. Para este punto se puede ver la referencia de Olazábal y Camarena (2003), quienes hacen una categorización de problemas de mate-máticas contextualizadas respecto a la demanda de traducción del lenguaje natural al matemático.

• Aplicar heurísticas como estrategias para abordar un problema, con la clasificación que otorga Nic-kerson, Perkins, y Smith (1994), a las dadas por Polya (1976).

• Identificar regularidades, esta habilidad se hace no-toria entre las habilidades básicas del pensamiento.

• Transitar entre las diferentes representaciones de un elemento matemático. Se consideran las repre-sentaciones que describe Duval (1999): aritmética, algebraica, analítica y visual, incluyéndose la repre-sentación contextual que maneja la matemática en contexto.

• Hacer consideraciones o idealizar el problema (cuando proceda). Hay problemas tan complejos que deben ser idealizados para poder matematizar-se y, en otras ocasiones, es necesario hacer consi-deraciones como controlar variables para lograr la matematización.

Cabe mencionar que los términos modelación mate-mática, matematización y modelaje se han tomado como sinónimos. Con la estrategia didáctica de la matemáti-ca en contexto se cambia el paradigma educativo de enseñanza tradicional a una enseñanza con conocimien-tos integrados y centrada en el aprendizaje, en donde los temas de matemáticas se dictan vinculados con las demás asignaturas que se cursa y al ritmo y tiempos requeridos por los estudiantes (Camarena, 1987). La matemática en contexto fortalece la reorganización cog-nitiva de conceptos y procesos matemáticos.

Segunda etapa

En la segunda etapa se instrumenta un curso extra-curricular. Se formula a partir de la necesidad de abor-dar problemas concretos en el ambiente de aprendizaje. Cuando la resolución de problemas se usa como he-rramienta (Polya, 1976), afloran los elementos de la resolución de problemas como lo son las heurísticas, las habilidades del pensamiento, la metacognición y las creencias (Nickerson, Perkins, y Smith, 1994; De Bono, 1997; Santos, 1997; Herrera y Camarena, 2003; Cama-rena, 2003a).

Las estrategias para abordar un problema en las dife-rentes partes del proceso de la resolución se les deno-mina heurísticas. El padre de las heurísticas fue Polya, quien por medio de preguntas como las que se muestran guía la resolución de problemas: ¿con qué se cuenta?; ¿qué se pregunta?; ¿qué tipo de datos se tiene?; ¿hay condicionantes?; ¿cuáles son variables en el problema y cuáles son constantes?; ¿se podrá ver para casos par-ticulares y después resolverlo para cualquier caso?; ¿qué


problema ya resuelto se parece a éste?; ¿cuál es la ge-neralización del problema para determinar si es más fácil de abordar?; ¿qué analogías o semejanzas pueden en-contrarse con otros problemas?; ¿se puede plantear de diferente forma para poder abordarlo?

En el proceso de resolución de problemas interviene el factor identificado como metacognición: el individuo se hace consciente de su propio conocimiento, de saber si tiene o no todos los elementos cognitivos para resol-ver un problema o debe consultar libros o personas. En otras palabras, la metacognición guía al individuo a fin de que busque contradicciones, incongruencias o elementos que le den la pauta para determinar que el procedimien-to elegido es el correcto, así como para verificar que el resultado obtenido satisface o no el problema planteado. En la teoría de la matemática en el contexto de las cien-cias se le denomina puntos de control de error.

Las habilidades del pensamiento favorecen el enten-dimiento de las ciencias y, a su vez, las ciencias cola-boran para desarrollar las habilidades del pensamiento. Las habilidades del pensamiento se clasifican en básicas —observación, identificación, comparación, clasificación, jerarquización, asociación, inducción, deducción, sínte-sis, memoria— y de orden superior —creatividad, ra-zonamiento (lógico, crítico, analítico), contextualización (vincular diferentes disciplinas transfiriendo conocimien-tos), modelaje matemático, resolución de problemas. Es claro que las habilidades del pensamiento entran en el proceso de resolución de problemas, pero también están presentes las habilidades para aplicar heurísticas, así como habilidades metacognitivas, todas en apoyo a la transferencia del conocimiento.

Ahora bien, también las creencias son un factor que puede actuar de forma positiva, ayudando a ser eficien-te, o negativa, bloqueando el actuar del alumno.

Este tipo de cursos se ha instrumentado durante un semestre, dando muestra de su éxito en los resulta-dos: mayor aprovechamiento escolar y mayor motiva-ción hacia los estudios de ingeniería.

Tercera etapa

Se instrumenta un taller integral e interdisciplinario con el objeto de resolver eventos reales de la industria. Esta etapa es la culminación del proceso didáctico de la matemática en contexto porque es en donde se reflejan las acciones de transferencia del conocimiento fomenta-das en las anteriores. La instrumentación de esta etapa, a diferencia de la primera y segunda, requiere un grupo interdisciplinario de profesores que se comprometan con el proyecto. Por la complejidad que representan los even-tos reales de la industria, en el taller participan estudian-tes egresados de las ciencias de física y matemáticas a fin de incentivar el trabajo en equipo entre pares y la confianza, componentes favorables para la resolución de los eventos contextualizados.

Fase cognitiva. El sustento fuerte de esta fase está en la teoría de aprendizajes significativos de Ausubel, Novak, y Hanesian (1990). Se ha determinado que el es-tudiante debe transitar entre los registros aritmético, al-gebraico, analítico, visual y contextual para construir y asirse del conocimiento (Camarena, 2002b). Se ha veri-ficado a través de la matemática en contexto que el estudiante logra conocimientos estructurados y no frac-cionados, y con ello estructuras mentales articuladas (Camarena, 2000). Esta situación se ha tratado en la teo-ría de los campos conceptuales de Vergnaud, como ejem-plo, la tesis de doctorado de Muro (2004), establece el campo conceptual de la serie de Fourier en la transfe-rencia de masa de fenómenos químicos.

La matemática en contexto auxilia al estudiante a construir su propio conocimiento con amarres firmes y duraderos y no volátiles; refuerza el desarrollo de habi-lidades del pensamiento mediante el proceso de resol-ver eventos (problemas y proyectos) vinculados con los intereses del alumno (Camarena, 2003b). Para observar en los alumnos el funcionamiento cognitivo de esta teo-ría también se ha recurrido a analizar las funciones cog-nitivas (Zúñiga, 2004). Se ha determinado que el factor motivación es altamente estimulado en la matemática en contexto y el desempeño académico como futuro profe-sionista se incrementa, es decir, la transferencia del co-nocimiento se puede establecer sin mayores tropiezos (Camarena, 2000, 2004a).

Conclusiones

El estudiante con la matemática en el contexto de las ciencias tiende a hacerse responsable de su propio aprendizaje generándose habilidades para conseguir su autonomía (en el aprendizaje) y hacer más eficiente el trabajo de equipo. Se cambia, además, el paradigma educativo que se centraba en el profesor a otro que gira alrededor del alumno.

Esta teoría nace en el nivel superior y se despliega en los niveles anteriores, a diferencia de la mayoría de las teorías sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje que se origina en el nivel básico. Esta teoría contempla muchas de las variables que intervienen en el proceso educativo y lo considera como un sistema con un proce-so social que tiende a la construcción de una matemáti-ca para toda la vida.

El profesor debe realizar investigación educativa para apoyar su actividad laboral y elevar la calidad académi-ca de la educación, ya que docencia e investigación no debe separarse.

Recibido noviembre 2008Aceptado marzo 2009


Bibliografía

Ausubel, David P., Joseph D. Novak y Helen Hanesian, Psicología educativa, un punto de vista cognoscitivo, México, 1990, Trillas.

Brousseau, G, “Obstacle sépistémologiques de la didactique des mathématiques”, Recherches en didactique des mathématiques, 7 (2), 1983, pp. 68-109.

Camarena, G. Patricia, La matemática formal en la modelación matemática, reporte de investigación, México, 2007, ESIME-IPN.

Camarena, G. Patricia, “La modelación matemática en las carreras universitarias”, Memorias del IV Congreso Internacional Trujillano de Educación

en Matemática y Física, Venezuela, 2005b, Universidad Venezolana.

Camarena, G. Patricia, La matemática en el contexto de las ciencias: las competencias profesionales, reporte de investigación, México, 2005a, ESIME-IPN.

Camarena, G. Patricia, La matemática en el contexto de las ciencias y la didáctica disciplinaria, reporte de investigación, México, 2004b, ESIME-IPN.

Camarena, G. Patricia, “La transferencia del conocimiento: el caso de las ecuaciones diferenciales parciales”, Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, vol. 17, t. I, 2004a, pp. 156-163.

Camarena, G. Patricia, La matemática en el contexto de las ciencias: la resolución de problemas, reporte de investigación, México, 2003b, ESIME-IPN.

Camarena, G. Patricia, “Las heurísticas disciplinarias y la matemática en contexto”, Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, vol. 16, t. II, 2003a, pp. 571-577.

Camarena, G. Patricia, Los registros cognitivos de la matemática en el contexto de la ingeniería, reporte de investigación, México, 2002b, ESIME-IPN.

Camarena, G. Patricia, “Metodología curricular para las ciencias básicas en ingeniería”, Revista Innovación Educativa, vol. 2, núm. 10 y núm. 11, 2002a, pp. 22-28 y 4-12.

Camarena, G. Patricia, Los modelos matemáticos como etapa de la matemática en el contexto de la ingeniería, reporte de investigación, México, 2001b, ESIME-IPN.

Camarena, G. Patricia, Las funciones generalizadas en ingeniería, construcción de una alternativa didáctica, México, 2001a, ANUIES.

Camarena, G. Patricia, Etapas de la matemática en el contexto de la ingeniería, reporte del proyecto de investigación, México, 2000, ESIME-IPN.

Camarena, G. Patricia, “La enseñanza de las matemáticas en el contexto de la ingeniería”, Memorias del XXVIII Congreso Nacional

de la Sociedad Matemática Mexicana, 1995, pp. 28-34.

Camarena, G. Patricia, Curso de análisis de Fourier en el contexto del análisis de señales eléctricas, México, 1993, ESIME-IPN.

Camarena, G. Patricia, Especialidad en docencia de la ingeniería matemática en electrónica, México, 1990, ESIME-IPN.


Camarena, G. Patricia, Diseño de un curso de ecuaciones diferenciales en el contexto de los circuitos eléctricos, tesis de maestría en

matemática educativa, México, 1987, CINVESTAV-IPN.

Camarena, G. Patricia, “El currículo de las matemáticas en ingeniería”, Memorias de las Mesas Redondas sobre Definición de Líneas de

Investigación en el IPN, 1984, México, pp. 21-25.

Chevallard, Y., La transposición didáctica. El saber sabio al saber enseñado, España, 1991, Aique Grupo Editor S. A.

De Bono, Edward, El pensamiento lateral, manual de creatividad, México, 1997, Paidós.

Duval, Raymund, Semiósis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales, México, 1999, Grupo de Educación Matemática, Universidad del Valle,

Instituto de Educación y Pedagogía.

Herrera, E. Javier y Patricia Camarena G., “Los modelos matemáticos en el contexto de los circuitos eléctricos y la metacognición”, Acta Latinoamericana de Matemática

Educativa, vol. 16, t. II, 2003, pp. 495-501.

Muro, U. Claudia y Patricia Camarena G., “La serie de Fourier en el contexto del proceso de transferencia de masa”, Revista “Científica The Mexican Journal of

Electromechanical Engineering, vol. 6, núm. 4, 2002, pp. 159-163.

Muro, U. Claudia, Análisis del conocimiento del estudiante relativo al campo conceptual de la serie de Fourier en el contexto de un fenómeno de transferencia de masa, tesis de

doctorado en ciencias en matemática educativa, México, 2004, IPN.

Nickerson, Raymond S., David, N. Perkins y Edward E. Smith, Enseñar a pensar, aspectos de la aptitud intelectual, México, 1994, Paidós MEC.

Olazábal, B. Ana María y Patricia Camarena G., “Categorías en la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico de la matemática en contexto”, Memorias del Congreso

Nacional de Profesores de Matemáticas, México, 2003, pp. 38-45.

Ongay, Fausto, Cálculo vectorial en el contexto de la teoría electromagnética, apuntes de un curso, México, 1994, inéditos.

Polya, G., Cómo plantear y resolver problemas, México, 1976, Trillas.

Santos, T. Luz Manuel, Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas,

México, 1997, Grupo Editorial Iberoamérica S. A. de C. V.

Suárez, B. Virginia y Patricia Camarena G., “La transformada de Laplace en el contexto de la ingeniería”, Acta Latinoamericana de

Matemática Educativa, vol. 13, 2000, pp. 124-130.

Zúñiga, S. Leopoldo, Funciones cognitivas: un análisis cualitativo sobre el aprendizaje del concepto de función de dos variables y

la derivada parcial en el contexto de la ingeniería, tesis de doctorado en ciencias en matemática educativa, México, 2004, IPN.

ResumenSe presenta una investigación sobre el concepto de variación mediante una propuesta de diseño de estrate-gias de enseñanza para docentes, como resultado de la aplicación de un cuestionario diagnóstico a una muestra de maestros pertenecientes a cinco unidades académi-cas del Instituto Politécnico Nacional (IPN). Se obtu-vo que los profesores emplean un tipo de estrategia de enseñanza que no promueve el aprendizaje del concep-to ni el desarrollo de habilidades, por lo cual se propone trabajar problemas en contexto para promover el desa-rrollo conceptual del tema de variación y las habilidades que los estudiantes deben utilizar para resolver proble-mas relacionados con el mismo tema. El marco teórico-metodológico se basa en la matemática en el contexto de las ciencias.

* Licenciada en matemáticas por la Escuela Normal Superior de México, maestra y doctora en ciencias con especialidad en matemática educativa por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados (Cinvestav) del IPN. Actualmente se desempeña como profesora/investigadora de matemáticas del Departamento de Ciencias Básicas en la Escuela Superior de Cómputo (ESCOM) del mismo Instituto. Ha publicado varios artículos sobre el tema en diversas revistas especializadas y dirigido varios proyectos y tesis, México. E-mail: [email protected]

Elena Fabiola Ruiz Ledesma*

Palabras claveEnseñanza, conceptualización, habilidades, variación, matemática, contexto, ciencia.

AbstractThe presented research is about the concept of variation worked by a proposal of design of teaching strategies for teachers, as a result of a diagnostic test of a sample of teachers from five different schools of the Instituto Politécnico Nacional (IPN). As a result was got that the teachers use only one kind of teaching strategy doesn’t allow the learning of the concept and neither of skills development, because of that is proposed to work pro-blems in context to promote the conceptual development of the variation topic and the skills that the students have to use to solve problems related with the same sub-ject. The theoretical-methodological framework is based in the mathematic in the context of sciences.

KeywordsTeaching, conceptualization, skills, variation, mathematics, context, science.

Design of teaching strategies for the variation concept in the engineering areas



Introducción

El nuevo modelo educativo del IPN (2004), finca la labor docente en el alumno como centro del proceso de ense-ñanza y de aprendizaje, de tal manera que el profesor debe interactuar entre el conocimiento (saber) y el estu-diante, a través de estrategias que le permitan a este últi-mo construir el saber matemático. Por ello, una de las funciones del profesor es planear las estrategias didácti-cas y ambientales para la enseñanza y aprendizaje ade-cuados a fin de que, en forma corresponsable con el alumno éste aprehenda a ser, a hacer y a saber. Aplicado al área de ingeniería, se deben desarrollar competen-cias profesionales y laborales en los estudiantes para incrementar la calidad de esta área como lo establece la matemática en el contexto de las ciencias. Por lo que el docente debe estar consciente de que el alumnado no solo requiere aprender la disciplina sino también vincu-larla con las demás áreas de conocimiento y potenciar las habilidades del pensamiento como la abstracción, el razonamiento lógico-matemático, y el análisis de situa-ciones para una efectiva toma de decisiones.

El presente artículo se deriva de los proyectos de in-vestigación registrados en la Secretaría de Investigación y Posgrado (SIP), del IPN 200080368 de Ruiz (2008), Lacalidad de la ingeniería: el concepto de variación, queforma parte del programa Las competencias y la calidad de la ingeniería cuya finalidad es determinar estrategias —a partir del diagnóstico de las estrategias que aplica el docente— que propicien una formación de calidad al in-geniero con herramientas adecuadas y pertinentes para incorporarse al campo laboral.

Existen elementos cognitivos en la ingeniería consi-derados centrales en el desarrollo de competencias la-borales y profesionales, entre los cuales se encuentra el concepto de variación (Camarena, 2006a). De manera específica —y como forma de delimitar la investigación que se realizó— este trabajo se enfoca a diagnosticar, realizar un análisis y diseñar estrategias de enseñanza para el docente al ocuparse del concepto de variación in-merso en problemas de cálculo (Camarena, 2004), mate-ria que cursan los estudiantes de nivel superior en los dos primeros semestres en las carreras de ingeniería y en el nivel medio superior en el cuarto y quinto semestres.

Se contempla el diseño de estrategias de enseñanza con los resultados obtenidos del cuestionario diagnóstico aplicado a cinco docentes de distintas unidades académi-cas, así como los resultados que arrojó el proyecto de in-vestigación con número de registro en la SIP 200080393 de Ruiz (2007), Diversos contextos del concepto de va-riación para mejorar la calidad académica de los alumnos que ingresan al programa IPN-INSA, considerado refe-rente para abordar el concepto de variación.

La investigación que se presenta, se fundamenta en la teoría de la matemática en el contexto de las cien-cias porque reflexiona acerca de la vinculación que exis-te entre las diversas áreas del conocimiento inmersas en un programa académico (Camarena, 1984, 2001, 2004,

2006a y 2006b). Es por ello, que se trabajó vinculando distintas asignaturas, tres unidades académicas del nivel superior y dos de nivel medio superior del IPN.

Justificación

Tomando como base el modelo educativo del IPN se enfatiza, por un lado, en buscar las mejores formas de promover el aprendizaje en el alumno con el nuevo papel del profesor como mediador entre la disciplina y el edu-cando, y por otro lado, en realizar evaluaciones durante el proceso de enseñanza y aprendizaje para garantizar que el alumno efectivamente está aprendiendo. A ello se agrega lo que podría hacerse a fin de que el estudiante se corresponsabilice junto con el docente de su propio aprendizaje, y en relación con el ambiente de aprendi-zaje integrarlo en grupos colaborativos de trabajo, entre otros aspectos.

Planteamiento del problema

Proporcionar al docente estrategias con el objetivo de mejorar su actividad laboral, en específico en el tema de variación. De este planteamiento se deriva la si-guiente pregunta: ¿conocer cuáles elementos cogni-tivos, comunicativos, técnicos y valorales carece el docente al trabajar el concepto de variación permite diseñar estrategias de enseñanza en pos de un mejor desempeño académico?

Aspectos teóricos

Camarena (2006b), señala que el profesor debe tener conocimientos sobre elementos psicológicos, emocio-nales, cognitivos y sociológicos relacionados con sus estudiantes como intereses, valores, estilos de apren-dizaje, manera de comunicarse, forma de relacionar-se y de aprender, lo que también enfatizan Echeverría (2002), Oulton, Dillon y Grace (2004), González, Ruiz y Flores (2008), al señalar los elementos cognitivos, cog-nitivos lingüísticos, comunicativos, técnicos y valorales que el docente requiere para tener un mejor desempe-ño académico.

Entre los elementos cognitivos señalados por Echeve-rría (2002), Oulton, Dillon y Grace (2004), se encuen-tran: comprar, clasificar, identificar, inferir, transferir, demostrar. Como elementos comunicativos: saber resu-mir, explicar, justificar. Elementos técnicos: argumentar con claridad la hipótesis y conclusiones, modelar mate-máticamente una situación del mundo real, comprender los problemas, resumir elementos esenciales de los pro-blemas, formular matemáticamente y en forma simbólica los problemas, tomar decisiones e interpretar las solucio-nes en los contextos de origen de los problemas, utilizar herramientas computacionales como ayuda para proce-sos matemáticos y para adquirir más información, cono-cer lenguajes de programación específicos o software. Como elementos valorales: compromiso, curiosidad cien-


tífica, creatividad, pensamiento divergente, imaginación, autocrítica, perseverancia, veracidad, cuidado del deta-lle, modestia intelectual, eficiencia, productividad, rigor, coherencia, predictibilidad, funcionalidad, aplicabilidad y búsqueda de beneficio para el ser humano

Para concretar lo señalado por Camarena, Echeverría y Oulton, de acuerdo con el Modelo Educativo del IPN (2003), se identifican en las respuestas de los maestros no solo estrategias de enseñanza que dan énfasis a con-tenidos conceptuales sino habilidades, aunque en menor medida, de diferente naturaleza: comunicativas en ge-neral, cognitivo lingüísticas, cognitivas, técnicas y as-pectos valorales.

En lo concerniente al trabajo que se desarrolló con los profesores para determinar estrategias que coadyuven a mejorar la calidad del ingeniero en formación, se tomó como referencia la teoría de la matemática en el contex-to de las ciencias de Camarena (1984, 2001, 2004). Ésta radica en que el estudiante esté capacitado para hacer la transferencia del conocimiento a las áreas que la requie-ren y, con ello, que las competencias profesionales y la-borales sean favorecidas. Dicha teoría permite analizar la planeación, instrumentación y evaluación de sesiones de resolución de eventos contextualizados.

Ante este nuevo reto, el papel del profesor se concibe dentro de un proceso dinámico en construcción perma-nente en donde participan todos los agentes educativos, que requiere consolidar los espacios de reflexión en los que se define la orientación del ejercicio docente.

En lo que respecta al concepto de variación el trabajo se apoyó en Díaz (2005), quien hace referencia a la re-lación que guarda la variación y la derivada en cálculo y en Ruiz (2007 y 2008), debido a la existencia de robustas dificultades entre los estudiantes para tratar con cuestio-nes que exigen algún tipo de estrategia variacional.

Otro de los resultados encontrados en los proyectos mencionados, soporte teórico del trabajo que se pre-senta, es que en los niveles medio superior y superior el alumnado muestra desinterés por aprender el concepto de variación, al enfocarse más por la resolución de al-goritmos. Hay muchos aspectos que el estudiante del nivel superior no logra comprender por la falta de ante-cedentes y por la forma en que se les presenta el con-cepto que, en la mayoría de las veces, es solo mediante la exposición del docente. Ello remite a buscar elemen-tos para diseñar estrategias de enseñanza que contribu-yan en la construcción del concepto de variación y que se plantea en el presente artículo.

Aspectos metodológicos

La orientación metodológica se ubica en una perspectiva cualitativa del proceso experimental, que se llevó a cabo en las siguientes fases:

1. Diagnóstico mediante un cuestionario.2. Análisis general del cuestionario.3. Análisis particular del cuestionario.

4. Propuesta de estrategias que coadyuven al docente a mejorar la calidad del ingeniero en formación.

El instrumento metodológico empleado para la fase de diagnóstico fue un cuestionario y para las fases de resul-tados y análisis de las respuestas de dicho cuestionario fueron dos redes sistémicas. En la figura 1 se muestran los tres aspectos que se diagnosticaron y analizaron para diseñar las estrategias de enseñanza.

Figura 1Diseño de estrategias de enseñanza.

Fuente: elaboración propia.

Fase de diagnóstico

Diagnóstico mediante un cuestionario. Propósito del cuestionario: se elaboró para diagnosticar sobre los siguientes aspectos: a) las estrategias de enseñanza que emplea el docente al trabajar el concepto de variación, b) los conocimientos de variación que tiene el docente, y c) los aprendizajes que, según los profesores, se pue-den promover con el uso de la(s) estrategia(s) deenseñanza. Diseño del cuestionario: se diseñó un cues-tionario semiestructurado de tres secciones (apéndice 1), dirigido a los docentes de distintas unidades acadé-micas del IPN (www.escom.ipn.mx:82/efruizl):

1. Datos personales de identificación. Se incluye el nombre de la unidad en la cual labora, las asigna-turas que imparte, la forma de concebir el concepto de variación y los temas del programa de sus cur-sos relacionados con dicho concepto.

2. Identificar estrategias. Aquí se le solicita que com-parta una estrategia, y se le cuestiona acerca de los aprendizajes que espera que los estudiantes desa-rrollen con ésta.

3. Identificar oportunidades de desarrollo para los alumnos con miras a la formación integral. Se pre-senta un problema en contexto para el tema de va-riación, y se le pregunta acerca de los aprendizajes que esperaría que el alumnado desarrolle al resol-verlo.

Lo que usa el docente

Diseño de estrategias

de enseñanza

Los aprendizajes que pretenden promover

Los conocimientos del concepto de variación


Cada uno de estos apartados está planteado de acuer-do con lo señalado en el marco teórico. Para el segundo se tomó en cuenta los resultados de los proyectos de in-vestigación de Ruiz (2007 y 2008), en lo referente a que el docente no tiene claro qué es una estrategia de ense-ñanza, y que la mayoría maneja la estrategia expositiva como única. El tercero tiene su justificación en la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias de Camarena (1984, 2001, 2004, 2006a y 2006b), y por ello se planteó un problema de variación en el contexto de la física.

Sujetos de estudio. Para hacer el diagnóstico de las estrategias de enseñanza aplicadas por el maestro, se tomó una muestra a la cual se aplicó el cuestionario y se trabajó las actividades. Esta muestra la conformaron dos maestros de nivel medio superior y tres maestros de nivel superior del IPN.

Fase de resultados

Las respuestas más sobresalientes y frecuentes sobre el concepto de variación dadas por los docentes de la muestra son las siguientes:

• El concepto de variación no logra ser desarrollado porque se ve opacado por el exceso del uso de al-goritmos.

• Se requiere explicitar el concepto de variación me-diante el uso del lenguaje gráfico a través de simu-laciones.

• El empleo más frecuente del concepto de variación se encuentra en el cálculo.

Fase de análisis general del cuestionario

A partir de las respuestas proporcionadas por los docentes se elaboraron dos redes sistémicas para su análisis:

A. Red Sistémica 1. Se aplicó para detectar estrate-gias de enseñanza que utiliza el profesor cuando trabaja el concepto de variación e indagar, a su vez, el concepto de variación del docente.

B. Red Sistémica 2. Se empleó para analizar los apren-dizajes que (según) los docentes (podrían promo-verse con) el uso de la actividad propuesta. Ello se comparó con la opinión que al respecto tiene la au-tora de la presente investigación.

En ambas redes sistémicas se observó coincidencia entrelos profesores de ambos niveles académicos que imparten la asignatura de cálculo diferencial/integral, pero que difie-ren de los profesores que imparten otras materias.

Red Sistémica 1

Las dimensiones que se utilizaron en esta red sisté-mica corresponden con los dos conceptos que sobre va-riación expresaron los docentes:

a) Cambio en una propiedad. Se interpreta a la varia-ción como el incremento en el valor de una variable continua, o como un cambio cualitativo en una va-riable categórica.

b) Cambio de una variable con respecto a otra. Se in-terpreta la variación como la rapidez de cambio de una variable en función de otra. En este caso, el concepto de variación se identifica con el concepto de derivada.

Ambas respuestas coinciden con lo señalado por Díaz (2005), sobre la relación que guarda la variación y la de-rivada en cálculo. Cabe mencionar que la red se constru-yó con las respuestas que los maestros dieron a las dos primeras secciones del cuestionario: en cuanto al con-cepto de variación y al de estrategia que cada uno pro-pone, respectivamente. Gran parte de las estrategias propuestas se componen de una actividad, aunque la idea de estrategia que se presentó en el mismo cuestio-nario sugiere un conjunto de actividades de enseñanza y aprendizaje que se utiliza para el desarrollo del concep-to, por ejemplo: plantear un problema, realizar un de-bate, explicar un contenido teórico.

Las estrategias propuestas por los docentes se carac-terizaron por ser muy generales, por ejemplo, profesor 1: se les muestra una figura e indican que <<creci>> eso es un incremento y por lo tanto una variación en el tamaño de la figura. Sin embargo, con dicha estrategia se pretende que los estudiantes aprendan el concepto de derivada.

La única respuesta concreta fue el planteamiento de un problema típico de física aplicado a un deporte: fun-ción cuadrática. Profesor 2: sabemos lo importante que es para un lanzador de pelota la velocidad y la altura que tiene en su lanzamiento, por ello analizaremos el siguiente problema. Un lanzador de baseball lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad ini-cial de v (se da la velocidad inicial). Sabemos que la al-tura que describe la pelota en función del tiempo es h(t) (se da la función). Se representa la gráfica de la fun-ción y se plantea una serie de preguntas relacionadas con el problema.

En cuanto a la evaluación del desempeño de los estu-diantes en la resolución de la estrategia propuesta, aún en el caso del profesor que presentó el problema concre-to, las respuestas no especificaron criterios de evaluación o indicadores para correlacionarlos con los aprendizajes que se esperaban favorecerían a los estudiantes.

Se identificaron en las respuestas de los profesores —acerca de los aprendizajes que se espera desarrolla-rán los estudiantes con la estrategia— contenidos con-ceptuales y habilidades de diferente naturaleza como se muestra en la red sistémica 1 de la figura 2.


Figura 2Concepto de variación.

Red Sistémica 1Concepto de variación que tienen los docentes

Fuente: González, Ruiz, y Flores, 2008.

