investigacion operativa

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PER

Vicerrectorado de Investigacin

OPTIMIZACIN DE SISTEMAS I

TINS Bsicos

INGENIERA INDUSTRIAL, INGENIERA DE SISTEMAS

TEXTOS DE INSTRUCCIN BSICOS (TINS) / UTP

Lima - Per


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OPTIMIZACIN DE SISTEMAS I Desarrollo y Edicin: Vicerrectorado de Investigacin Elaboracin del TINS: Ing. Csar Canelo Sotelo

Ing. Luis Medina Aquino

Diseo y Diagramacin: Julia Saldaa Balandra

Soporte acadmico: Instituto de Investigacin

Produccin: Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica y transformacin de esta obra.


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El presente material contiene una compilacin de obras de Optimizacin de Sistemas publicadas lcitamente, resmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institucin.

ste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnolgica del Per, preparado para fines didcticos en aplicacin del Artculo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor.


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PRESENTACIN

El asunto del presente texto est engastado en el espacio ilimitado de la matemtica aplicada, surgida en la segunda mitad del siglo XX, como producto de la ciencia y la tecnologa desarrollada en el fragor de la segunda guerra mundial. Producto que tom el nombre de Investigacin de Operaciones, compuesto por los temas de Programacin Lineal, Programacin Dinmica, Programacin Geomtrica, entre otros. Tcnicas que han venido aplicndose intensamente como soporte de la maximizacin de indicadores concurrentes a la excelencia de calidad con altos niveles de productividad y bajos costos de produccin. En este contexto, la educacin superior universitaria ha integrado en los currcula de diferentes Carreras de Ingeniera algunas Asignaturas de Investigacin Operativa, con enfoque metodolgico generado en el espacio de la Teora General de Sistemas. Con tal mtodo, mediante un acucioso trabajo acadmico de recopilacin y seleccin, ha venido en prepararse para estudios de la Carrera de Ingeniera de Sistemas el Curso de Optimizacin de Sistemas I, aplicado en el VI ciclo de estudios, con temas de Programacin Lineal. El acopio y seleccin de materias pertinentes a la Asignatura, arriba mencionada, ha sido realizada por el profesor Ing. Luis Medina Aquino , en unin con el profesor Ing. Csar Canelo Sotelo, en congruencia al sillabus correspondiente, en el nivel de calidad acadmica requerido; comprende los siguientes temas: El captulo 1 trata sobre la descripcin del modelo de programacin lineal, que consta de variables de decisin, funcin objetivo, restricciones y condicin de no negatividad. El objetivo del modelo es maximizar (utilidades) o minimizar (costos) de una funcin lineal Z. A travs de un problema que tiene dos variables de decisin se explica la formulacin del programa lineal y cmo hallar una solucin grfica. El captulo 2 complementa el captulo uno con la construccin de modelos de programacin lineal formulados en base a diferentes problemas que se presentan en la industria. Existen diferentes problemas tipo con su respectiva formulacin, con ms de dos variables.


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El captulo 3 explica el mtodo general para hallar una o varias soluciones de un modelo de programacin lineal. Para ello es necesario colocar las restricciones del modo estndar, convirtiendo las desigualdades en igualdades, aadiendo variables de holgura, de exceso y/o artificiales. Luego se coloca todos los valores en una tabla y se empieza a realizar iteraciones hasta hallar el valor ptimo de la funcin objetivo. En el captulo 4 se explica la dualidad de un programa lineal. Si la funcin objetivo original (primal) es de maximizacin entonces la funcin objetivo del programa dual ser de minimizacin y viceversa. La cantidad de variables de decisin en el programa primal ser la misma cantidad de restricciones del dual. El nmero de restricciones del primal ser la misma del nmero total de variables duales. Los valores del lado derecho del programa primal sern los coeficientes de la funcin objetivo del dual. Y los coeficientes de las variables primales sern los mismos valores del lado derecho de las restricciones del programa dual. El captulo 5 trata acerca del anlisis de sensibilidad que se puede hacer al modelo de programacin lineal. El anlisis de sensibilidad responde a la pregunta: Qu pasa con el valor de la funcin objetivo si existen cambios en los coeficientes de la funcin objetivo o el lado derecho de las restricciones? Se mantiene o no la solucin ptima si existen cambios en los coeficientes de las variables de la funcin objetivo? Si se agrega una nueva variable a la funcin objetivo y a las restricciones, formar parte de la nueva solucin? Si se agrega una nueva restriccin, se modificar la solucin ptima? En el captulo 6 se aborda el modelo de programacin lineal entera. La programacin lineal resuelta por el mtodo simplex nos da un resultado con valores continuos, pero existen problemas de programacin lineal que exigen una solucin con valores enteros. En realidad, para este tipo de problemas se aaden restricciones de variable entera a travs de un algoritmo de ramificacin que va restringiendo las variables a soluciones enteras. En este campo se incluye problemas de programacin lineal cuyas variables de decisin son valores binarios {0, 1}. El contenido del texto representa el esfuerzo acadmico de los profesores Ing. Luis Medina Aquino e Ing. Csar Canelo Sotelo, a quienes la Institucin agradece de manera especial en el camino de contribucin, tendiente a la mejora continua de la calidad acadmica.

LUCIO HERACLIO HUAMN URETA VICERRECTOR DE INVESTIGACIN


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NDICE GENERAL CAPTULO 1 PROGRAMACION LINEAL: EL METODO GRAFICO...................... 11 CAPTULO 2 PROGRAMACION LINEAL: FORMULACIN DE PROBLEMAS..... 43 CAPTULO 3 EL MTODO SIMPLEX.................................................................... 67 CAPTULO 4 EL PROBLEMA DUAL ..................................................................... 83 CAPTULO 5 ANALISIS DE SENSIBILIDAD ......................................................... 97 CAPTULO 6 PROGRAMACION LINEAL ENTERA............................................... 109 BIBLIOGRAFA ............................................................................... 135


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DISTRIBUCIN TEMTICA

Clase N Tema Semana Horas

1

Introduccin a la Investigacin de Operaciones: Origen, Definicin, Modelo, Tipos de modelo. Metodologa de la Investigacin de Operaciones.

1 04

2

Programacin Lineal: Definicin, Presentacin del modelo de P.L., Suposiciones del modelo de P.L., Interpretacin econmica del modelo de PL., Propiedades del modelo de PL., Formas de mostrar el modelo de PL., Variable de holgura, Transformaciones en el modelo de PL.

2 04

3 Formulacin de problemas con P.L. 3 04

4

Solucin del modelo P.L.: Regin Factible y Soluciones, Conjuntos convexos. Mtodos de solucin de modelos lineales: Grfico y Simplex.

4 04

5 Casos especiales de soluciones de PL usando el mtodo grfico. 5 04

6 Mtodo simplex: Teoremas. Algoritmo simplex primal. 6 04

7

Casos especiales usando el algoritmo simplex: Solucin nica, Solucin con regin factible no acotada, Problema no factible, Soluciones Mltiples. Solucin degenerada. Prevencin del ciclado

7 04

8 Tcnica de las variables artificiales. Mtodo de penalizacin. Mtodo de las dos fases. 8 04

9 Revisin Nivelacin 9 04

10 E X A M E N P A R C I A L 10 02


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Clase

N Tema Semana Horas

11 Simplex revisado: Inversin explcita de la base, Mtodo de las dos fases. 11 04

12 Problema dual: El programa Dual, Relaciones Primal Dual. Teoremas. Propiedades Primal-dual.

12 04

13 Algoritmo Simplex Dual. Interpretacin Econmica del problema Dual. 13 04

14

Anlisis de sensibilidad. Rangos de sensibilidad: Cambios en el vector de costos y recursos. Cambios en la matriz de coeficientes tecnolgicos.

14 04

15 Anlisis de sensibilidad: Adicin de una nueva variable. Adicin de una nueva restriccin. 15 04

16 Uso de software computacional para PL; Linear Interactive Discrete Optimizer (LINDO). 16 04

17 Programacin entera: Formulacin. 17 04

18 Mtodos de solucin de problemas de Programacin Lineal Entera: Mtodo grfico, Mtodo de ramificar y acotar.

18 04

19 E X A M E N F I N A L 19 02


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CAPTULO 1 PROGRAMACION LINEAL: EL METODO GRAFICO

1.1. INTRODUCCIN Existen problemas de decisin administrativos que pueden ser resueltos a travs de un modelo matemtico llamado programacin lineal. Por ejemplo el fabricante desea elaborar un programa de produccin de costo mnimo; exigido por la demanda a atender y limitado por su capacidad de produccin. Un modelo de programacin lineal busca el objetivo de maximizar (minimizar) una funcin lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.1 Un modelo de programacin lineal esta compuesto de lo siguiente: 1. Un conjunto de variables de decisin 2. Una funcin objetivo 3. Un conjunto de restricciones Para formular un modelo de programacin lineal primero se debe entender el problema y responder a las siguientes preguntas: Cul es nuestro objetivo econmico? Maximizar utilidades o minimizar costos? Qu limitaciones de recursos existen? Qu requerimientos mnimos se necesitan? Con esto podemos: (i) Identificar las variables de decisin del modelo, a las que

llamaremos X1, X2, X3,...., Xn. (ii) Expresar la funcin objetivo como:

Maximizar (o Minimizar) Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 +....+ Cn Xn (iii) Determinar las restricciones del modelo que son funciones lineales

de las variables de decisin. Estas restricciones pueden ser igualdades (=) o desigualdades de la forma (>, bi ai1 X1 + ai2 X2 + ai3 X3 +....+ ain Xn = bi


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Tambin incluye restricciones de no negatividad de las variables: X1, X2, X3,...., Xn > 0. 1.2. FORMULACIN Y SOLUCIN GRFICA DE UN EJERCICIO DE

PROGRAMACION LINEAL La solucin grfica se emplea para resolver modelos de programacin lineal con dos variables, ya que resulta bastante difcil dibujar planos de tres variables, e imposible hacerlo para cuatro o ms variables. Ejercicio Juan es un prospero negociante que se dedica a la compra y venta de naranja y papaya. l tiene su cartera de clientes que son aquellos comerciantes que tienen su puesto de frutas en los diferentes mercados del distrito de Jess Mara. Todos los das temprano en la maana visita a su proveedor de frutas en el mercado mayorista y hace las compras del da. El da anterior recibe los pedidos de sus clientes y esta suma 600 kilos de papaya y 1200 kilos de naranja. Juan lleva su camin para el transporte cuya capacidad de carga es de 1600 kilos. Entonces Cuntos kilos de cada fruta debe comprar Juan para maximizar los beneficios? Para resolver esta pregunta se tienen los siguientes precios y costos por kilo de fruta:

Precio de compra Precio de venta al por mayor al minorista

Papaya S/. 1.30 S/. 1.60 Naranja S/. 1.00 S/. 1.20

Procedimiento de Solucin (Mtodo Grfico) 1) Establecer la formulacin del problema 2) Graficar en el plano cartesiano las restricciones del tipo >, < =,

como si fueran rectas. 3) Ubicar el espacio de la solucin factible (regin factible), el cual

est dado por el rea comn a todas las restricciones. 4) Obtener la solucin ptima.


