investigacion operativa

Investigación Operativa I & Programación Lineal

CAPITULO 22

PROGRAMACIÓN LINEAL

2.1 INTRODUCCIÓN.

DEFINICIÓN:

1. Son herramientas numéricas para la toma de decisiones.

2. Es la utilización del método científico a la solución de problemas de decisión, utiliza

sistemas complejos:

SISTEMAS COMPLEJOS

o Optimización de recursoso Proyectoso Inventarioso Simulacióno Transporte

Antes de la segunda guerra mundial se tomaba decisiones en función de mecanismos

subjetivos con un riesgo del 50%.

Después de la segunda guerra mundial se toma decisiones en base a modelos y herramientas

matemáticas con riego del 5%.

Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 1

IntuiciónExperimentaciónEjemplosCasosInformaciónSugerenciasPolíticas

ProblemaReal

Toma de decisión

Modelos Numéricos.Programación Lineal.Programación DinámicaModelo de TransporteModelo de InventarioProgramación PERT-CPMLíneas de EsperaTeoría de JuegosSimulación

ProblemaReal

Toma de decisión


PROGRAMACIÓN LINEAL

DEFINICIÓN:

Son aquellas ecuaciones que tienen variables con exponente uno.

EJEMPLO:

Y = f (X); X1

Y = X + 2 (lineal)Y = 2X3 + 3X2+1 (no lineal)

COMPONENTES:

2.2 FORMA GENERAL DE LA FUNCIÓN OBJETIVA

Xj = j - esima variable de decisión.

Cj = Coeficiente de costos - ganancias de la j - esima variable de decisión.

Z = Función objetiva que se debe optimizar (maximizar, minimizar).

j = 1, 2, 3,..........., n.

j = Número de variables de decisión.

Z = C1 X1 + C2 X2 +..............Cj Xj +.............. Cn Xn

FORMA GENARAL DE LAS RESTRICCIONES.

a ij = Coeficiente de restricciones.


Maximizar ganancias.Minimizar costos.Función Objetiva Valor a optimizar

MatrizRestricciones

Recursos

Cj Xj


bi = Limitaciones de las capacidades de las restricciones.i = Número de restricciones (1, 2,3,......m).j = Número de variables (1, 2,3,.......n).

a11 x1 + a12 x2 +…. a1j xj +..... a1n x n b1 (primera restricción).

a21 x1 + a22 x2 +..... a2j xj +..... a2n x n b2 (segunda restricción).

. . . . . . . . . . . .ai1 x1 + ai2 x2 +..... aij x j +..... ain x n bi ( i-esima restricción).

. . . . . . . . . . . .am1 x1 + am2 x2 +..... amj xj +..... amn x n bm (m-esima restricción).

También podemos expresar:

EJEMPLO:

La compañía ANSI, produce una línea de artículos de decoración para uso en el hogar, la cual

consta de 4 productos; si el sistema de manufactura se divide en cinco etapas que son:

cortado, troquelado, esmaltado, acabado y empacado, la información relevante tanto del

sistema productivo y del producto, se muestra a continuación:

ProductoDepartamento #1(u/h) #2(u/h) #3(u/h) #4(u/h) Capacidad

horas - mesCortado 25 6 20 10 400Troquelado 14 8 20 10 380Esmaltado 17 9 33 8 490Acabado 20 4 -- 8 450Empacado 50 13 50 20 400

INFORMACIÓN DEL PRODUCTO

PRODUCTO PV ($/u) CV ($/u) DEMANDA MENSUALMIN. MAX.

1 100 50 500 5.000

2 300 200 750 6.000

3 160 100 650 8.000



4 250 150 0 3.500

En el siguiente mes solo se dispondrá de 1.200 m2 de lámina que consume el producto 1 y 2;

el producto #1 requiere de 0.5 m2/ unidad, y el producto # 2 de 0.8 m2 / unidad.

1.- DEFINICIÓN DE VARIABLES DE DECISIÓN

X1 = Número de unidades a producir del producto # 1 al mes.X2 = Número de unidades a producir del producto # 2 al mes.X3 = Número de unidades a producir del producto # 3 al mes.X4 = Número de unidades a producir del producto # 4 al mes.