Red Sistémica 2

Las dimensiones que se aplicaron en la red sistémica 2 corresponden con los tres tipos de aprendizaje que co-múnmente se aplican para facilitar la redacción de obje-tivos: conceptos, habilidades y valores. Con respecto a los conceptos no incluyeron contenidos para esta cate-goría. En las habilidades se abarcaron de diferente na-turaleza: comunicativas en general —relacionadas con el lenguaje oral principalmente—; cognitivo lingüísticas —relacionadas con cada una de las tipologías textuales

que se emplean para comunicar la ciencia—; cognitivas —habilidades del pensamiento—; técnicas —relaciona-das directamente con el manejo de los contenidos del tema en cuestión. Por último y en cuanto a los valo-res, relacionados con la inteligencia emocional, aunque el contexto de la actividad planteó un dilema moral nin-guno de los profesores identificó contenidos relaciona-dos con este aspecto.

Esta red también se construyó a partir de las respues-tas de los docentes a la tercera sección del cuestionario relativa a la estrategia que se propone (figura 3).

Derivada

Variación

Cambioen una propiedad

Tamaño DistanciaIncremento

Movimiento Otras

FormaCualidades

Comportamiento

Dependiente Variable

Independiente

Conceptualización Dominio

Imagen

Cambio de una variable con respecto a otra

Trazar LeerGráficas Relacionar con otras representaciones Tabular Visualizar parámetros Interpretar

Función

Habilidades Cuantificar Interpretar

Símbolo Previsualizar Describir Evaluar Observar

Gráficas

Cuantificar Interpretar

Símbolo Pronosticar

Describir Evaluar Observa


Figura 3Estrategias de enseñanza.

Fase de análisis particular del cuestionario

Se puede plantear que los docentes de la muestra tie-nen conocimiento sobre algunos de los elementos que requieren para su labor académica, lo cual coincide con lo señalado por Echeverría (2002), Oulton, Dillon y Grace (2004), Camarena (2006b), y González, Ruiz, y Flores (2008). A continuación se enlistan dichos elementos:

• Cognitivos: razonar, interpretar, analizar, sintetizar, deducir, evaluar, observar.

• Cognitivo-lingüísticos: describir, argumentar.• Comunicativos: hablar en público, defender

opiniones.• Técnicos: cuantificar, pronosticar.• Valorales: decidir, mostrar afecto.

En tanto los elementos no conocidos por los docentes y señalados por los teóricos son:

• Cognitivos: comprar, clasificar, identificar, inferir, transferir, demostrar, argumentar (simbólico).

Fuente: González, Ruiz, y Flores, 2008.

• Cognitivo-lingüísticos: resumir, explicar, justificar.• Comunicativos: comunicación escrita.• Técnicos: construir y desarrollar la lógica matemá-

tica; argumentar con claridad la hipótesis y con-clusiones; abstraer el desarrollo lógico de teorías formales y sus relaciones; modelar matemática-mente una situación del mundo real; transferir conocimientos matemáticos a contextos no mate-máticos; hacer frente a otros problemas derivados de las nuevas zonas; extraer información cualitativa de datos cuantitativos; comprender los problemas; resumir elementos esenciales de los problemas; for-mular matemáticamente y en forma simbólica los problemas; elaborar diseños experimentales y ob-servacionales; analizar datos; formular problemas complejos de optimización, tomar decisiones e in-terpretar las soluciones en los contextos de origen de los problemas; utilizar herramientas computa-cionales como ayuda para procesos matemáticos y para adquirir más información; conocer lenguajes de programación específicos o software; presentar argumentos matemáticos y conclusiones en forma

Red Sistémica 2Estrategias de enseñanza empleadas en la actividad propuesta

Aprendizajes que pueden promover

Conceptos

Hablar en público Comunicativas

Defender sus opiniones

Describir Cognitivo-lingüística Argumentar

Habilidades Razonar Interpretar Cognitivas Analizar Sintetizar Concluir Deducir

Cuantificar Técnicas Pronceticar

DicisiónValores Afectividad


clara en función del público al cual se dirige; cono-cer los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

• Valorales: compromiso; curiosidad científica; crea-tividad; pensamiento divergente; imaginación; au-tocrítica; perseverancia; veracidad; cuidado del detalle; modestia intelectual; eficiencia; producti-vidad; rigor; coherencia, predictibilidad; funciona-lidad; aplicabilidad; búsqueda de beneficio para el ser humano.

De lo anterior se desprende que los docentes deben capacitarse en una serie de temas fundamentales para el buen desempeño académico, que repercute en el en-riquecimiento de sus cursos y en el desarrollo de habi-lidades de los estudiantes, acorde con lo señalado por Camarena (2006a y 2006b), Echeverría (2002), Oulton, Dillon, y Grace (2004), González, Ruiz, y Flores (2008), y Ruiz (2007 y 2008).

Cada elemento no utilizado por los profesores es, sin duda alguna, un obstáculo en el proceso de enseñanza que demerita su calidad y pertinencia, así como un im-pedimento en el proceso de aprendizaje de los alumnos, más aún cuando los elementos faltantes se relacionan con las competencias a desarrollar en el programa co-rrespondiente.

Propuesta de estrategias

Según el cuestionario diagnóstico son más los elementos que requieren los docentes para su labor académica que los manifestados tener, por tal razón es imprescindible seleccionar los elementos que deberán ser incluidos en el diseño de las estrategias de enseñanza.

De acuerdo con lo señalado por Ruiz (2007 y 2008), y por el resultado del cuestionario diagnóstico del estu-dio es fundamental iniciar el desarrollo de los siguien-tes elementos:

• Cognitivos: comparar, transferir.• Cognitivos lingüísticas: justificar.• Técnicos: modelar matemáticamente, extraer infor-

mación cualitativa de datos cuantitativos, compren-der los problemas, resumir elementos esenciales de los problemas, formular matemáticamente y en forma simbólica los problemas, utilizar herramien-tas computacionales.

Además de diseñarse estrategias que permitirán al docente desarrollar los elementos que se mencionaron, en la segunda etapa de la investigación se propondrán otras para los demás dispositivos requeridos en la labor académica.

Destaca como estrategia de enseñanza los problemas en contexto que su práctica estimula: comparar y trans-

ferir, justificar, modelar matemáticamente, extraer in-formación cualitativa de datos cuantitativos, comprender los problemas, resumir elementos esenciales de los pro-blemas, formular matemáticamente y en forma simbóli-ca los problemas. Así como la simulación, animación de los problemas en contexto, otra estrategia fundamental para desarrollar el modelar matemáticamente y utilizar las herramientas computacionales.

Los problemeas en contexto y las simulaciones

Se diseñaron varias simulaciones para el concepto de variación elaboradas en el programa Adobe Flash (apén-dice 2).

Adoble Flash. La simulación de problemas empleando el programa Adobe Flash Player 9 es una herramienta muy útil para entender las aplicaciones reales. A conti-nuacion se especifica como funcionan las simulaciones —en dos problemas planteados— empleando el mencio-nado programa (figura 4).

Figura 4Pantalla de introducción al problema.


Problema de la escalera

La empresa Pintral se dedica a pintar fachadas de forma automatizada. Utiliza una escalera de 15 metros en cuyo extremo superior se ubica el dispositivo que distribuye la pintura. El gerente de la empresa quiere saber la rapidez con que baja el extremo superior de la escalera cuan-do la parte inferior está a 9 m de la pared y se aleja a razón de 30 cm por minuto.

La primera pantalla contiene la descripcion del proble-ma (figura 5), acompañada de la correspondiente ilus-tración a fin de que el alumno pueda entenderlo con mayor claridad.


Figura 5Descripción del problema.


El paso siguiente es conocer la solución (figura 6), en esta pantalla se muestra una primera explicación del pro-cedimiento, y el alumno tiene la opción de regresar a la pantalla anterior o continuar con el botón .

Figura 6Solución del problema.


De continuar, se muestra otra pantalla con la última parte del desarrollo de la solución (figura 7), aquí el alumno puede regresar a las anteriores o dirigirse a las conclusiones.

Figura 7Desarrollo de la solución.


El botón muestra los resultados finales del problema y una breve explicación del por qué se llegó a esa solución (figura 8). Se puede regresar o reiniciar todo el proceso.

Figura 8Conclusión del problema.


Problema de la hoja

Se tiene un rectángulo que mide 30 cm de base por 10 cm de altura. Se construirá una caja rectangular abier-ta y para ello se requiere hacer cortes en las esquinas. ¿Cuál es la medida de los cortes para obtener el mayor volumen?

¿Cuál es el mayor volumen?Descripción del problema (figura 9), desglose de los

datos y posible solución (figura 10).


Figura 9Descripción del problema.


Las siguientes pantallas son interacciones con los po-sibles valores, en este caso del 1 al 10 (figura 11), en donde se expone la evolución de éstas en los dobleces de la hoja que formarán la caja. Se emplea como regis-

Figura 10Solución del problema.


tro de representación la tabla y la gráfica además de los cálculos correspondientes. Por último, en la pantalla de conclusión se aprecian los resultados del problema con una breve explicación (figura 12).

Figura 11Evolución de las interacciones.



Figura 12Conclusión del problema.


En cuanto a la demostración en el programa Adobe Flash Player los docentes de la muestra señalaron que:

• Se puede observar la relación entre el registro grá-fico, tabular y analítico.

• Se mejora el proceso para la resolución de los pro-blemas de variación.

• Se facilita modificar la estructura de la clase así como adoptar otras estrategias de enseñanza con la aplicación de esta tecnología a saber: el alumno podrá resolver problemas en contexto y así com-prar, clasificar, identificar, inferir, transferir, de-mostrar, argumentar; resolver preguntas en clase, usar material visual como las simulaciones, discu-tir en forma grupal, participar en forma oral y es-crita.

Respuesta a la pregunta de investigación

Cuando el docente únicamente usa la estrategia expo-sitiva el aprendizaje se torna mecánico, mientras que si emplea otras como los problemas le permite tener ele-mentos cognitivos, comunicativos, técnicos y valorales que le ayudan en su labor académica. Resultados que coinciden con Camarena (2006a, 2006b, 2004, 2001), Echeverría (2002), y con Oulton, Dillon y Grace (2004).

Mediante el uso de problemas en el contexto de las ciencias con apoyo de la tecnología, en este caso de las simulaciones, se considera que los docentes pueden comprenden la variedad de estrategias de enseñanza factibles de emplearse en el aula, con el objetivo de que el alumno le dé sentido al tema que trabaja y abandone el uso mecánico de las fórmulas.

Ejercitar otras estrategias de enseñanza está dirigido a provocar procesos de reflexión sobre la práctica, con-virtiéndolos en procesos sistemáticos, así como incorpo-rar conceptos de didáctica de las disciplinas específicas con la finalidad de mejorar la calidad de la enseñan-

za impartida. Con ello, la modalidad del trabajo docen-te tiene como base:

• Determinar el problema de aula.• Diseñar acciones didácticas.• Preparar materiales.• Aplicar y observar.• Analizar y visualizar conflictos.• Evaluar y reformular acciones didácticas.• Definir un nuevo problema.

Los docentes de la muestra se adhirieron a la idea de desarrollar variadas y múltiples acciones didácticas con el fin de promover aprendizajes con un mayor grado de significación. El eclecticismo metodológico propuesto permite formular diversas acciones de acuerdo con las necesidades de cada grupo de trabajo.

Conclusiones

Si bien debido a la libertad de cátedra el docente enseña en función de su formación, experiencia y creencias, en términos generales, la forma de enseñar las matemáti-cas en el nivel medio superior y superior en el IPN es a través de la exposición teórica, procedimientos algorít-micos, resolución de ejercicios así como de problemas, algunas prácticas con calculadora graficadora, y cier-tas verificaciones y demostraciones. El escaso empleo de diferentes estrategias de enseñanza obstaculiza que el estudiante construya conceptos y desarrolle habilida-des y valores.

El enfoque epistemológico del curso debería permitir la integración de aprendizajes previos —estructurados en los semestres llevados en el nivel medio superior y el superior— para que desde ese nivel educativo sean re-cuperados con el fin de abordar de manera significativa el concepto de variación —con sus diferentes técnicas, procedimientos y aplicaciones— en un nivel de profundi-dad conceptual que facilite el planteamiento y resolución de problemas en contexto, que involucre a las funciones algebraicas como trascendentes, así como las derivadas de dichas funciones.

Además, como el ingeniero diseña y construye, los di-bujos, las gráficas y los diagramas son un recurso inhe-rente de su tarea, por tal motivo es necesario rescatar la geometría en la formación de ingeniero para que logre un nivel de visualización suficiente que le permita el ágil desarrollo de proyectos.

Recibido noviembre 2008Aceptado febrero 2009

Bibliografía

Camarena, Gallardo, Patricia, La matemática en el contexto de las ciencias y la calidad de la ingeniería electrónica, Reporte técnico

del proyecto de investigación con núm. de registro CGPI-20050618, México, 2006a, IPN.

Camarena, Gallardo, Patricia, “Un enfoque de las ciencias en contexto desde la didáctica”, Revista Innovación Educativa,vol. 6, núm. 31, 2006b, IPN, pp. 21-31.

Camarena, Gallardo, Patricia, “La formación de los profesores de las ciencias básicas en el nivel superior”, Revista Científica,

vol. 8, núm. 1, 2004, pp. 34-44.

Camarena, Gallardo, Patricia, “La matemática en el contexto de las ciencias”, Serie Antologías, núm. 1, 2001,

Cinvestav-IPN, pp.149-170.

Camarena, Gallardo, Patricia, “El currículo de las matemáticas en ingeniería”, Memorias de las mesas redondas sobre definición

de líneas de investigación en el IPN, 1984, IPN, pp. 21-25.

Díaz, Leonora, “Profundizando en los entendimientos estudiantiles de variación”, Revista Latinoamericana de Matemática Educativa,

vol. 8 (2), 2005, pp. 145-168.

Echeverría, Javier, Ciencia y valores, Barcelona, 2002, Ediciones Destino, S.A.

González, L. M. de G., E. F. Ruiz, y Flores, “Detección de obstáculos en el aprendizaje del concepto de variación en estudiantes de ingeniería”, Memorias del 5º Congreso Internacional de

Ingeniería Electromecánica y de Sistemas, México, 2008, IPN, pp. 48-54.

Instituto Politécnico Nacional (IPN), Un nuevo modelo educativo para el IPN, Materiales para la Reforma, México, 2004, IPN.

Oulton, Chris, Justin Dillon y Marcus Grace, “Controversial issues-teachers’ attitudes and practices in the context of citizenship education”, Oxford Review of Education,

vol. 30, núm. 4, 2004, pp. 1-20.

Ruiz, Elena Fabiola, La calidad de la ingeniería: el concepto de variación, reporte técnico de proyecto de investigación

registrado en la Secretaría de Investigación y Posgrado (SIP), del IPN con núm. de registro CGPI 20080368, México, 2008, IPN.

Ruiz, Elena Fabiola, Diversos contextos del concepto de variación para mejorar la calidad académica de los alumnos que ingresan al programa IPN-INSA, reporte técnico de proyecto de investigación

registrado en la Secretaría de Investigación y Posgrado (SIP), del IPN con núm. de registro CGPI 20080393, México, 2007, IPN.



Apéndice 1

Cuestionario 1. Escuela: 2. Asignatura que imparte en este semestre: ( ) Cálculo ( ) Programación ( ) OtrasDefinir cuáles: 3. ¿Cómo concibe el concepto de variación? 4. Dada su experiencia educativa ¿en qué niveles edu-

cativos considera que se aborda el concepto de va-riación?

a) Primaria b) Secundaria c) Nivel medio superior d) Nivel superior 5. ¿En qué tema, de los que usted imparte en clases,

se trabaja el concepto de variación? 6. Dé un ejemplo de estrategia1 que utiliza para favo-

recer el aprendizaje del concepto de variación. Pre-sentarla en el siguiente espacio:

7. ¿Qué aprendizajes espera lograr en sus estudiantes? 8. Para dicha estrategia se le solicita que llene la si-

guiente tabla (si se requiere, se recomienda incre-mentar el número de filas).

Habilidad2 que se desarrolla en los

estudiantes

¿De qué manera se desarrolla la habilidad?

¿De qué manera se evalúa el

desarrollo de la habilidad?

9. ¿Usa alguna herramienta tecnológica para apoyar el trabajo del concepto de variación?

Si No10. Mencione alguna(s) de éstas.11. Analice el problema propuesto y responda lo que se

pide en la tabla de acuerdo con la resolución del pro-blema. Nota: la tabla es la misma que la del núme-ro 8 del presente cuestionario.

Habilidad(es) que se desarrolla(n)

en los estudiantes

¿De qué manera se desarrolla la habilidad?

¿De qué manera se evalúa el

desarrollo de la habilidad?

Problema propuesto: Sedelmayer, crítico de arte, al comen-

tar acerca de la arquitectura actual menciona que al diseñar los

edificios se cuida que el ambiente de las oficinas resulte ade-

cuado para el buen funcionamiento y cuidado de los equipos

de cómputo así como de otros de alto costo, sin embargo, no

siempre estas condiciones son ideales para el ser humano. Por

ello, se han realizado investigaciones cuyo objetivo es identifi-

car las condiciones ideales para poder realizar un trabajo seden-

tario de manera saludable y confortable. En la siguiente figura,

se muestra la gráfica de la velocidad media del aire permitido,

en función de la temperatura del aire, de manera que no exista

turbulencia, para un índice de molestia por corrientes de aire de

un 15% de insatisfechos; aplicable a actividades ligeras, esen-

cialmente sedentarias.

De acuerdo con los datos de la gráfica:

1. ¿Cuánto cambia la velocidad del aire cuando la tempera-

tura se eleva de 22 a 24ºC?

2. ¿Si se está ajustando el equipo, qué tan rápido ha de cam-

biar el valor de velocidad del aire, cuando la temperatura

es de 22º C, para seguir cumpliendo con la norma marca-

da por la gráfica?

3. Como propietario de la empresa, si tiene que decidir entre:

incumplir la norma para que el equipo dure más tiempo

porque es muy costoso y lo necesita para realizar sus pro-

yectos, o respetar la norma para que las condiciones del

ambiente sean más propicias para las personas que labo-

ran para usted ¿qué haría? Argumente su respuesta y par-

ticipe en el debate grupal.

4. ¿Cómo cambiaron sus emociones desde antes de comen-

zar a leer el problema hasta que terminó de responder este

inciso? Describa detalladamente cada momento de la re-

solución del problema.

12. ¿Qué otros aprendizajes puede construir el estudian-te mediante la resolución del problema?

13. ¿Recomienda el uso de alguna herramienta tecnoló-gica para apoyar el trabajo de esta estrategia?

Si No14. Mencione alguna(s) de éstas.

1 Estrategia entendida como el conjunto de actividades de enseñanza y aprendizaje que se utiliza para el desarrollo del concepto, por ejemplo: plantear un pro-blema, realizar un debate, explicar un contenido teórico, entre otras.

2 Habilidad entendida como la destreza para realizar una tarea concreta, por ejemplo: construir argumentos, obtener la derivada de una función trigonométrica, plantear una hipótesis.

0.50.450.4

0.350.3

0.250.2

0.150.1

0.050

0 10 20 30

T (°C)

V (

m/s

)

Grá ca temperatura vs. velocidad del aire


Apéndice 2

Pantallas con simulaciones de los problemas

Problema artesa


ResumenEl aprendizaje de las ciencias se logra cuando los alum-nos desarrollan disposición y apreciación para participar en actividades propias del quehacer científico. En este esce-nario es importante aprender a resolver problemas en los cuales se puedan aplicar diversas representaciones que les permitan examinar soluciones y relaciones. El presen-te trabajo plantea la posibilidad de impulsar la estrategia didáctica de la matemática en contexto como medio de promover habilidades del pensamiento, explorando diver-sas representaciones para identificar la organización de sus relaciones y establecer su articulación en problemas con-textualizados.

Alma Alicia Benítez Pérez*

* Maestra y doctora en ciencias con especialidad en matemática educativa por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav, IPN). Actualmente se desempeña como profesora/investigadora en el Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos, CECyT 11 Wilfrido Massieu Pérez de la misma institución, México. E-mail: [email protected]

Estudio de la primera representación gráfica de ecuaciones algebraicasen contexto

Palabras clave Álgebra, representaciones, resolución de problemas, matemática en contexto.

AbstractLearning of science is achieved when the student develops a provision for assessment and participate in activities characteristic of scientific work. In this scenario, is important to learn to solve problems which can be applied various representations to enable it to consider solutions and relationships. This work raises the possibility of boosting the didactic strategy of the Mathematics in Context as a means of promoting abilities of thought, exploring various representations to identify the organization of their relations and establish its articulation problems in contextualized.

KeywordsAlgebra, representations, problem solving, mathematics in context.

Study of the first graphical representation of algebraic equations in context


Introducción

Los programas de estudio a nivel bachillerato y particu-larmente los de los Centros de Estudios Científicos y Tecnológicos (CECyT’s), área físico matemáticas, men-cionan la importancia de promover las habilidades del pensamiento: análisis, interpretación y síntesis, así como la elaboración de conjeturas, argumentación, abstrac-ción y generalización. Este proceso permite la contextua-lización y en este sentido las representaciones adquieren un papel importante, pues de éstas depende la estructu-ra cognitiva del estudiante.

La representación es un proceso que en las ciencias di-namiza la resolución de eventos contextualizados: facili-ta al alumno dar sentido a la información que le brinda el evento contextualizado y operarla hasta dar respuesta a la exigencia solicitada. En específico, la primera repre-sentación gráfica, con la cual se inicia el proceso de solu-ción, es decisiva porque se presenta entre la percepción del evento y el proceso de resolución. Durante éste influ-yen varios aspectos como: la formulación del problema, las ideas previas del estudiante, las condiciones dentro de las cuales el problema está inmerso —referido en térmi-nos de comunicación— entre otros. Dichos factores son determinantes para que el estudiante pueda reinterpretar o modificar la primera representación, cuyo tratamiento conlleva a identificar información para hacer inferencias y seleccionar los elementos relevantes que, con posterio-ridad, se traducirán en la abstracción del análisis de las partes y su integración, dando lugar a la síntesis y a la conclusión del evento.

Marco de referencia

La matemática en contexto de las ciencias es una teoría que reflexiona acerca de la vinculación que debe exis-tir entre la matemática y las ciencias que la requieren (Camarena, 1984, 1995, 2001, 2005).

El supuesto filosófico educativo de esta teoría consis-te en que el estudiante esté capacitado para realizar la transferencia del conocimiento de la matemática a las áreas que la requieren, y que con ello las competencias profesionales y laborales sean favorecidas. En otras pa-labras: se busca una matemática para la vida. La teoría contempla cinco fases: curricular, didáctica, epistemoló-gica, formación docente y cognitiva.

La fase didáctica posee una estrategia denominada matemática en contexto (Camarena, 1995), en donde se presenta al estudiante una matemática contextualizada en las áreas del conocimiento de su futura profesión, en actividades de la vida cotidiana, profesionales y labora-les a través de eventos contextualizados que pueden ser problemas o proyectos.

La matemática en contexto contempla nueve eta-pas que se desarrollan en el ambiente de aprendizaje en equipos de alumnos, en donde deberá identificarse

un líder académico, un líder emocional y un líder de trabajo:

1. Identificar los eventos contextualizados.2. Plantear el evento contextualizado.3. Determinar las variables y las constantes del

evento.4. Incluir los temas y conceptos matemáticos necesa-

rios para el desarrollo del modelo matemático y so-lución del evento.

5. Determinar el modelo matemático.6. Dar solución matemática al evento.7. Determinar la solución requerida por el evento.8. Interpretar la solución en términos del evento y dis-

ciplinas del contexto.9. Presentar una matemática descontextualizada.

Entre las actividades que el estudiante desarrolla son importantes las representaciones de los objetos mate-máticos, elemento al que se aboca la presente investi-gación.

El papel que desempeñan las representaciones en el aprendizaje de la matemática es fundamental ya que po-sibilitan la comunicación y comprensión del sujeto con su medio. Son configuraciones —palabras, gráficas, ecua-ciones— que pertenecen a sistemas altamente estruc-turados, denominados “esquemas simbólicos” (Kaput, 1987), “sistemas representacionales” (Goldin, 1987), o “sistemas semióticos” (Duval, 1993), constituidos de ca-racteres o signos primitivos para ser combinados a través de reglas particulares en cada sistema. Dichas reglas es-tructuran el sistema de producción de la representación que contribuye a enriquecer su contenido (Duval, 1996; Goldin y Kaput, 1996).

Callejo (1994), estudia el empleo de las representa-ciones gráficas por alumnos de nivel medio básico (se-cundaria) cuando resuelven problemas; su investigación reporta los elementos que, desde su perspectiva, deter-minan la elección, interpretación y modificación de estas representaciones, es decir, descripción de la situación, preguntas y contexto matemático en que está envuelto el enunciado. Estos factores influyen de modo directo para elegir el primer acercamiento con la representación grá-fica, a ello Callejo denomina representación generatriz, por ser ésta la primera representación gráfica que inicia el proceso de resolución del problema en operación, si-guiendo un acompañamiento de representaciones dise-ñadas con la misma finalidad del proceso. Por ejemplo:ilustrar el enunciado del problema, formalizar el problema dentro del dominio matemático, aplicar una estrategia de solución, entre otras, de tal manera que el acompaña-miento de las representaciones diseñadas en el curso de la resolución del problema está determinado por la pri-mera representación generatriz (Benítez, 2007). El es-quema 1 muestra el análisis de la primera representación gráfica en eventos contextualizados.


Esquema 1Análisis de la primera representación gráfica.

Respecto a las representaciones semióticas Duval (2000), menciona la necesidad de manejar al menos dos registros de representación semiótica para llevar a cabo las tres funciones cognitivas —formación, tratamiento y conversión— y poder lograr la aprehensión del objeto. La visualización matemática no es un acto de aprehensión simultánea en el campo de la percepción, es una acti-vidad cognitiva intencional que produce una represen-tación en una superficie de dos dimensiones —pantalla, papel— la cual muestra las relaciones entre las unida-des que componen las figuras. Eso quiere decir que: la visualización matemática expone solo a los objetos que se hacen “ver” a través de las organizaciones de las re-laciones que tienen las unidades de las figuras. Por lo cual “ver” en matemática implica identificar las relacio-nes o la organización de relaciones entre las unidades representacionales que constituyen una representación semiótica (Duval, 1996).

Para reconocer las unidades representacionales es preciso la exploración detallada para producir construc-ciones de acuerdo con las propiedades o reglas de la representación. Estas unidades se conectan, bi-dimen-sionalmente, porque se requiere la organización de al menos dos dimensiones para establecerla. Las represen-taciones gráfica y numérica son un tipo de visualización en matemática, particularmente necesarias en la inves-tigación a realizar. Ambas representaciones poseen or-ganizaciones visuales bi-dimensionales: el cuadriculado del plano en líneas para la gráfica y la distribución en co-lumnas para la tabla.

Metodología

El propósito de la experiencia educativa fue proporcionar al estudiante diversas situaciones asociadas a la repre-sentación gráfica, empleando tratamientos que eviden-cian su riqueza, impulsando la formulación de problemas. La actividad se realizó en el contexto de la química en un curso de álgebra. Con anterioridad los alumnos no habían participado en esta forma de trabajo, es decir, se modifi-có la práctica en el salón de clase, se impulsó la comuni-cación de ideas y la continua participación activa.

La experiencia contó con un grupo de 40 alumnos del nivel medio superior del CECyT 11 Wilfrido Massieu Pérez, de primer semestre del ciclo escolar, con una du-ración de 18 semanas. Las edades de los participantes fluctuaban entre 15 y 16 años.

Desarrollo de la experiencia educativa

Identificación de los eventos contextualizados

Para el diseño de las actividades previamente se ana-lizó el contenido matemático con el propósito de iden-tificar las ideas principales a desarrollarse. El resultado se enfocó en dos ideas centrales que articulan toda la organización conceptual de álgebra: lenguaje algebrai-co y modelación con ecuaciones y funciones, ello facilitó plantear modelos lineales y de cuadráticas en situacio-nes concretas. En función de estas ideas se diseñaron las actividades; algunas fueron observadas en un curso

Fuente: Benítez, 2007.

Presentación del problema

pasaje del texto a la situación

Representaciones mentales

Primerarepresentación

mental

Soluciónmatemática

delproblema

Soluciónrequerida del

problema en el ámbito de la

disciplina

Primera representación gráfica

Representaciones: gráfica, simbólica, numérica

Tratamiento en las representaciones y conexiones entre ellas

Variación de la representación gráfica

establecimiento del modelo matemático

Variación de la representación gráfica

identificandovariables y constantes

Materialización de la imagen mental en un papel para dibujo

Materialización de nuevas representaciones

Inclusión de los temas y conceptos matemáticos


paralelo, anterior a la experiencia, a fin de examinar el potencial o bien identificar las dificultades que podrían tener los alumnos.

Una de las características principales de las actividades fue proporcionar información al estudiante —presenta-da en tablas, gráficas, enunciados verbales para explorar contenidos y establecer conexiones— con el objetivo de analizar diversas representaciones y darles seguimiento.

Planteamiento del problema de las disciplinas del contexto

Dos velas (V1 y V2) del mismo tamaño (120 cm) están hechas de distintos materiales tales que, una se consu-me de modo uniforme en tres horas, en tanto la otra se consume en cuatro horas:

1. ¿Cuál es la altura de V1 al término de 2 hrs. 40 min?2. ¿Cuál es la altura de V2 al término de 2 hrs. 30 min?3. Si V1 y V2 se encienden a las 2:00 pm: ¿a qué hora

V1 tendrá 30 cm de altura?4. Si V1 y V2 se encienden a las 5:00 pm: ¿a qué hora

V2 tendrá 15 cm de altura?5. ¿Cuál es la ecuación de la recta correspondiente a

cada vela? 6. ¿Dar una explicación de lo que representa cada vela?7. ¿A qué hora deben encenderse ambas velas simul-

táneamente para que a las 5:00 pm un cabo de vela mida el triple del otro?