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Formulacin del Ejercicio Definicin de las Variables de Decisin X1 = Cantidad, en kilos, de papaya que se debe comprar. X2 = Cantidad, en kilos, de naranja que se debe comprar. Funcin Objetivo Maximizar la utilidad total de los dos productos Restricciones Cantidad mxima de Papaya < 600 kilos. Cantidad mxima de Naranja < 1200 kilos. Carga mxima del camin < 1600 kilos. Condicin de No Negatividad X1, X2 > 0 El Modelo Maximizar Z = 0.30 X1 + 0.20 X2 (Beneficio Total) Sujeto a: R1 X1 < 600 (Cantidad mxima de Papaya) R2 X2 < 1200 (Cantidad mxima de Naranja) R3 X1 + X2 < 1600 (Carga mxima del camin) X1, X2 > 0 (Condicin de no negatividad) Grfica en el Plano Cartesiano Primero graficar la igualdad de la restriccin, luego escoger un punto de ensayo (por ejemplo el punto 0,0) y se sustituye este punto en la desigualdad para comprobar si cumple esta restriccin. Si lo cumple entonces sombrear el rea que cubre este punto de ensayo y si no lo cumple sombrear el rea que no lo cubre.

Grfica 1

X1

R2 X2 < 1200

R1 X1 < 600

X2

(600,0) (0,0) X1

X2

(0,1200)

(600,0) (0,0)


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En el plano cartesiano de la izquierda de la grfica 1, primero se dibuja la

recta X1 = 600 y luego se escoge un punto de ensayo, para nuestro caso

(0,0), y se verifica que cumpla con la desigualdad, por tanto se sombrea

los puntos que cumplen con todos los puntos de X1 que sean menores o

iguales a 600 Kg. (restriccin R1).

Con el mismo procedimiento se dibuja la recta X2=1200, que se muestra

en el plano cartesiano de la derecha de la grfica 1, y se acota ms el

rea de los puntos factibles con los puntos de X2 que sean menores o

iguales a 1200 Kg. (restriccin R2).

Por ltimo graficamos la tercera restriccin el cual restringe an ms el

rea de puntos factibles, como se muestra la grfica 2.

Regin factible es el conjunto de puntos que satisface todas las restricciones simultneamente. Existen infinitos puntos factibles

(soluciones).

Se llaman puntos extremos a los vrtices de la regin de factibilidad.


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Grfica 2

Se debe dibujar el contorno de la funcin objetivo (lnea iso-beneficio)

mediante rectas paralelas, en cada vrtice, segn la relacin: X2 = 1.5 X1 + K, ver grfica 3.

Los valores que optimizan la

funcin objetivo siempre se

encuentran en uno de los

puntos extremos, en este

caso A, B, C, D E.

X1

X2

(0,1600)

(1600,0)

R2

R3

R1

(600,1000)

(400,1200) (0,1200)

(600,0)

A

(0,0)

B C

E

D

Maximizar Z = 0.30 X1 + 0.20 X2 en la regin factible


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1.3. PROBLEMAS RESUELTOS: FORMULADOS Y CON SOLUCION

GRAFICA DE PROGRAMACION LINEAL, UTILIZANDO WINQSB2.

1.3.1 CREDIFONDO, una empresa que administra fondos mutuos, tiene

$50,000 de un fondo de pensiones, y desea invertir en bonos tipo A y bonos tipo B que producen una rentabilidad de 6% y 10% anual respectivamente. Por motivos de liquidez no puede invertir ms del 25% en bonos tipo A, y lo mnimo a depositar en bonos tipo B es $10,000. Determinar un plan ptimo de inversiones

VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en dlares, que se debe invertir en bonos tipo A. X2 = Cantidad, en dlares, que se debe invertir en bonos tipo B. 2 WINQSB es un software creado por el Dr. Yih-Long Chang que se puede bajar de internet. Buscando en google hallamos varias direcciones, una de ellas es http://www.investigacion-operaciones.com/Metodos_computacionales.htm

X1

X2

Z1 = 0.30 (0) + 0.20 (0) = 0 Z2 = 0.30 (600) + 0.20 (0) = 180 Z3 = 0.30 (0) + 0.20 (1200) = 240 Z4 = 0.30 (400) + 0.20 (1200) = 360 Z5 = 0.30 (600) + 0.20 (1000) = 380 (ptimo) Se debe adquirir 600 Kg. de papaya y 1000 Kg. de naranja para obtener

S/. 380 de utilidad

Z2

Z4

Z5

Z3

Z1

(600,1000)

(400,1200) (0,1200)

(600,0)

A

(0,0)

B C

D

E

0.20

Pendiente de la funcin objetivo

0.30Grfica 3


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FUNCION OBJETIVO: Se debe maximizar la rentabilidad total de la inversin en los dos tipos de bonos.

Maximizar Z = 0.06 X1 + 0.10 X2 RESTRICCIONES: R1 = Fondo mximo a depositar: X1 + X2 50,000 R2 = Mximo a invertir en bonos tipo A: X1 0.25 (X1 + X2) 0.75 X1 0.25 X2 0 R3 = Mnimo a invertir en bonos tipo B: X2 10,000 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0 SOLUCION CON WINQSB:

1.3.2. INTERBANK tiene un total de $20 millones asignados a

prstamos para adquisicin de casas y automviles. En promedio, los prstamos hipotecarios tienen una tasa anual de recuperacin del 10%, y los prstamos para autos una tasa anual de recuperacin del 12%. La gerencia ha estipulado que la cantidad total de prstamos hipotecarios debe ser mayor o igual cuatro veces la cantidad total de prstamos para autos. Determine la


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cantidad total de los prstamos de cada tipo que debe realizar INTERBANK para maximizar el monto de recuperacin.

VARIABLES DE DECISIN: X1= Cantidad, en dlares, que se debe asignar para crditos

hipotecarios X2 = Cantidad, en dlares, que se debe asignar para crditos de autos. FUNCION OBJETIVO: Se debe maximizar la recuperacin total de los prstamos Maximizar Z = 0.10 X1 + 0.12 X2 RESTRICCIONES: R1 = Fondo mximo para asignar crditos: X1 + X2 20,000,000 R2 = Relacin de prstamos X1 4 X2 X1 4 X2 0 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0 SOLUCION CON WINQSB:


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1.3.3. MAQUINASA es una pequea fbrica situada en los alrededores de una gran ciudad. Su produccin se limita a dos productos industriales: Alfa y Beta. El departamento de contabilidad de la empresa ha calculado las contribuciones de cada producto: 10 dlares para el producto Alfa y 12 dlares para el Beta. Cada producto pasa por tres departamentos de la fbrica. Los requerimientos de tiempo para cada producto y el total del tiempo disponible en cada departamento son los siguientes:

Horas Requeridas Horas Producto Producto Disponibles

Departamento ALFA BETA este mes Determine la cantidad 1 2.0 3.0 1,500 de productos Alfa y Beta 2 3.0 2.0 1,500 de tal forma que maximice3 1.0 1.0 600 la contribucin total.

VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en unidades, del producto Alfa que se debe producir por

mes. X2 = Cantidad, en unidades, del producto Beta que se debe producir

por mes. FUNCION OBJETIVO: Se debe maximizar la utilidad total de los dos productos Maximizar Z = 10 X1 + 12 X2 RESTRICCIONES: R1 = Horas disponibles del Departamento 1: 2X1 + 3X2 1500 R2 = Horas disponibles del Departamento 2: 3X1 + 2X2 1500 R3 = Horas disponibles del Departamento 3: 1X1 + 1X2 600 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0


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SOLUCION CON WINQSB:

1.3.4. Una dietista del hospital Rebagliati es responsable de la

planeacin y administracin de los requerimientos alimenticios de los pacientes. La especialista examina en estos momentos el caso de un paciente que se le ha restringido a una dieta especial que consta de dos fuentes alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de los dos elementos que se puede consumir; sin embargo, se deben satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos mnimos por da:

- 1000 unidades del nutriente A. - 2000 unidades del nutriente B; y - 1500 unidades del nutriente C. Cada onza de la fuente alimenticia #1, contiene 100 unidades del nutriente A, 400 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C.


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Cada onza de la fuente alimenticia #2, contiene 200 unidades del nutriente A, 250 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C. Ambas fuentes alimenticias son algo costosas: La fuente alimenticia #1 cuesta $6 por libra y la fuente #2 $8 por libra. La dietista desea determinar la combinacin de fuentes alimenticias que arroje el menor costo y que satisfaga todos los requerimientos nutritivos. Nota: 1 libra = 16 onzas

VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en onzas, de la fuente alimenticia #1 que se debe

asignar a la dieta por da. X2 = Cantidad, en onzas, de la fuente alimenticia #2 que se debe

asignar a la dieta por da. FUNCION OBJETIVO: Se debe minimizar el costo total de la dieta. Minimizar Z = 6/16 X1 + 8/16 X2 = 0.375 X1 + 0.5 X2 RESTRICCIONES: R1 = Cantidad mnima de nutriente A: 100X1 + 200X2 1000 R2 = Cantidad mnima de nutriente B: 400X1 + 250X2 2000 R3 = Cantidad mnima de nutriente C: 200X1 + 200X2 1500 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0


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1.3.5. La fbrica ABC vende dos tipos de bombas hidrulicas: (1) normal

y (2) extra grande. El proceso de manufactura asociado con la fabricacin de las bombas implica tres procesos: ensamblado, pintura y pruebas de control de calidad. Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y prueba de las bombas se muestran en la siguiente tabla:

Tabla de Requerimientos de Manufactura

Tiempo de Tiempo de Tiempo de Tipo Ensamble Pintado Prueba

Normal 3.6 1.6 0.6 Extra Grande 4.8 1.8 0.6

La contribucin a las utilidades por la venta de una bomba normal es $50, en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es $75. Existen disponibles por semana 4,800 horas en tiempo de ensamble, 1,980 horas en tiempo de pintura y 900 horas en tiempo de prueba. Las experiencias anteriores de renta sealan que la compaa puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de los extra grandes por semana. A la fbrica ABC le gustara determinar la cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus utilidades.


