Instituto Tecnolgico de Matamoros

Practica 1Equipo:Los ElectronicosEspecialidad: Ing. ElectrnicaMateria: coltrol1Maestro: M.C Alan Len Gonzlez Almaguer EQUIPO:Jorge Alejandro Reyes Torres Miguel Angel Fierros PeaHermenegildo Martnez De La CruzVernica Maldonado Carrizales Cinthia Nohem Espinoza

H. Matamoros, Tamaulipas.10/Marzo/2014

Marco terico:DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACESea F(t) una funcin cualquiera tal que las integraciones encontradas pueden ser legtimamente efectuadas en F(t). La transformada de Laplace de F(t) se simboliza por L{F(t)} y se define por L{F(t)}= (1)La integral en (1) es una funcin del parmetro s; llamada funcin f(s). Podemos escribirL{F(t)}= (2)Se acostumbra a referirse a f(s), as como al smbolo L{F(t)}, como la transformada o la transformada de Laplace de F(t). Podemos considerar a (2) como una definicin del operador de Laplace L, el cual transforma cada funcin F(t) de un cierto conjunto de funciones en alguna otra funcin f(s). Es fcil demostrar que si la integral en (2) converge, lo har para toda s mayor que* algn valor fijo s0. Esto es, la ecuacin (2) definir f(s) para s>s0. En casos extremos, la integral puede converger para toda s infinita. Es importante hacer notar que el operador L, al igual que el operador diferencial D, es un operador lineal. Si F1(t) y F2(t) tienen transformada de Laplace y c1 y c2 son constantes cualesquiera.*Si la s no se restringe a valores reales, la convergencia tiene lugar para toda s cuya parte real sea mayor que algn fijo. (3)Usando propiedades elementales de las integrales definidas, el estudiante puede fcilmente demostrar la validez de la ecuacin (3). De aqu en adelante debemos emplear la relacin (3) sin reparar en el hecho de que el operador L es lineal.TRANSFORMADAS INVERSASDEFINICIN DE UNA TRANSFORMADA INVERSASupngase que la funcin F(t) se determina de una ecuacin diferencial con condiciones a la frontera. El operador de Laplace L se emplea para transformar el problema original en un nuevo problema para el cual la transformada se encuentra. Si la transformada de Laplace es efectiva, el nuevo problema deber ser ms simple que el problema original. Primero encontramos f(s), luego debemos obtener F(t) de f(s). Por tanto, es deseable desarrollar mtodos para encontrar la funcin objeto F(t) cuando la transformada se conoce.Si, (1)decimos que F(t) es una transformada inversa de Laplace, o una transformada inversa de f(s) y escribimos (2)Ya que (1) significa que (3)se sigue de inmediato que una transformada inversa no es nica. Por ejemplo, si F1(t) y F2(t) son idnticas excepto en un conjunto discreto de puntos y difieren en aquellos puntos, y el valor de la integral en (3) es el mismo para las dos funciones; su transformada es idntica. Vamos a emplear el trmino funcin nula para cualquier funcin N(t) para la cual (4)para cualquier positivo t0. El teorema de Lerch (que no se demuestra aqu) establece que si , entonces Esto es, una transformada inversa de Laplace es nica excepto por la adicin de una funcin nula arbitraria. La nica funcin nula es cero. Si una f(s) tiene una inversa continua F(t) , entonces F(t) es la nica funcin continua inversa f(s). Si f(s) tiene una inversa F1(t)continua sobre un intervalo cerrado especificado, cualquier inversa que tambin es continua sobre ese intervalo, es idntica a F1(t) sobre el intervalo. Esencialmente, las inversas de la misma f(s) difieren a lo mas en sus puntos de discontinuidad. En las aplicaciones la falta de unicidad causada por la adicin de una funcin nula no es vital, debido a que el efecto de la funcin nula sobre las propiedades fsicas de la solucin, es nulo. En los problemas que tratamos, la inversa F(t) se pide que sea continua para , o bien que sea seccionalmente continua con los valores de F(t) en los puntos de discontinuidad especificados en cada problema. La F(t) es entonces nica. Un mtodo burdo, pero algunas veces efectivo para encontrar la transformada inversa de Laplace, es construir una tabla de transformadas y usarlas en sentido inverso para encontrar las transformadas inversas.

Sabemos que del ejercicio 1, que

Entonces

Refinaremos el mtodo anterior, y realmente lo haremos bastante poderoso, desarrollando teoremas para los cuales una f(s) dad puede ser desarrollada en partes componentes cuyas inversas son conocidas (encontradas en las tablas). Otros teoremas nos permitirn escribir f(s) en formas alternadas que nos darn la inversa deseada. El ms importante de tales teoremas es el que establece que la transformaciones inversa es una operacin lineal.TEOREMA 17: Si c1 y c2 son constantes,

Ahora probaremos un teorema simple, pero extremadamente til, sobre la manipulacin de transformadas inversas. De (7)obtenemos

De este modo de se sigue que, . (8)La ecuacin (8) puede representarse con la exponencial trasladada al otro miembro de la ecuacin. De este modo obtenemos el siguiente resultado.

TEOREMA 18:

Ejemplo a): Encontrar Primero completamos el cuadrado .Como sabemos que , procedemos como sigue:

=donde hemos empleado el teorema 8.Ejemplo b) : Evaluar .Escribimos Entonces

==(

TEOREMAS DE TRASLACIN Y DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADAEn la descripcin siguiente presentaremos varios teoremas que ahorran trabajo, sin necesidad de recurrir a la definicin de la transformada de Laplace. En realidad, es relativamente fcil evaluar transformadas como L{e4t cos 6t}, L{t3 sen 2t) y L{t10e-t}, siempre y cuando conozcamos L{cos 6t}, L{sen 2t) y L{t10}, respectivamente. Si conocemos L{f(t)} = F(s), podemos hallar la transformada de Laplace L{eatf(t)} sinms que trasladar, o desplazar, F(s) a F(s - a). Este resultado se llama primer teorema de traslacin.

Primer teorema de traslacin F(s) = L{f(t)} y a es cualquier nmero realL{eatf(t)}=(F-a)La demostracin es inmediata porque, segn la definicin

Si s es una variable real, la grafica de F(s - a) es la grfica de F(s) desplazada Ial unidades sobre el eje s. Si a > 0, el desplazamiento de F(s) es u unidades hacia la derecha, mientras que si a < 0, es hacia la izquierda .A veces es til, para enfatizar, emplear el simbolismo l { =

en donde s s - a indica que reemplazamos s en F(s) con s a

Ejemplo

L{s s-5 = | s s-5 =

Siempre que F(s) se multiplica por una funcin exponencial adecuada, la transformada inversa de este producto es la funcin desplazada de la ecuacin (6). Este resultado se llama segundo teorema de traslacin.

Si F(s) = L{f(t)} y a>0 , entonces

L{f(t-a)U(t-a)= e-at F(s)

DEMOSTRACIN

Expresamos a como dos sumas de integrales

Cero cuando uno cuando 0 t