semana2 am iv

Captulo 2

Ecuaciones diferenciales de

primer orden

Con frecuencia, para resolver las ecuaciones diferenciales se tendra que inte-

grar y quiza la integracion requiera alguna tecnica especial. Es conveniente

que el estudiante dedique un poco de su tiempo al repaso de dichas tecnicas

antes de empezar a estudiar este captulo.

Una ecuacion diferencial de primer orden se puede escribir en cualquiera de

las siguientes formas:

F (x, y, y) = 0, Forma general (2.1a)

y =dy

dx= f(x, y) Forma estandar (2.1b)

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 Forma diferencial (2.1c)

2.1 Ecuaciones de variables separables

En esta seccion se considera un caso especial de la ecuacion (2.1b), en la que

f(x, y) = g(x)/h(y), y una de las mas faciles de resolver (por lo menos en

teora). Al escribir p(y) = 1/h(y) se tiene la siguiente:

19

CAPITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Denicion 2.1.1. La ecuacion (2.1b) es separable si f(x, y) = g(x)p(y). Es

decir, una ecuacion de primer orden es separable si se puede escribir en la

formady

dx= g(x)p(y) =

g(x)

h(y). (2.2)

Metodo para resolver ecuaciones separables.

Para resolver la ecuacion (2.2), se multiplica por h(y) en ambos lados, obte-

niendose

h(y)dy = g(x)dx.

Luego se integra en ambos lados para obtenerh(y)dy =

g(x)dx

H(y) = G(x) + C,

en dondeH(y) es una antiderivada particular de h(y), G(x) es una antideriva-

da particular de g(x) y C es una constante. La ultima expresion proporciona

una familia uniparametrica de soluciones de la ecuacion diferencial.

Ejemplo 2.1. Resolver dydx

= 1xy3

Solucion. De acuerdo con el metodo, se separan las variables para escribir

la ecuacion diferencial en la forma

y3dy =1

xdx

Al integrar se tiene y3dy =

1

xdx

y4

4= ln x+ C, si x > 0

obteniendo una solucion implcita de la ecuacion diferencial, que es valida en

cualquier intervalo que no contenga al origen.

20

2.1. ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

Ejemplo 2.2. Resolver el PVI

dy

dx= (1 + y2) tan x; y(0) =

3

Solucion. Separando variables e integrando se tienedy

1 + y2=

tan xdx

arctan y = ln(sec x) + C, /2 < x < /2y = tan(ln(sec x) + C), /2 < x < /2

Para determinar C se usa la condicion inicial y(0) =3.

3 = tan(ln(sec 0) + C),

de donde C = /3. Entonces, la solucion del PVI es

y = tan(ln(sec x) + /3); 2< x q2 . El volumen aumenta

3. q1 < q2 . El volumen disminuye

El volumen en el tanque esta dado por

V = V0 + (q) t, donde q = q1 q2 .

V0

V, q1= q

2

V, q1> q

2

V, q1< q

2

x(t)

x(0) = x0

Ejemplo 2.6 (Mezclas). Un tanque con capacidad de 400 litros contiene

inicialmente 200 litros de una mezcla de sal y agua (salmuera) con 30 gramos

de sal disueltos. Le entra una solucion con 1 gramo de sal por litro a una tasa

de 4 l/min; la mezcla se mantiene uniforme mediante agitacion y de el sale

a una tasa de 2 l/min. Calcule la cantidad de gramos de sal en el tanque al

momento de desbordarse.

Solucion. Sea A(t) la cantidad de sal (en gramos) en el tanque en cualquier

momento t antes de desbordarse. La rapidez con que cambia A(t) es:

dA

dt= R1 R2 ,

donde,

R1 = (4l/min)(1gr/l) = 4gr/min;

R2 = (2l/min)(A gr/min) = 2A/V gr/min,

26

2.3. ECUACIONES EXACTAS

donde V es el volumen del tanque en el instante t. Como al tanque le entran

4 l/min y le salen 2 l/min, hay una ganancia neta de 2 l/min. Luego, el

tiempo que tarda en llenarse el tanque es

tf =Diferencia de volumen

Ganancia neta en el ujo=

200

2min = 100min.

Pero V = V (t) = 200 + 2t = 2(100 + t), luego R2 =A

t+ 100.

Al sustitur R1 y R2 se obtiene el siguiente PVI

dA

dt= 4 A

t+ 100; A(0) = 30.

Resolviendo por ecuaciones lineales se tiene

A(t) = 2(t+ 100) +C

t+ 100, 0 t 100.

La condicion inicial da C = 17000. Por lo tanto, la solucion al PVI es

A(t) = 2(t+ 100) 17000t+ 100

.

La cantidad de sal al momento de desbordarse es A(100) = 315 gramos.

2.3 Ecuaciones exactas

Recordemos que si z = F (x, y) es una funcion de dos variables que tiene

primeras derivadas parciales en una region R del plano xy, la diferencial

total de F es

dz =F

xdx+

F

ydy

Sabemos que la graca de z = F (x, y) es una supercie y z = C, donde C

es una constante, representa una curva de nivel para aquellos valores en que

este denida z = C. En realidad, tenemos una familia de curvas en las cuales

27


dz = 0, de donde podemos hallar la pendiente a dichas curvas en cualquier

puntody

dx= f(x, y) = Fx

Fy

pero esta es una ecuacion diferencial de primer orden, la cual puede escribirse

en la forma

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.9)

llamada forma diferencial.

Ahora, si el lado izquierdo de (2.9) se puede identicar con una diferencial

total

M(x, y)dx+N(x, y)dy =F

xdx+

F

ydy = dF (x, y)

entonces sus soluciones estan dadas (de manera implcita) por las curvas de

nivel

F (x, y) = C

para una constante arbitraria C.

A continuacion se dan algunas diferenciales usadas frecuentemente.