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VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en unidades, de bombas hidrulicas normales que se

debe producir por semana X2 = Cantidad, en unidades, de bombas hidrulicas extragrandes que

se debe producir por semana. FUNCION OBJETIVO: Se debe maximizar la utilidad total de los dos productos Maximizar Z = 50 X1 + 75 X2 RESTRICCIONES: R1 = Horas disponibles de ensamble: 3.6 X1 + 4.8 X2 4800 R2 = Horas disponibles de pintado: 1.6 X1 + 1.8 X2 1980 R3 = Horas disponibles de prueba: 0.6 X1 + 0.6 X2 900 R4 = Demanda mnima de X1: X1 300 R5 = Demanda mnima de X2: X2 180 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0 SOLUCION CON WINQSB:


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1.3.6. PARAMONGA tiene dos tipos de papel, para libros y para revistas. Cada tonelada de papel para libros requiere 2 toneladas de abeto y 3 ton. de pino. Cada tonelada de papel para revistas requiere 2 toneladas de abeto y 2 toneladas de pino. La empresa debe proveer al menos 25000 tons de papel para libros y 10000 tons de papel para revistas por ao.

La disponibilidad anual de materiales es de 300000 tons de abeto y 450000 de pino. Por razn de mercado la cantidad de papel fabricado para revistas debe ser al menos 1.5 veces a la cantidad de papel fabricado para libros. Cada tonelada de papel para libros da una utilidad de $215 y de revistas de $270. Determine un plan ptimo de produccin

VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en toneladas, de papel para libros que se debe producir

por ao. X2 = Cantidad, en toneladas, de papel para revistas que se debe

producir por ao. FUNCION OBJETIVO: Se debe maximizar la utilidad total de los dos productos Maximizar Z = 215 X1 + 270 X2 RESTRICCIONES: R1 = Disponibilidad de abeto: 2 X1 + 2 X2 300000 R2 = Disponibilidad de pino: 3 X1 + 2 X2 450000 R3 = Razn de mercado: X2 1.5 X1 1.5 X1 X2 0 R4 = Demanda mnima de X1: X1 25000 R5 = Demanda mnima de X2: X2 10000 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0


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1.3.7. CATS es un nuevo producto alimenticio para mascotas. Cada lata

de 16 onzas de Cats es una mezcla, o combinacin, de dos ingredientes alimenticios para mascotas. Sean

X1 = nmero de onzas del ingrediente A en lata de 16 onzas. X2 = nmero de onzas del ingrediente B en lata de 16 onzas. Cada onza del ingrediente A contiene 1/2 onzas de protenas y 1/8 de onza de grasas. Cada onza del ingrediente B contiene 1/10 de onza de protenas y 1/3 de onza de grasas. Las restricciones implican que una lata de 16 onzas de Cats debe contener cuando menos 4 onzas de protenas y no ms de 2.5 onzas de grasas. Si el ingrediente A cuesta $0.04 por onza y el ingrediente B cuesta $0.03 la onza. a) Formule el problema de programacin lineal. b) cul es la mezcla de costo mnimo de los ingredientes A y B

para cada lata de 16 onzas? c) Identifique e interprete los valores de las variables de

excedente para este problema.


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VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en onzas, del ingrediente A en la lata de 16 onzas. X2 = Cantidad, en onzas, del ingrediente B en la lata de 16 onzas. FUNCION OBJETIVO: Se debe minimizar el costo total de los ingredientes en la lata de 16 onzas. Minimizar Z = 0.04 X1 + 0.03 X2 RESTRICCIONES: R1 = Cantidad de los ingredientes A y B en la lata de 16 oz.: X1+X2=16 R2 = Cantidad mnima de protenas: 0.5 X1 + 0.10 X2 4 R3 = Cantidad mxima de grasas C: 0.125 X1 + 0.333 X2 2.5 0.375 X1 + X2 7.5 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0 SOLUCION CON WINQSB:


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1.3.8. Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondign con una combinacin de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 80 ctvs por libra; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60 ctvs por libra. Qu cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondign, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?

VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en libras, de carne molida de res contenida en una libra

de albondign. X2 = Cantidad, en libras, de carne molida de cerdo contenida en una

libra de albondign. FUNCION OBJETIVO: Se debe minimizar el costo total de los ingredientes en una libra de albodign. Minimizar Z = 0.80 X1 + 0.60 X2 RESTRICCIONES: R1 = Cantidad de ingredientes en una libra de albondign: X1 + X2 = 1 R2 = Cantidad mxima de grasa 0.25 libras: 0.20 X1 + 0.32 X2 0.25


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CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0 SOLUCION CON WINQSB:

1.3.9. Una fbrica de automviles y camiones consta de los departamentos que a continuacin se enumeran:

1. Estampado de planchas metlicas 2. Armado de motores 3. Montaje de automviles 4. Montaje de camiones El Departamento 1 puede estampar, por mes, las planchas necesarias para 25,000 automviles 35,000 camiones, o las correspondientes combinaciones de automviles y camiones. El Departamento 2 puede armar, por mes, 33,333 motores de automviles o 16,667 motores de camin, o las correspondientes combinaciones de motores de automvil y camin. El Departamento 3 puede montar y terminar 22,500 automviles, y el Departamento 4 puede montar 15,000 camiones. Si cada automvil deja una utilidad de 300 dlares y cada camin de 250, qu cantidades de automviles y camiones deben producirse, de


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manera que las utilidades que se obtengan sean las mximas posibles?

VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en unidades, de automviles que se debe producir por

mes. X2 = Cantidad, en unidades, de camiones que se debe producir por

mes. FUNCION OBJETIVO: Se debe maximizar la utilidad total de los dos productos Maximizar Z = 300 X1 + 250 X2 RESTRICCIONES: R1 = El departamento 1 puede estampar, por mes, planchas metlicas

para 25000 automviles o 35000 camiones. Supongamos que los primeros 15 das (1/2 mes) se producen 12500 automviles, entonces los ltimos 15 das se deben producir 17500 camiones.

El anlisis parte del tiempo de produccin para cada producto, cuyo lmite mximo es un mes. De esta forma el tiempo para producir automviles es X1/25000 (fraccin de mes) y el tiempo para producir camiones es X2/35000, de tal forma que la suma de tiempos sea menor o igual a un mes:

X1/25000 + X2/35000 1 7 X1 + 5 X2 175000

R2 = Similar anlisis para el Departamento 2: X1 + 2X2 33333 R3 = Cantidad mxima en el departamento de montaje para

automviles: X1 22500 R4 = Cantidad mxima en el departamento de montaje para camiones:

X2 15000 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0


30


1.3.10. Un fabricante de gasolina para aviacin vende dos clases de

combustible, A y B. El combustible de clase A tiene 25 % de gasolina grado 1, 25% de gasolina grado 2, y 50 % de gasolina grado 3. El combustible de clase B tiene 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. Disponibles para produccin hay 75 galones/hora de grado 1, 150 galones/hora de grado 2, y 200 galones/hora de grado 3. Los costos son 30 centavos por galn de grado 1, 60 centavos por galn de grado 2, y 50 centavos por galn de grado 3. Las clases A y B, pueden venderse a 75 y 90 centavos por galn, respectivamente. Qu cantidad por hora debe fabricarse de cada combustible?

VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en galones, del combustible A que se debe producir por

hora. X2 = Cantidad, en galones, del combustible B que se debe producir por

hora. FUNCION OBJETIVO: Se debe maximizar la utilidad total (ingreso menos costo) de los dos productos


31

Ingreso en centavos = 75 X1 + 90 X2 Costo en centavos =

30 (0.25 X1) + 60 (0.25 X1 + 0.50 X2) + 50 (0.50 X1 + 0.50 X2) Maximizar Z = Ingreso Costo = 27.5 X1 + 35 X2 RESTRICCIONES: R1 = Gasolina grado 1 disponible: 0.25 X1 75 R2 = Gasolina grado 2 disponible: 0.25 X1 + 0.50 X2 150 R3 = Gasolina grado 3 disponible: 0.50 X1 + 0.50 X2 200 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0 SOLUCION CON WINQSB:

1.4. PROBLEMAS FORMULADOS PERO SIN SOLUCION GRAFICA 1.4.1. Una compaa petrolera que tiene dos refineras, necesita al

menos 800, 1400 y 500 barriles de petrleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada da, la refinera I produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto grado, mientras que la refinera II produce 100 barriles de grado alto, 100 de bajo y


32

200 de grado medio. Si los costos diarios son de $2,500 para operar la refinera I y de $2,000 para la refinera II, cuntos das debe ser operada cada refinera para satisfacer los requerimientos de produccin a un costo mnimo?cul es el costo mnimo?

VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad de das que debe ser operada la refinera I para cumplir

con los requerimientos de produccin. X2 = Cantidad de das que debe ser operada la refinera II para cumplir

con los requerimientos de produccin. FUNCION OBJETIVO: Se debe minimizar el costo total de operacin de las dos refineras. Minimizar Z = 2500 X1 + 2000 X2 RESTRICCIONES: R1 = Cantidad mnima de barriles de petrleo de grado bajo requerido:

200X1 + 100X2 800 R2 = Cantidad mnima de barriles de petrleo de grado medio

requerido: 300X1 +200X2 1400 R3 = Cantidad mnima de barriles de petrleo de grado alto requerido:

100X1 + 100X2 500 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0 1.4.2. A causa de reglamentaciones gubernamentales nuevas sobre la

contaminacin, una compaa qumica ha introducido en sus plantas un nuevo y ms caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior en la produccin de un qumico en particular. El proceso anterior descarga 15 gramos de dixido de azufre y 40 gramos de partculas a la atmsfera por cada litro de qumico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dixido de azufre y 40 gramos de partculas a la atmsfera por cada litro de qumico producido. La compaa obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no ms de 10,500 gramos de dixido de azufre y no ms de 30,000 gramos de partculas a la atmsfera cada da, cuntos litros de qumico deben ser producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? Cul es la utilidad diaria?


33

VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en litros, del producto qumico que se debe producir con

el proceso anterior. X2 = Cantidad, en litros, del producto qumico que se debe producir con

el proceso nuevo. FUNCION OBJETIVO: Se debe maximizar la utilidad total del producto qumico en los dos procesos Maximizar Z = 30 X1 + 20 X2 RESTRICCIONES: R1 = Descarga mxima de dixido de azufre: 15 X1 + 5 X2 10500 R1 = Descarga mxima de partculas: 40 X1 + 40 X2 30000 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0 1.4.3. INDUMIL, un fabricante progresista de mecanismos civiles y

militares, fabrica actualmente una lnea de armas para civiles, con una produccin actual diaria de 30 unidades del modelo Z-1200 y de 120 unidades del modelo Z-1500. El gerente de manufactura quiere saber si podran aumentarse las ganancias cambiando la mezcla de productos entre los dos modelos. Se compil la siguiente informacin sobre las horas requeridas para la fabricacin de cada modelo y las capacidades de los departamentos de la fbrica.

Horas-Hombre Requeridas Horas Modelo Modelo Disponibles

Departamento Z-1200 Z-1500 por da 1 2.0 0.0 300 2 0.0 3.0 540 3 2.0 2.0 440 4 1.2 1.5 300

Contribucin por unidad $50 $40

a) Determnese la mezcla ptima de productos suponiendo que

pueden venderse las cantidades. Use el mtodo grfico. b) Cunto aumentara la mezcla ptima la contribucin a los costos

fijos y a las ganancias?