Determinación de las variables y de las constantes del problema

Las variables identificadas: tiempo, altura.

Inclusión de los temas y conceptos matemáticos necesarios para el desarrollo del modelaje y su solución

Temas: ecuación de la recta, interpretación de la gráfica y la tabla numérica, sistema de ecuaciones lineales.

Determinación del modelo matemático

Ecuación V1 Ecuación V2

V1 � 120�40t V2 � 120�30t

Solución matemática del problema

V1 � 120�40t 3(120�40t) � 120�30tV2 � 120�30t 360�120t � 120� 0t3V1� V2 360�120 � 120t�30t

240 � 90t

t � 24090

t � 249

t � 2.66 hrs t � 160 min t � 2 hrs 40 min

Ambas velas deben encenderse simultáneamente a las 2:20 pm para que a las 5:00 pm un cabo de vela mida el triple que el otro.

La experiencia

Fase de introducción. Los alumnos participantes care-cían de experiencia para practicar la nueva dinámica debido a que estaban habituados a la enseñanza magis-tral. Ante esta situación, en la primera semana se les introdujo al trabajo y discusión en equipo durante la cual el profesor fungió como coordinador.

Dinámica de trabajo en el aula. La clase se organizó en equipos de cuatro a cinco integrantes, con un total de seis equipos por grupo. Al inicio de la sesión se entregó el planteamiento del problema a resolver con la finalidad de trabajarlo de manera colectiva; un integrante del equipo se encargó de recoger la información que se ob-tuvo en el proceso de solución; en tanto el profesor participó como espectador y en caso necesario dio ase-soramiento. Una vez terminada la tarea los equipos pre-sentaron un reporte escrito.

El docente como resultado de su observación a los equipos seleccionó uno —teniendo en cuenta los dife-rentes puntos de vista expuestos en el grupo, la par-ticipación en la discusión para aclarar dudas y superar dificultades— para que expusiera su trabajo al grupo. Los reportes de los equipos se les entregaron en la siguiente sesión con diferentes anotaciones a fin de que el alum-no, de manera individual, revisara y corrigiera el traba-jo si era el caso.

En determinados momentos el maestro expuso al grupo algunos tópicos que ocasionaron dificultad, por ejemplo: identificar información relevante en el transcurso del es-tudio de las representaciones, a lo cual los alumnos ma-nifestaron mayor interés para explorar los trazos.

Discusión del trabajo

Se utilizaron los reportes escritos y grabaciones de las sesiones en audio y video como instrumentos de reco-lección de datos. Para presentar los resultados del estu-dio se consideró lo siguiente:

1. Las estrategias que el alumno empleó ante una si-tuación contextualizada.

2. Las variables y los criterios de selección.3. La elección de la primera representación y el trata-

miento realizado.4. Etapas transitadas en el proceso de solución del

evento contextualizado.

Los estudiantes en sus primeros acercamientos con la información construyeron un modelo inicial con elemen-tos parciales y omisión de otros, manteniendo la mayo-ría de ellos el esquema original del modelo sin presentar cambio alguno. Pocos estudiantes modificaron el modelo


inicial mediante la interacción con la tarea, demostrando la habilidad de reestructurar la situación, actividad desa-rrollada a lo largo de toda la experiencia educativa.

Otro elemento importante a destacar fue el tratamien-to aritmético que tuvieron los alumnos, a pesar de haber practicado procedimientos aritméticos como base funda-mental a fin de pasar a un tratamiento simbólico con las relaciones identificadas.

Con respecto al análisis de las representaciones em-plearon tres de éstas: gráfica, numérica y algebraica, cuyo tratamiento se enfocó en el estudio cuantitativo, es decir, se exploró el contenido de las representacio-nes con la elección de puntos, aunque se identificaron algunos rasgos en la representación gráfica en cuanto al comportamiento cualitativo de la curva.

En este sentido, los estudiantes lograron mejorar el entendimiento de la situación a través de la elaboración o tratamiento de las representaciones; sin embargo, la articulación entre éstas es un proceso que pocos estu-diantes lograron concretar debido a las dificultades pre-sentadas, tales como: no poder establecer relaciones entre el comportamiento de las alturas en las velas con el significado de las pendientes y las ordenadas al ori-gen en las expresiones algebraicas. Ello reveló falta de conexión entre el contenido de la gráfica y la expresión algebraica.

No obstante, la exploración en la tabla de valores per-mitió identificar las pendientes de las rectas en las expre-siones algebraicas, reconociendo que las pendientes son negativas y su interpretación se orientó a la disminución del tamaño de las velas en la representación gráfica.

Un aspecto reiterativo en la actividad fue que, si bien los alumnos parecían entender la esencia de las diversas tareas planteadas, emplearon el mismo esquema en todas las acti-vidades, ello sugiere que tienden a examinar relaciones si-guiendo un conjunto de reglas propuestas por el docente.

En el transcurso de la actividad se identificaron tres etapas. La primera de apropiación, en la cual los alumnos atendieron algunos aspectos relevantes ya que constru-yeron preguntas parciales a la situación. En la segunda, identificaron más información que les permitió reexami-nar la situación para establecer nuevas preguntas, así como una primera formulación del problema. En la ter-cera etapa determinaron conexiones entre la información identificada y la formulación de nuevos eventos en la si-tuación. Con esta dinámica los participantes adquirieron de manera paulatina mayor comprensión de la situación. En tanto el docente se concentró en coordinar la discu-sión en los equipos y en el planteo de preguntas con la intención de aclarar dudas y replantear nuevos retos.

A continuación y a modo de muestra se exhibe el tra-bajo de un equipo. Éste identificó información parcial de la situación; sin embargo, durante el análisis del consu-mo de las velas reconoció información relativa a sus al-turas respecto al tiempo trascurrido; al cuestionársele la relación en el consumo de las velas no identificó ningún rasgo característico desde el punto de vista de la rela-ción entre ambos eventos. Con base en ello, el equipo analizó la representación numérica, que representaba el comportamiento de las velas para ciertos tiempos, y planteó un primer problema: ¿cómo determinar el com-portamiento del consumo de las velas? (imagen 1).

Imagen 1Tratamiento de la representación numérica.

Con la intervención del profesor identificó (el equipo) nueva información que le permitió releer el problema y continuar con la exploración de la representación gráfi-

ca. En este punto, se consideró que el problema plan-teado aún era vago e impreciso, por lo cual el docente sugirió replantear la situación (imagen2).



Imagen 2Tratamiento de la representación gráfica.

El equipo realizó una nueva presentación en donde aplicó la analogía con una situación de vida cotidiana, en ese momento surgió una idea que resultó muy im-portante en el seguimiento del problema: considerar la


interpretación del contenido de la representación gráfica para construir las expresiones algebraicas que modelan el comportamiento de las velas basado en la información obtenida (imagen 3).

Imagen 3Exploración de la representación algebraica.



Por lo tanto, el equipo empleó en el análisis al menos tres representaciones para su exploración, las cuales se muestran en la imagen 4.

Aunque la información fue relevante para la situación, el equipo no logró establecer una relación para mostrar la condición del problema: ¿a qué hora deben encender-se V1 y V2 simultáneamente para que a las 5:00 pm un cabo de vela mida el triple que el otro?

El proceso comenzó reconociéndose información par-cial de la situación que, por lo general, es la más notoria y sobre esa base se construyó un modelo inicial. Median-te las preguntas planteadas por el docente los estudian-tes pasaron a otro nivel en donde identificaron nueva información, lo que llevó a revisar el problema plantea-do originalmente.

Sin embargo, su reacción no fue espontánea y mantu-vieron el planteamiento inicial del problema; es decir que, a pesar de descubrir nueva información no la utilizaron para reexaminar el problema inicial y no la relacionaron con la identificada previamente. Los alumnos cambiaron de pers-pectiva a causa del cuestionamiento del profesor y de la in-teracción con las tareas; ambos elementos propiciaron que se comprendiera que la nueva información ocasionó la mo-dificación del problema original.

Las fases que se detectaron fueron:

a) Identificación de la información y/o entendimiento de la situación.

Imagen 4Representaciones empleadas:

tabla, gráfica, expresión algebraica y expresión icónica.

b) Primera formulación del problema y empleo de la primera representación (numérica).

c) Descubrimiento de nueva información y reformula-ción del problema original para emplear la repre-sentación gráfica.

d) Explorar el contenido de las representaciones a tra-vés de la reformulación del problema.

e) Articulación de las representaciones.

En el proceso de formulación del problema aparece en-trelazado el seguimiento, es decir, surge una idea o con-jetura; en esta etapa los alumnos manipularon las alturas de las velas en la situación y las explicaron de acuerdo a su consumo. Este proceso (el de formulación de pro-blemas) mostró una complejidad con el surgimiento de dificultades o concepciones falsas que lo obstaculizaron. Ahora bien, otro enfoque en la percepción de la situación por nuevos aspectos no trae consigo de modo inmediato un cambio; en la interacción es posible superar las difi-cultades que se presentan. Otro factor observado en la experiencia, no menos importante, fue las notables de-ficiencias del lenguaje utilizado por los alumnos para ex-presarse, en este caso las ideas que pueden surgir en el proceso de formulación.



Conclusiones

De la actividad realizada se observó que en cuanto a los estudiantes:

1. Se enfocaron en sus primeras interacciones a si-tuaciones o elementos parciales omitiendo otros de carácter relevante durante el análisis del pro-blema.

2. Ante una situación atendieron algunos aspectos mientras desatendieron otros –variabilidad en la interacción– lo que determinó que en esta activi-dad se requiere que tengan la vivencia con la fi-nalidad de fortalecer su percepción frente a las preguntas planteadas.

3. Pretendieron reproducir la actividad en otras di-ferentes, lo cual sugiere que tienden a examinar datos o relaciones siguiendo las reglas presenta-das por el maestro.

4. En el trabajo en equipo se superó la tendencia cal-culista. No obstante cuando el trabajo a desarro-llar fue individual se regresó al uso de tratamientos cuantitativos, mientras que por equipo exploraron las situaciones con métodos cualitativos.

5. Las discusiones en plenaria les permitieron deba-tir sus argumentos en un ambiente de análisis y de razonamiento.

En cuanto a la práctica:

1. El proceso de aprendizaje sufrió altas y bajas, prin-cipalmente en aquellas destinadas a construir o in-terpretar situaciones.

2. El estudio de la primera representación a través de la reformulación del problema permitió fortalecer el empleo de diversas representaciones para estable-cer conjeturas, lo cual enriqueció el contenido de la representación generatriz.

3. La organización de las actividades de acuerdo a la matemática en contexto –trabajo en equipo, expo-siciones y discusión grupal– coadyuvó para que los estudiantes expusieran sus ideas y conjeturas.

4. Esta propuesta implicó una nueva perspectiva para el profesor que imparte la asignatura de álgebra, ya que el alumno aprende una forma de estructu-ra diferente para trabajar en el aula, reafirma los conocimientos previos y las experiencias que inter-cambia con los miembros de su equipo y con el pro-fesor. Por su parte el docente también aprende una nueva perspectiva de su labor que exige disciplina, preparación y compromiso en el proceso de apren-dizaje personal y del educando.


Bibliografía

Benítez Pérez, Alma, Las representaciones gráficas y la matemática en el contexto de las ciencias, reporte técnico de investigación del proyecto número de registro CGPI 20071568, México, 2007, IPN.

Callejo, María Luz, “Les représentations graphiques dans la résolution de problèmes: une expérience d´entraînement

D´étudiants dans un club mathématique” in Educational Studies in Mathematics 27, 1994, pp. 1-33.

Camarena, Gallardo, Patricia, La matemática en el contexto de las ciencias: las competencias profesionales, reporte de investigación,

México, 2005, ESIME-IPN.

Camarena, Gallardo, Patricia, Los modelos matemáticos como etapa de la matemática en el contexto de la ingeniería”, reporte de

investigación, México, 2001, ESIME-IPN.

Camarena, Gallardo, Patricia, “La enseñanza de las matemáticas en el contexto de la ingeniería” conferencia presentada en el

XXVIII Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana,México, 1995.

Camarena, Gallardo Patricia, El currículo de las matemáticas en ingeniería, Mesas redondas sobre definición de líneas de

investigación en el IPN, México, 1984, IPN.

Duval, Raymond, “Basic issues for research in mathematics education”, in Proceedings of the 24th Conference of the

International Group for the Psychology of Mathematics Education,vol. I, 2000, pp. 55-69.

Duval, Raymond, ”Les représentations graphiques: functionnement et conditions de leur apprentissage”, in Actes de la 46ème

Reencontré Internationale de la CIEAEM, tome 1, (ed. Antibici), 1996b, Toulouse, Université Paul Sabatier, pp. 3-15.

Duval, Raymond, ”Gráficas y ecuaciones: la articulación de dos registros”, en Antología de educación matemática, compilación de

Rodrigo Cambray Núñez, Ernesto A. Sánchez Sánchez y Gonzalo Zubieta Badillo, 1993, Cinvestav, México.

Goldin, A. y J. Kaput, ”A joint perspective on the idea of representation in learning and doing mathematics” in Theories of

Mathematical Learning, Paul Cobb, Gerald A. Goldin y Brian Greer, Hillsdale, New Jersey, 1996, Lawrence Erlbaum Associates.

Goldin, G., “Levels of language in mathematical problem solving”, in C. Janvier (ed.) Problems of Representation in Teaching and Learning of Mathematics, Hillsdale, New Jersey, 1987, Lawrence

Erlbaum Associates.

Kaput, James, ”Representation systems and mathematics”, in C. Janvier (ed.) Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, Hillsdale, New Jersey, 1987, Lawrence

Erlbaum Associates.



AbstractAn algebraic expression can be looked at from two points of view: ope-rational and structural. Numerous algebraic tasks require considering the structural aspect, e.g., substituting an expression by another, fac-toring and so on. Yet, in mathematics curricula in France, the operatio-nal aspect prevails. Students’ difficulties to take account of the structure of an expression manifest themselves in numerous errors committed in handling with algebraic expressions. In this article we present a peda-gogical scenario designed to help students grasp the structural aspect of algebraic expressions. The scenario involved Aplusix, educational soft-ware for teaching and learning algebra, which allows representing alge-braic expressions in usual and tree forms.

Jana Trgalová*

* Master of science, specialized in mathematics and computer science, Comenius University, Bratislava (Slovakia), master of science specialized in mathematics education, University of Grenoble 1 (France), and doctor in mathematics education, University of Grenoble 1 (France). Ongoing projects: CAPES-COFECUB project in collaboration with Brazil (2009–2013). Current position: associate professor in National Institute for Pedagogical Research (INRP), Lyon, France.

E-mail: [email protected]

Pedagogical scenario involving

Aplusix educational software

KeywordsAplusix, algebraic expression, operational aspect, structural aspect, semiotic register of representation, usual representation, tree representation, natural language representation.

RésuméUne expression algébrique peut être considérée de deux points de vue: procédural et structural. De nombreuses tâches en algèbre nécessitent la considération de l’aspect structural de l’expression, par exemple subs-tituer une expression par une autre, factoriser etc. Cependant, dans les programmes scolaires de mathématiques en France, il y a prédominance de l’aspect procédural. Les difficultés de prise en compte de la structu-re d’une expression algébrique par les élèves se traduisent par de nom-breuses erreurs commises dans la manipulation des expressions. Dans cet article nous présentons un scénario pédagogique conçu pour aider les élèves à comprendre la structure des expressions algébriques. Le scéna-rio intègre Aplusix, un logiciel d’aide à l’enseignement et l’apprentissage de l’algèbre, qui permet de représenter les expressions algébriques sous forme usuelle et sous forme d’arbre.

Mots-clefsAplusix, expression algébrique, aspect procédural, aspect structural, registre sémiotique de représentation, représentation usuelle, représentation sous forme d’arbre, représentation en langue naturelle.

Un scénario pédagogique avec le logiciel Aplusix

Escenario padagógico y el software educativo AplusixResumenUna expresión algebraica puede observarse desde dos puntos de vista: operacional y estructural. Numerosas tareas algebraicas requieren que se considere el aspecto estructural, es decir, sustituir una expresión en otra, factorizarla. En Francia, aún prevalece el aspecto operacional en el currículo de matemáticas. Las dificultades que tienen los estudiantes para tomar en cuenta la estructura de una expresión quedan de manifiesto en los abundantes errores cometidos en su manejo. Se presenta un escena-rio pedagógico diseñado para ayudarlos a asimilar el aspecto estructural de las expresiones algebraicas. Este escenario incluye Aplusix, software educativo para la enseñanza y aprendizaje del álgebra, que permite repre-sentar expresiones algebraicas de forma usual y de árbol.

Palabras claveAplusix, expresión algebraica, aspecto operacional, aspecto estructural, registro de representación semiótica, representación usual, representación de árbol, representación del lenguaje natural.


Introduction

The research presented in this article is developed in the framework of the European project ReMath1, whose starting point is a wide-ranging dissatisfaction with the state of mathematics education in Europe and the weak impact of research and development work on using ICT for its improvement. One of the reasons of this unsa-tisfactory state is the fact that theoretical frameworks emerging from state-of-the-art research on learning mathematics with digital media are fragmented and involve assumptions bound to the specific contexts from which they emerged. ReMath project addresses the issue of integrating theoretical frames on teaching and learning mathematics with digital technologies at the European level, taking a learning through representingapproach. The overall methodology consists in gathering evidence from experience involving a cyclical process of: a) developing six state-of-the-art dynamic digital arte-facts (DDA) for representing mathematics, b) developing scenarios for the use of these artefacts, and c) carrying out empirical research involving cross-experimentation in realistic educational contexts.

Drawing on one of the most striking results obtained from TELMA2 project, in which ReMath partners were in-volved previously, pointing out a strong influence of theo-retical frameworks in the design of DDA and learning scenarios involving these DDA (Cerulli et al., 2008), Re-Math project intents to further investigate the role theo-ries play in the process of elaboration, implementation and analysis of these scenarios.

The paper starts by presenting Aplusix, one of the six DDA developed in the framework of the project. First, in section Aplusix-standard software, standard software using only the usual representation of expressions is des-cribed, and then in section Aplusix with tree representa-tion of algebraic expressions, a new prototype allowing to represent algebraic expressions in a form of a tree as well is presented. In section Theoretical frameworks, theo-retical background underpinning the design of a peda-gogical scenario involving the new prototype of Aplusix is clarified. Section Experimentation is devoted to the pre-sentation of the pedagogical scenario and its implemen-tation in three different French classes. A few results from these experimentations will also be discussed. Finally, in section Conclusion and perspectives, several conclusions and perspectives this research opens are discussed.

Presentation of Aplusix

Aplusix3 is a microworld and an exerciser designed to enhance learning of algebra. It is developed by MeTAH4 team of

the Computer science laboratory5 in Grenoble, France. The reader interested in Aplusix design and development issues is referred to (Trgalová & Chaachoua, 2008).

Aplusix-standard software

In Aplusix, a student can solve freely algebra exercises such as calculate, expand and simplify, factor, solve an equation, an inequation or a system of equations and inequations. Two main interaction modes are available: training mode and test mode. In the training mode, the system provides two fundamental types of feedback: it checks both the correctness of calculation steps and the correct end of exercises (Figure 1). In the test mode, no feedback is provided to the student who has a limited time to solve a list of exercises (Figure 2).

Figure 1 Training mode: the red crossed parallel lines

between the two expression indicate that the expressions are not equivalent.

Source: Aplusix-standard software.

Figure 2Test mode: 10 exercises about factoring of

algebraic expressions are to be solved within 30 minutes. No feedback is provided by the system.


1 Representation in Mathematics with Digital Media (ReMath), project number IST4-26751, http://remath.cti.gr/. Partners involved: Denis Diderot University, Paris 7, France; Joseph Fourier University, Grenoble 1, France; Consiglio Nazionale Delle Richerche, Roma, Italy; Università degli Studi di Siena, Siena, Italy; National & Kapodistrian University of Athens, Athens, Greece; Talent Anonimos Etaireia Pleroforikis, Greece; Institute of Education, University of London, London, United Kingdom.

2 Technology Enhanced Learning of Mathematics (TELMA), project number IST 507838, http://telma.noe-kaleidoscope.org/3 http://aplusix.imag.fr4 Methods and Technology for Human Learning, http://www.liglab.fr/spip.php?article101&lang=en5 http://www.liglab.fr/?lang=en


Two other modes exist in Aplusix: self-correction and replay. Self-correction mode allows the student to see again a test s/he has worked on and correct possible er-rors s/he committed with the help of feedback provided by the system (Figure 3). Replay mode allows a student, a teacher or a researcher to see the student’s work, step-by-step, action-by-action.

Aplusix was designed to be integrated into a regular work of a mathematics class: its interface is similar to paper and pencil environment, the editor of algebraic ex-pressions is extremely simple and intuitive (Nicaud et al.,2003, Nicaud et al., 2004). Aplusix contains more than 400 patterns of exercises organized according to a mathe-matical topic and a level of difficulty (Figure 4).

Figure 3 Self-correction mode: a student sees

the score s/he has obtained in the test and can modify an already solved exercise

in order to correct her/his errors.


Figure 4The map of exercises that can be solved either in the training or in the test mode.


Aplusix with tree representation of algebraic expressions

For the purpose of the ReMath project, a new represen-tation of algebraic expressions in the form of a tree has been designed and implemented into Aplusix software. Several reasons motivated the developers of the soft-ware to add this representation:

• From an epistemological point of view, trees are natural representations of algebraic expressions.

• From a didactical point of view, the availability of a new semiotic register of representation would allow to conceive activities bringing into play a conver-sion between registers (Duval, 1995), which could favor the learning of algebraic expressions, in par-ticular their structural aspect.

• From a computer science point of view, trees are fundamental objects that serve to define most of data structures. As a matter of fact, internal objects used in Aplusix to represent algebraic expressions and their visual properties are trees (Bouhineau etal., 2007a, b).

Three modes of tree edition have been implemented in the software: free tree mode, controlled tree mode and mixed tree mode. In the free tree mode (Figure 5), a user can create and modify a tree freely. In the con-trolled tree mode (Figure 6), the freedom in editing a tree is restricted since the user is forced to use only known operators and a correct number of arguments.

Figure 5 Free tree mode allowing to create all sorts of

trees, correct and erroneous.



Figure 6Controlled tree mode: only known operators and

a correct number of arguments can be used.


The mixed tree mode is a controlled mode but, con-trary to free or controlled modes (Figure 7a), it accepts expressions in the usual representation in the leaves of a tree (Figure 7b).

Figure 7(a) In the free or controlled modes, the leaves

can contain only a number, a variable or an operator.

(b) In the mixed mode, the leaves can contain expressions in the usual form.

(a)

(b)


The representation of algebraic expressions can be changed anytime, by clicking on the expression with the right button of the mouse (Figure 8).

Figure 8The item “Representation” allows changing the

representation of an algebraic expression.


In addition, thanks to the “second view” command, representations of a same expression in two different re-gisters, for example usual and tree, can be displayed at the same time. Only the representation in the main window is modifiable. Any modification in this window is reflected on the representation in the second view win-dow. Feedback provided by the software is visible in both windows (Figure 9).

Figure 9The expression 2x²+5(x-4) in usual representation in the main window and the second view of this

expression in the form of a tree.


Theoretical frameworks

Object and process aspects of a mathematical concept

According to Sfard (1991, p. 4), mathematical notions can be conceived in two different ways: structurally —as objects— and operationally —as processes. The author claims that: seeing a mathematical entity as an object means being capable of referring to it as if it was a real thing – a static structure, existing somewhere in space and time. It also means being able to recognize the idea “at a glance” and to manipulate it as a whole, without


going into details. […] In contrast, interpreting a notion as a process implies regarding it as a potential rather than actual entity, which comes into existence upon request in a sequence of actions. In another words, an object conception of a notion focuses on its form while a process conception focuses on the dynamics of the notion. Thus, whereas structural conception is “static, instantaneous and integrative”, operational conception is “dynamic, sequential and detailed”.

Considering the notion of algebraic expression in this perspective, when it is conceived:

• Operationally, it refers to a computational process. For example, the expression 5x-2 denotes a com-putational process “multiply a number by 5, and then subtract 2”, which can be applied to numeri-cal values.

• Structurally, it refers to a set of objects on which operations can be performed. For example, 5x-2 denotes the result of the computational process ap-plied to a number x. It also denotes the function that assigns the value 5x-2 to a variable x.

Yet, in the French textbooks, there are very few exer-cises where the final answer is an algebraic expression. The last question of the most of exercises leads to a nu-merical value and the algebraic expression appears only as an intermediary step without its own purpose. Thus, the operational conception of algebraic expressions pre-vails in the teaching of algebra.

However, a recent document accompanying junior high school mathematics curricula6 brings evidence that policy makers become aware of this situation. The au-thors point out that the structural aspect of an expression in the teaching of algebra is less “visible” for the students than the operational aspect: considering the “structural” aspect of an expression is less “visible” for the students than the “operational aspect” (Sfard, 1991, p. 5).7

The authors give examples of types of activities that can favour the distinction between these two conceptions of an algebraic expression. One of such activities consists in de-scribing the expression in natural language, which requires considering the structure of the expression: for example, saying that (3x–1)(x²+2) is the product of a difference by a sum, difference of the product of 3 by x and 1, by the sum of the square of x and 2 […]. The first word of the sen-tence built in this way gives the form of the expression […]. Conversely, explaining verbally the sequence of operations

to do in order to perform the calculation brings forward the “operational” aspect of the expression (Sfard, 1991).8

Another type of activity suggests using a tree represen-tation of an expression claiming that this representation helps distinguish between operational and structural as-pects of the expression: building of a tree relies on priori-ties of operations and the order of calculations to perform (“operational” aspect), but the highest level assembler gives the form of the expression (“structural” aspect).9

These considerations led us to precise the educatio-nal goal of our pedagogical scenario, which is to help the students grasp the structure of an algebraic expression by means of introducing the tree representation and ar-ticulating it with the usual and natural language repre-sentations.

Semiotic registers of representation of mathematical concepts

There is no doubt that semiotic representation is of a major importance in any mathematical activity since mathe-matical concepts are accessible only by means of their representations. Duval (1995), calls “register of repre-sentation” any semiotic system allowing to perform three cognitive activities inherent to any representation: forma-tion, treatment and conversion: To constitute a trace or an assemblage of perceptible traces that can be identi-fied as a representation of something in a given system. Then, to transform the representations by using only the rules peculiar to the system in a way to obtain other re-presentations likely to bring a new knowledge with respect to the initial representations. Finally, to convert represen-tations built in one system of representation into another system in such a way that the latter allow clarifying other meanings of what is represented (p. 21).10

These activities correspond to different cognitive pro-cesses and cause numerous difficulties in learning mathe-matics. Duval (2006), claims that while treatment tasks are more important from the mathematical point of view, conversion tasks are critical for the learning. Conse-quently, conceptualisation of mathematical notions re-quires manipulating of several registers for the same notion allowing to distinguish between the notion and its representations. As Duval (1993), says, the conceptuali-sation relies upon the articulation of at least two re-gisters of representation, and this articulation manifests itself by a rapidity and the spontaneity of the cognitive activity of conversion between the registers.

6 Du numérique au littéral. Collège, mathématiques. Projet de document d’accompagnement. Direction de l’enseignement scolaire, bureau du contenu des ensei-gnements, Février 2008, http://eduscol.education.fr/D0015/du_numerique_au_litteral.pdf

7 Author’s translation from the French original: La prise en compte de l’aspect “structural” d’une expression dans l’enseignement est moins “visible” pour les élèves que l’aspect “procédural”.

8 Author’s translation from the French original: par exemple, énoncer que (3x–1)(x²+2) est le produit d’une différence et d’une somme, différence du produit de 3 et de x et 1 et somme du carré de x et de 2 […]. Le premier nom de la phrase ainsi construite donne la forme de l’expression […]. Inversement, l’explicitation orale de la suite des opérations à effectuer pour exécuter le calcul met en évidence l’aspect «procédural» de l’expression.

9 Author’s translation from the French original: la réalisation de l’arbre s’appuie sur les priorités opératoires et l’ordre des calculs à effectuer (aspect “procédural”),mais l’assembleur de plus haut niveau donne la forme de l’expression (aspect “structural”).

10 Author’s translation from the French original: (...) constituer une trace ou un assemblage de traces perceptibles qui soient identifiables comme une représentation de quelque chose dans un système déterminé. Ensuite, transformer les représentations par les seules règles propres au système de façon à obtenir d’autres repré-sentations pouvant constituer un apport de connaissance par rapport aux représentations initiales. Enfin, convertir les représentations produites dans un système de représentation en un autre système, de telle façon que ces dernières permettent d’expliciter d’autres significations relatives à ce qui est représenté.


Yet, school mathematics gives priority to teaching rules concerning both formation of semiotic represen-tations and their treatment. The amount of activities of conversion between registers is negligible, although they represent cognitive activities the most difficult to grasp by the students.

Motivated by these considerations, in the design of our pedagogical scenario, three semiotic registers of re-presentation of algebraic expressions are taken into ac-count: natural language register (NLR), usual register (UR), and tree register (TR). The scenario proposes ac-tivities of formation, treatment and conversion between these registers.

Experimentation

First, this experimentation being in line with the ReMath project, which aims at developing digital artifacts for the learning of algebra and at experimenting pedago-gical scenarios involving these artifacts in schools, the research goal shared with other project partners was to investigate the effects of representations available in the artifacts on students’ learning of algebra.