1. d(xy) = ydx+ xdy 2. d

(x

y

)=

xdy ydxx2

3. d

(x

y

)=

ydx xdyy2

4. d(tan1

y

x

)=

ydx xdyx2 + y2

5. d

(tan1

x

y

)=

xdy ydxx2 + y2

Ejemplo 2.7. Resolver la ecuacion diferencial

dy

dx= 2xy

2 + 1

2x2y.

Solucion. Algunas de las opciones diferenciales que corresponden a esta

ecuacion son

(2xy2 + 1)dx+ 2x2ydy = 0

28


2xy2 + 1

2x2ydx+ dy = 0

dx+2x2y

2xy2 + 1dx = 0

De todas estas opciones, la primera forma es mejor, pues es una diferencial

total de la funcion F (x, y) = x2y2 + x. en efecto,

(2xy2 + 1)dx+ 2x2ydy = d(x2y2 + x)

=

x

(x2y2 + x

)dx+

y

(x2y2 + x

)dy.

De este modo, las soluciones estan dadas de manera implcia por la formula

x2y2 + x = C.

Ejemplo 2.8. Resuelva(3x2y +

y

x2 + y2

)dx+

(x3 + 2y x

x2 + y2

)dy = 0

Solucion. El lado izquierdo de la ecuacion se puede reacomodar de la si-

guiente forma

3x2ydx+ (x3 + 2y)dy +ydx xdyx2 + y2

,

el cual se puede ver como la suma de dos diferenciales totales

d(x3y + y2

)+ d

(tan1

x

y

).

As, las soluciones estan dadas de manera implcita por

x3y + y2 + tan1(x

y

)= C.

Denicion 2.3.1. La forma diferencial M(x, y)dx+N(x, y)dy es exacta en

un rectangulo R si existe una funcion F (x, y) tal que

F

x(x, y) = M(x, y) (2.10a)

29


F

y(x, y) = N(x, y) (2.10b)

para toda (x, y) R. Es decir, la diferencial de F satisface

dF (x, y) = M(x, y)dx+N(x, y)dy.

SiM(x, y)dx+N(x, y)dy es una forma diferencial exacta, entonces la ecuacion

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

es una ecuacion exacta.

Como es de esperarse, en las aplicaciones es poco usual que una ecuacion

diferencial este en la forma diferencial exacta. Para identicar este tipo de

ecuaciones se requiere de

un criterio para determinar si una forma diferencial Mdx + Ndy esexacta, y en tal caso

un procedimiento para determinar la funcion F (x, y).

El criterio de exactitud surge de la siguiente observacion. Si

M(x, y)dx+N(x, y)dy =F

xdx+

F

ydy,

entonces el teorema del calculo relativo a la igualdad de las derivadas parciales

mixtas continuas2F

yx=

2F

xy

indica una condicion de compatibilidad sobre las funcionesM yN . El siguien-

te teorema indica que la condicion de compatibilidad es tambien suciente

para que una ecuacion sea exacta.

Teorema 2.3.1. Suponga que las primeras derivadas parciales de M(x, y) y

N(x, y) son iguales en un rectangulo R. Entonces

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.11)

30


es exacta si y solo si la condicion de compatibilidad

M

y(x, y) =

N

x(x, y) (2.12)

se cumple para toda (x, y) en R.

A continuacion se describe el metodo de solucion el cual hace parte de la

demostracion del teorema 2.3.1

Metodo de solucion.

(a) Si (2.11) es exacta, en virtud de (2.10a), existe una funcion F tal que

F

x= M(x, y).

Para determinar F se puede integrar con respecto a x para obtener

F (x, y) =

M(x, y)dx+ g(y). (2.13)

(b) Para determinar g(y) calcule la derivada parcial con respecto de y en

ambos lados de (2.13) y sustituya N porF

x(por (2.10b)) y despeje

g(y).

(c) Integre g(y) para obtener g(y) sin constante numerica. Al sustituir g(y)

en (2.13) se obtiene F (x, y).

(d) Una familia de soluciones de (2.11) esta dada por F (x, y) = C.

En forma alternativa, partiendo de F/x = N(x, y), la solucion implcita

se puede obtener integrando primero con respecto a y.

Ejemplo 2.9. Resolver

(yexy + 2x)dx+ (xexy 2y)dy = 0

31


Solucion. En este caso,

M(x, y) = yexy + 2x ()N(x, y) = xexy 2y. ()

ComoM

dy= xyexy =

N

x,

la ecuacion es exacta. Integrando con respecto a x la ecuacion () se tiene

F (x, y) =

(yexy + 2x)dx = exy + x2 + g(y).

Derivando con respecto a y esta ultima expresion y usando la ecuacion ()se tiene

xyexy + g(y) = xexy 2y,de donde g(y) = 2y. Luego, g(y) = y2. Por lo tanto,

F (x, y) = exy + x2 y2

y una familia de soluciones de la ecuacion esta dada de manera implcita por

exy + x2 y2 = C.

2.4 Factores integrantes especiales

Retomando la ecuacion diferencial lineal en forma normal

dy

dx+ p(x)y = q(x)

y escribiendola en la forma diferencial

[p(x)y q(x)] dx+ dy = 0, (2.14)M(x, y) = p(x)y q(x) y N(x, y) = 1. Como M

y= p(x) = 0 = N

x, entonces

la ecuacion (2.14) no es exacta. Ahora multiplicamos por un factor (x) la

Ec. (2.14) de modo que la ecuacion resultante sea exacta

(x) [p(x)y q(x)] dx+ (x)dy = 0

32

2.4. FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES

y la condicion de compatibilidad implica

(x)p(x) = (x),

de donde se obtiene el factor integrante

(x) = ep(x)dx.

Denicion 2.4.1. Si la ecuacion en forma diferencial

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.15)

no es exacta, pero

(x, y)M(x, y)dx+ (x, y)N(x, y)dy = 0 (2.16)

es exacta, se dice que (x, y) es un factor integrante de la Ec. (2.15)

Ejemplo 2.10. Muestre que (x, y) = 1x2y

es un factor integrante de la

ecuacion

y2dx+ (x2 + xy)dy = 0y resuelva la ecuacion resultante.