34

c) Suponga que el precio del modelo Z-1200 se reduzca a $10 Cul ser la mezcla ptima de productos? Use el mtodo grfico

VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en unidades, del producto Z-1200 que se debe producir

por da. X2 = Cantidad, en unidades, del producto Z-1500 que se debe producir

por da. FUNCION OBJETIVO: Se debe maximizar la utilidad total de los dos productos Maximizar Z = 50 X1 + 40 X2 RESTRICCIONES: R1 = Horas disponibles del Departamento 1: 2 X1 300 R2 = Horas disponibles del Departamento 2: 3 X2 540 R3 = Horas disponibles del Departamento 3: 2 X1 + 2 X2 440 R4 = Horas disponibles del Departamento 4: 1.2 X1 + 1.5 X2 300 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0 1.4.4. JUGUETES SAC fabrica dos tipos de juguetes de madera:

soldados y trenes. Se vende un soldado a $27 y se usan $10 de materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en $14. Se vende un tren a $21 y se usan $9 de materia prima. Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en $10. La produccin de soldados y trenes de madera necesita dos tipos de trabajo especializado: carpintera y acabado. Un soldado requiere 2 horas de acabado y una hora de carpintera. Un tren requiere 1 hora de acabado y 1 hora de carpintera. Cada semana, la empresa puede conseguir toda la materia prima que necesita, pero solamente dispone de 100 horas de acabado y 80 horas de carpintera. La demanda de los trenes no tiene lmite, pero se venden a lo ms 40 soldados semanalmente. La firma quiere maximizar su ganancia semanal (ingresos - costos).

a) Formule un modelo matemtico para la situacin de JUGUETES SAC que se pueda utilizar para maximizar su ganancia semanal.

b) Determine grficamente la regin factible del problema y el punto donde se hace mxima la ganancia de la compaa.


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VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad de soldados de madera que se debe producir por

semana. X2 = Cantidad de trenes de madera que se debe producir por semana. FUNCION OBJETIVO: Se debe maximizar la utilidad total (ingreso menos costo) de los dos productos: Ingreso por ventas = 27 X1 + 21 X2 Costo de materia prima = 10 X1 + 9 X2 Costo de mano de obra y costos generales = 14 X1 + 10 X2 Maximizar Z = Ingresos Costos = 3 X1 + 2 X2 RESTRICCIONES: R1 = Horas disponibles de carpintera: 1 X1 + 1 X2 80 R2 = Horas disponibles de acabado: 2 X1 + 1 X2 100 R3 = Demanda mxima de soldados: X1 40 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0 1.4.5. Financiera Solucin administra fondos de empresas y clientes

pudientes. La estrategia de inversin se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Financiera Solucin (FS) se le ha autorizado invertir 1.2 millones de dlares en dos fondos de inversin: un fondo de acciones y un fondo de bonos. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dlares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de bonos cuesta 100 dlares, con una tasa de rendimiento anual de 4%.

El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso

anual sobre la inversin de por lo menos 60,000 dlares. De acuerdo con el sistema de medicin de riesgo de FS, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un ndice de riesgo de 8, y cada unidad adquirida en el fondo de bonos tiene un ndice de riesgo de 3. El ndice de riesgo ms elevado asociado con el fondo de acciones indica, simplemente, que se trata de la inversin ms riesgosa.

El cliente de la financiera tambin ha especificado que se inviertan

por lo menos 300,000 dlares en el fondo de bonos.


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Cuntas unidades de cada uno de los fondos deber adquirir la financiera para el cliente, si el objetivo es minimizar el ndice de riesgo total para esta cartera? Cul es el valor del riesgo total?

VARIABLES DE DECISIN: X1 = Cantidad, en unidades, que se debe adquirir del fondo de acciones X2 = Cantidad, en unidades, que se debe adquirir del fondo de bonos FUNCION OBJETIVO: Se debe minimizar el riesgo total de la inversin. Minimizar Z = 8 X1 + 3 X2 RESTRICCIONES: R1 = Cantidad mxima a invertir de dlares: X1 + X2 1200000 R2 = Rendimiento anual mnimo requerido: 5 X1 + 4 X2 60000 R3 = Inversin mnima en bonos: 100 X2 300000 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 0, X2 0 1.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.5.1. Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de pltanos y 20 de

manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero slo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A enva en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de pltanos y 2 de manzanas. El mayorista B enva en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de pltanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km, calcular cuntos contenedores habr de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mnimo la distancia de lo solicitado.

1.5.2. Una compaa tiene dos minas: la mina A produce diariamente 1

tonelada de carbn de antracita de alta calidad, 2 toneladas de carbn de calidad media y 4 toneladas de carbn de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. La compaa necesita 70 toneladas de carbn de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 150 dlares y los de la mina B a 200 dlares.


37

Cuntos das debern trabajar en cada mina para que la funcin de coste sea mnima?

1.5.3. Imaginemos que las necesidades semanales mnimas de una

persona en protenas, hidratos de carbono y grasas son, respectivamente, 8, 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composicin mnima mezclando dos productos A y B, cuyos contenidos por Kg son los que se indican en la siguiente tabla:

Protenas Hidratos Grasas Costo (pts/kg) A 2 6 1 600 B 1 1 3 400

a) Cuntos Kg de cada producto debern comprarse

semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mnimo?

b) Cuntos Kg de cada producto deberamos comprar si el precio de A subiera a 1000 pts/Kg ?

1.5.4. En la elaboracin de un producto A se necesita una sustancia B.

La cantidad de A obtenida es menor o igual que el doble de B utilizada, y la diferencia entre las cantidades del producto B y A no supera los 2g mientras que la suma no debe sobrepasar los 5g.

Adems se utiliza por lo menos 1g de B y se requiere 1 g de A. La

sustancia A se vende a 5 millones y la B cuesta 4 millones el gramo. Calcular la cantidad de sustancia B necesaria para que el beneficio sea mximo.

1.5.5. En una encuesta realizada por una televisin local se ha

detectado que un programa con 20 minutos de variedades y un minuto de publicidad capta 30.000 espectadores, mientras que otro programa con 10 minutos de variedades y 1 minuto de publicidad capta 10.000 espectadores.

Para un determinado perodo, la direccin de la red decide dedicar

80 minutos de variedades y los anunciantes 6 minutos de publicidad. Cuntas veces deber aparecer cada programa con objeto de captar el mximo nmero de espectadores?


38

1.5.6. Una empresa tiene dos factoras A y B. En ellas fabrica un determinado producto, a razn de 500 y 400 unidades por da respectivamente. El producto ha de ser distribuido posteriormente a tres centros I, II y III, que requieren, respectivamente, 200, 300 y 400 unidades. Los costos de transportar cada unidad del producto desde cada factora a cada centro distribuidor son los indicados en la tabla siguiente:

I II III FABRICACINA 50 60 10 500 u. B 25 40 20 400 u.

DEMANDA 200 300 400 De qu manera deben organizar el transporte a fin de que los gastos sean mnimos?

1.5.7. Una empresa fabrica dos tipos de tarjetas grficas, de 16Mb y

32Mb de memoria, respectivamente. Se utilizan dos mquinas que emplean 2 min. en fabricar las de 16Mb y 3 min. en fabricar las de 32Mb. La cadena de montaje slo puede funcionar, como mximo, 300 minutos diarios. Adems cada mquina tiene una capacidad mxima de fabricacin diaria de 125 unidades, entre las cuales no puede haber ms de 90 tarjetas de 16Mb ni ms de 80 tarjetas de 32Mb, siendo el beneficio neto de las primeras de 45$ y el de las segundas de 60$. Cuntas tarjetas de 16Mb y 32Mb debe fabricar diariamente cada mquina para que el beneficio sea mximo?.

1.5.8. Una multinacional farmacutica desea fabricar un compuesto

nutritivo a base de dos productos A y B. El producto A contiene 30% de protenas, un 1% de grasas y un 10% de azcares. El producto B contiene un 5% de protenas, un 7% de grasas y un 10% de azcares. El compuesto tiene que tener, al menos, 25g. de protenas, 6g. de grasas y 30g. de azcares.

El coste del producto A es de 0.6 pts/g. y el de B es de 0.2 pts/g. Cuntos gramos de cada producto debe tener el compuesto para

que el coste total sea mnimo?


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1.5.9. Una compaa minera tiene abiertas dos minas M1 y M2, desde las cuales transporta carbn a dos grupos G1 y G2 de una central trmica. De la mina M1 salen diariamente para la central 800T de antracita y de la mina M2 300T.

De las 1100T, 500 tienen que ir hasta el grupo G1 y 600T hasta el

grupo G2. El coste de cada tonelada transportada de M1 a G1 es de 60$, el de A1 a G2 de 80$, el de M2 a G1 de 40$ y el de M2 a G2 de 50$.

Cuntas toneladas hay que transportar desde cada mina hasta

cada grupo para que el coste total sea mnimo?. 1.5.10. Una asociacin agrcola tiene de dos parcelas: la parcela P1

tiene 400Ha de tierra utilizable y dispone de 500m3 de agua, mientras la parcela P2 tiene 900Ha de tierra utilizable y dispone de 1200m3 de agua. Los cultivos aconsejados son: remolacha y algodn. La remolacha consume 3m3 de agua por Ha y tiene un beneficio de 700$ por Ha y el algodn consume 2m3 de agua por Ha y tiene un beneficio de 500$ por Ha. Se ha establecido una cuota mxima por Ha para cada cultivo: 800 para la remolacha y 600 para el algodn, siendo el porcentaje total de terreno cultivado el mismo en cada parcela.

Plantear el problema de programacin lineal. 1.5.11. Una empresa constructora dispone de dos tipos de camiones C1

y C2 y quiere transportar 100T de arena a una obra. Sabiendo que dispone de 6 camiones tipo C1 con capacidad para 15T y con un coste de 4000pts por viaje y de 10 camiones tipo C2 con una capacidad de 5T y con un coste de 3000pts por viaje.

a) Cul es el nmero posible de camiones que puede usar

(grficamente)? b) Cul es el nmero posible de camiones que debe usar para

que el coste sea mnimo? c) Cul es el valor de dicho coste?.

1.5.12. Un quiosco de prensa vende bolgrafos a 20pts y cuadernos a

30pts. Llevamos 240pts y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolgrafos por lo menos. Cul ser el nmero mximo de piezas que podemos comprar?


