Teora de colasIntroduccinDiagrama que muestra dos colas y mltiples nodos servidores. La teora de colas estudia los tiempos de espera y capacidad del sistema.La teora de colas es el estudio matemtico de las colas o lneas de espera dentro de un sistema. sta teora estudia factores como el tiempo de espera medio en las colas o la capacidad de trabajo del sistema sin que llegue a colapsarse. Dentro de las matemticas, la teora de colas se engloba en la investigacin de operaciones y es un complemento muy importante a la teora de sistemas y la teora de control. Se trata as de una teora que encuentra aplicacin en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingenieras, transporte y logstica o telecomunicaciones.Un sistema de colas se puede describir como sigue. Un conjunto de clientesllega a un sistema buscando un servicio, esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos. En algunos casos se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar.El trmino cliente se usa con un sentido general y no implica que sea un serhumano, puede significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimir en una impresora en red.La teora de colas es una disciplina, dentro de la investigacin operativa, que tiene por objeto el estudio y anlisis de situaciones en las que existen ente que demandan cierto servicio, de tal forma que dicho servicio no puede ser satisfecho instantneamente, por lo cual se provocan esperas.Caractersticas de los sistemas de colasSeis son las caractersticas bsicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un sistema de colas:a) Patrn de llegada de los clientesb) Patrn de servicio de los servidoresc) Disciplina de colad) Capacidad del sistemae) Nmero de canales de serviciof) Nmero de etapas de servicioLos procesos de Poisson y la distribucin exponencialLa mayor parte de los modelos de colas estocsticas asumen que el tiempo entre diferentes llegadas de clientes siguen una distribucin exponencial. O lo que es lo mismo que el ritmo de llegada sigue una distribucin de PoissonEn esta seccin se vern las caractersticas de una distribucin de Poisson y como se relacionan con la distribucin exponencial. Posteriormente se analizan las ms importantes propiedades y algunas generalizaciones al adoptar tal patrn de llegadas. Se cierra el apartado con argumentos que apoyan el uso de la distribucin de Poisson. Adoptar la distribucin de Poisson implica que la probabilidad de que lleguen n clientes en un intervalo de tiempo t es:Es habitual tambin admitir que el ritmo de atencin de cliente cuando el servidor est ocupado tiene una distribucin de Poisson y la duracin de la atencin al cliente una distribucin exponencialEl tiempo entre llegadas se define, de este modo, como la probabilidad de que no llegue ningn cliente: siendo por tanto una distribucin exponencial.Los modelos de lnea de espera consisten en frmulas y relaciones matemticas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas (medidas de desempeo) para una cola.Las caractersticas operativas de inters incluyen las siguientes:Probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistemaCantidad promedio de unidades en la lnea de esperaCantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la lnea de espera ms la cantidad de unidades que se estn atendiendo)Tiempo promedio que pasa una unidad en la lnea de esperaLos gerentes que tienen dicha informacin son ms capaces de tomar decisiones que equilibren los niveles de servicio deseables con el costo de proporcionar dicho servicio.ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LINEA DE ESPERALINEA DE ESPERA DE UN SOLO CANALCada cliente debe pasar por un canal, una estacin para tomar y surtir el pedido, para colocar el pedido, pagar la cuenta y recibir el producto. Cuanto llegan ms clientes forman una lnea de espera y aguardan que se desocupe la estacin para tomar y surtir el pedido.DISTRIBUCIN DE LLEGADASPara determinar la distribucin de probabilidad para la cantidad de llegadas en un perodo dado, se puede utilizar la distribucin de Poisson./= Media o cantidad promedio de ocurrencia en un intervaloe= 2.17828X= cantidad de ocurrencias en el intervaloDISCIPLINA DE LA LINEA DE ESPERAManera en la que las unidades que esperan el servicio se ordenan para recibirlo.El primero que llega, primero al que se le sirveltimo en entrar, primero en salir UEPSAtencin primero a la prioridad ms altaOPERACIN DE ESTADO ESTABLEGeneralmente la actividad se incrementa gradualmente hasta un estado normal o estable. El perodo de comienzo o principio se conoce como perodo transitorio, mismo que termina cuando el sistema alcanza la operacin de estado estable o normal.Modelos de colas simplesEl propsito de este apartado es exponer diferentes modelos de colas.No es excesivamente complicado conocer el origen de las frmulas, y puede ser un ejercicio interesante cuando las condiciones de partida no son exactamente las aqu consideradas. Sin embargo se ha optado por la exposicin de los resultados directos ya que se pretende la aplicacin de stos y no su consecucin.Todos los resultados se han obtenido para el estado estacionario.Los libros de teora de colas de la bibliografa proponen los mtodos segn han sido derivadas las frmulas. Expresamente en este manual se ha eliminadoesta informacin, pues desde el punto de vista del autor, distrae de lo verdaderamente relevante para los que utilizan este manual los resultados exactos que pueden ser utilizados para ayudar a la toma de decisiones.El sistema M/M/1Una cola M/M/1 es un sistema al que los clientes llegan segn una distribucin de Poisson, la atencin se presta segn una negativa exponencial y tienen un nico servidor . Por tanto:La tasa de llegada es a(t)= e-tLa tasa de salida es a(t)=e.tA partir de estos datos se puede derivar (Gross y Harris, 2014) mediante el anlisis de procesos de nacimiento y muerte explicados en el captulo anterior que la probabilidad de que haya n clientes en el sistema es: PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORA DE COLAS. (M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio Exponenciales)Suponga que en una estacin con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Nmero promedio de clientes en la cola. c) Nmero promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.Solucin: Se conoce la siguiente informacin:= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos= Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (Ws). Lo podemos calcular a partir de Wq y . =+ = 3 minutos + =+= Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos as 3 minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio. b) Para calcular el nmero de clientes en la cola (Lq), usaremos la frmula siguiente: Lq= Wq. ==0.75* 3 minutos = 2.25 clientes. Es decir los clculos nos muestran que en la cola puede haber ms de dos clientes en la cola.c) Para calcular cual es el nmero de clientes en la cola (Ls). Lo podemos hacer con la frmula: Ls= Ws. = =0.754 =3 Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los dems deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.