On the other hand, our experiment took place in Grade 9 (14-15 years) and Grade 10 classes (15-16 years). Students at this stage are already familiar with algebraic expressions that they are used to manipulate in the usual register of representation. However, much research in France (Grugeon, 2000; Tonnelle, 1980), but not only (Küchemann, 1981; Herscovics, 1989; Steinberg, Slee-man, Ktorza, 1990; MacGregor & Stacey, 1997), report about students’ difficulties encountered in the learning of algebra, and these are not rare in Grade 9 or 10 stu-dents. For this reason remedial activities focusing on difficulties related to the structural aspect of algebraic expressions had been designed. Thus, the following edu-cational goal was set up in line with the theoretical con-siderations presented above: help the students develop a structural conception of algebraic expressions by means of introducing them to the tree register of representa-tion, which will be articulated with natural language and usual registers.

Pedagogical scenario

The pedagogical scenario presented in the sequel is underpinned by the following hypothesis: the introduc-tion of the tree register and its articulation with natural language and usual registers will have a positive impact on students’ mastering the usual register of representa-tion of algebraic expressions, which is the one taught in school algebra. The scenario is composed from 4 units: Pre-test, Learning, Assessing, and Post-test.

Pre-test

Before introducing the new register of representation of algebraic expressions, a pre-test was administered to

students in order to diagnose their difficulties in alge-bra, especially those related to the structural aspect of expressions. On the other hand, the results of the pre-test compared to those of the post-test should provide us with evidence about the efficiency of the pedagogi-cal scenario. Two kinds of activities are proposed in the pre-test:

• Classical school algebra exercises (calculate the value of numerical expressions, expand and simpli-fy, factor algebraic expressions), which are, in Du-val’s terms, treatment tasks in the register of usualrepresentation. These exercises are to be done with standard Aplusix in the test mode.

• Communication games between students. Students work in pairs: one of the students is given an alge-braic expression that s/he is asked to describe in natural language. S/he then reads the description to the other student who has to decode the mes-sage in order to recreate the expression in the usual representation. The answer is validated by compar-ing the initial expression with the recreated one. In Duval’s terms, these are activities of conversionbetween the usual and natural language registers.They will be done in the ordinary paper and pencil environment since Aplusix cannot evaluate answers given in natural language register.

As was mentioned above, the teaching of algebra at junior high school gives priority to the operational as-pect of algebraic expressions. For this reason many er-rors were expected in the students’ productions resulting from their difficulties to identify the form of expressions or to consider it as an object, which can be manipulated as if it was a “real thing” (structural aspect).

Learning

The aim of this unit is to introduce the students to the new register of representation of numerical and al-gebraic expressions, TR, as well as to articulate it with the already familiar registers, NLR, and UR. The TR will be introduced by the teacher using Aplusix, in particular the mixed tree mode that will allow working out rules of formation of representations of expressions in this new register. Then, conversion activities between TR and NLR and UR respectively will be proposed. Most of the activi-ties will be done in a computer lab with Aplusix in the training mode. At the beginning, the students will be sup-ported by the constraints of the controlled tree mode, which will provide a sort of scaffolding in the early stage of learning of the TR. Later on, they will work without any constraint in the free tree mode, yet receiving feed-back as for the equivalence of expressions. Eventually, simple tasks of treatment in TR (calculate values of nu-merical expressions, simplify algebraic expressions) will be proposed in order to assess the mastery of the new register of representation by the students.


Assessing

The unit called “Assessing” aims at evaluating to what extent TR and conversion tasks between the registers are mastered by the students after having done activities of the “Learning” unit. The evaluation is organized in the form of communication games between students similar to those from the pre-test, but this time, TR is involved in the tasks. Moreover, the games start by a task of for-mation in TR: a student is asked to create a tree repre-senting an algebraic expression, s/he converts it in NLR

(respectively UR), gives the message to the other stu-dent who decodes the message and recreates the tree.

Post-test

In the post-test, tasks similar to those from the pre-test are proposed in order to enable a comparison of results. Confronting the results obtained at the two tests should provide us with evidence confirming or not our above-mentioned hypothesis; Table 1 below presents the structure of the pedagogical scenario.

Table 1Structure of the pedagogical scenario.

Activities Description Environment Duration

Pre-

test Treatment in UR

Calculate, FactorExpand and simplify

Aplusix 50 min

ConversionNLR↔UR

Communication games Paper & pencil 30 min

Lear

nin

g

Introduction to TR Scenario TR introduction Aplusix in video projection 55 min

ConversionNLR↔TR

Conversion NLR→TRConversion TR→NLR

Aplusix: controlled then free mode

Paper & pencil90 min

ConversionUR↔TR

Conversion UR→TRConversion TR→UR

Aplusix: controlled then free mode

80 min

Treatment in TRCalculate in TRSimplify in TR

Aplusix with second view 20 min

Ass

ess. Formation TR

ConversionTR ↔ NLR (UR)

Communication gamesAplusix: free mode

Paper & pencil55 min

Post

-tes

t

Treatment in RUCalculate, Factor

Expand and simplifyAplusix 30 min

ConversionNLR ↔ UR

Communication games Paper & pencil 20 min

Source: Own elaboration.

Experimentations

The scenario presented in the previous section has been experimented in three classes, namely one Grade 9 and two Grade 10 classes. The scenario was presented to the teachers in a form of a table similar to Table 1 above, accompanied with all proposed activities. The teachers could ask us to modify aspects of the scenario in order to adapt it to the contexts of their classes.

The teacher of one of the Grade 10 classes, who will be called table 1 in the sequel, realized the experiment (Exp1) in his class during October and November 2007. He asked to shorten the scenario, which was initially planned to take 6 sessions, to 3 sessions at most because of institutional constraints. Thus, a short version of the scenario has been elaborated with the following modifications of the initial scenario, more precisely of the “Learning” unit:

• The conversion tasks NLR→TR and UR→TR were proposed with Aplusix in the controlled tree mode only.

• The conversion tasks TR→NLR were assigned as homework.

• The treatment tasks in TR were left as optional. The teacher could propose them for example for students with difficulties during an individualized session.

The short version of the scenario was then also chosen by the teacher T3 of the Grade 9 class who experimented it (Exp3) during November and December 2007. Only the other Grade 10 class teacher (T2) experimented the entire initial scenario (Exp2) during the same period as T3.

Various constraints, in particular at the material level, gave rise to differences in implementations of the scenario. In Exp1, the short version has been implemented. The tea-


cher alternated whole class sessions (tests, introduction of the TR) with half-class sessions in computer lab where the students worked individually with Aplusix. Moreover, since the teacher did not feel comfortable with the new prototype of the software even though he uses regularly the standard version in his class, he preferred to ask one of the researchers who had designed the scenario to con-duct the session where TR was introduced.

Exp2 took place as expected, the entire scenario was implemented and all sessions were conducted by the teacher T2. As in Exp1, whole class sessions in an ordi-nary classroom with video projector alternated with half-class sessions in a computer lab allowing the students work individually with Aplusix.

Finally, in the T3’s class, all sessions took place with the whole class, since in the French system, Grade 9 clas-ses do not benefit from half-class sessions, as do Grade 10 (and above) classes. Thus, the students had to work in pairs with the computer. For this reason, pre-test and post-test, aimed at diagnosing individual students’ diffi-culties with algebra, had to be done in paper and pencil environment. Like Exp1, the short version was imple-mented and all sessions were conducted by the teacher.

First results

On the whole, the students in the Grade 10 class where Exp2 has been realized were quite high achievers and very few errors and difficulties were observed in the pre-test. For this reason, we limit the presentation of the results to the Exp1 and Exp3 experiments.

Pre-test

Students’ productions concerning treatment tasks with Aplusix confirmed our expectations about difficulties stu-dents encounter in mastering the usual representations of expressions. In the Grade 10 class (Exp1), errors in manipulating powers and minus sign were observed in most of the students’ productions, e.g.:3(�5)² → �3�5² ; 3(�5)² → � 3²�5²; �5²�7² → 25�49.

In the Grade 9 class (Exp3), on top of these errors, other kinds of errors in manipulating powers and minus sign were observed, for example:

3(�5)² → 3 � 25 ; (�3x)² → � 3²x ; (3x)² → 3x².In some students, errors linked to operation priorities

were observed as well, e.g.: 2+5*9 → 7*9 ; 2+3x → 5x.

On the other hand, in the communications games very few difficulties were actually observed in both classes (Exp1 & 3). This result was surprising since the proposed expressions being quite complex, many errors were ex-pected in the conversion tasks UR→NLR due mainly to the absence of brackets in NLR. This kind of errors has been observed in some pairs of students, but to a much lesser extent than expected. For example the initial ex-pression a�(x�2) became a�x�2 based on the message “a minus x plus 2”.

In the case of more complex expressions, even though the students failed to consider the structure of expres-sions to make conversions, they succeeded the exercise due to strategies consisting in “reading” the expression asit is written in UR. Thus for example the expression

(3x�2)(3x�1)a�(x�2)

was read as follows: open a bracket, 3 x plus 2, close the bracket, open a bracket, 3 x minus 1, close the bracket, the whole over a minus, open a bracket, x plus 2, close the bracket.

These messages result from what can be called oralregister and they accentuate the operational aspect of the expressions rather than the structural one. Despite of ambiguities present in the students’ written messa-ges, most of pairs succeeded the game thanks to implicitcodes of the oral register the students share and un-derstand and which result from the didactical contract (Brousseau 1997). Thus, for example when reading the expression a�(x�2), some students were taking a break in place of brackets: “a minus [break] x plus 2”. Thus, the goal we assigned to the communication games, name-ly to lead the students to become aware of the limits of the oral register they use in algebra, which does not take into account the structural aspect of expressions, was not achieved.

Learning

As was mentioned above, the teacher T1 asked one of the designers of the pedagogical scenario to introduce the tree register of representation to his students. This introductory session took place as planned (cf. Appen-dix). It allowed discussing with the students specificities of the tree representation of expressions and introducing vocabulary related to this new register. Particular atten-tion was paid to reading the expressions. Thus for exam-ple, the expression x+2y was read as “the sum of x and of the product of 2 by y”, which accentuates the struc-ture of the expression, instead of “x plus 2 y” highlight-ing its operational aspect. In addition, a particularity of the tree register residing in the fact that several diffe-rent trees can represent a same algebraic expression was also discussed with the students based on the following example (Figure 10).


Figure 10 Multiplicity of trees representing a

same algebraic expression.

In the expression x-1, the minus sign can be conceived in three different ways leading to three different trees (this difference is hardly visible in UR):

• Sign of a negative number (tree on the left);• Binary operator “difference” (tree in the middle);• Unary operator “opposite number” (tree on the right).


As was already mentioned, the rest of the scenario was shortened in order for the teacher to be in line with the global pedagogical program shared by all Grade 10 clas-ses in the school. In addition, the teacher decided to in-dividualize the implementation of the scenario according to the students’ difficulties: thus, only one group, called G1 in the sequel, constituted from rather low achie-ving students, benefited from a work on conversion tasks NLR→TR and UR→TR with Aplusix in the controlled mode. Afterward, conversion tasks TR→NLR were assigned as homework to the whole class. The analysis of the stu-dents’ productions related to these tasks show a signi-ficant difference between the groups G1 and G2, which has not benefited from the work on conversion tasks be-fore the homework (table 2). These results can be con-sidered as evidence showing efficiency of the work on conversion tasks NLR→TR and UR→TR.

Table 2Students’ answers to the conversion tasks

TR→NLR assigned as homework.

Answer in NLR with structural

aspect

Answer in NLR with operational aspect

(oral register)

G115 students having worked on conversion tasks in controlled mode

10 5

G215 students who have not benefited from the work on conversion tasks

3 12


Regarding the Exp3, unfortunately no information about the way the students have been introduced to the tree register by their teacher are available because of impossibility to set up a device allowing to gather workable data. Nevertheless, the analysis of students’ answers to conversion tasks TR→NLR shows that the stu-dents failed to grasp the new register of representation. Most of the students used erroneous conversion strate-gies providing evidence of their lack of taking account of the structure of expressions. Some of such strategies are reported below:

• “Linear” reading from left to right: ex.

“x sum of –1”

• Starting with the simplest branch: ex.

“difference of 2 and of the product of 3 by x”

• Juxtaposing branches: ex.

“square of 2, sum of 2,product of x and square root of 5”

In this class, the scenario seems to have failed, which leads us to moderate our conclusions and to pursue our analyses searching for reasons of this failure.

Conclusion and perspectives

The research presented in this article addresses two main issues: design of digital artifacts for the teach-ing and learning mathematics and impact of representa-tions of mathematical notions on students’ learning. As regards the design of educational software, the exam-ple of the development of Aplusix, described in the first part of the paper, shows that the introduction of the tree register was motivated by didactical considerations about the necessity to have several different registers at the disposal to represent the same mathematical notion. Moreover, the experimentations and the subse-quent feedback from the teachers led to reconsidering some of the design choices and to improving the soft-ware interface. An example of such an improvement is described elsewhere (Trgalová and Chaachoua, 2008). Thus, a synergy between computer scientists, resear-chers in mathematics education and users (both teachersand students) is fundamental in the design of software for teaching mathematics.

As regards the impact of representations of mathe-matical notions on students’ learning, the experience from one of the three classes (Exp1) tends to show a positive contribution of the tree register and conversion tasks between different registers on the students’ con-ceptualization of algebraic expressions. However, in view of the results observed in Exp3, such a conclusion has to be moderated. More detailed analysis is necessary in order to find explanation for the failure of the scenario in this case. On top of the three experiments presented in this paper, other experimentations of different peda-gogical scenarios involving Aplusix with the tree repre-sentation are in progress in the framework of the ReMath project. It is only after having analyzed the outcomes of these experiments that will be able to provide evidence allowing to bring an answer to this question.

Two other issues are worth getting onto. The first issue concerns the role of theoretical frameworks in the design

of pedagogical scenarios. This issue was dealt with with-in the TELMA project at the European level. The research presented above shows clearly that the choice of activities and tasks was driven by the theoretical frame we adopted, namely the semiotic register of representation approach (Duval, 1995). In particular, two hypotheses coming from this approach underpin the scenario:

• Conceptualization of mathematical notions requires at least two different registers allowing their repre-sentation.

• Conversion tasks between registers are of major importance in learning mathematics.

Thus, the designed scenario proposes, among others, conversion tasks between three registers for represent-ing algebraic expressions. One can ask what scenario and what kinds of activities we would design if another the-oretical framework would have been chosen. For exam-ple the anthropological theory of didactics (Chevallard 1992), would have led us to envisage types of tasks the tree register enables, to search for techniques allowing to solve these tasks, to suggest specific didactic organi-zations. These considerations confirm the outcomes of research carried out by TELMA group on the impact of the choice of underlying theories on the design of peda-gogical resources (Cerulli et al. 2008).

The second issue concerns the use of scenario by the teachers. Note that the teachers who implemented our scenario in their classes have not participated to the de-sign process, but they could negotiate adaptations of the initial scenario to the context of their classes as well as to institutional constraints of their schools. One of the rea-sons explaining the unexpected results of the Exp3 ex-periment may be sought for in the appropriation of the scenario by the teacher. As a matter of fact, the tree re-presentation of algebraic expressions is not part of French mathematics curricula. The scenario was built around this “non institutional” object and the proposed activities were thus on top of the usual teacher’s practice.

Therefore, these activities could have been perceived by the teacher as taking too much time on something that the students will not reuse rather than as an op-portunity to remedy to some students’ difficulties in al-gebra. Indeed, from the first activities that followed the tree re-gister introductory session it was clear that the students had not manage to grasp this new register. In spite of that, the teacher, bound by her experimental con-tract, kept progressing through the activities of the sce-nario without being concerned by the students’ difficulties. Thus the institutional context has to be taken into accountin the analysis and interpretation of the results coming from the experimentations.

Received November 2008Accepted February 2009


Bibliography

Bouhineau, D., H. Chaachoua, C. Viudez & Nicaud J.F., “Introduction de nouvelles représentations dans le

micromonde Aplusix: représentations sous forme mixte naturelle & arbre et sous forme graphique

d’expressions algébriques”, Actes de la conférence EIAH2007, Lausanne, 27-29 juin, 2007a, INRP: ATIEF.

Bouhineau, D., H. Chaachoua, J.F. Nicaud & C. Viudez, “Adding new Representations of Mathematical Objects

to Aplusix” in Proceedings of the 8th International Conference on Technology in Mathematics Teaching,

Hradec Králové, Czech Republic, 1-4 july, 2007b, Univerzita Hradec Králové.

Brousseau, G., Theory of Didactical Situations in Mathematics. Didactique des mathématiques, 1970-

1990, Mathematics Education Library Series 19, Massachusetts, USA, 1997, Marie Sheldon; Springer.

Cerulli, M., J. Trgalová, M. Maracci, G. Psycharis & J.P. Georget, “Comparing theoretical frameworks enacted in experimental research: TELMA experience” Zentralblatt

für Didaktik der Mathematik, 40(2), 2008, Springer, pp. 201-214.

Chevallard, Y., “Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par une approche

anthropologique”, Recherches en Didactique des Mathématiques 12/1, 1992, 77-111.

Duval R., “A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics”

Educational Studies in Mathematics, 61(1-2), 2006, Springer, pp. 103-131.

Duval, R., Sémiosis et pensée humaine, Ginevra, 1995, Peter Lang.

Duval, R., “Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée” Annales

de Didactique et de Sciences Cognitives 5, 1993, IREM de Strasbourg.

Grugeon, B., “L’algèbre au lycée et au collège. Une structure d’analyse multidimensionnelle en algèbre élémentaire: conception, exploitation et

perspectives” Actes du colloque Journées de formation de formateurs: l’algèbre au lycée et au collège,

Boisseron, France, 4-5 juin, 1999, 5-39, 2000, IREM de Montpellier.

Herscovics, N., “Cognitive obstacles encountered in the learning of algebra” in S. Wagner, C. Kieran

(Eds.), Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra, Hillsdale, NJ, 1989, Lawrence Erlbaum

Associates.

Küchemann, D., “Algebra” in K. M. Hart (ed.), Childrenunderstanding of mathematics, 11-16, 1981, John

Murray, London, pp. 102-119.

MacGregor, M., & K. Stacey, “Students’ understanding of algebraic notation: 11-15” Educational Studies in

Mathematics 33, 1997, Springer, pp. 1-19.

Nicaud, J.F., D. Bouhineau, & H. Chaachoua, “Mixing Microworld and CAS Features in Building

Computer Systems that Help Students Learn Algebra”International Journal of Computers for Mathematical

Learning 9 (2), 2004, Kluwer Academic Publishers, pp. 169-211.

Nicaud, J.F., D. Bouhineau, H. Chaachoua, T. Huguet & A. Bronner, “A computer program for the learning

of algebra: description and first experiment” in Proceedings of the PEG 2003, conference, June 2003,

St. Petersburg, Russia.

Sfard, A., “On the dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin” Educational Studies

in Mathematics 22(1), 1991, Springer, pp. 1-36.

Steinberg, R., D. Sleeman, D. Ktorza, “Algebra students’ knowledge of equivalence of equations”

Journal for Research in Mathematics Education, 22(2), 1990, NCTM, pp. 112-121.

Tonnelle, J., “Le mode clos de la factorisation au premier cycle”, Mémoire de DEA de didactique des

mathématiques, Bordeaux, France, 1980.

Trgalová, J., & H. Chaachoua, “Development of Aplusix software” 11th International Congress on Mathematics

Education (ICME 11), Monterrey, Mexico, 6-13, July 2008, http://tsg.icme11.org/tsg/show/23.



Appendix

Introduction of the tree register of representation of algebraic expressions

Phase Actor Description of the task Situation Tools Duration

1Teacher and

students

The teacher opens a new Aplusix file, enters the expression x�y and chooses Mixed representation mode. S/he announces that s/he will convert the usual representation into a tree representation. S/he clicks on the “�” button beside the expression, the representation is developed into a tree. The teacher questions the students: How the tree has been created? Where is the operator? Where are the arguments? S/he synthesizes the students’ propositions and reads the expression as “the sum of x and y”.

Aplusix video projected.

Collective to observe and

comment the way a tree is created.

Aplusix,video

projector5 min.

2Teacher and

students

The teacher opens a new Aplusix file, enters the expression x�y�2z,chooses Mixed representation mode.S/he asks the students to anticipate the structure of the tree representing the expression. The students draw their propositions on the blackboard. The propositions are discussed in the class and eventually validated by using Aplusix (each step is commented: What is the first operator? Why? What are the arguments?). A synthesis is done collectively and the expression is read “the sum of x, y and the product of 2 by z”.

Aplusix video projected.

Collective to observe, anticipate the structure and comment the way the tree is created

Aplusix,video

projector15 min.

3Teacher and

studentsSame activity with the expression (x�3)(x�y).

CollectiveAplusix,video

projector15 min.

4Teacher and

students

Same activity with the expression2x�1x2�3

. CollectiveAplusix,video

projector15 min.

5 Teacher

Institutionalisation: structure of a tree representing an algebraic expression, related vocabulary (tree, root, branch, leave, operator, argument)

Collective 5 min



AbstractThis paper examines the computer mediated asynchronous interaction of a group of in-service mathematics teachers who are exchanging their points of view on the solution of a mathematical activity. These teachers are enrolled in a master’s degree program in mathematics education. Based on the analysis of the interaction, it is argued that this group of teachers accomplished a dia-logue (as defined in Alrø & Skovsmose, 2002), which helps to produce a posi-tive change in some of the mathematical ideas of one of the participants in the dialogue. The analysis illustrates how the involvement of the teacher educator in the interaction may have an influence capable of breaking the dialogue esta-blished between the teachers.

Mario Sánchez Aguilar**

* This work was supported by the Programme Alβan, the European Union Programme of High Level Scholarships for Latin America, scholarship N° E06D101377MX.

** Bachelor degree in mathematics from the Universidad de Guadalajara (UdeG), and master degree in mathematics education from the Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN) in Mexico. Member of the technical coordination team of the international journal Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (RELIME). Associated member of the Latin-American Committee of Mathematics Education (CLAME). He is part of the research team of the mathematics education program of the Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada (CICATA) in Mexico. He is an academical advisor for the company Casio Computer Co., Ltd. Currently he is doing his PhD studies at Roskilde University in Denmark. E-mail: [email protected]

a Ce travail a été soutenu par le Programme Alβan, l'Union européenne du Programme de bourses de haut niveau pour l'Amérique latine, les bourses d'études N° E06D101377MX.

b Con el apoyo del Programa Alβan, Programa de Becas de Alto Nivel de la Unión Europea para América Latina, beca núm. E06D101377MX.

*

KeywordsMathematics teacher education, eLearning, interaction, communication, dialogue, critical learning.

RésuméCette étude examine l’interaction asynchrone médiatisée par ordinateur d’un groupe de mathématiques en service des enseignants qui échangent leurs points de vue sur la solution d’une activité mathématique. Ces enseignants sont inscrits dans un programme de maîtrise en enseignement des mathématiques. Sur la base de l’analyse de l’interaction, il est affirmé que le groupe d’enseignants a accompli un dialogue (tels que définis dans Alrø & Skovsmose, 2002), ce qui contribue à produire un changement positif dans certains des idées mathé-matiques de l’un des participants à la dialogue. L’analyse montre comment l’implication de l’enseignant, éducateur dans l’interaction mais ont une influence capable de rompre le dialogue établi entre les enseignants.

Mots-clefsMathématiques de formation des enseignants, l’apprentissage, l’interaction, la communication, le dialogue, la critique d’apprentissage.

Sur la fragilité d’un dialogue basé sur l’Internet a

Sobre la fragilidad de un diálogo basado en internet b

ResumenEn este artículo se examina la interacción asincrónica mediada por computadora entre un grupo de docentes de matemáticas en servicio —inscrito en la maestría de matemática educativa— que intercambia puntos de vista sobre la solución de una actividad. Con base en el análisis de la interacción, se argumenta que el grupo establece un diálogo —en el sentido de Alrø & Skovsmose, 2002—, que contribuye al cambio positivo en algunas de las ideas matemáticas de uno de los participan-tes. El análisis ilustra que la participación del formador de profesores en la inte-racción puede ejercer una influencia capaz de romper el diálogo establecido entre los docentes.

Palabras claveFormación de profesores de matemáticas, educación a distancia, interacción, comunicación, diálogo, aprendizaje crítico.


Introduction

This report is part of the PhD research project entitled How to stimulate rich interactions and reflections in internet-based mathematics teacher education? that is currently being developed at the University of Roskilde in Denmark. All the empirical data used in this project, have been taken from an nternet-based mathematics education program called Prome-Cicata. This is a program that offers Master’s and PhD studies to in-service mathematics teachers from different Latin American countries, and working in different educational levels —basic, lower secondary, upper second-ary and university level. This educational program is spon-sored by the Instituto Politécnico Nacional of México, oneof the largest public universities in Mexico.1

In general, the Prome-Cicata program aims at intro-ducing in-service mathematics teachers to the academic field of mathematics education. To introduce the tea-chers to the mathematics education theories, its researchmethods and results, is a way of providing them with a set of “lenses”. A basic assumption of the program is that those lenses will allow them to revisit and to have a new view of their own school mathematics culture, the one constituted by their understanding and beliefs about the content that they teach, their students, their role as educators in society, about their institution.

The way of introducing teachers to the mathematics edu-cation field is closely linked to a communication process; that is to say, Prome-Cicata’s way of delivering the math edu-cation lenses to the teachers is through readings, mathe-matical activities, video and audio files, that should be analyzed and/or solved, but also discussed, criticized and reflected upon it. This introduction process —or encultura-tion process— is not a straightforward one. It is common to find resistance, skepticism and doubts among teachers. It is necessary then to open channels of communication and interaction that will allow us to express, to share, to com-pare, to criticize and to be aware of our ideas and feelings. As Cooney (1994, p. 109), affirms: [O]ur beliefs about teaching are shaped by social situations and therefore can only be reshaped by social situations. Hence, communica-tion and interaction become key elements of this process.

Thus, although in general it can be argued that my project wants to increase our knowledge about how to foster “rich” interactions in the educational setting previ-ously described, it is necessary to clarify the aim of this paper in more precise terms. In the next section I shall talk about the theoretical framework that I used to struc-ture my research project, as well as this writing.

Theoretical framework

The empirical data for this research project are mainly constituted by the registers of asynchronous interactions teachers and teacher educators. An asynchronous interac-

tion is the one that is carried out mainly by means of an exchange of written messages between two or more peo-ple, but where the feedback and reactions to the messages are not immediate. The asynchronous interactions usually last several days, allowing participants to have more time to formulate their opinions and to reflect on comments and opinions expressed by the other participants. It is even possible to consult external sources in order to enrich and clarify a discussion in an asynchronous communication. The email messages and the discussion forums are some examples of asynchronous communication.

Those asynchronous interactions have been analyzed using the Inquiry Co-operation model (IC-Model), of Alrø & Skovsmose (2002). The model, strongly rooted in the critical mathematics education approach (Skovsmose, 1994), argues that in order to have a fruitful interac-tion, it should be based on mutual respect, on the will-ingness to make public our ideas and subject them to scrutiny, as well as in a real interest to listen and ana-lyze our interlocutor’s ideas.

The IC-Model is constituted by a set of communicative characteristics. According to this theoretical approach, an interaction as the previously described should have several of these communicative characteristics. In fact when those characteristics are present in an interaction, it is regarded as a special kind of interaction called di-alogue that possesses the potential to serve as a basis for critical learning and reflection. Because I am work-ing with non-novice teachers, who have a certain vision about their school mathematics culture, it is desirable to establish dialogues with them and among them, to explain and to identify different ideas and beliefs about their mathematical culture, to reflect upon them, and to make a critical reading of them.

The communicative characteristics that define a dialogue are getting in contact, locating, identifying, advocating,thinking aloud, reformulating, challenging and evaluating;and they could be succinctly defined as follows: [G]etting in contact involves inquiring questions, paying attention, tag questions, mutual confirmation, support and humour. Locating has been specified with the clues of inquiring, wondering, widening and clarifying questions, zooming in, check-questions, examining possibilities and hypotheti-cal questions. Identifying involves questions of explana-tion and justification and crystallizing mathematical ideas. Advocating is crucial to the particular trying out of possi-ble justifications, and it is closely related to arguing and considering. Thinking aloud often occurs as hypothetical questions and expression of thoughts and feelings. Re-formulating can occur as paraphrasing, completing of ut-terances and staying in contact. Challenging can be made through hypothetical questions, examining new possibili-ties, clarifying perspectives, and it can be a turning point of investigation. Evaluating implies constructive feedback, support and critique (Alrø & Skovsmose, 2002, p. 110).

1 More information about this in-service mathematics education program can be found in: http://www.matedu.cicata.ipn.mx


It is important to clarify that the theoretical concept of dialogue is not used as a synonym for rich interaction.The richness of an interaction can be measured in terms of the kind of reflections that it produces. If the reflec-tions produced during an interaction helps the teacher —or even the teacher educator— to understand, iden-tify, explain or criticize any element of its own schoolmathematics culture, then it can be regarded as rich. Other analysis of asynchronous interactions between in-service mathematics teachers that I have made prior to the preparation of this writing (Sanchez, 2008), suggests that an interaction that is modulated by a dialogue may work as a basis for the emergence of such reflections. The data that I will show in this writing are an addition to the empirical evidence that supports this hypothesis.

This writing presents an analysis of an asynchronous interaction using the so-called IC-Model (Alrø & Skovs-mose, 2002). In this interaction a group of teachers are exchanging their views on a mathematical activity to which they have been exposed. In the interaction is also involved a teacher educator, who is in charge of guid-ing and moderating the discussion. It will be shown that the asynchronous interaction analyzed possesses some of the communicative characteristics of a dialogue; sec-ond, it will be argued that the interaction can be regard-ed as “rich” because the sort of reflections that appear in it; and third, it will be also shown that the involvement of a teacher educator in the interaction can be a deci-sive factor in maintaining the dialogue.