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1.5.13. Una compaa area dispone de dos tipos de aviones A1 y A2 para cubrir un determinado trayecto. El avin A1 debe hacer ms veces el trayecto que el avin A2 pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer ms de 60 vuelos, pero menos de 200. En cada vuelo, A1 consume 900 litros de combustible y A2 700 litros. En cada viaje del avin A1 la empresa gana 30.000$ y 20.000$ por cada viaje del avin A2.

a) Cuntos viajes debe hacer cada avin para obtener el

mximo de ganancias?. b) Cuntos vuelos debe hacer cada avin para que el

consumo de combustible sea mnimo? 1.5.14. Un joyero fabrica dos tipos de anillos: los anillos A1 precisan 1g.

de oro y 5g. de plata vendindolos a $40 cada uno. Para los anillos tipo A2 emplea 1,5g. de oro y 1g. de plata y los vende a $50. El joyero dispone en su taller de 750g. de cada metal.

Calcular cuntos anillos debe fabricar de cada clase para

obtener el mximo beneficio? 1.5.15. Electrn S.A. produce 2 tipos de monitores para PC; de 17 y 15

(conocidos como M17 y M15). Los pronsticos de mercado indican que ser posible vender todos los monitores que se puedan producir para el siguiente mes.

Cada monitor pasa por un proceso en el departamento electrnico

(DE) y otro en el departamento mecnico (DM) y adems es sometido a verificacin de calidad en el dpto. CC.

En el DE se disponen de 150 hrs. de operacin, en el DM de 160

hrs. Por acuerdo con los trabajadores deben utilizarse al menos el

90% del total de una meta de 150 hrs. en el departamento de verificacin de calidad CC.

El monitor M17 tiene un costo de produccin de $ 1,200 y se

vender a $ 1,700 y requiere de 10 hrs. de operacin en el DE, 20 hrs en el DM y 30 hrs de control de calidad.


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El monitor M15 tiene un costo de produccin de $ 1,000 y se vender a $ 1,400 y requiere de 15 hrs. de operacin en el DE, 10 hrs en el DM y 10 hrs de control de calidad.

La gerencia de ventas por estrategia de ventas exige que se

produzca al menos un monitor M15 por cada 2 monitores M17. E informa que se debe de cumplir con el pedido ya recibido de un cliente de por lo menos 4 monitores (en cualquier combinacin M17 y M15).

1.5.16. La Smith Motors, Inc., vende automviles normales y vagonetas.

La compaa obtiene $300 de utilidad sobre cada automvil que vende y $400 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer ms de 300 automviles ni ms de 200 vagonetas por mes. El tiempo de preparacin para los distribuidores es de 2 horas para cada automvil y 3 horas para cada vagoneta. La compaa cuenta con 900 horas de tiempo de taller disponible cada mes para la preparacin de automviles nuevos. Plantee un problema de PL para determinar cuntos automviles y cuntas vagonetas deben ordenarse para maximizar las utilidades.

1.5.17. La empresa La Preferida, del Valle de Ica, cultiva brcoli y coliflor

en 500 acres de terreno en el valle. Un acre de brcoli produce $500 de contribucin a las utilidades y la contribucin de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse ms de 200 acres de brcoli. Durante la temporada de plantacin, habr disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brcoli requiere 2.5 horas-hombre y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuntos acres de brcoli y cuntos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribucin a las utilidades.

1.5.18. Los supervisores de la produccin de una refinera deben

programar dos procesos de mezclado. Cuando se realiza el proceso 1 durante una hora se consumen 100 barriles de petrleo nacional y 300 barriles de petrleo importado. De manera similar, cuando se efecta el proceso 2 durante una hora, se consumen 100 barriles de petrleo nacional y 200 barriles de petrleo importado, Con respecto a la produccin, el proceso 1 genera 4,000 galones de gasolina y 1,750 galones de petrleo para uso domstico por hora de operacin. El proceso 2 genera 3,500 galones de gasolina y 2,250 galones de petrleo para uso


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domstico, por hora. Para la siguiente corrida de produccin, existen disponibles 1,200 barriles de petrleo nacional y 1 ,800 barriles de petrleo importado. Los contratos de ventas exigen que se fabriquen 28,000 galones de gasolina y 12,000 galones de petrleo para consumo domstico. Las contribuciones a las utilidades por hora de operacin son $1,000 y $1,100 para los procesos 1 y 2, respectivamente.

a. Plantee un modelo de programacin lineal para determinar el

programa de produccin que maximice la contribucin total. Asegrese de indicar las unidades de medicin para sus variables de decisin y las unidades en las que se mide cada restriccin.

b. El Ministerio de Energa y Minas puede emitir un dictamen que limite la produccin total de gasolina a no ms de la mitad del petrleo que se fabrique para uso domstico. Qu restriccin debe aadirse al modelo para plantear esta condicin?


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CAPTULO 2 PROGRAMACION LINEAL: FORMULACIN DE PROBLEMAS

2.1. EJERCICIOS FORMULADOS DE PROGRAMACION LINEAL Ejercicio 2.1.1: Problema de transporte Un fabricante de jabn y detergentes tiene tres plantas, localizadas en Cincinnati, Denver y Atlanta. Los almacenes principales se encuentran en Nueva York, Boston, Chicago, Los Angeles y Dallas. En las tablas siguientes se proporcionan los requerimientos de ventas del prximo ao para cada almacn y los costos de envo desde cada planta a cada almacn. Requerimientos de los almacenes

Ubicacin del almacn Ventas anuales (miles de cajas) Nueva York Boston Chicago Los Angeles Dallas

Total

50 10 60 30 20 ---- 170

Costos de envo de 1000 cajas de jabn

De / A Nueva York Boston Chicago Los

Angeles Dallas

Cincinnati Denver Atlanta

$ 120 210 150

$ 150 220 170

$ 80 150 150

$ 250 100 240

$ 180 110 200

La capacidad de produccin para las plantas de Cincinnatti, Denver y Atlanta son 100 mil, 60 mil y 50 mil cajas, respectivamente. La compaa quiere determinar un programa de entregas que minimice los costos totales de transporte de la compaa.


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FORMULACIN: Variables de Decisin: Sea: X11 = Nmero de cajas enviadas de la primera fbrica (Cincinnati) al

primer almacn (Nueva York), en miles de cajas. Anlogamente: X12, X13, X14, X15 = Nmero de cajas enviadas de la primera

fbrica (Cincinnati) al segundo, tercer, etc., almacn (Boston, Chicago, etctera)

X21, X22, X23, X24, X25 = Nmero de cajas enviadas de la segunda

fbrica (Denver) al primer, segundo, etc., almacn.

X31, X32, X33, X34, X35 = Nmero de cajas enviadas de la tercera

fbrica (Atlanta) al primer, segundo, etc., almacn.

Funcin Objetivo: El objetivo es minimizar costos de transporte. Minimizar: Z = 120X11 + 150X12 + 80X13 + 250X14 + 180X15 + 210X21 + 220X22 + 150X23 + 100X24 + 110X25 + 150X31 + 170X32 + 150X33 + 240X34 + 200X35 El costo total es la suma de los productos, de cada fbrica a cada almacn, del costo de envo de la tabla multiplicado por el nmero de millares de cajas que se envan. Restricciones: Hay dos conjuntos de restricciones para este problema. El primero garantiza que se cumplirn las necesidades del almacn, entonces, para Nueva York:

X11 + X21 + X31 = 50 Lo anterior estipula que la suma de las cajas que se envan a Nueva York de la primera fbrica (Cincinnati), la segunda (Denver) y la tercera (Atlanta) debe ser 50 mil cajas, el requerimiento de ventas de Nueva York. Para los otros almacenes se tiene: Boston: X12 + X22 + X32 = 10 Chicago: X13 + X23 + X33 = 60


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Los Angeles: X14 + X24 + X34 = 30 Dallas: X15 + X25 + X35 = 20 El segundo conjunto de restricciones garantiza que las fbricas no excedan sus capacidades de produccin. De esta manera, para la fbrica de Cincinnati:

X11 + X12 + X13 + X14 + X15 < 100 Esta expresin indica que la cantidad que se enva de la primera fbrica al primer almacn, al segundo, al tercero, etc., no debe exceder la capacidad de 100,000 cajas de la fbrica. En forma similar: Denver: X21+ X22 + X23 + X24 + X25 < 60 Atlanta: X31 + X32+ X33 + X34 + X35 < 50 Por ltimo, todas las X deben ser mayores o iguales que cero. La solucin de este problema de programacin lineal ofrecer el programa ptimo de envos (es decir, el de menor costo) para la compaa. Es un ejemplo de un tipo especial de problema, conocido, de manera bastante natural, como el problema de transporte. En resumen, la formulacin completa de este problema es: Minimizar Z = 120X11 + 150X12 + 80X13 + 250X14 + 180X15 + 210X21 + 220X22 + 150X23 + 100X24 + 110X25 + 150X31 + 170X32 + 150X33 + 240X34 + 200X35 Sujeto a: X11 + X21 + X31 = 50 X12 + X22 + X32 = 10 Restricciones de X13 + X23 + X33 = 60 requerimientos de X14 + X24 + X34 = 30 almacenes

X15 + X25 + X35 = 20 X11 + X12 + X13 + X14 + X15 < 100 Capacidad

X21 + X22 + X23 + X24 + X25 < 60 disponible de X31 + X32 + X33 + X34 + X35 < 50 fbricas Condicin de no negatividad

X11, X12, ., , X35 > 0


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Ejercicio 2.1.2: Problema de mezcla Se obtienen distintos tipos de gasolina mezclando ciertas gasolinas que se obtienen directamente de las operaciones de refinera. En un proceso de refinamiento real hay varias gasolinas para mezcla, varias gasolinas que son productos finales (por ejemplo, distintos grados de gasolina para aviacin y para motores) y varias caractersticas de importancia para la composicin qumica de los diversos grados de gasolina (por ejemplo, octanaje, presin de vapor, contenido de azufre, contenido de goma). En este ejemplo simplificando se supondr que la refinera slo tiene dos tipos de gasolina para mezcla, con las caractersticas que se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 2.1. Caractersticas de las gasolinas para mezcla

Mezclas disponibles Octanaje Presin de vapor

Cantidad disponible

Gasolina para mezcla, tipo 1 Gasolina para mezcla, tipo 2

104

94

5

9

30 000 barriles

70 000 barriles

Estas gasolinas para mezcla pueden combinarse para obtener dos productos finales: gasolina para aviacin y gasolina para motores. En la siguiente tabla se presentan las caractersticas que requieren estos productos finales.