Solucion. Sean M(x, y) = y2 y N(x, y) = x2 + xy = x(x+ y). Como

M/y = 2y = N/x = 2x+ y,

la ecuacion no es exacta. al multiplicar por (x, y) = 1x2y

se obtiene

( yx2

)dx+

(1

x+

1

y

)dx = 0.

Para esta ecuacion se tiene P (x, y) = yx2

y Q(x, y) = 1x+ 1

y. Como

Py

= 1x2

= Qx, la nueva ecuacion es exacta. Luego, existe una funcion

F (x, y) tal queF

x= y

x2y

Q

y=

1

x+

1

y.

33


Luego,

F (x, y) =

y

x2dx =

y

x+ g(y).

Al derivar con respecto a y e igualar con Q(x, y) = 1x+ 1

yse tiene

1

x+ g(y) =

1

x+

1

yo g(y) =

1

y

Integrando, salvo constantes, se tiene g(y) = ln y. Por lo tanto, una famila

de soluciones implcitas esta dada por

y

x+ ln y = C.

Como hallar un factor integrante?

Caso I: (x, y) = xnym, donde n y m se encuentran usando (2.12) aplicada

a P = M y Q = N .

Ejemplo 2.11. Encuentre un factor integrante de la forma (x, y) = xnym

y resuelva la ecuacion diferencial resultante si (xy + y2) dx x2 dy = 0.

Solucion. Se tiene que M(x, y) = xy + y2 y N(x, y) = x2. La ecuaciondiferencial no es exacta porque My = x+ 2y = Nx = 2x. Ahora, sean

P (x, y) = M = xnym(xy + y2) = xn+1ym+1 + xnym+2

Q(x, y) = N = xnym(x2) = xn+2ym

Luego

Py = (m+ 1)xn+1ym + (m+ 2)xnym+1

Qx = (n+ 2)xn+1ym

La condicion de compatibilidad implica que

(n+ 2)xn+1ym = (m+ 1)xn+1ym + (m+ 2)xnym+1.

34


Al igualar coecientes se obtiene el sistema de ecuaciones lineales

Coecientes de xn+1ym : (n+ 2) = m+ 1Coecientes de xnym+1 : 0 = m+ 2

cuya solucion es n = 1, m = 2. Se deja como ejercicio para el lectorresolver la ecuacion diferencial resultante.

Caso II: Ahora consideramos el caso general. Si (x, y) es un factor inte-

grante de la ecuacion (2.15) con primeras derivadas parciales continuas, para

vericar la exactitud de la ecuacion (2.16) se debe tener

y((x, y)M(x, y)) =

x((x, y)N(x, y))

M

y+

M

y= N

x+

N

x.

Es decir,

N

xM

y=

(N

x M

y

). (2.17)

Resulta que para encontrar un factor integrante de la ecuacion (2.12)

tenemos que resolver una ecuacion en derivadas parciales, que en general es

mas difcil.

Como el caso general es un problema difcil, consideraremos la siguiente sus-

titucion

= (z), z = h(x, y)

para alguna funcion h dada.

Para hallar dicho factor integrante, se usa la condicion (2.12) y la regla de la

cadena:

x =

x=

d

dz

z

x(2.18a)

y =

y=

d

dz

z

y(2.18b)

35


Al reemplazar (2.18a) y (2.18b) en (2.17) y despejard

, se obtiene

Nd

dzzx Md

dzzy = (My Nx)

d

= R(z) dz donde R(z) =

My NxzxN zyM , z = h(x, y).

As, un factor integrante para (2.12) tiene la forma

(z) = eR(z)dz donde R(z) =

My NxzxN zyM , z = h(x, y)

Algunos casos especiales para z son: (i) z = x, (ii) z = y, (iii) z = x+ y, (iv)

z = x y, (v) z = ax+ by, a = 0 o b = 0, (vi) z = xy, (vi) z = x2 + y2, (vii)z = x2 y2 y (viii) z = ax2 + by2, a = 0 o b = 0.A continuacion se consideran los casos especiales (i) (iii).

(i) = (z), z = x; depende solo de x. En este caso zx = 1, zy = 0.

As,

(z) = (x) = eR(x)dx; donde R(x) =

My NxN

.

(ii) = (z), z = y; depende solo de x. En este caso zx = 0, zy = 1.

As,

(z) = (y) = eR(y)dy; donde R(x) =

My NxM .

(iii) = (z), z = x+ y. En este caso, zx = 1, zy = 1. As,

(z) = eR(z) dz; donde R(z) =

My NxN M .

Los casos que restan se proponen como ejercicio.

36


Ejemplo 2.12. Resuelva (x2+2xyy2)dx+(y2+2xyx2)dy = 0 encontrandoun factor integrante de la forma = (z), z = h(x, y).

Solucion. Se tiene

M(x, y) = x2 + 2xy y2 y N(x, y) = y2 + 2xy x2.

La ecuacion no es exacta, puesto que

M

y= 2x 2y = 2y 2x = N

x.

AhoraM

y N

x= 4x 4y = 4(x y).

Es claro que M/yN/xN

no depende de x, ni N/xM/yM

depende de y.

Ahora,

M/y N/xM N =

4(x y)2x2 y2 =

4(x y)2(x y)(x+ y) = 2(x+ y)

1 = G(z),

el cual depende de z = x+ y. Un factor integrante es

(z) = eG(z)dx = e2

zdz = e2 ln z = z2 = (x+ y)2.

Al multiplicar la ecuacion por este factor se obtiene

x2 + 2xy y2(x+ y)2

dx+y2 + 2xy y2

(x+ y)2dy = 0,

la cual ahora es exacta. Luego,

F

x=

x2 + 2xy y2(x+ y)2

()

F

y=

y2 + 2xy x2(x+ y)2

()

Integrando parcialmente con respecto a x la ecuacion () se tiene

F (x, y) =

x2 + 2xy y2

(x+ y)2dx =

(1 2y

2

(x+ y)2

)dx

37


= x+2y2

(x+ y)+ g(y).