Methodology

All the details on the methodology implemented to genera-te the data will be listed in this section of writing. Different aspects of the production and collection of data such as the mathematical activity applied, the selected population, the collection and presentation of the data are mentioned here.

The data that used in this study were taken from one of the Master’s courses of the Prome-Cicata pro-gram. The course was taught between March and April 2008. The course was an introduction to the teaching and learning of mathematical modeling, and its aim was to re-flect on the modeling process, its relevance in the teaching and learning of mathematics, and its potential implemen-tation difficulties. The author of this paper participated in this course as a designer and coordinator, as well as a teacher educator.

The mathematical activity

Several mathematical tasks were designed to try to meet the aims of the course. The first of those activities, called A1, was aimed at illustrating the possibility of providing mathematics students with modeling activities —in this case supported by the use of technology— that allow

them to acquire, at least in an intuitive way, some mathe-matical concepts or notions. In the particular case of the activity A1, it refers to the possibility of connecting notions such as velocity or acceleration to the shapes of a graph in the Cartesian coordinate system, which re-presents the movement of a body over time.

The activity A1 has a note of reflection format, that is to say, it is a written case of a fictitious classroom event arranged around a mathematical question or activity. Al-though this is a school episode that has not happened in reality, the answers that the “imaginary” students pro-vide have been inspired by real teaching experiences or have been taken from experimental data included in some regional research thesis or research reports —see Sánchez, en prensa, for a more detailed description and discussion of this sort of didactical design.

The activity shows a set of six graphs (figure 1) that a teacher showed to her students after they watch the video called V1. This video shows a person who is illustrating how a motion sensor, connected to a graphic calculator, produ-ces graphs which represent the movement of a body.2

Figure 1 Graphs included in the mathematical

activity applied.


2 It is important to watch the video V1 in order to fully understand the context in which the interaction between teachers takes place. Video V1 is available at https://bscw.ruc.dk/pub/bscw.cgi/21056220


After watching this video, the teacher asked her imagi-nary students —called Chuy and Mauricio— how should they move themselves in order to be able to produce with the motion sensor each of the six graphs that she was show-ing them. The responses of the students are included in the note of reflection. In turn, in-service teachers should watch the video V1, and then to evaluate the responses made by Chuy and Mauricio, in other words, they had to decide whether the answers were correct and to argue why. Teachers should send their evaluations by email to the coordinator of the course.

Some of the graphs included in the activity A1 can be difficult to interpret. Studies such as the one conducted by Dolores, Alarcón and Albarrán (2002), reported that the assignment of a physical meaning to graphs such as the number 5 (figure 1) can be a complicated task for some mathematics students and even for teachers. This sort of graphs were included in the activity to meet one of the implicit aims of the note of reflection, namely, locating the teachers with difficulties in reading or inter-preting graphs of the type time-distance that represents the motion of a body over time. Asking the teachers to evaluate the responses of Chuy and Mauricio was an in-direct way of knowing their interpretations about the kind of movement represented in the graphs.

When teacher’s evaluations were received by email, they were classified according to their responses and afterwards some heterogeneous working groups were constituted, i.e. working groups where the members had different views about how the graphs could be produced by using the mo-tion sensor. Those heterogeneous working groups were set up to try to promote discussion and interaction: opi-nion heterogeneity has been pointed out as a contributing factor to the computer mediated dialogue (de Vries, Lund & Baker, 2002; and McGraw et al. 2007).

Selected population

Each working group discussed the content of the acti-vity A1 in an asynchronous forum that lasted six days. The discussion within each forum —there was a forum for each working group— was moderated and guided by a teacher educator. All the teachers who participated in the activity did it willingly, because they were informed at the beginning of the course that this activity was not part of their final grade for the course.

Some groups were tracked. Those groups where at least one teacher with difficulties in interpreting some of the Cartesian graphs, expressed his or her opinion or doubts about this issue in the discussion forum. The analysis was then focused on observing the reaction of their peers and the development of the asynchronous discussion. In this writing it will be presented only the analysis of the interaction within one of those groups. In the interaction three teachers and one teacher educator were involved: Alberto who is a Mexican teacher teach-ing mathematics at upper and lower secondary level; Su-

sana is an Argentinean mathematics teacher who works in upper secondary and University level; Mariana who is also a teacher from Argentina who works in upper secon-dary level and is also a teacher educator in her home country; and last but not least, Graciela the teacher edu-cator assigned to this group, she is a young mathematics educator researcher who recently has integrated to the teacher educators staff of the Prome-Cicata.

Data collecting and data presentation

One of the characteristics of the computer mediated com-munication is that it can be easily recorded, stored and shared. This feature represents a significant advantage for educational research, because the need of making trans-criptions disappears. In this work for instance, are being studied some of the written asynchronous discussions pro-duced in an internet-based educational program; those discussions are permanently recorded and accessible on the internet-based workspace, ready to be analyzed.

These asynchronous discussions may be composed of dozens of utterances. Due to space reasons, it will not be possible to present the complete interaction, but only those sections of it that are considered most significant and illustrative. It will be used bracketed ellipsis [...] to denote the omission of certain segments of text; this edition was made for the sake of brevity and to increase the readability of the data. The data presented has been translated from Spanish into English; moreover, the origi-nal names of the teachers and the teacher educator involved in the interaction have been replaced to protect their identity. During the application of the IC-Model to the analysis of the interaction, each of the utterances that constitute the interaction have been labeled with the names of the communicative acts that define the IC-Model. To facilitate its identification, those labels are written using italics.

Results

As it was expected, the graph that proved to be more difficult to interpret was the graph number 5. This is a graphical representation of a functional relationship that is not possible to translate into physical or mathematical terms. In physical terms it would be necessary to have a body occupying different positions in space in a single instant of time. In mathematical terms one can argue that the graph 5 can not represent a real function in one variable, because there is an element of the domain of the function which corresponds with more than one ele-ment of the codomain.

In the note of reflection, the ‘imaginary’ students Chuy y Mauricio said that this was the way in which a person should move to produce such graph: Chuy: In graph number 5 the person should move away from the wall with a constant time. Mauricio: In the fifth graph the per-son should change his position with an infinite velocity.


The sixth graph also caused some difficulties. In ma-thematical terms, this graph represents a constant func-tion where f(x) > 0 for all x in the domain of the function. In the context were the video V1 takes place, this graph could be generated by standing a little away from the wall, and holding the motion sensor without changing position or making any movement. Chuy and Mauricio think that the sixth graph can be generated in this way: Chuy: In the sixth graph the movement should be hori-zontal in order to have the same distance, but keeping the time running. Mauricio: In the last graph, a person walks toward a wall and just before reaching it, the per-son turns to the right and walks with a variable time and a constant distance.

It is important to remember that the answers of these imaginary students were originally produced by real mathematics in-service teachers, who were previous-ly confronted with these graphs. Those teachers did not participate in this course. In turn, Alberto in his indivi-dual assessment of the responses of Chuy and Mauricio said the following:

Regarding graph 5: Chuy is right when he says that the person is moving away, but not when he says with a constant time. On the other hand Mauricio talks about an ‘infinite velocity’, maybe he means that he does it very fast and this coincide with the graph.

Regarding graph 6: Both notice that there is a move-ment, but the graph only shows the person “unmov-ing” and the time running (without moving).

Apparently, Alberto thinks that it is possible to produce the graph number 5, however, from the previous quote is not possible to determine what he thinks about how the person should move to produce it. The analysis that it will be shown next it focuses in the moment when Alber-to exposes his previously mentioned interpretations in the asynchronous discussion forum. The analysis also includes the reaction of his colleagues to these comments.

The interaction analysis

When the first discussion forum started, the first dis-cussion topic was the one introduced by Alberto. He re-peated the answers from his individual solution to the activity, but adding some comments to it:

(1) Topic: The first contribution From: Alberto Date: thursday, the 27th of march 2008, 10:05 [...] Graph 5. Chuy is right by saying that the person is

moving away, but not when he says with a constant time. On the other hand MAURICIO talks about an “in-finite velocity”, maybe he means that he does it very fast and this coincide with the graph. Did he jump?

Graph 6. Chuy and Mauricio notice that there is a

movement, but the graph only shows the person “un-moving” and the time running (without doing any movement).

I will wait for your comments that always are so valu-able, to enrich this forum.

Best regards! Alberto

As mentioned before, it seems that Alberto thinks that is possible to produce the graph number 5 if a person moves very quickly or jumps; but is not possible to physi-cally produce this graph using the motion sensor, neither is mathematically coherent. Graph number 5 cannot re-present a mathematical function. To express our ideas and beliefs about a topic in an open way —as Alberto does—is regarded as a thinking aloud communicative act. The first reaction to Alberto’s comment was produced by Su-sana. She did not agree with Alberto’s ideas:

(2) Topic: Re: The first contribution From: Susana Date: thursday, the 27th of march 2008, 12:27 [...] Graph 5. Here you will notice that I disagree with you

Alberto because the explanation given by Chuy sets up an impossible situation, because is not possible for a person to be in different places at the same in-stant t, I mean to be away and close from the wall at the same time. Is not a mathematical function, and it does not make sense physically. […]

Graph 6. In this last graph, Chuy does not consider the person without doing any movement, thus when time runs the distance does not change, because theperson is located at certain distance from the wall, and because there is no movement the motion sensor does not register any variation. What I did not under-stand is when Mauricio says “just before reaching it, the person turns to the right and walks with a vari-able time and a constant distance”, nevertheless it is valid to think it as walking in a parallel way to the wall even though the sensitivity of the motion sensor will show some variation.

If some of you can explain me Mauricio’s comment I will be grateful because I don’t understand.

[…] Susana

In (2) Susana is getting in contact with Alberto, that is to say, she makes explicit reference to Alberto’s comments and she makes some remarks about it. In fact some of these remarks could be viewed as an evaluative act, be-cause she points out and explains why she does not agree with Alberto’s interpretation of graph number five. After Susana’s participation, Mariana joined the discussion:

(3) Topic: Re: The first contribution From: Mariana


Date: thursday, the 27th of march 2008, 15:47 Hello Alberto and Susana… I have read your comments regarding graph 5, in my

opinion both students don’t give the right answer, this position is similar to your answer Susana. The idea of giving a big jump will not be represented by a vertical segment; in this case it would have a negative slope, with an angle very close to a right angle but never perpendicular to the X axis. Besides we can ask what does Mauricio means with an infinite velocity? Infinite-ly fast or infinitely slow?

[…] Mariana

4) Topic: Re: The first contribution From: Mariana Date: thursday, the 27th of march 2008, 15:55 Colleagues, another comment, but now regarding the

last graph. It is true, the faster answer is to say that there is no

movement but we cannot say it categorically, with the imposed conditions we can only say that the sensor does not register any movement having the wall as a reference.

According to the graph it is possible to think in two op-tions, the person stays without movement in a place away from the wall or he walks the distance in a par-allel way but taking care of keeping the motion sen-sor focused on the wall and not on the place where he is walking to, but in reality this walk will produce a small disruption in the graph generated by the sensor, but in theory we can accept this possibility by ignor-ing external modifications, it is possible that the sub-ject keeps the balance and walks exactly in a straight line, always keeping the sensor focused on the wall.

Mariana

In her utterances (3) and (4) Mariana is also gettingin contact with Alberto and Susana. In an evaluative act, she rejected the idea of the jump suggested by Alberto for the graph number 5, and in (4) she accepts as valid the two physical interpretations that have been made for the sixth graph.

It is important to note that so far, Susana and Mariana have kept the contact with Alberto by ‘listening’ and ana-lyzing his comments. Both teachers have shown, through evaluative acts, the reasons why they do not agree with the initial stance of Alberto where he said that Chuy’s interpretation of graph 5 was correct (utterance 1). It could be argued that this disposition to listen, to ana-lyze and to evaluate Alberto’s ideas is an indicator that these teachers have established a dialogue and, that the comments offered by Susana and Mariana, constituted a good reflection opportunity for Alberto; an opportunity to review his own comments and ideas and to try to veri-fy its validity. It is possible to confirm this last assertion by looking at Alberto’s reaction to those evaluative acts.

In another discussion topic that he started in the same discussion forum, Alberto said:

(5) Topic: Graph 5 From: Alberto Date: thursday, the 27th of march 2008, 19:19 Hello everybody Reflecting on graph 5, it does not make sense physi-

cally… and theoretically it would be impossible. We can see that the slope of the straight line is indefinite, be-cause it reaches a value of 90º.

Taking the slope formula as velocity for this graphs, distance versus time, we have V=m=(d2—d1)/(t2—t1). Graphically we can see that there is a displace-ment, but time doesn’t change, it is the same, so: t2—t1=0. Carrying out the division, we have that:

V=m=(d2—d1)/0, and this is indefinite. Therefore, I think there is no a behavior with the

“motion sensor” that could produce a graph like this one.

What do you think colleagues? Best regards Alberto

Stimulated by the evaluative acts of Susana and Maria-na, Alberto somehow changed his mind regarding graph 5. Probably Alberto identified the mathematical structure of the situation, noticing the impossibility of producing a function whose graphical representation is like the one presented in graph number 5. Interestingly, Alberto is not the only one who seems to have discovered some-thing new; Susana in (6) is locating another way to jus-tify in mathematical terms that the graph number 5 is not possible to produce:

(6) Topic: Re: Graph 5 From: Susana Date: thursday, the 27th of march 2008, 21:48 Alberto: Of course I agree with your way of analyz-

ing the situation, I had not thought it from a theoret-ical point of view taking into account the concept of average velocity and the variations of time and dis-tance. This because I thought that using the concept of mathematical function would be enough, because it is not a function since for a t value you have more than one ordinate value.

What do you think colleagues? As always your com-ments and different point of views are welcome.

[...] Susana

So far, this interaction could be considered as a rich one. Alberto started the discussion in (1) evidencing a not accurate physical interpretation of the graph num-ber 5; Alberto fortunately got the attention and criticism of his colleagues that, according to my interpretation, it helped Alberto to revise his initial idea and express an


adjustment to it in (5). Although the intervention num-ber (5) suggested that Alberto has understood that it is not possible to consider graph number 5 as a represen-tation of a real function in one variable, his interpreta-tion of the sixth graph was not free of difficulties. In an earlier statement, Alberto used the formula v = d/t as a basis for evaluating one of the ideas put forward by Su-sana in (2) with respect to the sixth graph:

(7) Topic: Re: The first contribution From: Alberto Date: thursday, the 27th of march 2008, 18:58 Hello Susana Regarding graph 6, you said “it is valid to think it as

walking in a parallel way to the wall even though the sensitivity of the motion sensor will show some vari-ation”.

I think your idea is not valid, because we can see that the slope of the straight line is equal to zero, as well as its velocity. Let’s suppose that he doesn’t move. Then in a time t the person has a distance d=0; and for V=d/t we will have V=0/t, and the result will be V=0.

Now, taking your idea and supposing that there is a displacement of the person (parallel to the wall), the velocity (V=d/t) would be different from zero and the slope would have certain inclination although small.

What do you think colleagues? Best regards! Alberto

Even though Alberto’s comment was explicitly direc-ted to Susana, Mariana gets in contact with Alberto and challenge him with regard to his argumentation, in other words, she is trying to show him that there is an alter-native way to interpret the graph:

(8) Topic: Re: The first contribution From: Mariana Date: thursday, the 27th of march 2008, 19:29 Alberto: first of all in graph 6 distance is not zero but

constant, thus the two options are valid: to stay with-out movement or to walk in a parallel way to the wall. The motion sensor registers, let’s say it like this, the movement between to walls of a room, but it doesn’t register subject’s movements towards other directions like the lateral walls. If the person could levitate he could move towards the roof and the motion sensor will register a constant distance. We can expect that the sensor will register some variations in the case of walking laterally, but it depends on its sensitivity.

I don’t know what Susana thinks, because I meddle in this comment.

Mariana

Susana also contributes to the discussion about the in-terpretation of the sixth graph by getting in contact with

Mariana and Alberto, but particularly by evaluating Al-berto’s argument:

(9) Topic: Re: The first contribution From: Susana Date: thursday, the 27th of march 2008, 21:37 Hello Alberto, as Mariana said (there is no problem

with your intervention) distance is not zero, but the variation in the position is zero -distance is constant-.

You are right when you think that the average veloc-ity of the movement is the quotient of position vari-ation by time[.] [B]ecause that variation is zero over time then the average velocity is zero, meaning that there was no movement.

The other option of having a parallel displacement is weird but you are right by saying that it would pro-duce a slope in the straight line [...]

Is it my answer clear? [...] Susana

A plausible interpretation here is that both Susan and Mariana accepted that the sixth graph can be generated by having a person standing in front of a wall, without doing any movement but focusing the motion sensor to a fixed point on the wall. However, they also have seen another way to produce the same graph: by perform-ing a parallel movement to the wall where the sensor is aiming at. Apparently, this second possibility is not so obvious to Alberto who in (10) attempts to reformulatehis position, that is, to repeat what he has just said but maybe in slightly different words (Alrø & Skovsmose, 2002, p. 108):

(10) Topic: Re: The first contribution From: Alberto Date: thursday, the 27th of march 2008, 23:04 Susana, Moni, colleagues… Being in a coordinate system (as I stressed) distance

versus time, obviously I’m talking about the distance that the person covers as time goes by.

To avoid confusion, I will call displacement to the movement that a person does (vertical axis) and I will set out again the idea:

When time is running the displacement is the same, in other words, the person does not move and, there-fore, his velocity is zero because the slope is also equal to zero. That is to say, in a time t, person’s displace-ment is d=0 , then taking the formula V=d/t we will have V=0/t, and then V=0.

I hope I have clarified the ambiguity, I wish you a pleasant friday.

Alberto

One could say that at this point in the interaction, Al-berto has not located the other way to interpret the graph 6 that his colleagues Susana and Mariana have located,namely, that at least hypothetically and in the context


in which the video V1 takes place, it would be possible to make a movevement parallel to the wall to produce such a graph. One hypothesis, based on previous ob-servations of interactions between in-service teachers (Sánchez, 2008), is that the communicative acts such as evaluating and challenging in a dialogue, are elements that promote reflection and the revision of ideas of whom is being evaluated and challenged. If Susana and Maria-na had continued the dialogue with Alberto it may have helped him to locate the alternative interpretation of the sixth graph, but as will be shown right away, the parti-cipation of a teacher educator in the interaction can be a determinant factor in maintaining a dialogue.

Graciela, the teacher educator in charge of coordinat-ing the interaction within this group of teachers, contri-buted to the discussion of the interpretation of the graphs with the following comment:

(11) Topic: The rol of technology From: Graciela Date: friday, the 28th of march 2008, 09:55 Everybody’s attention is attracted by the physical

impossibility (real) of graph 5. Nevertheless we can “force” technology (particularly these sensors and also the calculators) to produce a vertical line. Something similar will happen with discontinuous functions. This makes me ask for your opinion about the role of tech-nology in this modeling process. If we consider that from reality we go to a model and then to an analy-sis, what is the role of technology?

After this remark teacher’s attention and the discussion itself was redirected, that is, the dialogue between Susana, Mariana and Alberto was interrupted in order to meet the new topic proposed by the teacher educator, namely, the role of technology in a mathematical modeling process.

Probably at the time of her participation in (11), Gra-ciela did not prevent that her participation could become a kind of disruption to the dialogical interaction that had emerged among the teachers. In fact, Graciela’s beha-vior could be better understood if a broader context of analysis is considered: before and after each forum, the teachers educators who participated in this course talked and exchanged their impressions —using email or inter-net-based audio communication— on the aims or purpo-ses that should be pursued by each forum and activity. In one of the emails that was sent to the teachers edu-cators who participated in the course (including Gracie-la), it was suggested that some of the aspects that could be addressed during this forum might be:

We can make some critiques to the sort of modeling activity described in A1 (using technology, analyz-ing the graphical representations of displacement vs. time), for example:

If we agree that in general, a modeling process is a cycle having the form reality-model-analysis and re-

sults-reality. What is the role that this sort of [tech-nological] devices plays in this modeling process?

Thus, although one could argue that the participation of Graciela was guided or motivated by the goals of the forum previously agreed by the teachers educators, what is relevant to emphasize here is how fragile the perma-nence of a dialogue can be and the considerable influ-ence that the authority of the teacher educator can exert in the conservation of a dialogue.

Conclusions

The interaction in which Susana, Mariana and Alberto participated can be viewed as a dialogue, as defined in Alrø & Skovsmose (2002), as the participants of the interaction were willing to express in public their ideas on the mathematical activity, and also were continuously paying attention to the ideas of the others but also eval-uating and criticizing them, in an environment modulat-ed by tolerance and respect.

When the participants of an interaction are able to es-tablish a dialogue, it can serve as a basis for the emer-gence of rich reflections that can provide the participants with opportunities to identify and review their ideas and conceptions, and in some cases, to modify them in a posi-tive way. This was the case of Alberto, who was driven by the evaluative and challenging acts of Susana and Maria-na, and apparently changed his initial conception on the graph number 5 understanding that the graph did not make sense in a mathematical context (utterance num-ber 5). In fact one of the hypothesis that emerge from this analysis, and that match previous findings (Sanchez, 2008), is that the communicative acts evaluating and challenging play a key role in a dialogue.

It is claimed that these communicative acts are ele-ments that are necessary not only for the validation of our ideas and thoughts, but they also contribute to its consolidation and development, they may even give rise to new ideas or to a modification of the original ideas.

Another important point in this writing is the potential impact of the teacher educator in the permanence of a dialogue. Teacher educators should be aware that very often, their interventions in an interaction which teachers are burdened with an implicit authority assigned by the teachers. Teachers pay particular attention to the com-ments, ideas, proposals and criticism posted by teach-er educators and often this attention is bigger than the one that the teachers pay to their fellow teachers’ com-ments.

It is possible to find an explanation for this pheno-menon if is accepted that there is a kind of didactical con-tract among teacher educators and teachers, where the teacher educator holds a status of expert and authority that teachers recognized as such. This raises an asym-metrical relationship between teachers and teacher edu-cators that can be an obstacle to the establishment and


permanence of a dialogue because, as claimed by Alrø & Skovsmose (2002, p. 124): A dialogue is based on the principle of equality […] A dialogue cannot be modulated by the roles (and the power associated with these roles) of the persons participanting in the dialogue.

The previously presented data has illustrated how the teachers are leaving the dialogue established with Alber-to, just to follow the course of the discussion framed by Graciela. This is an example of how inequality —to pri-oritize the ideas of one of the participants in the interac-tion— can lead to a breakdown in a dialogue.

However, is not possible to deny that the relationshipbetween teachers and teacher educators is somewhat unequal. The knowledge that both groups possess are different and the interest to learn and to share that knowledge is what gives meaning to the academic rela-tionship teacher-teacher educator, but how then maintain equality in such an asymmetrical relationship? Accord-ing to Rogers (1962, 1994), quoted in Alrø & Skovs-mose (2002, pp. 125-126), particular qualities of contact are important in order to maintain equality in an asym-metrical relationship: congruence, empathy and positive regard. Being congruent means being genuine without any front or facade. The facilitator’s thoughts and feel-ings should be consistent with his way of acting, and this should be obvious to him or herself and to the other person. Congruence stands for transparency and genu-ineness […] Empathy means that the facilitator tries to understand the other’s person’s world as if were his or her own […] The third condition is positive regard. In order to be able to help another person you have to ac-cept and to respect him or her and as a(nother) person. This implies respecting the otherness of the other with-out intending to change him or her as a person.

It is necessary for teachers and teacher educators to be aware that the quality of communication between them has implications on the quality of knowledge and professional development that they get through this communication. In this work, a set of interpretations and hypotheses was presented with the aim of initiating a dialogue with teachers and teacher educators, about the possible routes that could be explored to try to im-prove the quality of the mathematical education that is offered and received, and that hopefully will be positive-ly reflected in the quality of education that the students receive in the mathematics classroom.

Received November 2008Accepted February 2009

Bibliography

Alrø, Helle & Skovsmose, Ole, Dialogue and learning in mathematics education. Intention, reflection, critique,

The Netherlands, 2002, Kluwer.

Dolores, Crisólogo, Gabriel Alarcón, & Delia Daustina Albarrán, “Concepciones alternativas sobre las

gráficas cartesianas del movimiento: el caso de la velocidad y la trayectoria”, Revista Latinoamericana de

Investigación en Matemática Educativa,vol. 5, num. 3, 2002, CLAME, pp. 225-250.

Cooney, Thomas J., “On the application of science to teaching and teacher education” in R. Biehler, R.W. Scholz, R. Sträßer & B. Winkelmann

(Eds.), Didactics of mathematics as a scientific discipline, The Netherlands, 1994, Kluwer.

de Vries, Erica, Kristine Lund & Michael Baker, “Computer-mediated epistemic dialogue: explanation

and argumentation as vehicles for understanding scientific notions”, The Journal of the Learning

Sciences, vol. 11, num. 1, 2002, ISLS, pp. 63-103.

McGraw, Rebecca, Kathleen Lynch, Yusuf Koc, Ayfer Budak & Catherine A. Brown, “The multimedia

case as a tool for professional development: an analysis of online and face-to-face interaction among

mathematics pre-service teachers, in-service teachers, mathematicians, and mathematics teacher educators”,

Journal of Mathematics Teacher Education vol. 10, 2007, Springer, pp. 95-121.

Rogers, Carl, “The interpersonal relationship: the core of guidance”, Harvard Educational Review, vol. 32,

num. 4, 1962, Harvard education, pp. 416-429.

Rogers, Carl, Freedom to Learn, New York, 1994, Macmillan College Publishing Company.

Sánchez, Mario, “Dialogue among in-service teachers in an internet-based mathematics education program”

in N. Bednarz, D. Fiorentini & R. Huang (Eds.), Theprofessional development of mathematics teachers: experiences and approaches developed in different

countries, Canada, en prensa, Ottawa University Press.

Sánchez, Mario, Internet-based dialogue: a basis for reflection in an in-service mathematics teacher

education program, Manuscript submitted for publication, 2008,

https://bscw.ruc.dk/pub/bscw.cgi/23746531

Skovsmose, Ole, Towards a philosophy of critical mathematics education,

The Netherlands, 1994, Kluwer.


ResumenMucho se ha hablado en los últimos años de la enseñanza de las matemáticas a través de la modelación, pero ¿qué significa exactamente esto? En este artículo se presen-ta algunas posturas acerca del uso de la modelación en el aula, así como los resultados de ciertas experiencias específicas de su aplicación en la enseñanza universitaria,por lo que se da cuenta de las posibilidades y limitacio-nes de esta metodología de enseñanza.

María Trigueros Gaisman*

* La realización de este trabajo fue posible gracias al apoyo de la Asociación Mexicana de Cultura, A.C. El trabajo de investigación fue realizado gracias al apoyo de los profesores del ITAM Gustavo Preciado, Edgar Possani, Ma. Dolores Lozano, Carmen López y Javier Alfaro.

** Licenciada, maestra y doctora en física por la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM); tesis doctoral en física en la Universidad de California Berkeley; doctorado en educación por la Universidad Complutense de Madrid; posdoctorado en investigación en enseñanza de las ciencias y las matemáticas en el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN). Miembro del Comité Editorial de la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, UNAM, de la Revista Educación Matemática, Santillana, y de la Revista Mexicana de Investigación Educativa. Ha sido distinguida con el recono-cimiento especial por trayectoria académica, recibido en la celebración del sexagésimo aniversario del ITAM; Premio Luis Elizondo 2006, categoría científico y tecnológico, área educación, y como miembro del Consejo Consultivo de Matemáticas de la Secretaría de Educación Pública (SEP), México. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI) y de la Academia Mexicana de Ciencias (AMC). Es autora y coautra de varios libros, artículos especializados y de investigación. Actualmente integra los departamentos de Matemáticas y Matemáticas Educativa del Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM), y del Cinvestav, respectivamente, México. E-mail: [email protected]

El uso de la modelación en la enseñanza de las matemáticas*

Palabras claveModelación matemática, enseñanza, universidad, algebra lineal, ecuacionesdiferenciales.

AbstractMuch attention has been devoted in the last few years to the introduction of modelling to mathematics teach-ing, but, what exactly is understood by modeling? In this paper we present some diffe-rent positions about the use of mathematical modeling in the classroom; we also present the results of some specific experiences where modeling was used to teach mathematics at the univer-sity level. We profit from the description of those expe-riences to discuss the possibilities and limitation of the use of modeling in the mathematics classroom.

KeywordsMathematics modeling, teaching, university, lineal algebra, differential equations.

Teaching mathematics using models and modeling


Introducción

Mucho se ha hablado recientemente en los círculos rela-cionados con la enseñanza de las matemáticas acer-ca de la importancia de que los conceptos se introduzcan de manera contextualizada. Se argumenta que éstos se aprenden más significativamente de esa manera, ade-más de que muchos alumnos muestran mayor interés por la solución de problemas relacionados con su entor-no que con las actividades centradas únicamente en las matemáticas.

Hace tiempo que los programas de enseñanza de las matemáticas, en particular aquellos ligados con la en-señanza básica, han hecho énfasis en la importancia de la solución de problemas en el aprendizaje de las ma-temáticas. Sin embargo, esta preocupación ha tarda-do más en llegar a los ámbitos universitarios, pues es en éstos en donde la enseñanza de las matemáticas es más tradicional: las clases se imparten casi siempre en forma de conferencia, introduciendo definiciones y teore-mas de manera más o menos lineal y dejando el trabajo de los alumnos únicamente para la solución de proble-mas como tarea en casa. Ello sin importar que dicha en-señanza se dirija a alumnos cuyo interés primordial es justamente la aplicación de las matemáticas y no la ma-temática en sí misma.