Tabla 2.2. Caractersticas de las gasolinas finales

Productos finales

Octanaje mnimo

Presin de vapor mxima

Ventas mximas

Precio de venta (por barril)

Gasolina para aviacin

Gasolina para motores

102

96

6

8

20 000 barriles

Cualquier cantidad

$45.10

$32.40

FORMULACIN: Variables de Decisin: Sea: X1 = Nmero de barriles de gasolina para la mezcla 1 utilizados en

gasolina para aviacin X2 = Nmero de barriles de gasolina para la mezcla 2 utilizados en

gasolina para aviacin


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X3 = Nmero de barriles de gasolina para la mezcla 1 utilizados en gasolina para motores

X4 = Nmero de barriles de gasolina para la mezcla 2 utilizados en gasolina para motores

Funcin Objetivo: La funcin objetivo es maximizar Z = Ingresos totales: Maximizar: Z = 45.10 (X1 + X2) + 32.40 (X3 + X4)

= 45.10 X1 + 45.10 X2 + 32.40 X3 + 32.40 X4 Observe que X1 + X2 es la cantidad total de gasolina para aviacin mezclada (en barriles); como se vende a 45.10 dlares por barril, los ingresos por este producto son 45.10 (X1 + X2). De manera anloga, los ingresos por la gasolina para motor son de 32.40 (X3 + X4) y la suma de estos trminos representa los ingresos totales. Restricciones: Hay varios tipos de restricciones que afectan la forma en que la refinera mezclar su gasolina. La primera es el nivel de ventas o tamao de la demanda, el hecho de que no pueden venderse ms de 20 000 barriles de gasolina para aviacin. Lo anterior puede expresarse as:

X1 + X2 < 20 000 Otro conjunto de restricciones se refiere a las cantidades disponibles de las gasolinas para mezcla. Entonces:

X1 + X3 < 30 000 Observe que X1 + X3 representa la cantidad total de gasolina para mezcla 1 (la suma de la cantidad utilizada en gasolina para aviacin, X1, y la cantidad usada en gasolina para motores, X3). La ecuacin anterior establece que la cantidad de gasolina para mezcla 1 no debe exceder la cantidad disponible, 30 000 barriles. Hay una restriccin similar para la gasolina para la mezcla 2:

X2 + X4 < 70 000

Otro conjunto de restricciones tiene que ver con el octanaje de las gasolinas finales. Recuerde que la cantidad total de la gasolina para aviacin es X1 + X2 y su octanaje estar definido por las cantidades relativas de X1 + X2, de acuerdo con la siguiente frmula:


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Octanaje 104 * X1 + 94 * X2 de la -------------------------- gasolina para aviacin X1 + X2 Las cifras 104 y 94 provienen de la tabla 2.1 y son los octanajes de las gasolinas para mezcla 1 y 2, respectivamente. En la tabla 2.2 se observa que el octanaje de la gasolina para aviacin debe ser por lo menos 102, por lo cual se tiene la siguiente restriccin:

104 X1 + 94 X2 ------------------- > 102

X1 + X2 Al acomodar la expresin para convertirla en restriccin lineal, se tiene: 104 X1 + 94 X2 > 102 X1 + 102 X2 o (104 X1 102 X1) + (94 X2 102 X2) > 0, 2 X1 8 X2 > 0 Anlogamente, para la gasolina para motores, se tiene: 104 X3 + 94 X4 > 96(X3 + X4) 8 X3 2 X4 > 0 El ltimo conjunto de restricciones tiene que ver con los requisitos de presin de vapor de las gasolinas finales. En el caso de la gasolina para aviacin, la restriccin es: 5 X1 + 9 X2 < 6(X1 + X2) X1 + 3X2 < 0 y el requisito de presin de vapor de la gasolina para motores es: 5 X3 + 9 X4 < 8(X3 + X4) 3X3 + X4 < 0 En resumen, la formulacin total del modelo de programacin lineal es: Maximizar Z = 45.10X1 + 45.10X2 + 32.40X3 + 32.40X4 Sujeto a: X1 + X2 < 20 000 Restriccin de la demanda

X1 + X3 < 30 000 Restricciones de disponibilidad X2 + X4 < 70 000 de gasolina para mezclas 2 X1 8 X2 > 0 Restricciones de 8 X3 2 X4 > 0 octanaje


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X1 + 3X2 < 0 Restricciones de 3X3 + X4 < 0 presin de vapor

Condicin de no negatividad

X1, X2, X3, X4 > 0 Ejercicio 2.1.3: Problema de programacin de actividades Una empresa tiene un programa estricto de compromisos de entrega de un producto para los prximos seis meses. El costo de produccin vara por mes, por los cambios anticipados en costos de materiales. La capacidad de produccin de la compaa es de 100 unidades por mes con tiempo normal y hasta 15 unidades adicionales por mes con tiempo extra. La siguiente tabla muestra los requerimientos de entrega y los costos de produccin por mes.

Requerimientos y costos

Mes 1 2 3 4 5 6

Compromisos de entrega (unidades)

Costo por unidad en tiempo normal

Costo por unidad en tiempo extra

95

$30

$35

85

30

35

110

32

37

115

32

37

90

31

36

105

32

37 El costo de almacenar en inventario una unidad que no se vende es de dos dlares por mes. El problema de la compaa es determinar el nmero de unidades que debe producir cada mes en tiempo normal y tiempo extra para cubrir los requerimientos con el menor costo. La empresa no tiene unidades disponibles al iniciar el mes 1 y no quiere que sobren unidades al terminar el mes 6. FORMULACIN: Variables de Decisin: Sea: X1, X2, X3, X4, X5, X6 = Nmero de unidades producidas en tiempo

normal cada mes Y1, Y2, Y3, Y4 , Y5 , Y6 = Nmero de unidades producidas en tiempo

extra cada mes


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I1, I2, I3, I4, I5 , I6 = Nmero de unidades en almacn (no vendidas) al final de cada mes

Funcin Objetivo: El objetivo es minimizar costos: Minimizar: Z = 30X1 + 30X2 + 32X3 + 32X4 + 31X5 + 32X6 +

35Y1 + 35Y2 + 37Y3 + 36Y4 + 37Y5 + 37Y6 + 2I1 + 2I2 + 2I3 + 2I4 + 2I5 + 2I6

La primera parte de esta expresin es el costo de la produccin en tiempo normal multiplicado por las cantidades producidas en tiempo normal cada mes. La segunda parte representa el costo de produccin en tiempo extra multiplicado por las cantidades que se producen en tiempo extra cada mes. La tercera parte es el costo de almacenamiento de las unidades que no se vendan, multiplicados por el nmero de unidades no vendidas cada mes. Restricciones: Las restricciones de la produccin en tiempo normal son: Por ltimo, se requiere un grupo de restricciones de enlace o de equilibrio para unir los perodos y asegurar que se cumplan los compromisos de entrega. Estas restricciones tienen la siguiente forma: (Fuentes de las unidades) = (Usos de las unidades)

Pr PrInventario oduccinen oduccinen Compromisos InventarioInicial tiempo normal tiempoextra de entrega final

+ + = +

Para el mes 1, esto es: 0 + X1 + Y1 = 95 + I1 puesto que no hay inventario inicial. Al acomodar la ecuacin: X1 + Y1 I1 = 95 Para el mes 2: I1 + X2 + Y2 = 85 + I2, I1 + X2 + Y2 - I2 = 85 Para los otros meses: Mes 3: I2 + X3 + Y3 - I3 = 110 Mes 4: I3 + X4 + Y4 - I4 = 115


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Mes 5: I4 + X5 + Y5 - I5 = 90 Mes 6: I5 + X6 + Y6 - I6 = 105 Puesto que el inventario final debe ser cero, la ltima restriccin es:

I6 = 0 En resumen, la formulacin es: Minimizar: Z = 30 X1 + 30 X2 + 32 X3 + 32 X4 + 31 X5 + 32 X6 +

35 Y1 + 35 Y2 + 37 Y3 + 36 Y4 + 37 Y5 + 37 Y6 + 2 I1 + 2 I2 + 2 I3 + 2 I4 + 2 I5 + 2 I6

Sujeto a: X1 + Y1 - I1 = 95

I1 + X2 + Y2 - I2 = 85 Restricciones I2 + X3 + Y3 - I3 = 110 de balance de

I3 + X4 + Y4 - I4 = 115 inventario I4 + X5 + Y5 - I5 = 90

I5 + X6 + Y6 - I6 = 105 X1 < 100 X2 < 100 Restricciones X3 < 100 de produccin X4 < 100 en tiempo normal X5 < 100 X6 < 100 Y1 < 15 Y2 < 15 Restricciones Y3 < 15 de produccin Y4 < 15 en tiempo extra Y5 < 15 Y6 < 15

I6 = 0 Restriccin de inventario final Condicin de no negatividad

X1, X2, X3, X4, X5, X6 > 0 Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6 > 0 I1, I2, I3, I4, I5, I6 > 0

Ejercicio 2.1.4: Problema de produccin Una empresa fabricante de tostadoras elctricas, debe tomar una decisin sobre la produccin de un nuevo modelo. La empresa tiene la posibilidad de emplear 3 tcnicas alternativas de produccin: manual, semi-automtica y mediante el empleo de robots.


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Los requerimientos de cada tcnica se resumen en el siguiente cuadro:

TECNICA DE ENSAMBLADO Manual Semi-automtica RobotizadaMano de Obra Especializada 1 min 4 min 8 min Mano de Obra no-especializada 40 min 30 min 20 min Tiempo de Taller de Ensamblado 3 min 2 min 4 min

La disponibilidad de recursos para este producto son los siguientes: 4500 minutos de mano de obra especializada, 36000 minutos de mano de obra no-especializada y 2700 minutos de tiempo disponible de taller de ensamblado. El costo total de produccin manual es de $7 por tostadora, de $8 por tostadora para la produccin semi-automtica, y de $8.5 por tostadora para la produccin robotizada. Se necesita producir 1000 tostadoras. Calcular la cantidad de tostadoras que se debe producir con cada tcnica de ensamblado. FORMULACIN: Variables de Decisin: Xi: Cantidad de tostadoras ensambladas con la tcnica i: (= M, S, R) Funcin Objetivo: Se debe minimizar Costos Minimizar Z = 7 XM + 8XS + 8.5XR Restricciones: Disponibilidad de Recursos: Ensamblado Manual: 1 XM + 4 XS + 8 XR < 4,500 Ensamblado Semiautomtico: 40 XM + 30 XS + 20 XR < 36,000 Ensamblado Robotizado 3XM + 2XS + 4XR < 2,700 Condicin de Produccin: XM + XS + XR = 1000 Condicin de No Negatividad: XM > 0 , XS > 0 , XR > 0


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Ejercicio 2.1.5: Problema de asignacin de personal El gerente de personal de La Tortuga Veloz, S.A., est analizando la necesidad de mano de obra semi calificada durante los prximos seis meses. Se lleva 1 mes adiestrar a una persona nueva. Durante este perodo de entrenamiento un trabajador regular, junto con uno en adiestramiento (aprendiz), producen el equivalente a lo que producen 1.2 trabajadores regulares. Se paga $500 mensuales a quien est en entrenamiento, mientras que los trabajadores regulares ganan $800 mensuales. La rotacin de personal entre los trabajadores regulares es bastante alta, del 10% mensual. El gerente de personal debe decidir cuntas personas necesita contratar cada mes para adiestramiento. En seguida se da el nmero de meses-hombre necesarios. Tambin se desea tener una fuerza de trabajo regular de 110 al principio de julio. En cuanto al 1 de enero, hay 58 empleados regulares.