Derivando con respecto a y y usando la ecuacion () se tiene

2y2 + 4xy

(x+ y)2+ g(y) =

y2 + 2xy x2(x+ y)2

,

de donde g(y) = 1. Integrando, salvo constantes, se obtiene g(y) = y.Luego,

F (x, y) = x+2y2

(x+ y)2 y = x

2 + y2

x+ y.

Por lo tanto, una familia de soluciones esta dada de manera implcita por

x2 + y2

x+ y= C.

Observacion. En el proceso de multiplicar por un factor integrante, puede

ocurrir que se pierdan o ganen soluciones. En el Ejemplo (2.10), Sec. (2.4),

y = 0 es una solucion de la ecuacion original que se perdio al multiplicar por

el factor integrante (x, y) = 1x2y

.

2.5 Transformaciones y sustituciones

Puede ocurrir, y con mucha frecuencia, que la ecuacion (2.11) no sea sepa-

rable, ni lineal, ni exacta, por lo que los metodos estudiados hasta ahora

no funcionan, pero se podra transformar, mediante algun procedimiento,

en una ecuacion que se pueda resolver. Esto es lo que se ha hecho en las

dos secciones precedentes cuando se utiliza un factor integrante para resolver

una ecuacion lineal o para transformar una ecuacion no exacta en una exacta.

En esta seccion, se consideran algunas transformaciones o sustituciones que

permiten llevar una ecuacion a una separable o a una lineal. Por ejemplo,

suponga que se quiere transformar la ecuacion diferencial dy/dx = f(x, y)

con la sustitucion y = g(x, u), donde u se considera como funcion de x. Si

38

2.5. TRANSFORMACIONES Y SUSTITUCIONES

g tiene primeras derivadas parciales, entonces, por la regla de la cadena se

tienedy

dx=

g

x(x, u) +

g

u(x, u)

du

dx.

Al sustituir dy/dx, teniendo en cuenta que y = g(x, u) se tiene

g

x(x, u) +

g

u(x, u)

du

dx= f(x, g(x, u)),

la cual se puede escribir como

du

dx= h(x, u)

Si es posible encontrar una solucion u = (x) de esta nueva ecuacion, entonces

una solucion de la ecuacion original es y = f(x, (x)). De manera similar se

puede encontrar una solucion en la forma x = F ((y), y) para una ecuacion

dx/dy = F (x, y).

Ejemplo 2.13. Resolver la ecuacion

dy

dx=

2y

x+ x tan

( yx2

)mediante la sustitucion y = x2u.

Sol Sea y = x2u. Por la regla de la cadena,

dy

dx=

d

dx(x2u) =

x(x2u) +

u(x2u) = 2xu+ x2

du

dx.

Luego,

2xu+ x2du

dx= 2xu+ x tan u o x

du

dx= tan u.

Al separar variables e integrar se tienedu

tan u=

dx

x

ln(sen u) = ln(cx)

sen u = cx,

Al reemplazar u = y/x2 y despejar se tiene y = x2 sen1(cx).

39


Ecuaciones con coecientes homogeneos

Cuando una funcion f tiene la propiedad f(tx, tx) = tf(x, y), para algun

numero real , se dice que f es una funcion homogenea de grado .

Ejemplo 2.14. f(x, y) =x+ y es homogenea de grado 1

2pues

f(tx, ty) =tx+ ty = t1/2

x+ y = t1/2f(x, y).

Denicion 2.5.1. La ecuacion diferencial

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.19)

es homogenea si M y N son funciones homogeneas del mismo grado.

Ejemplo 2.15. La ecuacion

xdy

dx= y +

x2 + y2

es una ecuacion homogenea.

Una forma alternativa para determinar si una ecuacion diferencial de primer

orden es homogenea, es escribirla en la forma dy/dx = f(x, y) y expresar

f(x, y) como una funcion del cociente y/x o x/y. Es decir, f(x, y) es una

funcion homogenea de grado cero. Cuando esto ocurre se dice que (2.19) es

homogenea. La sustitucion y = ux o x = vy transforma a (2.19) en una

ecuacion separable. En efecto, sea y = ux, entonces

dy

dx= u+ x

du

dx

Al sustituir dy/dx, y = ux se obtiene

u+ xdu

dx= f(x, ux) = x0f(1, u),

que se puede escribir como

xdu

dx= F (u), con F (u) = f(1, u) u,

40


la cual es separable. Al separar variables e integrar se tienedu

F (u)= ln(cx)

De manera similar, x = vy transforma la ecuacion dx/dy = g(x, y) en

ydv

dy= G(v), con G(v) = g(v, 1) v.

Ejemplo 2.16. Resuelva el PVI (x2 + 2y2) dydx

= xy; y(1) = 1.

Solucion. Escribiendo la ecuacion en forma estandar se tiene

dx

dy=

x2 + 2y2

xy=

x

y+

2y

x

Al hacer la sustitucion x = vy,dx

dy= v + y

dv

dy,

v + ydv

dy= v +

2

vo y

dv

dy=

2

v

Al separar variables e integrar se tienevdv =

2dy

y

v2

2= 2 ln y + C.

Regresando a las variables originales se tiene que

x2

y2= 4 ln y + 2C.

Usando la condicion inicial y(1) = 1 nos da 1 = 4 ln 1 + 2C , de donde2C = 1. Despejando x, teniendo en cuenta que x < 0, y > 0 por la condicion

inicial, se obtiene

x = y4 ln y + 1,

la cual es valida para y > e1/4.