Una forma de lograr la contextualización del cono-cimiento es la presentación de situaciones problemáti-cas reales que sean factibles de representarse mediante modelos matemáticos. Los modelos matemáticos apare-cen cuando se tiene la necesidad de responder pregun-tas específicas en situaciones reales, cuando se requiere tomar decisiones o cuando es imperativo hacer predic-ciones relacionadas con fenómenos naturales y sociales. El supuesto que subyace a la introducción de la modela-ción matemática al aula consiste en esperar que, cuando los alumnos enfrentan situaciones problemáticas de in-terés son capaces de explorar formas de representarlas en términos matemáticos, de explorar las relaciones que aparecen en esas representaciones, manipularlas y de-sarrollar ideas poderosas que se pueden canalizar hacia las matemáticas que se desea enseñar (Lehrer y Schau-ble, 2000; Lesh e English, 2005).

Las intenciones que se asocian con la introducción de la modelación al salón de clase son loables, sin embargo, las dificultades que se pueden presentar al hacerlo son muchas y esto, a su vez, puede interferir de manera ne-gativa si los profesores que la utilizan no tienen la forma-ción adecuada para hacerlo. La investigación en solución de problemas ha mostrado ya las enormes dificultades que los alumnos tienen cuando intentar “traducir” al len-guaje matemático los enunciados de los problemas ver-bales. El caso de la modelación de situaciones reales es más complejo aún. En estas circunstancias, los estudian-tes deben interpretar la situación que se les da y deter-minar las variables que pueden considerarse importantes para describir de manera certera el problema de interés. Requieren formular hipótesis que les permitan simplificar

adecuadamente la situación problemática y representar-la a través de funciones matemáticas. Estas funciones in-cluyen por lo general parámetros que admiten ajustarse a diversas situaciones que comparten una misma estruc-tura matemática y deben manipularse, además de repre-sentarse de diversas maneras, para lograr obtener una respuesta adecuada al problema deseado.

Las dificultades de los estudiantes en cada uno de los pasos señalados son enormes. En algunos casos han lle-vado a los investigadores a preguntarse si la enseñanza de las matemáticas por medio de la modelación requiere enseñar las matemáticas además de enseñar explícita-mente las técnicas matemáticas de modelación, en cuyo caso el tiempo que insumiría un curso de esta naturale-za lo haría inviable en una institución escolar. Otros in-vestigadores, en cambio, ponen énfasis en las bondades del uso de la modelación y en las matemáticas que los alumnos pueden aprender cuando se utiliza esta meto-dología de enseñanza. A pesar de que coinciden en los problemas que los estudiantes pueden enfrentar, con-sideran que el hecho mismo de enfrentarlos y hacerlos conscientes de ello favorece el aprendizaje.

Surgen así diversas preguntas que se plantean cuando se discute la introducción de la modelación a la enseñan-za de las matemáticas. Entre éstas podrían mencionar-se las siguientes: ¿qué se entiende por modelación en el ámbito de la investigación en educación matemáti-ca?; ¿cómo introducir la modelación a la clase de ma-temáticas?; ¿se trata de una nueva forma de abordar la solución de problemas o de construir un espacio de aprendizaje de las matemáticas?; ¿qué problemas se plantean al introducir la modelación a la clase de mate-máticas?; ¿de qué manera introducir la modelación para que permita la evolución de los esquemas conceptuales matemáticos de los alumnos?

En este artículo se intenta dar respuesta a algunas de estas preguntas, en particular, en el nivel universita-rio. Para ello, en primer término, se describirá la discu-sión que se ha dado históricamente en torno a la idea de modelación matemática y cuáles son las posturas que se adoptan en la actualidad cuando se discute en la investi-gación en educación matemática la introducción de esta estrategia de enseñanza. Se describirán, en segundo término, algunas experiencias de uso de la modelación en la enseñanza del álgebra lineal y de las ecuaciones diferenciales a alumnos de distintas licenciaturas, las dificultades encontradas y la forma en que se ha optado por introducir con éxito los conceptos matemáticos a en-señar. En tercer término, se hará énfasis en la discusión de los resultados obtenidos en la experimentación con esta metodología de enseñanza para, finalmente, con-cluir acerca de las posibilidades de introducir la modela-ción como metodología de enseñanza de las matemáticas,sus ventajas y sus principales dificultades. Se intentará presentar un panorama de las implicaciones que puedetener el uso de esta metodología en el aula, en particu-lar, con respecto al aprendizaje de las matemáticas en la universidad.


Breve reflexión histórica acerca de los modelos matemáticos

De acuerdo con Israeli (1996), historiador de la ciencia, desde hace varios siglos las matemáticas además de ser, por excelencia, útiles para actuar sobre la realidad y modificarla son sobre todo un instrumento importan-te para comprenderla. A través de los años se ha dado un procedimiento que puede denominarse matematiza-ción de la realidad o modelación matemática que consis-te en el uso de las matemáticas para describir y analizar al mundo, para desarrollar técnicas y tecnologías que intervienen sobre éste activamente.

Aunque en ocasiones se utiliza el término modelación matemática de manera natural y muy general —como toda forma de descripción matemática de una clase de fenómenos— según este autor, pocas veces se conside-ra que lo que ahora se denota por este término es una forma de matematización específica que surgió hasta el siglo XX, con ciertas peculiaridades que la distinguen de otras formas de matematización utilizadas con ante-rioridad. Entre estas peculiaridades se encuentran, por una parte, la renuncia a cualquier tentativa de llegar a una visión unificada de la naturaleza, dado que un modelo matemático se aplica a un “pedazo” de la rea-lidad, y, por otra, el método de modelación por analogía matemática, en el que se considera que una forma de ma-tematización específica unifica sólo aquellos fenómenos que puede representar, por diversos que aparentemen-te sean, pero no a todos los fenómenos.

¿Cómo se llegó a esta forma de intentar entender la realidad? Según Israeli la historia del uso de los mode-los matemáticos para describir el mundo puede dividir-se en cuatro etapas:

1. La época pitagórica en la Grecia antigua en la que se consideraba que el mundo podía describirse aplican-do relaciones entre números o, dicho de otra forma, se consideraba a los números como la forma perfec-ta para describir al universo. En esta época el uso de las matemáticas estaba ligado a una visión de tipo re-ligiosa y dominada por los mitos.

2. La revolución científica de Galileo impuso una visión distinta de la relación de las matemáticas con la des-cripción de los fenómenos naturales. Esta visión con-sidera que las leyes que rigen a la naturaleza están escritas en lenguaje matemático y que la tarea del in-vestigador es develar las leyes escondidas que la re-gulan. Este punto de vista se refuerza con la aparición del trabajo de Newton que da origen a lo que puede llamarse un programa mecanicista.

3. La visión mecanicista del universo, muy influida por la mecánica de Newton, domina el pensamiento científico por muchos años, se considera incluso, en ocasiones, que aún no ha muerto. En la concepción mecanicis-ta todos los fenómenos del universo resultan del mo-vimiento de los cuerpos: de alguna manera, al inicio de esta época, todos están regidos por las leyes de

la mecánica de Newton, que se expresan en términos de las matemáticas o se pueden relacionar de algu-na manera con éstas. Aunque después se abandonó la relación específica con las leyes de la mecánica clá-sica, se preservó la idea de que la ciencia debe ofre-cer una imagen unitaria y objetiva del universo. Las distintas teorías científicas deben estar relacionadas y deben ser coherentes entre sí; deben formar una construcción unitaria dentro de la cual la mecánica clásica juega un papel primordial. Las matemáticas, en esta visión, no son ni un lenguaje, ni una técnica separada de la naturaleza sino que se desprenden de ésta y están en ésta.

4. Desde principios del siglo XX, cuando la física clási-ca entró en crisis y hasta la actualidad, el punto de vista dominante se opone a la idea mecanicista. Se habla de modelos matemáticos o de matemáticas aplicadas, en plural, lo que niega la visión unitaria de la ciencia. Se dejó, paulatinamente, de mencionar modelos de tipo mecánico para dar lugar a formas de describir los fenómenos a partir de la analogía de las estructuras matemáticas subyacentes a éstos.

Hoy el interés por la modelación matemática ha pa-sado a ser de sólo un dominio de quienes se dedican a las matemáticas aplicadas a un área de interés para la educación matemática. En este contexto la idea de mo-delación, ligada a la visión predominante en la actualidad,se reconoce fundamental en la enseñanza misma de las matemáticas. A continuación se abordará aquello que se entiende por modelación en el contexto de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

¿Qué se entiende por modelación?

El uso de la modelación en la escuela se muestra de dife-rentes maneras según los puntos de vista desde donde se mire la didáctica y de acuerdo a los objetivos de la actividad. Actualmente hay estudios con enfoques muy variados que han sido caracterizados dentro de grupos de acuerdo a algunas perspectivas comunes (Kaiser y Sriraman, 2006). Distintas perspectivas dan lugar a dife-rentes visiones tanto de la aplicación de la modelación en el aula como de la investigación acerca de su uso. Todas comparten, de alguna manera, el énfasis en la utilidad de la modelación en la enseñanza de las matemáticas dado que los resultados de investigación muestran que, cuando se aprenden directamente los conceptos de las matemáticas no es fácil aplicarlos a la solución de pro-blemas. El proceso por el cual se puede llegar a la apli-cación toma bastante tiempo y, en muchas ocasiones, es necesario desarrollar algunas estrategias a fin de que los estudiantes transfieran sus conocimientos a esas aplica-ciones. Se analiza a continuación algunas de las pers-pectivas aplicadas en términos de sus objetivos centrales respecto al uso de la modelación.

Desde una perspectiva realista, el interés se enfoca en la resolución de problemas reales que tengan senti-


do práctico para los alumnos. Se pretende que ellos de-sarrollen herramientas para comprender el mundo en el que viven y que entiendan cuáles son los componentes de los modelos matemáticos. Dentro de esta perspectiva también se encuentran las de modelación contextuales cuyo interés radica en la solución de problemas reales, pero con una preocupación central en la relación de este proceso de solución con el sujeto que los resuelve y con el contexto en el que el modelo se crea, para compren-der la naturaleza misma del proceso de modelación y las distintas restricciones que sobre éste ejerce el medio en el que surge la necesidad de modelación.

Otra perspectiva que se categoriza como modelación educativa tiene, como su nombre lo indica, un objeti-vo claramente pedagógico. Aquí, se pueden distinguir dos tipos de corrientes, una didáctica en la que los mo-delos se utilizan para estructurar y promover el proce-so de aprendizaje de los alumnos, y otra que se puede considerar de carácter conceptual en la que el papel de la modelación es clave para introducir nuevos conceptos y para desarrollarlos.

Por último, se menciona una perspectiva de mode-lación cognitiva que tiene intereses de tipo psicológico como es, por ejemplo, el análisis de los procesos men-tales que tienen lugar durante la modelación. Su finali-dad es comprender la forma en que se piensa cuando se usa la modelación en la solución de problemas, o bien promover los procesos de pensamiento matemático me-diante el uso de modelos.

Es importante mencionar que —entre los estudios que se desarrollan en estos días en torno a la modelación— es difícil encontrar ejemplos que caigan claramente en una de estas categorías. Aun cuando sea posible clasi-ficarlos dentro de una de estas perspectivas, siempre contienen elementos que pueden considerarse como per-tenecientes a otras. Seguidamente se muestran algunos ejemplos de acercamientos a la modelación matemáti-ca con el fin de ilustrar ciertas características de las dis-tintas perspectivas.

En el ámbito de la enseñanza de las matemáticas, hace aproximadamente 30 años, surgió un movimiento de reforma en Holanda que se consolidó en una postura teórica que hoy se conoce como enseñanza realista de las matemáticas. Esta postura considera a las matemáticas como una actividad humana y, como tal, se desarrolla a partir de modelos originados de situaciones en un con-texto específico real, de fantasía o formal. Lo importante en esta perspectiva es que estos contextos pueden ser reales para los estudiantes. Como metodología de aplica-ción se presentan al estudiante situaciones en contexto con las cuales trabaja para que conforme requiera ma-tematizar la situación y convertirla en un modelo, “rein-vente” las matemáticas. Los modelos funcionan entonces como puentes que conducen hacia una mayor compren-sión de las matemáticas con la finalidad de que su co-nocimiento progrese y evolucione.

En la perspectiva de Freudenthal (1968), creador de esta teoría, si se desea que las matemáticas tengan

valor, para los alumnos, deben estar conectadas con la realidad, permanecer cercanas a ellos y ser relevantes para la sociedad. En esta postura hay dos tipos de ma-tematización: una horizontal que implica el proceso de partir de la situación real hacia el mundo de los símbo-los, y otra vertical que describe los cambios que sufre la expresión matemática del modelo dentro del propio mundo de los símbolos (Freudenthal, 1991).

A diferencia de los acercamientos de solución de pro-blemas, en los cuales al resolver problemas los alumnos pueden aplicar lo que han aprendido antes a una situa-ción sin contexto, en esta propuesta el contexto funcio-na como la fuente del proceso de aprendizaje. Conforme trabajan en ese contexto son susceptibles de desarro-llar herramientas matemáticas y conocimiento. El puen-te entre el conocimiento informal —relacionado con una situación específica— y el formal es un paso importante. En las matemáticas realistas este paso se describe como el “modelo de” al “modelo para” (Streefland, 1985; Gra-vemeijer, 1994; Gravemeijer y Doorman, 1999). Esta postura teórica considera que los estudiantes son agen-tes activos del proceso enseñanza-aprendizaje, ellos mismos, compartiendo experiencias, desarrollan herra-mientas e ideas matemáticas.

En otras perspectivas cercanas a la de las matemá-ticas realistas el uso de ejemplos auténticos —tomados de problemas de la industria o de las ciencias— juega un papel esencial. El proceso de modelación se concibe como un todo y no como algo parcial, cuyo objetivo es el desarrollo de acercamientos a la forma en que se tra-baja en las matemáticas aplicadas y no el desarrollo de conceptos (Camarena, 1999 y 2000).

Otra forma de ver el problema de la modelación es considerarlo como un contexto de aprendizaje en el que se invita a los alumnos a cuestionar e investigar situa-ciones referidas a la realidad a través del uso de las ma-temáticas, que les brinda una oportunidad para discutir tanto el papel de éstas en la sociedad como la naturaleza de los modelos matemáticos. Cualquier representación de la situación a través de las matemáticas se considera un modelo matemático (Barbosa, 2003 y 2006). En estas posturas, el desarrollo de competencias o conceptos pasa a segundo plano y se conciben únicamente como medios para discutir el papel de las matemáticas y de los mode-los como herramientas de poder en la sociedad. La ac-tividad de los alumnos se centra en una lectura crítica de los modelos y en notar cómo dependen del lugar en el que se producen y de la forma en que se pueden em-plear. La investigación ligada a las posturas de esta natu-raleza puede centrarse en el desarrollo de competencias y habilidades, con cierto énfasis en que los estudiantes conozcan la práctica de quienes desarrollan modelos de manera profesional (Haines y Couch, 2005).

En contraste, hay perspectivas en las cuales además de considerar los aspectos sociales involucrados en la construcción de modelos, se intenta brindar a los alum-nos oportunidades para desarrollar conceptos y procedi-mientos matemáticos (Zbiek y Conner, 2006). Algunos


autores de esta perspectiva han propuesto que, cuando se presenta un problema real a los estudiantes se pueden definir rutas de modelación que describen lo que ellos hacen. En estas rutas juegan un papel importante para su definición: las discusiones matemáticas que refieren a los conceptos y procedimientos matemáticos, las tecno-lógicas relacionadas con la forma matemática que adopta el fenómeno modelado y las discusiones reflexivas sobre la naturaleza de los modelos y de los criterios emplea-dos en la presentación de los resultados. De acuerdo a los propósitos del profesor, es posible que una de esas componentes juegue un papel más importante que otras (Borromeo Ferri, 2006; Barbosa, 2006).

Otras perspectivas dan menos importancia al hecho de que los problemas planteados a los estudiantes para modelar sean reales. Estos estudios consideran que to-da la actividad matemática puede considerarse como una actividad de modelación y la describen a través de un conjunto de tareas, tecnologías, técnicas y teorías que se desarrollan conforme se trabaja en los modelos. Los autores que investigan la modelación en el aula desde esta perspectiva consideran que tanto temas extrama-temáticos como temas intramatemáticos deben ser tra-tados en la enseñanza de las matemáticas dado que la actividad matemática no se restringe a la consideración de problemas aplicados a contextos reales.

Una de estas perspectivas es la desarrollada en el ámbito de la teoría antropológica de lo didáctico (TAD), que propone que toda la actividad matemática se puede identificar con una actividad de modelación (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997), lo cual implica que la modela-ción no es un aspecto más de las matemáticas sino que la actividad matemática es en sí misma una actividad de modelación. Así, la preocupación central de las investiga-ciones en esta perspectiva no consiste en las relaciones entre las matemáticas y el mundo real u otras discipli-nas, ni en la forma en la que los estudiantes pueden es-tablecer esta relación, sino en el análisis y descripción de las condiciones y restricciones que permiten el desa-rrollo de lo que llaman procesos de estudio. Éstos co-mienzan a partir de problemas relevantes que pueden promover actividad matemática que se describe des-pués en los términos teóricos propios de la TAD, las or-ganizaciones matemáticas, de creciente complejidad en el contexto del aprendizaje y dentro de una institución específica (García et al. 2007).

Entre las varias posturas existentes en el ámbito de la modelación, la llamada modelos y modelación enfatiza la construcción, por parte de los alumnos, de sistemas con-ceptuales o modelos cuando trabajan con una situación en contexto que favorece el proceso de matematización. Su preocupación es la preparación de los estudiantes en la solución del tipo de problemas a los que normalmen-te se enfrentan fuera de la escuela y en el logro de for-mas de trabajo con ese tipo de problemas que puedan relacionarse con los temas que se estudian en las ma-temáticas escolares, aunque esa relación no sea clara y evidente. En esta línea de investigación el interés se cen-

tra en que los estudiantes desarrollen formas flexibles y creativas de pensar que les permitan abordar las situa-ciones que se les presentan (Lesh y Doerr, 2003; Lesh e English, 2005; Lesh y Sriraman, 2005).

Al trabajar con estos problemas —llamados activida-des que elicitan modelos— los estudiantes no producen únicamente respuestas a las cuestiones planteadas por el problema, sino que desarrollan herramientas conceptua-les que pueden ser manipuladas, modificadas, comunica-das y reutilizadas en otras situaciones. Los investigadores que han experimentado con esta teoría diseñan proble-mas que conducen a secuencias de instrucción en las cuales los estudiantes trabajan en grupo con situaciones reales que permiten la “elicitación” de constructos ma-temáticos, que pueden después ser elaborados y exten-didos hasta llegar a un sistema generalizable, o modelo, susceptible de ser empleado en diversas situaciones. Las explicaciones, justificaciones y elaboraciones que hacen los estudiantes se consideran parte integral del proce-so de modelación.

Desde el punto de vista de la teoría modelos y modela-ción la matemática es una ciencia en la que la búsqueda de patrones es preponderante. Su aprendizaje debe llevarse a cabo en un ambiente que favorezca y promueva proce-sos de cuestionamiento y de reflexión, que a su vez con-duzcan a la comprensión de los fenómenos a través del uso de recursos matemáticos. Por ello, se ha desarro-llado criterios que los problemas a presentar a los estu-diantes deben satisfacer para lograr lo que se considera más importante: que los alumnos desarrollen ideas ma-temáticas poderosas que les permitan analizar la situa-ción a la que se enfrentan y que puedan, posteriormente, ser aplicadas como herramienta conceptual para resolver otros problemas que en apariencia no están relaciona-dos con el que han trabajado, pero que pueden tratarse con las mismas ideas matemáticas.

En la actividad de modelación, la búsqueda de rela-ciones entre variables, que los estudiantes deben desa-rrollar, se constituye en una actividad fundamental y se expresan a través de modelos matemáticos. Así, los sis-temas conceptuales, los sistemas cognitivos y los mo-delos se usan como ingredientes esenciales para explicar los procesos de comprensión de los conceptos matemá-ticos por los estudiantes. Sin embargo, esta postura teó-rica ofrece poca información acerca de la forma en que los estudiantes desarrollan nuevo conocimiento o cons-truyen modelos más robustos.

De la ejemplificación que se ha hecho hasta aquí de algunas de las perspectivas de modelación se despren-de que, independientemente del acercamiento prioritario que se tome, todas comparten algunas características. Entre éstas que el contexto en el que se plantea y se re-suelve el problema debe tener sentido para los estudian-tes, aunque el sentido pueda venir de las matemáticas mismas; que no hay una solución específica esperada, sino que es deseable que los alumnos desarrollen proce-sos diversos de razonamiento de los cuales puedan sur-gir conceptos para abordar la tarea. Si bien, en muchas


ocasiones, son los conceptos que se quieren desarrollar el foco primordial de la actividad para el profesor, en la mayor parte de los acercamientos a la modelación se in-tenta, más bien, aprovechar las ideas que surgen de los estudiantes para introducir conceptos importantes de la matemática. En general, los proponentes de la modela-ción como actividad de aprendizaje y de construcción de conocimientos sugieren que como resultado de esa acti-vidad los estudiantes ponen de manifiesto sus diversas formas de pensar y de abordar los problemas y ello fa-vorece el desarrollo de sus sistemas conceptuales.

Seguidamente, se muestra el trabajo realizado por un grupo de investigadores del Instituto Tecnológico Autó-nomo de México (ITAM), que está experimentando la po-sibilidad de enseñar matemáticas a nivel universitario a través del uso de la modelación. La perspectiva que se ha utilizado en este esfuerzo es una perspectiva mixta de carácter educacional. Los objetivos del proyecto de enseñanza e investigación son de carácter pedagógico. Se pretende promover los procesos de aprendizaje de los alumnos, pero además introducir conceptos nuevos para ellos y desarrollar sus estructuras conceptuales a través de la introducción en la clase de problemas rea-les que posibiliten la emergencia de ideas matemáticas como se hace en la perspectiva modelos y modelación. A diferencia de esta perspectiva, estas ideas se toman explícitamente como base para apoyar la introducción de los conceptos matemáticos relacionados con la situación que se modela y para lograr un aprendizaje significativo de los mismos, se utiliza una teoría de desarrollo con-ceptual del ámbito de la educación matemática: la teoría acción, proceso objeto, esquema (teoría APOE).

Acercamiento al uso de la modelación en la enseñanza en México

En los últimos años un grupo de profesores de matemáti-cas e investigadores en educación matemática del ITAM, preocupados por lograr mejores resultados en los cursos, indagaron acerca de distintas metodologías de enseñan-za basadas en la investigación educativa, que podrían proporcionar ideas para diseñar estrategias innovado-ras de enseñanza.

En la búsqueda y análisis de diferentes acercamien-tos encontraron amplia bibliografía que refería a las po-sibilidades de aprendizaje y de motivación que brinda la enseñanza de las matemáticas a través de la modela-ción matemática. Los resultados de los estudios consul-tados sugerían que, en un contexto de modelación los estudiantes son capaces de desarrollar conceptos im-portantes y aprenderlos de manera significativa. Si bien la mayoría de los artículos consultados describían expe-riencias llevadas a cabo con estudiantes de los niveles de enseñanza básica y media superior, las premisas ele-mentales de su posible utilidad parecían ser aplicables en nivel superior.

Después de un análisis de las distintas perspectivas de modelación que se han mencionado, el grupo se de-

cidió por el uso de una perspectiva mixta en la que se complementara una perspectiva de modelación con una teoría de aprendizaje de las matemáticas, a fin de ga-rantizar el aprendizaje y desarrollo de los conceptos por parte de los estudiantes. Así, se procedió a elaborar un marco teórico en el que se incluyen las ideas acerca de la importancia de la modelación en el aprendizaje de las matemáticas y en el desarrollo de ideas poderosas y de herramientas conceptuales de la perspectiva modelos y modelación; pero, dado que, como se mencionó esta perspectiva no describe la forma en la que los estudian-tes pueden aprender nuevos conceptos específicos, se complementó el marco conceptual mediante la introduc-ción de la teoría APOE que describe en detalle la forma en que se construyen los conceptos matemáticos que se estudian en la universidad.

A partir del marco teórico diseñado, se discutió el tipo de problemas a experimentar en el salón de clase en las materias —sistemas dinámicos, ecuaciones diferenciales, matemáticas aplicadas a las ciencias económicas y alge-bra lineal— que se imparten en carreras administrativas, en ingeniería, economía, en las de matemáticas aplica-das y actuaría de dicha institución. Se diseñaron activida-des específicas de modelación aplicables a cursos diversos y se procedió a probarlas en el aula. En todas las ocasio-nes que se experimentó con el uso de esos modelos, los estudiantes trabajaron durante la clase y, en ocasiones, fuera de ésta en equipos de tres o cuatro miembros, con el fin de que discutieran y socializaran los conocimien-tos. Se exponen tres de esos modelos, dos relacionados con las ecuaciones diferenciales y uno con el álgebra li-neal así como sus resultados.

Modelo de precios

Problema

Una compañía requiere la forma en la que pueda prede-cir el precio, de cualquiera de sus productos, en un mer-cado en el que hay expectativas de los consumidores. El gerente de la compañía solicita colaboración para encon-trar un modelo adecuado, además de una presentación en la que se justifique con claridad por qué se considera que el modelo es pertinente y se proporcione información del mercado real que permita validar su pertinencia.

Objetivos

El problema se utilizó en una clase de matemáticas aplicadas a la economía como parte de los temas co-rrespondientes a las ecuaciones diferenciales. Su obje-tivo fue introducir en los alumnos la idea de variación y su posible expresión mediante el uso de ecuaciones dife-renciales, así como la noción de solución de una ecuación diferencial y el papel e importancia de las condiciones iniciales. Un propósito secundario del problema consistió en hacer trabajo experimental para considerar la función que los parámetros tienen en la modelación.


El modelo en clase

Los estudiantes trabajaron en forma colaborativa du-rante varias sesiones en el salón de clases en grupos de tres. El proyecto requirió además trabajo fuera de clase y búsqueda de datos de cualquier artículo, del cual los alumnos pudieran conseguir precios para un periodo re-lativamente largo de tiempo para validar el modelo.

La solución del problema se llevó a cabo durante un mes y fue posible observar varios ciclos de modelación. Se dedicó cierto tiempo a la discusión conjunta entre el profesor y los alumnos de cada uno de los modelos pro-puestos por los distintos equipos. Los alumnos que pre-sentaban el modelo respondían a las preguntas de sus compañeros y a las del profesor justificando las decisio-nes tomadas durante el periodo de trabajo previo. Esta discusión permitió a cada equipo cambiar su modelo y restricciones a partir de la reflexión de las preguntas y comentarios que se les había formulado.

Durante el trabajo, en el proyecto de modelación, se detectaron como se mencionó varios ciclos de modela-ción que podrían clasificarse como: selección de variables y trabajo en la búsqueda de relaciones entre éstas; in-troducción de la razón de cambio como una variable im-portante a considerar; refinamiento del modelo y primer análisis; búsqueda de soluciones y de formas de trabajar con los parámetros; experimentación, representación y análisis de los datos; diseño de la presentación.

En el primer ciclo, los estudiantes abordaron el proble-ma como de relación entre funciones, buscaron posibles gráficas de funciones que describieran el comportamien-to esperado de los precios de un bien, utilizando lo que habían aprendido en sus clases de economía. La explo-ración gráfica y la discusión sobre las posibles variables relevantes y su relación los condujo a considerar la ne-cesidad de plantear algunos supuestos, relacionados con sus conocimientos de economía y matemáticas que les permitieran simplificar el problema. En la primera discu-sión se trataron primordialmente el papel de los supues-tos en la modelación y el papel que jugaba el hecho de que hubiera expectativas de precios en el mercado.

En tanto, en el segundo ciclo los estudiantes conside-raron la relación de la expectativa de precios con la razón de cambio de éstos. Los primeros modelos incorporando la función precio y la derivada del precio comenzaron a aparecer. La discusión se centró, con posterioridad, en la importancia de esa relación y en la consideración del modelo resultante como ecuación diferencial. No todos los equipos plantearon una ecuación diferencial, pero la discusión con quienes sí la habían introducido permitió al resto de los grupos su consideración.

Construido un modelo —no precisamente el mismo en los distintos equipos de trabajo— los alumnos procedie-ron a refinarlo, es decir, a reducir, cuando era posible el número de parámetros que les parecían indispensables y a considerar su pertinencia. Es importante notar que los estudiantes no habían sido introducidos a las ecuaciones diferenciales y no conocían métodos de solución; no obs-

tante, algunos de ellos fueron capaces de utilizar lo que conocían acerca de la derivada de una función para tra-tar de dibujar una posible gráfica de la solución y consi-derar si podría considerarse adecuada. Después de este ciclo, el profesor consideró oportuno introducir algunas actividades referentes al análisis de ecuaciones diferen-ciales recurriendo al conocimiento del cálculo de una manera estructurada, para esbozar la forma de la solu-ción así como algunas definiciones, y el concepto de so-lución de una ecuación diferencial.

En un primer esbozo de las posibles soluciones al pro-blema, los alumnos consideraron el papel de las con-diciones iniciales. En este ciclo se introdujeron nuevas actividades conceptuales relacionadas con métodos de solución de ecuaciones diferenciales que los estudiantes fueron capaces de utilizar para encontrar la solución de sus modelos. Diseñaron la forma en que buscarían los datos para validar sus modelos y para calcular los pa-rámetros específicos a la situación. Aplicaron, además, métodos numéricos simples o gráficos para encontrar el valor de los parámetros que reflejaba de mejor mane-ra la situación en estudio y trabajaron en la presenta-ción final.