Mes Meses-hombre requeridos Mes Meses-hombre

requeridos Enero 60 Abril 80

Febrero 50 Mayo 70 Marzo 60 Junio 100

FORMULACIN: Este problema tiene un aspecto dinmico, ya que la fuerza de trabajo en cualquier mes depende de la fuerza de trabajo regular y en adiestramiento del mes anterior. Para cualquier mes, el nmero total de meses-hombre disponibles se puede expresar como sigue: Variables de Decisin Meses-hombre disponibles: Ri + 0.2Ai en donde: Ri = nmero de trabajadores regulares al principio del mes Ai = nmero de aprendices contratados en el mes. Funcin Objetivo El objetivo global del gerente de personal es minimizar el costo de personal Minimizar Z =

800 (R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6) + 500 (A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6)


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Restricciones Entonces los requerimientos de cada mes pueden expresarse por las restricciones:

enero R1 + 0.2A1 60 febrero R2 + 0.2A2 50 marzo R3 + 0.2A3 60 abril R4 + 0.2A4 80 mayo R5 + 0.2A5 70 junio R6 + 0.2A6 100 julio (principio) R7 110

Debido a la rotacin, el 10% de los trabajadores regulares se van cada mes. As, el nmero de trabajadores regulares disponibles, por ejemplo, al principio de febrero sera:

R2 = 0.9R1 + A1 En la misma forma, pueden escribirse las ecuaciones para el nmero de trabajadores disponibles al principio de cada mes:

Enero R1 = 58 (dado) febrero R2 = 0.9 R1 + A1 marzo R3 = 0.9 R2 + A2 abril R4 = 0.9 R3 + A3 mayo R5 = 0.9 R4 + A4 junio R6 = 0.9 R5 + A5 julio R7 = 0.9 R6 + A6

Condicin de No Negatividad: R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, A1, A2, A3, A4, A5, A6 > 0 Ejercicio 2.1.6: Problema de presupuesto militar Un gobierno ha dispuesto 7500 millones de dlares de su presupuesto general para fines militares. El 60% del presupuesto militar se usara para comprar tanques, aviones y misiles. stos pueden adquirirse a un costo por unidad de 3, 10 y 4 millones de dlares, respectivamente. Se ha


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decidido que se deben adquirir al menos 200 tanques y 200 aviones. Debido a la escasez de pilotos experimentados, tambin se ha decidido no comprar ms de 300 aviones. Por razones estratgicas, la proporcin de misiles respecto a aviones debe estar en el rango de a .El objetivo es maximizar la utilidad total de esta armas, siendo las utilidades individuales 1, 3 y 2. Encuentre la solucin ptima (ignore el hecho de que la respuesta deba darse en unidades enteras). FORMULACIN: Variables de Decisin: X1 = Cantidad de unidades de adquisicin de tanques. X2 = Cantidad de unidades de adquisicin de aviones. X3 = Cantidad de unidades de adquisicin de misiles. Funcin Objetivo: Se debe maximizar la utilidad total de las armas: Maximizar: Z = 1 X1 + 3 X2 + 2 X3 Restricciones: Esta primera restriccin nos indica la cantidad mnima que se deber comprar de tanques es 200:

X1 > 200 En esta segunda restriccin nos indica la cantidad mnima que se deber comprar de aviones es 200:

X2 > 200 Segn los datos mencionados no se pueden comprar ms de 300 aviones debido a que no hay pilotos experimentados por tanto la siguiente restriccin ser:

X2 < 300 Tambin nos indica que por medidas estratgicas la proporcin de misiles con respecto a aviones esta en el rango de a . 1 < X3 < 1 4 X2 2 X3 > 1 ...4X3 X2 > 0 X3 < 1 ..2X3 X2 < 0 X2 4 X2 2


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La ultima restriccin ser: 3 X1 + 10X2 + 4X3 < 4500 Ya que el 60% del presupuesto general (7500) es destinado para fines militares y esta a su vez ser igual a la suma de la cantidad de armas multiplicada por sus respectivos costos. En resumen la formulacin completa de este problema es: Maximizar: Z = 1X1 + 3X2 + 2X3 Sujeto a: Cantidad mnima de tanques: X1 > 200 Cantidad mnima de aviones: X2 > 200 Cantidad mxima de aviones: X2 < 300 Relacin de misiles con aviones: 4X3 X2 > 0 2X3 X2 < 0 Presupuesto militar: 3 X1 + 10X2 + 4X3 = 4500 Condicin de No Negatividad: X1, X2, X3 > 0. Ejercicio 2.1.7: Problema de Mezclas. Un comerciante compra azcar a granel y vende al detalle. Para venderla tiene dos alternativas: envases de 1 kg y envases de 5 kg. El precio de venta es $300 y $250 por kg respectivamente, y en el mercado del azcar al detalle se pueden vender 20.000 kg en envases de 1 kg y 17.000 en envases de 5 kg. Debido a un contrato anterior se deben entregar 5.000 kg en envases de 5 kg a un determinado cliente. El comerciante se puede abastecer de azcar desde dos proveedores. El primero le puede vender hasta 15.000 kg a un precio de $90 por kg, y el segundo le ofrece la cantidad de azcar que el comerciante desee, pero a un precio de $110 por Kg. y debido a requerimientos de sus distribuidores el comerciante debe vender menos del tercio del azcar en envases de 1 kg. Adems, suponga que el precio de los envases y el proceso de envasado son nulos, y que el comerciante no tiene azcar almacenada y vende todo el azcar que compra.


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Formule un problema de programacin lineal que permita al comerciante decidir cual es el plan de abastecimiento y ventas de modo de obtener el mayor beneficio en su negocio. FORMULACIN: Variables de Decisin X i j : Cantidad , en kilogramos, de azcar que van en envases de i (=A,

B) suministrada por los proveedores j(= 1,2) Donde

A: envases de 1 Kg. y B: envases de 5 Kg. 1: Proveedor uno y 2: Proveedor 2

Funcin Objetivo Maximizar Z =

$300(XA1 + XA2) + $250(XB1 + XB2) - $90(XA1 + XB1) - $110(XA2 + XB2) Maximizar Z = 210XA1 + 190 XA2 + 160 XB1 + 140XB2 Esta ecuacin establece que el mayor beneficio en el negocio del comerciante se forma con el ingreso obtenido de las ventas del azcar en envases de 1Kg y envases de 5Kg (Trescientos dlares multiplicados por la sumatoria de los kilogramos del azcar de 1 kg. del proveedor 1 2) menos el costo por la adquisicin del azcar del proveedor 1 (Noventa dlares multiplicados por la sumatoria del azcar del proveedor 1 en envases de 1 Kg. Y 5 Kg.) menos el costo por la adquisicin del azcar del proveedor 2 (Ciento diez dlares multiplicados por la sumatoria del azcar del proveedor 2 en envases de 1 Kg. Y 5 Kg.). Restricciones

R1 (XA1 + XA2) 20,000 Kg. Ventas en el mercado de azcar R2 (XB1 + XB2) 17,000 Kg. Contrato anterior R3 (XB1 + XB2) 5,000 Kg Abastecimiento del azcar R4 (XA1 + XB1) 15,000 Kg.

R5 (XA2 + XB2) 0. Requerimiento de distribuidores R6

(XA1 + XA2) (XA1 + XA2 + XB1 + XB2) XA1 + XA2 - XB1 + XB2 0


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Condicin de No Negatividad Xij 0 i = A, B j = 1. 2 Ejercicio 2.1.8: Planificacin de Personal Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La administracin ha decidido la idea de definir 6 cambios de turno al da para minimizar las distracciones y los problemas de comunicacin que ocurren en los cambios de turno. El hospital ha realizado un anlisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis perodos del da. Las caractersticas de cada perodo son las siguientes:

HORA DEL DIA Perodo

Nmero Mnimo

Enfermeras2 AM - 6 AM 1 25 6 AM - 10 AM 2 60 10 AM - 2 PM 3 50 2 PM - 6 PM 4 35 6 PM - 10 PM 5 55 10 PM - 2 AM 6 40

Las enfermeras que empiezan a trabajar en los perodos 2, 3 y 4 ganan US$40 al da, y aquellas que comienzan en los perodos 1, 5 y 6 ganan US$50 al da. Cuntas enfermeras deben empezar a trabajar en cada turno para minimizar los costos por salarios? FORMULACIN: Variables de Decisin En este caso podemos identificar como variable de decisin el nmero de enfermeras Ni que comienza a trabajar en el turno "i" (i = 1 : : : 6). Funcin Objetivo El objetivo ser disminuir costos

Minimizar Z = 50 N1 + 40 N2 + 40 N3 + 40 N4 + 50 N5 + 50 N6


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Restricciones Para construir las restricciones es conveniente recurrir a una representacin grfica de los turnos: De la grfica anterior se observa que en cada turno trabajan las enfermeras que comenzaron en dicho turno, pero tambin las que empezaron en el turno anterior. Por lo tanto, las restricciones de personal mnimo por turno quedan:

N1 + N2 60 N2 + N3 50 N3 + N4 35 N4 + N5 55 N5 + N6 40 N6 + N1 25

Condicin de No Negatividad Ni 0 i = 1, 2, ., 6 Ejercicio 2.1.9: Programacin de la produccin Aceros Arequipa produce un acero especial usado en la industria de la construccin. El departamento de ventas de Aceros Arequipa ha recibido pedidos de 2400, 2200, 2700 y 2500 toneladas de acero para cada uno de los siguientes cuatro meses. La empresa puede satisfacer estas demandas produciendo el acero, extrayndolo de su inventario, o usando cualquier combinacin de las dos alternativas. Se proyecta que los costos de produccin por tonelada de acero durante cada uno de los siguientes cuatro meses sean de $7400, $7500, $7600 y $7650. Como los costos suben cada mes, debido a las presiones inflacionarias, tal vez sea mejor que Aceros Arequipa produzca ms acero del que necesita en un mes determinado y que almacene el exceso. La capacidad de