41


Ecuacion de Bernoulli

Una ecuacion de la forma

dy

dx+ p(x)y = f(x)yn (2.20)

es una ecuacion de Bernoulli. Cuando n = 1, la ecuacion (2.20) es separable,

mientras que si n = 0, la Ec. (2.20) es lineal. Si n = 0 y n = 1, la sustitucionz = y1n transforma la Ec. (2.20) en una ecuacion lineal. Al derivar con

respecto a x y usando regla de la cadena se tiene

dz

dx= (1 n)yn dy

dx

Multiplicando en ambos lados de (2.20) por (1 n)yn se tiene

(1 n)yn dydx

+ (1 n)p(x)yn = (1 n)f(x). (2.21)

Al sustituir dzdx

por (1 n) dydx

y z por y1n en (2.21) se tiene

dz

dx+ (1 n)p(x)z = (1 n)f(x),

la cual es una ecuacion lineal.

Ejemplo 2.17. Resuelva la ecuacion x dydx

+ y = x4y2.

Solucion. Escribiendo la ecuacion es forma estandar

dy

dx+

y

x= x3y2, (2.22)

vemos que es una ecuacion de Bernoulli con p(x) = 1/x, f(x) = x3 y n = 2.

Sean z = y12 = y1, dzdx

= y2 dydy. Multiplicando por y2 la ecuacion

(2.22) se tiene

y2dydy

y2

x= x3

42


dz

dx z

x= x3

La ultima ecuacion es lineal, dejamos al lector los detalles para encontrar la

solucion

y =3

C1 x4 .

Ecuaciones de la formady

dx= G(ax+ by), b = 0

En este caso, la sustitucion z = ax+ by, dz/dz = a bdy/dx transforma laecuacion en una separable. Al sustituir en la ecuacion y simplicar se obtiene

dz

dx= a+ bG(z)

Ejemplo 2.18. Resolver dydx

= sen2(x y)Solucion. Sea z = x y , entonces

dz

dx= 1 dy

dxo

dy

dx= 1 dz

dx.

Al sustituir en la ecuacion y reacomodar se tiene

dz

dx= 1 sen2 z = cos2 z.

Seaparando variables, integrando y despejando y se tiene

y = x tan1(x+ C).

Ecuaciones con coecientes lineales

En este apartado consideramos ecuaciones de la forma

(a1x+ b1y + c1)dx+ (a2x+ b2y + c2)dy = 0 con a1b2 = a2b1 . (2.23)

Si c1 = c2 = 0 , la Ec. (2.23) es homogenea. Si c1 = c2 , se busca una traslacionde ejes

x = u+ h, y = v + k,

43


de modo que a1x + b1y + c1 y a2x + b2y + c2 se transformen en a1u + b1v y

a1u+ b1v respectivamente. Para hallar tal transformacion se debe resolver el

sistema de ecuaciones lineales

a1h+ b1k + c1 = 0

a2h+ b2k + c2 = 0(2.24)

El sistema (2.24) tiene solucion unica puesto que a1b2 = a2b1 .

Ejemplo 2.19. Resolver (2x+ y + 4)dx+ (x 2y + 2)dy = 0.

Solucion. Se tiene que 2 (2) = 1 1. Sean x = u+ h, y = v + k, donde hy k se hallan resolviendo el sistema

2h+ k + 4 = 0

h 2k + 2 = 2

La solucion es h = 2, k = 0. Al sustituir x = u 2, y = v se tiene

(2u+ v)du+ (u 2v)dv = 0du

dv=

2v uv + 2u

=2 u/v1 + 2u/v

La sustitucion u = vz, du/dv = z + vdz/dv transoforma la ecuacion en

z +dz

dv=

2 z1 2z .

Al separar variables, integrar, recuperar variables y simplicar se tiene

(x+ 2)2 + (x+ 2)y y2 = C.

2.6 Trayectorias ortogonales y oblicuas

En esta seccion se estudian las trayectorias ortogonales y oblicuas a una

familia de curvas dadas F (x, y, c) = 0, donde c es una constante.

44

2.6. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y OBLICUAS

Denicion 2.6.1 (Trayectorias ortogonales). Dos familias uniparametri-

cas de curvas C1 : F (x, y, c1) = 0 y C2 : G(x, y, c2) = 0 son ortogonales si todaslas curvas de C1 cortan perpendicularmente a todas las curvas de C2 .

Recordemos: si m1 es la pendiente de la recta L1 y m2 es la pendiente de larecta L2 , y L1 y L2 son perpendiculares, ver gura 2.2, entonces m1m2 = 1.

F (x, y, c1) = 0

G(x, y, c2) = 0

y

x

Figura 2.2. Trayectorias ortogonales

Asi, si m1 es la pendiente de una recta tangente a cualquier curva de la

familia C1 y m2 es la pendiente de una recta tangente a cualquier curva dela familia C2 en los puntos de corte con la familia C1 , entonces(dy

dx

)C2

= (dxdy

)C1

Para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparametri-

ca F (x, y, c1) = 0 se procede de la siguiente manera:

1. Se halla la ecuacion diferencial para la familia dada C1 , para obtenerdy

dx= f(x, y)

2. A continuacion se resuelve la ecuacion diferencial de la familia C2 .dy

dx= 1

f(x, y)

45


Ejemplo 2.20. Determine las trayectorias ortogonales para la familia de

curvas x2 + 4y2 = c21.

Solucion. Primero encontramos la ecuacion diferencial para la familia dada

C1 : x2 + 4y2 = c21 . Tomando diferenciales totales se tiene

d(x2 + 4y2) = d(c21)

2xdx+ 4ydy = 0.

De ah se obtienedy

dx= x

4y

La ecuacion diferencial para la familia ortogonal es

dy

dx=

4y

x.

Al separar variables e integrar se obtiene la familia

y = c2x4.

En la gura 2.3 se muestran varios miembros de la familia dada y de la familia

ortogonal.

x2 + 4y2 = c21

y = c2x4, c

2> 0

y = c2x4, c

2< 0

y

x

Figura 2.3. Trayectorias ortogonales del ejemplo 2.20

Nota. En un campo electrostatico, las lneas de fuerza son ortogonales a las

lneas de potencial constante.