Toda la labor de los alumnos quedó registrada duran-te cada ciclo. En los periodos de discusión se recurrió a guías de observación para seguir en detalle el trabajo de cada uno de los grupos, y se grabó la discusión de cada uno de éstos para ser analizada por el investigador.

Resultados interesantes

El trabajo de los grupos dio lugar a una diversidad de modelos —cuatro modelos distintos entre sí. Los es-tudiantes se acercaron al problema aplicando una pers-pectiva de covariación en la que su interés radicaba en encontrar el posible comportamiento de las variables. Después de la primera discusión en grupo, la mayor parte de éstos consideró una perspectiva dinámica en la que el objeto de estudio era la función derivada (Tri-gueros, 2008).

Si bien los estudiantes introdujeron la derivada en sus modelos, mostraron dificultades para relacionar la deri-vada de la función con la función en una misma ecuación debido a que su concepción de función y de derivada, deacuerdo a la teoría APOE podían considerarse de tipo pro-ceso, es decir, la función como una regla que se le aplica a una variable y que resulta en una nueva variable rela-cionada y la derivada como una operación que se aplica a la función. El trabajo en las actividades, colaborativo y en conjunto, permitió a los estudiantes establecer la relación entre la función y su derivada, considerando a esta última como una función que proporciona informa-ción sobre la función original. Fue interesante notar que esta relación surgió en lo básico del análisis del proble-ma en términos económicos conjuntamente con una es-trategia de representación gráfica del problema.

El análisis cualitativo de las ecuaciones diferencia-les, basado en algunas ideas presentadas por los estu-


diantes e introducido, en las actividades conceptuales sobre las que trabajaron posteriormente resultó efecti-vo. Ellos lo utilizaron para reflexionar en la ecuación di-ferencial como un objeto de estudio y en la solución de la ecuación diferencial como una función. Esta reflexión se apoyó también en las distintas relaciones y en el tra-bajo que los estudiantes hicieron para aproximar numé-ricamente la solución a la situación particular que habían elegido. A diferencia de lo que se ha reportado en la lite-ratura (Rasmussen, 1999 y 2001; Donovan, 2007), estos alumnos no mostraron ninguna dificultad al dar signifi-cado a la solución de la ecuación diferencial como una función o un conjunto de funciones; fueron capaces de transferir su noción de solución a problemas relaciona-dos con la solución de ecuaciones diferenciales abstrac-tas, que se utilizaron como tareas durante el periodo en que se trabajó sobre el proyecto.

Un resultado muy interesante fue la posibilidad de un grupo de crear una representación del problema muy se-mejante al espacio fase para analizar el comportamien-to de la solución, alrededor de lo que ellos consideraron como solución de equilibrio, noción que juega un papel importante en economía. La introducción de esta herra-mienta fue aprovechada por el maestro para discutir al-gunos aspectos relevantes del análisis cualitativo y del papel de los parámetros y la variación de los parámetros en la solución del problema.

El reloj de péndulo

El problema

¿Qué tan efectivo es el uso de un péndulo como reloj? ¿Cómo podría probarse su efectividad si lo es? Constru-ye un reloj de péndulo. Este reloj será mostrado en una exposición, por ello es necesario que sea acompaña-do de una explicación de su funcionamiento a dos nive-les: una comprensible para el público en general, y otra para los profesores de los departamentos de ingeniería y matemáticas.

Objetivos

El problema fue aplicado con estudiantes de ingeniería en computación y en telemática en un curso de ecuacio-nes diferenciales. Los objetivos primordiales de este pro-yecto de modelación consistían en ampliar la noción de variación previamente trabajada, aplicando otros mode-los para introducir las ecuaciones diferenciales de segun-do orden; así como recuperar algunos de los conceptos que los estudiantes aprendieron en sus cursos de física para relacionarlos con los desarrollados en el contexto de este curso específico de matemáticas.

El modelo en clase

El desarrollo del problema en el salón de clase fue de manera similar a la descrita para el problema de pre-

cios. Nuevamente se detectó ciclos en los cuales era posible observar la evolución de algunos aspectos rela-cionados con el conocimiento de los estudiantes respec-to a las ecuaciones diferenciales, y también en relación con la transferencia de los conocimientos de física a la clase de matemáticas.

A diferencia de lo descrito en el caso del grupo que trabajó el problema de economía, este equipo tuvo mu-chas más dificultades para relacionar sus conocimientos de física con los de matemáticas, lo cual resultó en que, el primer ciclo relacionado con la elección de las varia-bles a estudiar tomara más tiempo que el esperado por el maestro y el investigador (un mes). En el estudio del péndulo, la variable dependiente que simplifica el pro-blema es el ángulo que hace el péndulo con la vertical y se esperaba que los alumnos utilizaran este hecho con facilidad. En el segundo ciclo, en el que también se es-peraba que el uso de las leyes de Newton aplicadas al problema resultara casi directamente en una ecuación diferencial, resultó asimismo más complicado de lo es-perado. Los alumnos encontraron muchas dificultades para determinar las fuerzas que actúan sobre el sistema y más aún para descomponer las fuerzas en componen-tes. Trataban de relacionar el problema con lo que cono-cían del oscilador armónico simple, sin embargo, aunque conocían la fórmula para la fuerza no lograban transpo-nerla para el caso del péndulo. Los alumnos requirieron mucho trabajo y apoyo por parte del maestro para su-perar estas dificultades.

Una vez que los alumnos encontraron la ecuación di-ferencial de segundo orden, en lo que se consideró el tercer ciclo, intentaron aplicar lo que habían aprendido respecto al concepto de solución de ecuaciones diferen-ciales de primer orden y al análisis cualitativo de éstas. Dado que la ecuación resultante era de segundo orden desistieron del análisis cualitativo; ninguno consideró la posibilidad de utilizar el sistema de ecuaciones que ha-bían propuesto de manera natural antes de llegar a la ecuación de segundo orden.

Los estudiantes manejaron lo aprendido —en el caso de solución de ecuaciones de primer orden lineales— para encontrar las funciones solución de la ecuación de segundo orden una vez que lograron expresarla de forma lineal —al tomar en consideración que para valores pe-queños del ángulo, el seno de éste se puede aproxi-mar por el valor del ángulo— además de reconsiderar el papel de las condiciones iniciales que aparecían de nueva cuenta en los modelos planteados. Tampoco mos-traron mayores dificultades para suponer las diferentes situaciones que se podían presentar: sin fuerzas exter-nas, con fricción y con otras fuerzas externas además de la fricción.

En la aplicación de la construcción del reloj, al ini-cio estimaron que únicamente un péndulo ideal podría modelar un reloj, porque para ellos sólo en ese caso la frecuencia permanecería constante. Después reconside-raron este punto al analizar con cuidado las soluciones, y concluyeron que la descripción del funcionamiento de


un reloj requeriría el uso de una ecuación para un osci-lador forzado.


Todos los grupos mostraron dificultades con los con-ceptos de física. Lo cual interfirió con la posibilidad de interpretar los resultados que obtenían de la solución matemática de las ecuaciones en términos de la física. Al parecer, al enfrentar un contexto nuevo sus ideas pre-vias resurgían y las estrategias de solución de problemas no eran tan sólidas como para realizar comparaciones y analogías con casos de problemas en los que estas pre-concepciones no se presentan.

Los patrones de razonamiento de los estudiantes se guiaban en un primer momento por lo que eran capaces de observar y no por sus conocimientos de física. Po-dría decirse que para la mayoría de ellos la física y las matemáticas constituyen disciplinas ajenas. Mostraron más dificultades para utilizar el conocimiento matemá-tico aprendido en otros cursos e incluso en el mismo en que se desarrolló el proyecto de modelación. Para lograr superarlas fue necesario realizar más actividades de tipo conceptual que reforzaran el papel de la variación y de la segunda variación en el problema matemático.

La construcción del reloj, por otra parte, y la posibili-dad de trabajar con datos reales constituyó una fuente de aprendizaje para el grupo. Esta construcción les per-mitió reconsiderar sus dificultades y el significado de las variables en términos del problema específico y en térmi-nos de la física. Reflexionaron las dificultades implicadas en la generación y análisis de datos, aprendieron nue-vas técnicas de aproximación de parámetros, además de los conceptos relacionados con el curso en sí.

A pesar de las dificultades encontradas, los datos de esta experiencia pusieron de manifiesto la utilidad del empleo de los modelos en la enseñanza. La discusión de ideas y el análisis entre los alumnos y con el profesor procuró su evolución. La presentación del proyecto mos-tró claridad en las explicaciones y en las justificaciones argumentadas por los distintos equipos, aun cuando no todos mostraron el mismo grado de avance.

Trabajar en el proyecto brindó a los estudiantes una oportunidad para aplicar lo aprendido, relacionar lo es-tudiado en cursos diferentes y poner en juego sus ideas sobre la naturaleza misma del trabajo científico, a tra-vés de la experimentación y la comunicación. También ofreció múltiples ocasiones de reflexión sobre los concep-tos matemáticos involucrados en la solución de ecuacio-nes diferenciales y les facilitó desarrollar algunos nuevos como los involucrados en el método de mínimos cuadra-dos para la aproximación de curvas a datos experimen-tales. La metodología de trabajo le permitió a este grupo tomar a su cargo el reto que el problema implicaba y ampliar su visión de lo que significa el uso de las mate-máticas y de la física en la solución de problemas rea-les (Trigueros, 2006).

Problema de tráfico

El problema

La Dirección General de Tránsito ha instalado senso-res que le permite contar la cantidad de vehículos que pasan por cada una de las calles en áreas específicas de la ciudad, en particular una zona del área financiera en cuyas esquinas hay glorietas que permiten redirigir el tráfico. El número de vehículos promedio que pasan por las calles por hora se muestra en el siguiente diagrama. No está permitido estacionarse en ninguna de las calles. Las flechas indican el sentido de las calles. La Dirección General de Tránsito desea desarrollar políticas de mane-jo de tráfico que pueden ser necesarias en caso de que se hagan trabajos en las calles o de que ocurran mani-festaciones u otras actividades disruptivas.

Si se pide que por una de las calles entre dos esqui-nas circule una mínima cantidad de autos: ¿cuál debe ser esa cantidad si se desea que el tráfico normal en estas calles se mantenga? ¿Es posible cerrar alguna de las ca-lles? Si es así ¿cuál?

Si se cierra una calle sería necesario poner señales para indicar a los conductores el inicio de cada una de las calles cerradas. ¿Cuántas señales habría que poner? ¿Sería po-sible considerar una restricción de que no circularan más de 200 autos por hora en una calle particular?

Objetivos

Con este problema se pretendía que, además del de-sarrollo del modelo, los estudiantes utilizaran sus cono-cimientos acerca de la solución de sistemas lineales de ecuaciones algebraicas y los desarrollaran para incluir entre éstos la noción de conjunto solución de un sistema de ecuaciones. Lo cual la literatura en educación mate-mática reporta como una de las dificultades en el estu-dio de este tema de las matemáticas (Ramírez, Oktaç y García, 2005a y b; Trigueros, Oktaç y Manzanero, 2007), el método de Gauss para resolver sistemas grandes de ecuaciones, las representaciones gráficas de los siste-mas de ecuaciones y el significado gráfico del conjun-to solución.


El modelo en clase

Se encontró que en el trabajo con el modelo se po-dían detectar ciclos de modelación en la actividad de los alumnos que, en este caso consistieron de: selección y relación entre variables, manipulación del sistema de ecuaciones, representación matricial y su manipulación, respuesta a preguntas específicas y representación grá-fica del espacio solución.

En el primer ciclo, los estudiantes usaron su conoci-miento sobre los sistemas de ecuaciones como se tenía previsto. Sin embargo, dado que el sistema a resolver era grande y contenía más incógnitas que ecuaciones, los alumnos enfrentaron dificultades al aplicar su conoci-miento en este caso específico. Para ayudarles a superar esta dificultad se introdujeron actividades desarrolladas a la luz de la teoría APOE, cuya finalidad era la introduc-ción de nuevos conceptos y estimular la reflexión sobre sus propias acciones, a fin de que fueran capaces de ge-neralizarlas y utilizarlas en el desarrollo de procesos más eficaces de solución de sistemas de ecuaciones, que pu-dieron, posteriormente, aplicar al trabajo con el mode-lo. Así, a través de los ciclos se alternó también entre la actividad de modelación y el uso de actividades destina-das a la construcción de los conceptos relacionados con este tema del álgebra lineal.


Los estudiantes encontraron múltiples dificultades a lo largo del proceso de modelación, algunas como la definición misma de las variables puede considerarse sorprendente en alumnos universitarios; otras predeci-bles por la naturaleza del modelo a plantear. Diferentes equipos propusieron modelos distintos, y una actividad interesante en las sesiones de discusión con el grupo en su totalidad fue la comparación de los sistemas y de sus conjuntos solución para discutir cuestiones relaciona-das con la equivalencia de los sistemas y los distintos tipos de solución obtenidas.

Luego de la introducción de la representación del sis-tema mediante matrices, los alumnos no sólo emplea-ron lo recién aprendido en la solución de su modelo sino que relacionaron con claridad los elementos de la matriz con el sistema de calles presentado en la figura; des-pués, en el trabajo conjunto con el profesor discutieron el significado de los signos en relación con las glorietas de cada esquina y en ocasiones el maestro introdujo al-gunas nociones nuevas que podían ser de interés para los estudiantes.

El ejercicio con los parámetros del modelo resultó en particular interesante para los alumnos. Es conocida la dificultad que los estudiantes tienen, aun los universi-tarios, con la interpretación y el manejo de parámetros (Furinghetti y Paula, 1994; Bloedy-Vinner 2001; Trigue-ros y Ursini, 2004). En este caso como en los anterio-res, el problema específico a resolver fue un apoyo en la interpretación de los parámetros. Esto permitió que

se analizaran junto con el maestro las características de las soluciones factibles al problema; así como, utilizando diferentes parametrizaciones, la interpretación del espa-cio de soluciones factibles podía ser más o menos fácil. Se llegó incluso a sugerir una representación geométrica del espacio de soluciones factibles y se discutió el signi-ficado de dicha representación en términos del proble-ma a resolver.

La labor en clase demostró que este problema satisfa-ce los criterios de un buen problema de modelación es-tablecidos en la perspectiva de modelos y modelación, y permitió la introducción de actividades de construcción de conocimiento diseñadas con la teoría APOE sin romper demasiado con la dinámica de la modelación. Fue posi-ble seguir —mediante los productos entregados por los alumnos en las distintas etapas del proceso— la evalua-ción de su manera de pensar sobre el modelo y las di-ficultades que enfrentaban. Los modelos desarrollados fueron utilizados como herramientas conceptuales en la solución de problemas semejantes en su estructura plan-teados en contextos diferentes, pero siempre relaciona-dos con la solución de sistemas de ecuaciones (Possani, et al., 2009).

A destacar

Una de las peculiaridades que vale la pena resaltar y que es común a las experiencias descritas —u otras seme-jantes realizadas por el mismo grupo de investigado-res o por otros en nuestro país y en el extranjero— es la enorme motivación de los estudiantes. En todos los casos ellos se apropiaron rápidamente del problema, las discusiones en clase y el trabajo fuera de ésta mostra-ron el interés por comprender la situación y trabajarla de la mejor manera posible. Si bien los problemas elegi-dos eran parecidos a los que están resueltos en algunos libros de texto, los estudiantes no recurrieron a éstos en ninguno de los casos y sólo hicieron uso de textos rela-cionados con la física y con la economía a fin de com-prender algunas de las variables del problema en sí y no para encontrar una solución.

En las discusiones cada equipo defendió sus puntos de vista y la plausibilidad de su modelo. En ocasiones, incluso, les fue difícil aceptar algunas críticas acertadas de sus compañeros; no obstante, cuando las aceptaron, manifestaron lo útil que les fueron para refinar o recon-siderar su razonamiento en el planteo del modelo. Asi-mismo, se observó el interés que pusieron los alumnos en las actividades conceptuales como oportunidad para encontrar nuevas formas de abordar el problema o re-solver aquellos que aparecían en el proceso de respues-ta a las preguntas planteadas más que como ejercicios de clase.

La necesidad de validar sus resultados —en particular en el caso de los problemas relacionados con las ecua-ciones diferenciales— hizo posible integrar la tecnología de una forma natural, equipos de cómputo y calculado-ras científicas fueron aplicados para explorar distintas re-


presentaciones de los modelos obtenidos, para discutir la naturaleza de las posibles soluciones de las ecuacio-nes o para aproximar las soluciones a los datos concre-tos obtenidos de la fase experimental.

Una ventaja adicional del uso de la modelación en clase fue que puso de manifiesto los patrones de razo-namiento seguidos por los estudiantes y sus dificultades conceptuales. Ello auxilió al maestro en cuanto a desa-rrollar actividades conceptuales a fin de satisfacer los re-querimientos de los estudiantes, ya sea para introducir nuevos conceptos o reconsiderar errores que aparecían en la solución. Esto último fue muy evidente en el caso del modelo del péndulo.

El razonamiento de los estudiantes en esta experien-cia evolucionó y las matemáticas se volvieron el centro de la discusión. Al final de cada uno de los proyectos descritos, las presentaciones exhibieron mayor solidez en el manejo de los conceptos y de sus relaciones. Si bien es imposible garantizar un aprendizaje significati-vo de todos los estudiantes, lo que sí se advirtió fue el cambio gradual en sus concepciones. El simple hecho de poner al descubierto algunas de sus ideas ya represen-tó una ventaja, si a ello se suma la posibilidad de discu-sión, trabajo y reflexión, la prerrogativa de este tipo de trabajo se aprecia mucho mejor.

En todos los casos, de manera más o menos efecti-va, los alumnos demostraron su capacidad para poner en juego y combinar los recursos conceptuales adqui-ridos. En general, se puede decir que el trabajo en los modelos proporcionó una excelente oportunidad para de-sarrollar eficazmente los conocimientos de los alumnos, además de ampliar su visión de lo que significan las ma-temáticas en la solución de problemas reales. Asimismo, la aplicación de la modelación en la solución ayudó a la mayor parte a sentirse más seguros de sus competen-cias y valorar de manera diferente la función de los cur-sos escolares, así como valorar las limitaciones de este tipo de modelación.

Los comentarios de los estudiantes que participaron en estas experiencias, después de uno o dos años, sobre el uso de los modelos fueron muy positivos. Expresa-ron gusto por el contenido de la materia y por el tipo de didáctica empleada; pero, lo más importante, es que aprendieron mucho mejor los conceptos en aquellas cla-ses que los aprendidos en otras.

Reflexiones finales

Se ha visto a lo largo de este artículo que hay distintas formas de entender el uso de la modelación matemática en la enseñanza de las matemáticas y en la investigación en educación matemática. Las distintas perspectivas al respecto modulan los objetivos y la metodología de tra-bajo en el aula así como la forma de hacer investigación acerca de los resultados de su aplicación.

Entre las perspectivas mencionadas se encuentran al-gunas que tienen por objetivo enseñar los elementos de la modelación matemática; sin embargo, en otras ello

no es central. La modelación no es una tarea fácil. Pen-sar como objetivo enseñar ambas cosas simultáneamen-te sería muy complicado. El tiempo que puede perderse en este tipo de técnicas —en un curso cuyo objetivo no es enseñar a modelar— puede empañar el propósito real de éste —que es la introducción de ciertos conoci-mientos matemáticos— y perder la atención de los estu-diantes en los aspectos conceptuales importantes de la disciplina. En este tipo de proyectos parece ser esencial no perder de vista el objetivo central del curso y buscar el equilibrio entre aquellos aspectos de la modelación que son importantes de rescatar y los conceptos que se quieren enseñar. En cursos como aquellos de los que se tomaron los ejemplos presentados, este equilibrio per-maneció siempre en la mira del profesor. Los modelos se usaron como instrumento para favorecer el desarro-llo de esos conceptos, aunque las técnicas de modela-ción no resultaran las más adecuadas o las más eficaces en cada situación.

El momento de introducir las actividades conceptua-les y su diseño son de suma importancia en el logro de un aprendizaje conceptual en este tipo de proyectos. En muchas ocasiones, es difícil encontrar la oportunidad en que estas actividades sean adecuadas y decidir qué tanto el trabajo sobre los conceptos matemáticos puede irrum-pir de manera desfavorable en el proceso de modelación. La atención del maestro a este tipo de cuestiones resul-ta fundamental. Las experiencias que aquí se mostraron, y otras dentro de perspectivas similares, muestran que el diseño de las actividades debe favorecer el regreso al problema de modelación.

El diseño de las situaciones constituye un elemento central para que el uso de la modelación tenga éxito. Un problema planteado en buenos términos coadyuva el compromiso de los estudiantes en su solución y el apren-dizaje de nuevos conceptos. Evidentemente, no todos los estudiantes avanzan de la misma manera, ni logran profundizar en los conceptos como sería deseable, pero puede decirse que los resultados obtenidos en este tipo de proyectos muestran con claridad las bondades de este acercamiento a la enseñanza de las matemáticas en la universidad.


Bibliografía

Barbosa, J. C., “Mathematical modelling in classroom: a sociocritical and discursive perspective”, Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38 (3), 2006, pp. 293-301.

Barbosa, J. C., “What is mathematical modelling?” en S. J. Lamon, W. A. Parder y K. Houston (eds.), Mathematical modelling: a way of life, Chichester, 2003, Ellis Horwood.

Bloedy-Vinner, H., “Beyond unknown and variables. Parameters and dummy variables in high school algebra” en Sutherland, R., Rojano, T., Bell, A. y Lins, R. (eds.), Perspectives on school algebra, Dordrecht, 2001, Kluwer Academic Publishers.

Borromeo Ferri, R., “Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process”, Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38(2), 2006, pp. 86-95.

Camarena, G., P., Los modelos matemáticos como etapa de la matemática en el contexto de la ingeniería, reporte de investigación, México, 2000, ESIME-IPN.

Camarena, G., P., “Hacia la integración del conocimiento: matemáticas e ingeniería”, Memorias del 2º Congreso Internacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas, México, 1999.

Chevallard, Y., M. Bosch, y J. Gascón, Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje, Barcelona, 1997, ICE/Horsori.

Donovan, J., “The importance of the concept of function for developing understanding of first-order differential equations in multiple representations”, Electronic proceedings for the tenth special interest group of the

Mathematical Association of America on Research in Undergraduate Mathematics Education Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education, 37(6), 2007, pp. 487-489.

Freudenthal, Hans, Revisiting mathematics Education. China Lectures”,Dordrecht, 1991, Kluwer Academic Publishers.

Freudenthal, H., “How to teach mathematics so as to be useful”, Educational Studies in Mathematics 1 (1), 1968, pp. 3-8.

Furinghetti, F., y D. Paula, “Parameters, unknowns and variables: a little difference?”, Proceedings of the XVIII International Conference for the Psychology of Mathematics Education,

Lisbon, University of Lisbon, Portugal, 1994.

García, F. J., J. Gascón, L. Ruiz Higueras, y M. Bosch, “Mathematical modelling as a tool for the connection of school mathematics”, Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38, 2007, pp. 226-246.

Gravemeijer, K., y M. Doorman, “Context problems in realistic mathematics education. A calculus course as an example”, Educational Studies in Mathematics, 39, 1999, pp. 111-129.

Gravemeijer, K., Developing realistic mathematics education, Utrecht, 1994, Cdß Press.

Haines, C., y R. Crouch, 2005,”Getting to grips with real world contexts: developing research in mathematical modeling”, papers presented at WG13 in the 4th Congress of the European Society for Research in Mathematics

Education, Sant Feliu de Guíxols, http://cerme4.crm.es/Papers%20definitius/13/wg13listofpapers.htm

Israeli, G., La mathématisation du réel. Essai sur la modelisation mathématique, Paris, 1996, Editions du SEUIL.

Kaiser and Sriraman, 2006 Henning, H. y Keune, M., 2005, “Levels of modelling competence”, papers presented at WG13 in the 4th Congress of th European Society for Research in Mathematics Education, Sant Feliu de

Guíxols, 2006, http://cerme4.crm.es/Papers%20definitius/13/wg13listofpapers.htm


Lehrer, R., y L. Schauble, “The development of model-based reasoning”, Journal of Applied Developmental Psychology, 21(1), 2000, pp. 39-48.

Lesh, R., y L. English, “Trends in the evolution of the Models and Modeling perspectives on mathematical learning and problem solving”, ZDM, The International Journal

on Mathematics Education, 37(6), 2005, pp. 487-489.

Lesh, R. y B. Sriraman, “Mathematics education as design science”, Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 37(6), 2005, pp. 490-505.

Lesh, R. y H. M. Doerr, “Foundations of a models and modeling perspective on mathematics teaching, learning and problem solving”, en R. Lesh y H. Doerr (eds.) Beyond constructivism:

models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning and teaching, Mahawah, NJ, USA, 2003, Lawrence Erlbaum Associates.

Possani, E., M. Trigueros, G. Preciado, y M. D. Lozano, “Use of models in the teaching of linear algebra”, Linear Algebra and Applications, 2009. por publicarse.

Ramírez, C., A. Oktaç, C. García, “Dificultades que presentan los estudiantes en los modos geométrico y analítico de sistemas de ecuaciones lineales”,

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, vol. 19, 2005a, pp. 413-418.

Ramírez, C., A. Oktaç, C. García, “Las dificultades de los estudiantes en los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables”, Actas del XVIII Congreso Nacional de

Enseñanza de las Matemáticas, Acapulco, Guerrero, 2005b.

Rasmussen, C. L., “New directions in differential equations: a framework for interpreting students understanding and difficulties”, Journal of Mathematical B

ehavior, 20, 200, pp. 55-87.

Rasmussen, C. L., “Symbolizing and unitizing in differential equations”, paper presented at the NCTM Research Pressession, San Francisco, CA, 1999.

Streefland, L., “Search for the roots of ratio: some thoughts on the long term learning process”, Educational Studies in Mathematics, 16, 1985, pp. 75-94.

Trigueros, M., “Modeling in a dynamical systems course”, Electronic proceedings for the tenth special interest group of the Mathematical Association of America on Research in Undergraduate Mathematics

Education Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education, 2008, http://www.rume.org/crume2008/Trigueros_LONG.pdf

Trigueros, M., A. Oktaç, y L. Manzanero, “Understanding systems of equations in linear algebra”, papers presented at WG13 in the 4th Congress of the European Society for Research in

Mathematics Education, 2007, Larnaca, Cyprus.

Trigueros, M., “Ideas acerca del movimiento del péndulo. Un estudio desde una perspectiva de modelación”, Revista Mexicana de Investigación Educativa, vol. XI, núm. 31, octubre-diciembre, 2006, pp. 799-83.

Trigueros, M. y S. Ursini, “How do high school students interpret parameters in algebra?” en M. J. Høines y A. B. Fuglestad (eds.), proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, July 14-18, vol. 4, 2004, Bergen-Norway, Bergen University College, pp. 361-368.

Zbiek, R. M., y A. Conner, “Beyond motivation: exploring mathematical modeling as a context for deepening students’ understandings of curricular mathematics”,

Educational Studies in Mathematics, 63(1), 2006, pp. 89-112.



ResumenSe describe un modelo propuesto para la formación docente en línea de profesores de matemáticas en servicio. La base del mode-lo son niveles de interacción propios del aprendizaje en línea, planteados por el escenario, adaptados al perfil del profesor de matemáticas en servicio y a los propósitos de un programa de for-mación didáctica que pretende poner en el centro de la discusión la problematización de la matemática escolar.

Gisela Montiel Espinosa*

* Licenciada en matemáticas aplicadas y computación por la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), maestra en ciencias con especialidad en matemática educativa por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN), y doctora en ciencias en matemática educativa por el Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, Unidad Legaria (Cicata-IPN). En julio de 2003, además de acreditarse como miembro asociado del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa, recibió el premio Simón Bolívar a la mejor tesis de maestría en matemática educativa con el tra-bajo de investigación titulado Una caracterización del contrato didáctico en un escenario virtual. Forma parte del equipo de autores de los libros para secundaria, aprobados por la Secretaría de Educación Pública (SEP), de la serie Desarrollo del Pensamiento Matemático de Editorial McGraw-Hill. Además, cuenta con diversas publicaciones de investigación y difusión relacionadas con la investigación en matemática educativa. Actualmente es profesora-investigadora de posgrado en matemática educativa en el Cicata Legaria, y tesorera de la red de Centros de Investigación en Matemática Educativa, en México. E-mail: [email protected]

Formación docente a distancia en líneaUn modelo desde la matemática educativa

Palabras claveEducación a distancia en línea, formación docente, matemática educativa.

AbstractThis paper describes a proposal model for mathematics in-service teachers training program. The model is base on interaction levels for online distance learning, imposed by the scenario and adapted for mathematics teachers and for a specifically didactic training program which takes the school mathematics as didactic activity core.

KeywordsOnline distance education, teacher training, mathematics education.

Teacher training in line a distanceA model from the mathematics education

Introducción

La demanda por la formación docente, particularmente del profesor de matemáticas, es un fenómeno de impor-tancia significativa en México. Suele considerarse sufi-ciente tener dominio de los contenidos matemáticos y del conocimiento de las metodologías de enseñanza adecua-das para enfrentar los retos de la enseñanza, incluso con solo estos dos elementos hay problemas interesantes en el aula. La epistemología del profesor está muy influen-ciada por su cultura, ideología, formación y experiencia profesional, en consecuencia el dominio del conocimiento matemático tiene matices diversos de un profesor a otro. Además, los planes y programas de estudio, las refor-mas educativas, las metodologías de enseñanza, entre otros, son o deberían ser diseñados por grupos especia-lizados en áreas que, por lo regular, desconoce el docen-te —pedagogía, psicología, sociología— cuyos periodos

de especialización rebasan por mucho los de capacitación que recibe un profesor en servicio.