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produccin, sin embargo, no puede exceder las 4000 toneladas en ningn mes. La produccin mensual se termina al final del mes, cuando la demanda se satisface. Cualquier acero remanente se almacena en inventario a un costo de $120 por tonelada por cada mes que permanece all. Estos datos se resumen en la siguiente tabla: Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Demanda (tons) 2400 2200 2700 2500Costo de produccin ($/ton) 7400 7500 7600 7650Costo de inventario ($/ton/mes) 120 120 120 120 Si el nivel de produccin se incrementa de un mes al siguiente, entonces la compaa incurre en un costo de $50 por tonelada de produccin incrementada para cubrir la mano de obra adicional y/o el tiempo extra. Cada tonelada de produccin disminuida incurre en un costo de $30 para cubrir los beneficios de empleados no utilizados. El nivel de produccin durante el mes anterior fue de 1800 toneladas, y el inventario que comienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes debe ser de al menos 1500 toneladas para cubrir la demanda anticipada. Formule un plan de produccin para Aceros Arequipa que minimice los costos totales en los siguientes cuatro meses. FORMULACIN: Variables de Decisin Pi = Cantidad, en toneladas, de acero que se produce en el mes

i(=1,2,3,4). Ii = Cantidad, en toneladas, de acero que se quedan en el inventario

al final del mes i(=1,2,3,4). Ai = Aumento, en toneladas, de la produccin de acero en el mes

i(=1,2,3,4) Di = Disminucin, en toneladas, de la produccin de acero en el mes

i(=1,2,3,4) Funcin Objetivo Minimizar Z: costo de Produccin + costo de Inventario + costo por Aumento de produccin. + costo por Disminucin de produccin

7400*P1 + 7500*P2 + 7600*P3 + 7650* P4 +120*( I1 + I2 + I3 + I4) + 50* (A1 + A2 + A3 + A4) + 30*(D1 + D2 + D3 + D4)


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Restricciones: P0 = 1800 Produccin del mes anterior al mes 1. P1 < 4000 Cantidad mxima de produccin en el mes 1 P2 < 4000 Cantidad mxima de produccin en el mes 2 P3 < 4000 Cantidad mxima de produccin en el mes 3 P4 < 4000 Cantidad mxima de produccin en el mes 4 I0 = 1000 Inventario inicial del mes 1 es 1000 toneladas I4>= 1500 Inventario para el mes 4 es al menos 1500 toneladas Relacin Contable Mes Inventario Inicial + Produccin Inventario Final = Demanda 1 I0 + P1 - I1 = 2400 2 I1 + P2 - I2 = 2200 3 I2 + P3 - I3 = 2700 4 I3 + P4 - I4 = 2500 Relacin de Aumento y Disminucin de Produccin Mes 1 P1 P0 A1 + D1 = 0 Mes 2 P2 P1 A2 + D2 = 0 Mes 3 P3 P2 A3 + D3 = 0 Mes 4 P4 P3 A4 + D4 = 0 El artificio para esta restriccin es darle un valor positivo a Ai si la diferencia de produccin de un mes a otro es positivo o darle un valor positivo a Di si la diferencia es negativa. Los dos valores (Ai y Di) no pueden ser positivas, uno de ellos es positivo y el otro cero, dado que la funcin objetivo determinar la ms conveniente para minimizarlo. Condicin de No Negatividad Ii > 0; para todo i(=1,2,3,4) Pi > 0; para todo i(=1,2,3,4) Ai > 0; para todo i(=1,2,3,4) Di > 0; para todo i(=1,2,3,4)


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2.2. PROBLEMAS PROPUESTOS PARA FORMULAR DE PROGRAMACION LINEAL 2.2.1. PescaPer S.A. desea determinar la mejor forma de cargar las

bodegas de su bolichera Sol que le proporcione la mejor utilidad posible. Sol tiene una capacidad de carga total de 300 tn, divididas en 3 bodegas. La bodega-1 est designada para carga de camarones, la bodega-2 para mariscos y la bodega-3 para pescado. Por disposiciones de mercado a lo ms deben de cargarse 130 tn de pescado y la carga de mariscos mas la de camarones no debe superar las 170 tn.

Por medidas de seguridad, la carga en la bodega-2, no debe

exceder a la tercera parte de la carga realizada en la bodega-3. La carga en la bodega-1, a lo ms debe ser las dos quintas partes de lo cargado en la bodega-3.

Las utilidades por ton. de camarones es de $1000, por ton de

mariscos $700 y por pescado $ 600. 2.2.2. Bata para su campaa escolar, va a fabricar 3 modelos de

calzado E1, E2 y E3. El proceso de manufactura del calzado hace que se requieran 2 operaciones de produccin. Cada par de calzado de cualquier modelo requiere una hora de tiempo en la operacin-1. En la operacin-2 el modelo E1 requiere de 1 hora, el modelo E2 de 2 horas y el E3 de 2.5 horas.

Bata cuenta con mano de obra suficiente para operar hasta 300

hrs. de tiempo semanal en la operacin-1 y hasta 360 hrs. para la operacin-2. Se ha calculado una utilidad de S/.14, S/16 y S/17 por cada par de calzado E1, E2 y E3 respectivamente.

Se tiene un pronstico de que la demanda del modelo E1 no ser

de mas de 500 pares por semana, y que l demanda combinada de los modelos E2 y E3 ser como mnimo 300 pero no mas de 600. Cuntos pares de calzado de cada modelo deben fabricarse para obtener la mayor utilidad?.

2.2.3. Dos aleaciones A y B se hacen de cuatro metales diferentes I, II,

III, IV de acuerdo con las especificaciones siguientes.


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Los cuatro metales se extraen de diferentes minerales cuyos constituyentes en porcentaje de estos metales, cantidad mxima disponible y costo por tonelada se tabulan como sigue.

Constituyentes (%)

Mineral

Cantidad max. (tons) I II III IV OTROS

Precio ($ / ton)

1 1000 20 10 30 30 10 30 2 2000 10 20 30 30 10 40 3 3000 5 5 70 20 0 50

Los precios de venta de las aleaciones A y B son 200 y 300 $/tonelada. Formule el problema como un modelo de programacin lineal eligiendo la funcin objetivo apropiada que har el mejor uso de la informacin dada [Sugerencia: sea xijk la cantidad (en toneladas) del metal i(i = I, II, III, IV) obtenida del mineral j(j = 1,2,3) y asignada en la aleacin k-sima (k = A, B).]

2.2.4. Una fbrica de zapatos ha pronosticado la demanda para los

siguientes seis meses: 5.000, 6.000, 5.000, 9.000, 6.000 y 5.000 pares de zapatos respectivamente. A principios del mes 1, la empresa tiene 13 empleados. Cada empleado de la fbrica utiliza 15 minutos para producir un par de zapatos y trabaja al mes 150 horas y hasta 40 horas de tiempo extra. Asimismo, cada empleado recibe un salario de 2.000 dlares al mes ms 50 dlares por cada hora de tiempo extra que trabaje. A principios de cada mes la empresa puede contratar o despedir empleados. A la empresa le cuesta 1.500 dlares contratar un trabajador y 1.900 dlares despedir un empleado. El costo mensual de almacenamiento de cada par de zapatos es igual al 3% del costo de producir un par de zapatos en tiempo normal. La materia prima necesaria para producir un par de zapatos cuesta 10 dlares.

Aleacin Especificaciones

A A lo ms 80% de I A lo ms 30% de II Al menos 50% de IV

B Entre 40% y 60% de II Al menos 30% de III A lo ms 70% IV


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Formule un modelo de programacin lineal, y resulvalo utilizando el software SOLVER, de modo tal que minimice el costo de satisfacer la demanda de los siguientes seis meses.

2.2.5. La Corporacin Financiera de Desarrollo (COFIDE) est

estudiando un plan inversiones para los prximos dos aos. Actualmente, COFIDE tiene tres millones de dlares para invertir. COFIDE espera recibir en 6, 12 y 18 meses un flujo de ingresos de las inversiones previas. En la siguiente tabla se presentan los datos:

Ingresos de inversiones previas

6 MESES 12 MESES 18 MESESIngreso $300,000 $400,000 $180,000

Hay tres proyectos de desarrollo (a los que llamaremos proyecto 1, proyecto 2 y proyecto 3 en los que COFIDE est planeando participar. En la siguiente tabla se muestra el flujo de caja que se tendra si COFIDE participara a un nivel del 100% en el proyecto 1 (los nmeros negativos son inversiones y los positivos son ingresos). As, para participar en el proyecto 1 a un nivel de 100% COFIDE tendra que desembolsar de inmediato $1,000,000. A los seis meses erogara otros $700,000, etc.

TABLA 1: Flujo de Caja del Proyecto 1 INICIAL 6 MESES 12 MESES 18 MESES 24 MESES Ingreso -$1,000,000 -$700,000 $1,800,000 $400,000 $600,000

En las siguientes tablas se muestran los flujos de caja de los proyectos 2 y 3: TABLA 2: Flujo de Caja del Proyecto 2

INICIAL 6 MESES 12 MESES 18 MESES 24 MESES Ingreso -$800,000 $500,000 -$200,000 -$700,000 $2,000,000

TABLA 3: Flujo de Caja del Proyecto 3 INICIAL 6 MESES 12 MESES 18 MESES 24 MESES Ingreso -$500,000 $100,000 -$200,000 $300,000 $1,000,000


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Debido a la poltica de COFIDE la inversin mnima en cada uno de los tres proyectos tiene que ser de $100,000.

A COFIDE no se le permite pedir prestado dinero. Sin embargo, al comienzo de cada perodo de 6 meses todos los fondos excedentes (esto es, los que no sean colocados en los proyectos 1, 2 y 3) se invierten con un inters del 7% para este perodo de 6 meses. COFIDE puede participar en cualquiera de los proyectos a un nivel menor que el 100%, en cuyo caso todos los flujos de efectivo de ese proyecto se reducirn en forma proporcional. Por ejemplo, si COFIDE opta por participar en el proyecto 1, a un nivel de 30%, el flujo de caja asociado con esta decisin sera 0.3 veces los datos de la Tabla 1. El problema que actualmente encara COFIDE es decir qu parte de los tres millones en efectivo debe invertirse en cada proyecto y cunto debe colocarse simplemente por la renta del 7% semestral. La meta del administrador consiste en maximizar el efectivo que habr al final de los 24 meses. Formule este problema como modelo de programacin lineal.

2.2.6. Gracias a una adecuada estrategia de marketing y a la calidad del

producto, cierta pequea fbrica de canastos de mimbre ha recibido pedidos que superan su actual capacidad de produccin. Durante las prximas cuatro semanas debe entregar 52, 65, 70 y 85 canastos, respectivamente. Actualmente cuenta con seis artesanos.

La gerencia general de la fbrica ha decidido contratar personal

nuevo para poder cumplir sus compromisos comerciales. Dada la escasez de artesanos, se deber contratar personal sin experiencia. Un novato puede ser entrenado para llegar a ser aprendiz durante una semana. La segunda semana trabaja como aprendiz para ganar experiencia. Comenzando la tercera semana (despus de dos semanas de trabajo) se transforma en artesano.

La produccin estimada y sueldos de los empleados es la

siguiente:


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PRODUCCIN SALARIOS Canastos/sem

ana $/semana

Artesano dedicado slo a la produccin 10 30.000 Artesano dedicado a prod. y entrenamiento 5 40.000

Aprendiz 5 15.000 Novato 1 5.000

Cada artesano puede entrenar hasta dos novatos por semana (el entrenamiento de un novato slo dura una semana). Todo excedente de produccin semanal puede ser guardado para cumplir los siguientes compro

investigacion operativa

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