46

2.6. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y OBLICUAS

Denicion 2.6.2 (Trayectorias oblcuas). Dos familias uniparametricas

de curvas C1 : F (x, y, c1) = 0 y C2 : G(x, y, c2) = 0 son oblicuas o isogonalessi todas las curvas de C1 se cortan formando un angulo = /2, con todaslas curvas de C2 .

F (x, y, c1) = 0

G(x, y, c2) = 0

tan = FxFy

tan = GxGy

y

x

Figura 2.4. Trayectorias oblicuas

Si F (x, y, c1) = 0 es la familia dada, entonces la pendiente a sus rectas

tangentes es m1 = tan = f(x, y) y las pendientes de las curvas buscadas es

m2 = tan . De la gura 2.4, + = . Luego,

tan = tan( ) = tan tan1 + tan tan

=f(x, y) tan1 + tanf(x, y)

Por lo tanto, una ecuacion diferencial para una familia de trayectorias obli-

cuas esdy

dx=

f(x, y) tan1 + tanf(x, y)

. (2.25)

Ejemplo 2.21. Determine la familia oblicua con angulo de 45 a la familia

y = c1x2, c1 = 0.

Solucion. En primer lugar determinamos la ecuacion diferencial de la familia

dada. Al derivar se tienedy

dx= 2c1x.

47


Al eliminar la constante c1 se obtiene

dy

dx=

2y

x= f(x, y).

Sustituyendo en (2.25) se obtiene la ecuacion diferencial de la familia buscada

dy

dx=

2y xx+ 2y

,

la cual es de coecientes homogeneos. Usando la sustitucion y = ux, se tiene

u+ xdu

dx=

2ux xx+ 2ux

=2u 11 + 2u

xdu

dx=

u 1 2u21 + 2u

Al separar variables e integrar se obtiene

ln(2u2 u+ 1) + 67arctan

(4u1

7

)= 2 ln |x|+ c2 .

Al reemplazar u = y/x y simplicar se llega a

ln(2y2 xy + x2)+ 6

7arctan

(4yx7 x

)= c2 .

2.7 Ecuacion diferencial de primer orden en

coordenadas polares

En muchas ocasiones puede resultar mas conveniente trabajar en coordenadas

polares debido a las condiciones del problema o a la forma de la ecuacion de

una familia de curvas.

Las cordenadas polares de un punto P del plano estan dadas por

x = r cos , y = r sen , (2.26)

donde r es el radio polar y es el angulo polar.

48

2.7. ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN EN COORDENADAS POLARES

Radio

polar

=

P

F (x, y, c0) = 0

y

x

Figura 2.5. Un miembro de F (x, y, c) = 0 y la recta tangente en P

Sea F (x, y, c) = 0 una familia de curvas en coordenadas cartesianas. Fijando

un valor de c y haciendo el cambio a coordendas polares dadas por (2.26), se

obtiene una nueva expresion de la forma

H(r, , c) = F (r cos , r sen , c) = 0.

Si F (x, y, c) = 0 dene implcitamente a y como funcion de x, y = (x), en

un entorno de los puntos P donde Fy = 0, entonces H(r, , c) = 0 tambiendene implcitamente a r como una funcion de , r = f(), en una vecindad

de aquellos puntos en donde Hr = 0.Derivando implcitamente y aplicando regla de la cadena se obtiene.

dr

d= H

Hr= Fxr sen + Fyr cos

Fx cos + Fy sen .

De donde resulta1

r

dr

d=

Fx sen Fy cos Fx cos + Fy sen

Ahora, si es el angulo de inclinacion de la recta tangente en el punto P

entonces y = tan, = (x). Como y = Fx/Fy, obtenemos

1

r

dr

d=

1 + tan tan

tan tan =1

tan( ) .

49


Haciendo = , ver gura 2.27, el angulo entre el radio polar y la rectatangente, se llega a

1

r

dr

d=

1

tano r

d

dr= tan. (2.27)

Ejemplo 2.22. Encuentre una familia de curvas en coordenadas polares si

tan = k, k constante, k = 0Solucion. Al sustituir tan = k en (2.27), separar variables e integrar, se

tiene1

r

dr

d=

1

kdr

r=

1

k

d

ln r =

k+ ln c, c > 0

Al exponenciar se obtiene

r = f() = ce/k, c > 0.

Cambiar M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 a polares

En este caso se usan las expresiones dadas por (2.26) y

dx = cos dr r sen d, dy = sen dr + r cos d,para obtener

[M1 cos +N1 sen ] dr + r [N1 cos M1 sen ] d = 0, (2.28)donde M1(r, ) = M(r cos , r sen ) y N1(r, ) = N(r cos , r sen ).

Ejemplo 2.23. Transforme la ecuacion diferencial (x2+ y2)dx 2xydy = 0a coordenadas polares.

Solucion. Al reemeplazar x = r cos , y = r sen , dx = cos dr r sen dy dy = sen dr + r cos d se tiene

r2(cos dr r sen d) 2r2 sen cos (sen dr + r cos d) = 0cos (1 2 sen2 )dr r sen (1 + 2 cos2 )d = 0.

50

2.8. EJERCICIOS

2.8 Ejercicios

2.8.1 Ecuaciones de primer orden

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

1.dy

dx=

sec2 y

1 + x22. x

dv

dx=

1 4v23v

3. yecosx sen x dx+ y1dy = 0 4. (1 + ey)dx+ (1 + ex)dy = 0

5. (ey + 1) sen x dx+ (1 + cos x)dy = 0; y(0) = 0

6.dx

dt= (a x)(b x) 7.