La creación de programas de formación docente, per-manentes y flexibles, es más que una necesidad de las instituciones: es una exigencia de la sociedad. En este contexto la educación a distancia en línea (EDL), abrió una nueva alternativa de instrucción, trabajo, comuni-cación e interacción que hace posible que el profesor en servicio se forme y actualice en las áreas que demanda su quehacer académico.

Formación en matemática educativa

En el país se cuenta con diversas instituciones que ofer-tan programas de licenciatura y posgrado en matemá-tica educativa con alternativas de formación docente y de investigación, respectivamente. Estos programas han impactado de modo favorable en la creación y consolidación


aprendido, o lo que Ally (2004, p. 22) denomina la cons-trucción de un significado personal. La distancia —ahora mediada por la modalidad en línea— le exige al instructor la continua creación de estrategias de comunicación, re-troalimentación y evaluación del estudiante, para lo cual se vale de la construcción de una comunidad de apren-dizaje en el sentido de Anderson (2004, p. 39). Esto es, en la EDL se deben considerar tanto procesos autó-nomos de aprendizaje como procesos colaborativos de construcción de conocimiento. La comunicación, indivi-dual o colectiva, entre los actores educativos es la pieza fundamental de cualquier experiencia educativa, presen-cial o a distancia.

En la modalidad en línea los formatos de comunicación se clasifican en sincrónicos y asincrónicos, pero varían constantemente. Los formatos sincrónicos, o en tiem-po real, permiten retroalimentación inmediata y pue-den, en la actualidad, incluir audio, texto, vídeo e incluso compartir aplicaciones computacionales; sin embargo, es muy complejo soportar comunicación multidireccio-nal en poblaciones numerosas. Los formatos asincró-nicos, o desfasados en tiempo, tienen mayor reflexión previa a la participación, la lectura de otras aportacio-nes, seguimiento de los temas de discusión, consulta ex-terna, entre otros, pero funciona de acuerdo al medio. Por ejemplo, un foro de discusión permite dar respuesta y retroalimentación a todas las participaciones e inclu-so abrir nuevas líneas de discusión, un blog solo permi-te comentarios a la bitácora principal, una wiki permite la construcción colectiva de un solo espacio de discu-sión. Esto es, si bien todas registran las interacciones escritas por todos los participantes y es posible hacer seguimiento de sus aportaciones, cada espacio determi-na el tipo de construcción colectiva que hacen alrede-dor de un tópico.

Esta modalidad educativa está por completo mediada por la tecnología que actúa como interfaz —predominan-temente gráfica-visual— como herramienta de trabajo —por las aplicaciones computacionales que requiere— y como medio de comunicación, gracias a ésta los mate-riales y recursos didácticos se presentan en texto, audio, vídeo, simulaciones, interactivos. La virtualidad en la educación a distancia ha dado origen a un escenario donde se configuran nuevas relaciones entre los acto-res educativos y, en consecuencia, se promueven nue-vas formas de enseñar y aprender tanto en lo individual como en lo colectivo.

Niveles de interacción

Los niveles de interacción propuestos por Ally (2004, p. 21), se basan en consideraciones conductistas, cog-nitivas y constructivistas del aprendizaje, adoptándolas como taxonomía para el aprendizaje (figura 1): las estra-tegias conductistas pueden usarse para enseñar el qué (los hechos), las estrategias cognitivas para enseñar el cómo (procesos y principios) y las estrategias construc-tivistas el por qué (niveles avanzados del pensamiento

de cuerpos académicos que, en la actualidad, dirigen programas de investigación, participan en el diseño de reformas educativas, elaboran libros de texto para los sistemas regionales y/o nacionales, entre muchos otros proyectos educativos.

En el Instituto Politécnico Nacional (IPN), se han ofer-tado los posgrados, maestría y doctorado, en matemá-tica educativa desde el año 2001, proyectándose desde entonces la necesidad de dirigirlos a profesores en ser-vicio que no tuvieran posibilidad de participar en otros programas, ya sea por la limitante de tiempo que impo-ne la carga laboral o por la separación geográfica entre programas y profesores. Ambos obstáculos no son ex-clusivos del docente mexicano y la única posibilidad de evitarlos fue con un programa académico a distancia en línea. En cuatro generaciones de maestría y cinco de doc-torado han ingresado alumnos de diferentes regiones de México, así como de Uruguay, Chile, Argentina, Perú, Ve-nezuela, Brasil, Costa Rica y Colombia, habiéndose gra-duado 34 maestros y 15 doctores.

Debido a los largos periodos de formación que se re-quieren en el posgrado, las instituciones y los profeso-res comenzaron a demandar programas de formación en docencia dirigidos a educadores en servicio, en periodos cortos y formatos flexibles. A partir de la experiencia de varios años en el posgrado y en los programas de for-mación continua se construye un modelo de formación, ahora desde la virtualidad con sus posibilidades y no solo a partir de la necesidad de formación en la disciplina. Es decir, no se trivializa, ni juzga transparente el escenario donde se lleva a cabo el proceso de formación.

Escenario de la EDL

Todo proceso de enseñanza-aprendizaje que profesor y estudiante estén separados geográficamente recibe el nombre de educación a distancia. En particular, la moda-lidad en línea se caracteriza y distingue de otras por el escenario en donde se desarrolla: internet. Cuando se habla de educación en línea se hace referencia a la moda-lidad formativa que utiliza la red como medio de distri-bución de la información. En consecuencia, la educación en línea ofrece disponibilidad en todo momento, en todo lugar, con la condición operativa de contar con un dis-positivo tecnológico con acceso a internet que soporte el diseño instruccional de la experiencia de enseñanza-aprendizaje. Esta flexibilidad de tiempo y espacio permi-te que el estudiante realice gran cantidad de consultas en fuentes bibliográficas o con expertos en la materia, tanto en internet como dentro de su entorno personal —escuelas o bibliotecas cercanas. Es decir, se reconoce que los recursos didácticos y las fuentes de información no se limitan a aquellos incluidos formalmente en los conteni-dos o actividades del diseño instruccional.

La distancia exige al estudiante un alto nivel de au-tonomía y responsabilidad en el proceso educativo, que repercute significativamente en la búsqueda de trans-formar, casi de inmediato, su entorno con base en lo


que promueven el significado personal y el aprendizaje contextual y situado).

Figura 1 Niveles de interacción en el aprendizaje

en línea.

Fuente: Ally, 2004, p. 21.

La interacción alumno-interfaz permite el acceso a la información; la interfaz está constituida por la computa-dora y el aula virtual que da paso al contenido y a la in-teracción con otros. La interacción alumno-contenido da lugar al proceso de información, se navega a través de los contenidos para conocer los objetivos, tipo de lec-ciones y tareas, escalas de evaluación, calendarios, por nombrar algunos. Conforme se avanza en esta interac-ción, el alumno experimenta que requiere soporte o guía, que podrá tomar forma de interacción con sus pares —alumno-alumno— con su instructor o con expertos en el área. Finalmente, el estudiante interactuará con su con-texto, aplicando en su entorno personal lo que ha apren-dido, es decir, contextualizará la información. Este nivel de interacción, alumno-contexto, es el que permite la construcción del significado personal de la información.

Estos niveles de interacción consideran al proceso de enseñanza-aprendizaje como el centro de la actividad, en el modelo presentado aquí se considera un proceso de formación didáctica; los niveles suponen al alumno como el que adquiere un cierto conocimiento, el modelo con-templa al profesor que ya tiene un cierto conocimiento y se propone que lo problematice en su labor docente; se considera la contextualización como una aplicación de lo aprendido —actividad unidireccional—, un profesor debe reconocer las variables de su entorno para adaptar un re-diseño de clase y retroalimentar a la comunidad con sus resultados —actividad bidireccional.

La adaptación de estos niveles se logra con una pers-pectiva centrada en:

• La formación didáctica.• La matemática educativa como campo de saber

para el profesor.• La incidencia en la práctica docente.• La construcción de una comunidad virtual de do-

centes en formación continua.

Las cuatro perspectivas pueden vislumbrarse en todos los niveles propuestos en el modelo, tanto en los momentos de socialización como en los de intercambio académico.

Actores educativos

Antes de describir el modelo, hay que precisar quiénes son los actores que hacen parte de éste. El asesor es un profesor-investigador, especialista en matemática edu-cativa, que construye la propuesta de formación didácti-ca con base en los productos de investigación generados en la disciplina, interactúa de forma directa con el tutor y puede o no tener contacto directo con el profesor partici-pante en el programa. El tutor es también especialista en matemática educativa —recién egresado o graduado del posgrado, que inicia actividades de investigación como actividad profesional—, es quien tiene interacción direc-ta con el profesor participante y mantiene comunicación abierta con el asesor para que lo guíe y retroalimente en el seguimiento de la formación de los profesores. La figura más compleja es el profesor participante, pues no tiene un único perfil como tal ni como estudiante solo por estar en un programa de formación.

Si el centro es la formación didáctica se debe iniciar por plantearse un perfil del profesor de matemáticas. El docente que se incorpora a este modelo de formación es aquel que labora en los niveles básico/secundaria, medio superior y superior, pues en éstos se encuentran profe-sionales en áreas afines a las matemáticas y no solo a profesores de formación normalista, como en el caso de primaria. Esto refleja que, en general, el profesor en ser-vicio dentro del sistema educativo mexicano no ha sido formado para desempeñarse en áreas como la docen-cia. Este es, quizás, el primer reto de un programa de formación docente, el de atender a una población hete-rogénea en formación profesional, en ideología, en ex-periencia profesional-docente, que labora en sistemas distintos, entre muchas otras diferencias significativas que repercuten en la práctica.

Al considerar y articular variables como la formación profesional, la experiencia docente, la ideología, la cultu-ra (matemática), entre otras, que permean la práctica do-cente, Lezama y Mariscal (2008, pp. 894-897), delinean un perfil del profesor de matemáticas en servicio que per-mite reconocer los elementos a considerar en su forma-ción didáctica: El profesor no se arriesga a la innovación si siente que pierde el control de lo que está acostum-brado a hacer en su actividad. No es una resistencia ar-bitraria sino un elemento de identidad como profesional. El profesor en su quehacer profesional echa a andar ele-mentos culturales producto de su proceso de formación,

Interacción alumno-interfaz

Interacción alumno • contenido

Interacción alumno - soporte

Alumno - Instructor

Interacción alumno - contexto

Alumno - Instructor Alumno - Instructor


mezclándolos con asuntos específicos de matemáticas … [los profesores] declaran a la matemática como elemento fundamental, sin embargo, en contradicción con esto, ma-nifiestan múltiples problemas que impiden el aprendizaje de sus estudiantes y que no son de naturaleza matemá-tica. Manifiestan no saber cómo enfrentar dichos proble-mas al no poder identificar de manera clara una disciplina e información concreta que les permita enfrentar los pro-blemas de aprendizaje de las matemáticas de una manera más amplia y que no se aleje de la matemática. Muestran gran dificultad para aceptar la noción de discurso mate-mático escolar y por tal razón no ven la presencia de ideo-logía en su actividad. …

Les cuesta trabajo indicar la naturaleza de las dificul-tades de un estudiante ante un saber específico o bien no lo pueden expresar con claridad. Hay una fuerte creen-cia de que una buena explicación produce aprendizaje o conocimientos en los alumnos. No hay claridad en cómo articular propuestas o reformas educativas muy genera-les basadas en teorías del aprendizaje, que no compar-ten o entienden, en acciones concretas de clase. …

Es común que identifiquen que cambiar los modos de enseñanza exige necesariamente acciones que son aje-nas a la actividad matemática, costándoles mucho traba-jo plantear acciones que pasen a la problematización del saber matemático. Les cuesta mucho trabajo identificar una teoría del aprendizaje que esté en la base de sus ac-ciones de enseñanza, es decir, no se puede decir por qué tal o cual acción produce tal o cual aprendizaje.

Este perfil no ignora que cada profesor difiera —por su formación profesional y experiencia docente— en el valor epistémico y pragmático que le da a la matemá-tica escolar que enseña, y que ello afecte tanto en su proceso de formación docente como en los aprendizajes que logran sus estudiantes. Sin embargo, el programa de formación debe lograr que el profesor sea conscien-te de dichos valores y los considere en el análisis y re-flexión sobre su propia práctica, y en la evaluación que hace de los aprendizajes de sus alumnos.

Aunados a este perfil se pueden incluir algunos patro-nes escolares de comportamiento que presenta un pro-fesor en proceso de formación docente:

• Por su formación profesional y experiencia docen-te tiene familiaridad con las nociones matemáticas que se trabajan y, por lo regular, prevalecen las ex-plicaciones algorítmicas en la resolución de activi-dades matemáticas-didácticas.

• Es consciente de pertenecer a un esquema insti-tucional donde es evaluado, por lo que responde a las actividades matemáticas-didácticas con lo que considera que espera su tutor, más que con base en sus ideas y concepciones.

• Todo el tiempo juega el doble rol de estudiante-pro-fesor por lo que podría sentirse evaluado y evaluador por/de sus pares. Por tal motivo, aprovecha significa-tivamente la posibilidad de realizar consultas externas antes de aportar o retroalimentar alguna aportación de sus pares.

• Muy al inicio de la experiencia, en él dominan argu-mentos relacionados con la actitud y responsabilidad del alumno, con las carencias de infraestructura en la escuela o con la organización del sistema educa-tivo, para explicar problemáticas escolares o con-flictos en el aprendizaje de los alumnos.

Es decir, en un ambiente virtual de aprendizaje se en-cuentran también comportamientos ligados a los contra-tos didáctico, pedagógico y escolar —una caracterización más amplia puede consultarse Montiel, 2005.

Modelo propuesto

Este modelo surge en el seno del proyecto académico del Programa de Matemática Educativa del Cicata, unidadLegaria, del IPN; en particular desde las experiencias de formación continua para profesores de matemáticas en servicio. Dicho proyecto dio lugar al desarrollo de una línea de investigación en formación docente a distancia en línea, donde nace el modelo propuesto.

Primer nivel

La ambientación a la modalidad en línea va más allá de la capacitación técnica en el manejo de herramientas computacionales o en el uso de las secciones de un aula virtual. Si bien son necesarias estas habilidades tecno-lógicas que además ayudan a disminuir la deserción por conflictos técnicos, se pueden adquirir a la par que se conforma una comunidad virtual y se generan estrate-gias de interacción académica (figura 2).

Figura 2 El modelo y sus niveles de interacción.


Ambientación a la modalidad

Interacción profesor - contenido

Rediseño de la matemática escolar

Asesor Tutor Profesor

Práctica docente


En este momento, el profesor construye presenta-ciones con imagen, audio y/o vídeo para conocer a sus compañeros; utiliza guías de búsqueda en la web para ubicar grupos académicos en matemática educativa, re-vistas y congresos que le sean fuente de recursos para su práctica; usa programas computacionales didácticos para resolver actividades matemáticas y discutirlas con sus compañeros y tutores en espacios de socialización y reflexión, distinguiendo las normas y lineamientos de discusión en ambientes informales y formales. Esta fase resulta esencial cuando se trabaja con profesores que, en su mayoría, se han formado profesionalmente y han laborado como docentes en ambientes educativos pre-senciales. Es necesario que conviertan la interfaz en su nuevo ambiente de aprendizaje y sientan la presencia de una comunidad, interna y externa, que puede apoyarlos en su trabajo académico y docente.

A través de cuestionarios y bitácoras —blogs— se construye un perfil personal del profesor, se recopila in-formación sobre su formación profesional y experiencia docente. El propósito es ubicarlo en un equipo de traba-jo cuyos integrantes tengan un perfil común y le apor-ten elementos de confianza.

Segundo nivel

La interacción docente -contenido se refiere al espa-cio donde se debe dar a conocer el plan de trabajo del programa de formación: temas, objetivos, activida-des, calendario, escalas de evaluación, entre otros. Esta información está accesible al profesor antes de iniciar las actividades didácticas, por lo que es posible adelantar tareas o consultar fuentes externas sin la guía o retroa-limentación del tutor. En este momento resulta signifi-cativamente importante la fase de exploración guiada en internet del primer nivel, pues se han ubicado fuen-tes de información certificadas por comunidades acadé-micas nacionales e internacionales, ya sea porque están indizadas o porque son producto de procesos de evalua-ción académica. Esto ayuda a que la internet no se con-vierta en un distractor de la actividad a realizar. En esta fase el profesor debe tener claro las metas del progra-ma de formación didáctica y las estrategias individuales como colectivas para alcanzarlas.

Conforme avance en la interacción con el contenido y comience a cumplir con sus actividades, el profesor ex-perimentará la necesidad de interactuar con otros. Aun-que siempre está abierto un espacio de socialización, la interacción académica será más demandada.

Tercer nivel

Hablar de formación didáctica para el profesor de mate-máticas pasa por incorporarlo a un campo de saber que le sea específico y que sea la fuente de información y actividad profesional (Lezama y Mariscal, 2008, p. 891). El conocimiento de los fenómenos relativos a la ense-ñanza de las matemáticas no es un resultado de simple

fusión de conocimientos provenientes de dominios inde-pendientes como lo son las matemáticas, la psicología y la pedagogía sino que requiere de investigaciones espe-cíficas. Hoy día hay teorías, perspectivas, metodologías de diseño y metodologías de investigación específicas para la educación matemática, y el campo de saber que las cobija es la matemática educativa.

En la actualidad es considerada una disciplina científi-ca, de carácter social, que se ocupa del estudio de los fe-nómenos didácticos que se suceden cuando los saberes matemáticos —constituidos socialmente en ámbitos no es-colares— se introducen al sistema de enseñanza, y ello obliga a una serie de modificaciones que afectan de modo directo tanto a su estructura como a su funcionalidad; de manera que también afecta las relaciones que se establecen entre estudiantes y profesor (Cantoral y Farfán, 2003).

Sin embargo, es evidente que los resultados de in-vestigación de este campo de saber no son directamen-te transferibles a la práctica educativa. Un programa de formación debe lograr que el docente se incorpore a este campo, interprete su producción, reconozca las condicio-nes que le impone el escenario escolar y comparta su ex-periencia con la comunidad académica.

En particular, dentro del modelo propuesto, el objeti-vo principal en este nivel es aportarle al profesor un re-diseño escolar que pueda llevar al aula en condiciones reales de la escuela y proveerle de las herramientas teó-ricas para analizar la actividad con los estudiantes. Este proceso puede hacerse de dos formas: la primera alter-nativa, aunque con mayor extensión, retoma la estrate-gia de homología desarrollada por Kuzniak (1994, citado en Artigue, 2005), que pone al profesor en el papel de estudiante, usando situaciones y métodos de enseñan-za que desea reproduzca con sus propios alumnos. Sin embargo, el modelo difiere en que las situaciones dise-ñadas para el profesor y para el alumno son distintas. La actividad para el profesor está diseñada desde la vir-tualidad, es decir, está pensada para resolverse en línea y para que se problematicen las nociones matemáticas escolares involucradas. A esto se le ha denominado re-significación de la matemática escolar (Montiel, 2005;García-Zatti y Montiel, 2007), que no consiste en el apren-dizaje de los conceptos, sino en la identificación de los significados que subyacen a éstos y que están en estre-cha relación con las situaciones y los contextos donde se construyen. Una vez que el profesor vive la experiencia didáctica no tradicional, junto con sus potencialidades y conflictos, se plantean y discuten los fundamentos teó-ricos que sustentan dicho diseño.

La segunda alternativa comienza con este plantea-miento de la teoría y continúa con la exposición del di-seño propuesto para trabajar en aula, bajo condiciones escolares reales con sus propios alumnos.

Antes de la fase experimental que se llevará a cabo con estudiantes, se deben reconocer las variables didác-ticas que afectarán la experiencia y, en consecuencia se deberán hacer las adaptaciones pertinentes para el con-texto particular de cada profesor.


Este nivel requiere continua interacción entre tutor y profesor respecto del rediseño propuesto, tanto en la fase de resolución personal de las situaciones como en su preparación para llevarlas al aula. Toda vez que lle-gar a este nivel presupone que los miembros de la ex-periencia han establecido comunicación con sus pares la interacción entre ellos se da independientemente del diseño, tanto entre los profesores participantes como entre los tutores. Así, además de la comunidad integra-da por el propio programa de formación se constituyen microcomunidades de profesores y microcomunidades de tutores.

Cuarto nivel

Cuando el propósito es evaluar el aprendizaje de conteni-dos específicos, los procesos automatizados de la modali-dad en línea ayudan a la continua e inmediata evaluación al estudiante, que además le provee de información, moti-vación y retroalimentación. Sin embargo, los resultados en un proceso de formación docente solo se pueden eva-luar con parámetros cualitativos sobre la producción del profesor y la repercusión que tiene en su práctica docen-te. Esta última es difícil de calificar cuando se está geográ-ficamente distante y no se tiene acceso total a su clase, por ello se planea la propuesta del laboratorio didáctico como ese nivel de interacción que tiene el profesor con su contexto. Es el momento que se construye el signifi-cado personal de lo aprendido en el programa.

El laboratorio es una práctica experimental donde el profesor pone a sus alumnos el diseño didáctico adapta-do, toma registro de vídeo de la experiencia y junto con las producciones escritas clasifica y analiza los resulta-dos. Este análisis debe fundamentarse en los elementos teóricos previamente expuestos, discutidos y comparti-dos, y es el momento en que el profesor explica un fe-nómeno didáctico en forma científica.

La elaboración del reporte se acompaña de la presen-tación en vídeo que incluye extractos de la experiencia. Ambos trabajos se intercambian entre los miembros del equipo para recibir retroalimentación de los tutores y pares. Dado que es posible identificar nuevas variables que afectan la actividad, ésta puede ser modificada para futuras experiencias, por eso es posible una vía de re-greso al tercer nivel de interacción.

Discusión

La comunidad virtual es la configuración de espacios de colaboración, supone múltiples entidades independien-tes en evolución simultánea gracias a una interacción constante (Galindo, 2006). A partir de esto y con una propuesta de rediseño de la matemática escolar, es que se plantea el presente modelo. Sin embargo, como todo lo que nace en la virtualidad estará en constante evolu-ción y cambio, pues día a día se originan nuevas formas de interacción entre los individuos y los grupos.

Entre los constantes cambios que se han experimenta-do en la virtualidad hay un elemento que se perfila como constante: la constitución de comunidades. Una comuni-dad académica, como lo podría ser la comunidad de ma-temáticos educativos, tiene una organización que nace de proyectos y encuentros presenciales, pero que ha cre-cido y potenciado su producción y sus alcances gracias a la virtualidad. Una comunidad de aprendizaje, genera-da a partir de una experiencia de formación docente en línea, se constituye en la virtualidad y puede mantener su vínculo más allá de la experiencia que le da origen. No hay límites para la constitución de las comunidades, ni para su interacción, por lo que un modelo de forma-ción en línea podría solo describir aquello que está a su alcance y puede controlar en términos de la propues-ta académica.

Conclusiones

Un proceso de formación didáctica para el profesor de matemáticas en servicio busca, al menos, que:

• Se reconozca en la matemática educativa un campo de saber cuya producción científica y de difusión está a su disposición a través de publicaciones, im-presas y en línea, reuniones académicas y progra-mas de formación diversificada.

• Se problematice el saber matemático escolar al identificar un fenómeno de aula.

• Se tenga conocimiento de las teorías y perspecti-vas teóricas que explican los fenómenos de aula y sustentan la innovación didáctica.

• Se profundice y reflexione sobre los sustentos teó-ricos más relacionados a su práctica docente.

• Se analice, discuta y adapte secuencias didácticas innovadoras basadas en investigación, a su contex-to escolar, con el propósito de ponerlas en marcha con alumnos en situación real.

• Se registren experiencias de clase, se clasifique in-formación, se expongan resultados, se intercam-bien experiencias y se discuta con los pares el impacto o efecto que tienen los diseños en las in-teracciones profesor-alumno-saber.

Esto para asegurar los cuatro niveles de interacción que supone una experiencia de aprendizaje en línea. Sin embargo, la flexibilidad de la modalidad permite la incor-poración de diversos propósitos y objetivos centrados en el aprendizaje, los contenidos, la evaluación y la comu-nidad (Anderson, 2004).

Recibido noviembre 2008Aceptado enero 2009


Bibliografía

Ally Mohamed, “Foundations of educational theory for online learning” en Theory and practice of online learning, Canadá, 2004, Athabasca University.

Anderson Terry, “Toward a theory of online learning” en Theory and practice of online learning, Canadá, 2004, Athabasca University.

Artigue Michele, “The integration of symbolic calculator into secondary education: some lessons from didactical engineering” en The didactical challenge

of symbolic calculators. Turning a computational device into a mathematical instrument, USA, 2005, Springer.

Cantoral Ricardo y Rosa María Farfán, “Matemática educativa: una visión de su evolución”, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática

Educativa, vol. 6, núm. 1, 2003, pp. 27-40.

Galindo Cáceres, Jesús, Cibercultura. Un mundo emergente y una nueva mirada, México, 2006, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes

e Instituto Mexiquense de Cultura.

García-Zatti Mónica y Gisela Montiel, “Resignificando el concepto de función en una experiencia de educación a distancia” en Acta

del I Encuentro Nacional sobre Enseñanza de la Matemática, vol. 1, Tandil, Argentina, 2007.

Kuzniak Alain, Etude des stratégies de formation en mathématiques utilisées par les formateurs de maîtres du premier degré,

tesis doctoral, París, 1994, Université Paris VII.

Lezama Javier y Elizabeth Mariscal, “Docencia en matemáticas: hacia un modelo del profesor desde la perspectiva socioepistemológica”,

en Acta Latinoamericana de Matemática Educativa,vol. 21, México, 2008, Colegio Mexicano de Matemática

Educativa A. C. y Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

Montiel, Gisela, “Interacciones en un escenario en línea. El papel de la socioepistemología en la resignificación del concepto

de derivada”, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 8, núm. 2, 2005, pp. 219-233.


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TEMÁTICA

1. Los originales deben ser inéditos y abordar temas sobre educación o relacionados con este sector, tales como: educación a distancia; educación ambiental; educación, empleo y empresa; enseñanza de las matemáticas; evaluación de la investigación; evaluación educativa; filosofía de la educación; formación de docentes y de investigadores; internacionalización de la educación; investigación educativa; organización y desarrollo de la investigación científica; pedagogía y didáctica; planeación educativa; política científica universitaria; política educativa; procesos de enseñanza y aprendizaje; prospectiva; psicología educativa; sociología educativa; tec-nología educativa y tutoría.

2. Los trabajos pueden ser a) investigaciones o resultados de investigaciones originales de reconocido nivel aca-démico, y b) de divulgación: monografía, ensayo, tesis, reflexión y crítica.

ESTRUCTURA DE ORIGINALES

3. La extensión del trabajo debe tener como mínimo 15 cuartillas y no debe exceder las 30 cuartillas a espacio y medio, incluyendo imágenes, cuadros, gráficas, notas y bibliografía; debe presentarse en tamaño carta, con tipo verdana de 11 puntos, a una columna, y en mayúsculas y minúsculas. El original debe estar escrito en tercera persona del singular.

4. El título debe ser descriptivo y no exceder las 15 palabras.

5. El resumen no debe superar las 10 líneas (renglones), y debe incluirse abstract.

6. Las palabras clave deben ser entre 6 y 8, y debe incluirse key words.

7. El desarrollo del tema debe organizarse en párrafos de 6 líneas (renglones) como mínimo y de 18 como máximo.

8. Todo trabajo debe tener conclusiones.

9. Las imágenes (con 300 dpi de resolución), los cuadros y las gráficas deben estar enumerados por orden de aparición en el cuerpo del original, además de anotarse la fuente al pie de éstos. Los cuadros, gráficas y figuras deben presentarse en programas originales, es decir, no se deben pegar en el texto como imágenes.

10. Las notas no se integran con ninguna instrucción de procesador de palabras que las incorpore como nota de pie de página o de final del texto. Se incluyen al terminar el artículo, con llamadas numéricas consecutivas que llevan únicamente la instrucción de superíndice.

11. Las citas bibliográficas que aparezcan en el texto, en la fuente de los cuadros, gráficas y esquemas y en las notas a pie de página deben ir entre paréntesis, indicando el apellido del autor, fecha de publicación y número de página(s).

12. La bibliografía debe contener únicamente las obras citadas en el texto y en los pies de página con la referen-cia bibliográfica, en orden alfabético y presentarse de la siguiente manera: Libro: Bolívar Meza, Rosendo, Laconstrucción de la alternancia política en México, México, 2003, IPN. Capítulos de libro: Aguilar Villanueva, Luis, “Estudio introductorio” en El estudio de las políticas públicas, México, 1994, Porrúa. Artículos de revistas: González-Gaudiano, Edgar, “Imaginario colectivo e ideario de los educadores ambientales en América Latina y el Caribe: ¿hacia una nueva matriz disciplinaria constituyente?”, Revista Iberoamericana de Educación, núm., 40, 2006, OEI, pp. 71-89.

13. La primera vez que aparezca una sigla o un acrónimo deberá escribirse in extenso con el acrónimo o siglas entre paréntesis, en lo sucesivo se utiliza solo la sigla o el acrónimo.

14. Se recomienda evitar el uso de palabras en idioma distinto al español y de neologismos innecesarios. En caso de ser ineludible utilizar un término en lengua extranjera (en caso de no existir una traducción apropiada), se anotará una breve explicación o traducción aproximada entre paréntesis o como nota de pie de página.

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