4 + y2 dx y4 x2 dy = 0

8. (ex + ex)dy

dx= y2 9. (x+

x )

dy

dx= y +

y

10.dy

dx= (1 + y2) tan x; y(0) =

3 11.

dy

dx=

3x2 + 4x+ 2

2y + 1; y(0) = 1

12. (x2 + 1)dy

dx= x2 + 2x 1 4xy 13. (t2 + 1)dy

dt= t(y + 1)

14. (x2 + 1)dy

dx+ xy = (1 2x)x2 + 1

15. x sen xdy

dx+ (sen x+ x cos x)y = xex

16. sen xdy

dx+ y cos x = x sen x; y

(2

)= 2

17.dy

dx=

1

2x+ e4y

18.dy

dx+

2

xy = f(x), y(2) = 0; donde f(x) =

3, si 0 < x 13, si x > 1

51


19.dy

dx+ p(x)y = x, y(1) = 1, donde p(x) =

1/x, si 0 < x 11/x, si x > 1

20. y(ln y exy)dx+ x(1 + ln y exy)dy = 0

21.dy

dx=

y sen(2x) y + y2exy2x sen2 x 2xyexy2

22. Determine el valor de k para (6xy3 + cos y)dx + (kx2y2 x sen y)dx = 0sea exacta y resuelva la ecuacion resultante

23. Determine la funcion mas general que falta para que la ecuacion sea exacta

y resuelvala

a) M(x, y)dx+ (sec2 y x/y)dy = 0b) (yexy 4x3y + 2)dx+N(x, y)dy = 0

24. Resuelva 6xy dx + (9x2 + 4y)dy = 0 buscando un factor integrante de la

forma = (y)

25. Halle las expresiones para los factores integrantes para las casos = (z)

con z = xy, z = ax+by, z = xy, z = x2+y2, z = x2y2 y z = ax2+by2.

26. Si xM(x, y) + yN(x, y) = 0, determine la solucion de la ecuacion diferen-

cial M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0.

27. Considere la ecuacion diferencial

(5x2y + 6x3y2 + 4xy2)dx+ (2x3 + 3x4y + 3x2y)dy = 0.

a) Muestre que la ecuacion no es exacta.

b) Multiplique la ecuacion por un factor (x, y) = xnym y determine

valores de n ym que hagan exacta la ecuacion resultante y resuelvala

28. Resuelva xy = 2y + x2 cos (y/x2) mediante la sustitucion y = ux2.

29. Resolver el PVI 2x2yy + 2xy2 = tan(x2y2); y(1) =/2, mediante la

sustitucion z = x2y2.

52

2.8. EJERCICIOS

30.dy

dx=

2y 3xyx 3xy

31. (xy y) cos(2y/x) = 3x4

32.dy

dx+

y

x 2 = (x 2)y 33.

dy

dx= sen(x y)

34.dy

dx=

x+ y 2x+ y + 2

35.dy

dx= (x+ y + 2)2

36. (2x y)dx+ (4x+ y 3)dy = 0

37. Una ecuacion de la formady

dx= p(x)y2+ q(x)y+ r(x), se llama ecuacion

de Ricatti generalizada

a) Muestre que si u(x) es una solucion conocida entonces la sustitucion

y = u+ 1/z reduce la ecuacion de Ricatti a una lineal en z.

b) Dado que u = x es una solucion de dy/dx = x3(y x)2+ y/x, use laparte a) para encontrar todas las soluciones.

38. Resolver mediante reduccion de orden

a) x2y 2y = 3x2 b) y k2y = 0

2.8.2 Modelado

1. La poblacion de una comunidad crece con una tasa proporcional a la

poblacion en cualquier instante. Su poblacion inicial es 500 y aumenta el

15% en 10 anos. Cual sera la poblacion dentro de 30 anos?

2. El Pb-209, isotopo radiactivo del plomo, se desintegra con una razon pro-

porcional a la cantidad presente en cualquier instante y tiene una vida

media de 3.3 horas. Si al principio haba 1 gramo de plomo, cuanto tiem-

po debe pasar para que se desintegre el 90%?

3. Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El area bajo

la curva desde (0, 0) a (x, y) es un tercio del area del rectangulo que tiene

a esos puntos como vertices opuestos. Hallar la curva.

53


4. Un estudiante despistado olvido la regla del producto para derivadas y

creyo que (fg) = f g. Sin embargo conto con suerte y obtuvo la respues-

ta correcta. Si una de las funciones es g(x) = ex2, halle la otra funcion.

5. Un termometro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior

donde la temperatura es de 5oF . Despues de un minuto el termometro

indica 55oF y despues de cinco minutos marca 30oF . A los nueve minutos

se introduce nuevamente al recinto. Cual es la temperatura que marca

el termometro a los quince minutos?

6. Por razones obvias un anteatro se mantiene a una temperatura constante

de 5oC. Mientras se encontraba realizando la autopsia de la vctima de un

crimen, el forense es asesinado y el cuerpo de la vctima robado. A las 10

a.m. el ayudante del forense descubre su cadaver a una temperatura de

23oC . A medio da su temperatura es 18.5oC. Suponiendo que en vida,

el forense tena una temperatura de 37oC, a que hora fue asesinado?

7. Se aplica una fuerza electromotriz E(t) =

120 si 0 < t < 200 si t > 20 , a un cir-

cuito en serie LR, en que la inductancia es L = 20 henrios y la resistencia

es R = 2 Ohms. Determine la corriente i(t) si i(0) = 0.

8. Una medicina se inyecta en el torrente sanguneo de un paciente a un ujo

constante de r gr/seg. Al mismo tiempo, esa medicina desaparece con

una razon proporcional a la cantidad x(t) presente en cualquier instante

t. Halle x(t) si x(0) = 0 y encuentre lmx x(t).

9. Un tanque esta parcialmente lleno con 100 galones de salmuera con 10 lb

de sal disueltas. Le entra salmuera con 0.5 libras de sal por galon a un

ujo de 6 gal/min. El contenido del tanque esta bien mezclado y de el

sale a un ujo de 4 gal/min.

a) Halle la cantidad de libras de sal A(t) a los 30 minutos.

54

2.8. EJERCICIOS

b) Si el tanque tiene una capacidad de 300 galones, cuantas libras de

sal habra cuando empieza a desbordarse?

c) Suponga que el tanque se desborda, que la salmuera continua en-

trando al ujo de 6 gal/min, que el contenido esta bien mezclado

y que la solucion sigue saliendo a un ujo de 4 gal/min. Determine

un metodo para hallar cantidad de libras de sal A(t) que habra en el

tanque cuando t = 150 minutos. Su respuesta coincide con lo que

cabra esperar?

10. Los rayos luminosos chocan con una curva C en el plano, de tal manera

que todos los rayos L paralelos al eje x se reejan y van a un punto unico,

O. Suponga que el angulo de incidencia es igual al angulo de reexion,

deduzca una ecuacion diferencial que describa la forma de la curva y

resuelvala, (Fig. 2.7(a)).

11. Un deposito contiene 10 galones de salmuera con 2 libras de sal disueltas

en ella. Se introduce en el deposito salmuera que contiene disuelta una

libra de sal por galon a razon de 3 gal/min, y la mezcla bien revuelta, sale

a razon de 4 gal/min. Hallar la cantidad de sal x = x(t) en el deposito en

un instante t arbitrario. Cual es la cantidad maxima de sal en el tanque?

12. A un recinto de 8000 pie3 de volumen entra aire con 0.06% de CO2. El

ujo de entrada es de 2000 pie3/min y sale con el mismo ujo. Si hay una

concentracion inicial de 0.2% de CO2, determine la concentracion en el

recinto en cualquier instante posterior. Cual es la concentracion a los 10

minutos? Cual es la concentracion del estado estable?

13. Desde el instante t = 0 se bombea agua fresca a razon de 3 gal/min en

un tanque, de 60 galones de capacidad lleno con una solucion salina. La

mezcla resultante se desborda con la misma razon en un segundo tanque de

60 galones que inicialmente contena solo agua pura, y de ah se derrama

al piso. Suponiendo una mezcal perfecta en ambos tanques.

a) En que momento sera mas salada el agua del segundo tanque?

55


b) Y que tan salada estara, comparada con la solucion original?

14. Un gran tanque de capacidad 500 galones esta parcialmente lleno con 300

galones de una solucion salina. Le entra salmuera con 12lb de sal por galon

a un ujo de 6 gal/min. El contenido del tanque esta bien mezclado y de

el sale a un ujo de 4 gal/min. Si la cantidad mnima de sal es a los 13

minutos, halle la cantidad inicial de sal en el tanque y la cantidad de sal

al momento de desbordarse.

15. Determine las trayectorias ortogonales para las familias de curvas.

a) 2x2 + 3y2 = c1 b) (x y 1)ex = c1c) y2 = c1x d) (1 + c1x)y = x

e) x2 + y2 = c1x f ) ey = tan x+ c1

g) x2 2c1x+ 2y2 = 0 h) x2 y2 = c1i) x2 + (y k)2 = k2 + 1 j ) y2 = c1(c1 2x)

16. Las rectas tangentes a una curva desconocida y = f(x) forman con los ejes

coordenados en el primer cuadrante un triangulo de area ja k. Demuestre

que la ecuacion diferencial que describe este tipo de curvas esta dada por

(xy)2+2(kxy)y+y2 = 0. Resuelva la ecuacion derivando parcialmentecon respecto a y.

Tange

nte

x

y

= 2

y = f(x)

Tangente

(x0 , y0 )

y

x

y = f(x)

A = k

Figura 2.6. Gracas problemas 10 y 16

17. Curva de persecucion. Suponga que un perro P que viaja con velocidad

v parte del punto (a, 0) en el instante t = 0 persiguiendo a un conejo C

56

2.8. EJERCICIOS

que huye con velocidad w, en la direccion positiva del eje y, y que parte

del origen en el mismo instante.

a) Demuestre que la ecuacion diferencial que describe la trayectoria del

perro persiguiendo el conejo es

xd2y

dx2= k

1 +

(dy

dx

)2con k =

w

v.

b) Haciendo z = dy/dx, mediante separacion de variables y con la con-

dicion inicial z(a) = 0, muestre que

dy

dx= z =

1

2

[(xa

)k(xa

)k]

c) Halle la posicion y = y(x) del perro para el caso k < 1 y determine

la posicion donde el perro alcanza al conejo. La condicion inicial es

y(a) = 0.

d) Determine la posicion y = y(x) del perro para el caso k = 1. Muestre

que el perro no alcanza al conejo.

18. Un avion que vuela bajo la gua de un faro no direccional (NDB) se mueve

de modo que su eje longitudinal apunte siempre hacia el faro. Un piloto

que se encuentra en el punto (a, 0) con a > 0 se dirige con velocidad

constante v, hacia un NDB que esta en el origen. El viento sopla de sur a

norte con velocidad constante w y mantiene su direccion.

a) Determine la ecuacion diferencial que describe la trayectoria del

avion sobre el suelo.

b) Haga una sustitucion adecuada y resuelva dicha ecuacion.

c) Use el hecho que x = a, y = 0 cuando t = 0 para determinar el valor

adecuado de la constante arbitraria en la familia de soluciones.

d) Exprese su solucion en terminos de funciones hiperbolicas

e) Haciendo k = w/v, analice los casos k < 1, k = 1 y k > 1.

57


x

y

P (x, y)

A(a, 0)

Q(0, wt)

s

x

y

Viento

O A(a, 0)

P (x, y)

Figura 2.7. Gracas problemas 17 y 18

19. Encuentre las trayectorias oblicuas con un angulo de 45 a

a) la parabola y = x2, b) la familia de curvas y = Aex.

20. Encuentre una familia de soluciones para la ecuacion diferencial dada por

(2.27) para cada uno de los siguientes casos.

a) = b) = /2

58

Captulo 3

Ecuaciones diferenciales de

orden superior

3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden

3.1.1 Introduccion: sistema masa-resorte

Un oscilador masa resorte amortiguado esta formado por una masa m unida

a un resorte jo en un extremo, como se muestra en la gura 3.1.

l l

s

m

l + s

x

m

Posicion deequilibrio

Movim

iento

Figura 3.1. Sistema masa-resorte amortiguado

Al aplicar la segunda ley de Newton F = ma y recordando que a = d2xdt2

se

59

semana2 am iv

Documents