2.- FORMULACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVA

Máx. Ganancias

Z = 50 X1 + 100 X2+ 60 X3 +100X4

3.- FORMULACIÓN DE LAS RESTRICCIONES

a.- En cuanto a la producción:

1/25 X1 + 1/6 X2 +1/20 X3+ 1/10 X4 400 1/14 X1 + 1/8 X2 +1/20 X3 + 1/10 X4 380

1/17 X1 + 1/9 X2 +1/33 X3 + 1/8X4 4901/20 X1 + 1/4X2 + 1/8 X4 4501/50 X1 + 1/13 X2 +1/50X3 + 1/20 X4 400

b.- En cuanto a la materia prima:

0.51 X1 + 0.8 X2 1.200

c.- En cuanto a la demanda:

X1 500 X1 5.000 X2 750 X2 6.000X3 650 X3 8.000X4 0 X4 3.500



4.- RESTRICCIÓN TÉCNICA

X1, X2, X3, X4, 0

2.3 SOLUCIÓN GRAFICA O MÉTODO GEOMÉTRICO

Máx. Z = 4X1 + 3 X2 Máx. Z = 4X1 + 3 X2

s.a s.a 2X1 + 3X2 6 2X1 + 3 X2 = 6 -3X1 + 2X2 3 -3X1 + 2 X2 = 3 2X2 5 2 X2 = 5 2X1 + X2 4 2X1 + X2 = 4 X1, X2

2 X1 + 3 X2 = 6

X1 = 0 X1 = 3 X2 = 2 X2 = 0

Gradiente (2, 3)

-3 X1+ 2 X2 = 3

X1 = 0 X1 = -1 X2 = 1.5 X2 = 0

Gradiente (-3, 2) 2 X2 = 5

X1 = 0 X2 = 2.5

Gradiente (0, 2)

2 X1 + X2 = 4

X1 = 0 X1 = 2 X2 = 4 X2 = 0

Gradiente (2, 1)

¿Qué es área factible?

Es la combinación de las restricciones para tener una solución, o también, es la formación de

un polígono por medio de las ecuaciones (restricciones).


1

2

3

C

BA

1 2 3-1

4

2

1

X2

X 1

D

0

1

2

3

4

E


¿En qué consiste el problema de optimización?

Consiste en seleccionar un punto que sea factible y al mismo tiempo optimizar la función

objetiva (máx. ganancias – min. costo).

Gráfico de la función objetiva.

Si asignamos valores arbitrarios a la función objetiva, ésta se puede representar gráficamente

puesto que es una función lineal, la pendiente de todas las líneas para todos los valores de Z

son iguales.

Z = 4 X1 + 3 X2 = 12 X1 = 0 X1 = 3 X2 = 4 X2 = 0

Gradiente (4, 3)

La recta de la función objetiva es tangente al punto C (X1 = 1.5; X2 = 1); si reemplazamos

estos valores en la función objetiva nos da como resultado el valor de Z.

Z = 4X1 + 3X2

Z = 4 (1.5) + 3 (1)Z = 6.0 + 3.0Z = 9

2.4 MÉTODO SIMPLEX

Máx. Z = 4X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 Z - 4X1 - 3X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3- 0S4 = 0

s.a

Estandarización

2X1 + 3X2 6 2X1 + 3X2 + S1 = 6

-3X1 + 2X2 3 -3X1 + 2X2 + S2 = 3

2X2 5 2X1 + S3 = 5

2X1 + X2 4 2X1 + X2 S4 = 4

X1, X2 0


- Las variables básicas tienen valores.- Las variables no básicas tienen el valor de cero.


ESTANDARIZACIÓN

La forma estándar es la base para desarrollar el método simplex, las características son:

1.- Que todas las inecuaciones de las restricciones deben ser ecuaciones.

2.- Que los valores del lado derecho de cada ecuación sean no negativos.

3.- Que todas las variables de decisión sean no negativas.

4.- Que la función objetiva sea del tipo de maximizar o minimizar.

Del problema anterior, se decidió resolver por el método geométrico consiguiendo como área

factible un polígono cuyas coordenadas de los vértices son:

A (0,0,S1,S2,S3,S4 ) InicioB (X1,0, S1,S2,S3,,0)C (X1,X2,0, S2,S3,0)D (X1,X2,0,0, S3,S4)E (0,X2, S1,0, S3,S4)

Región de factibilidad

Un problema lineal de “n” variables de decisión y “m” restricciones tienen “m” variables

básicas en cada vértice de la región factible.

Para objeto de la tabla la función objetiva se expresa en forma de ecuación.

Z = 4X1+30X2+0S1+0S2+0S3+0S4

Z - 4 X1 - 3X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 - 0S4 = 0

SOLUCIÓN INICIAL PUNTO A (0,0)

BASE X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN

Z -4 -3 0 0 0 0 0

S1 2 3 1 0 0 0 6

S2 -3 2 0 1 0 0 3



S3 0 2 0 0 1 0 5

S4 2 1 0 0 0 1 4

VARIABLES BÁSICAS VARIABLES NO BÁSICAS

S1=6 X1=0

S2=3 X2=0

S3=5 F.0; Max Z=0

S4=4

APLICACIÓN DE LA CONDICIÓN DE OPTIMALIDAD (Variable que entra).

Entra a la base la variable no básica más negativa cuando el problema es de maximización y

la más positiva cuando el problema es de minimización.

APLICACIÓN DE LA CONDICIÓN DE FACTIBILIDAD (Variable que sale).

Se divide la columna de términos independientes para los valores de la columna de la variable

que entra, considerando para esta división solo los valores mayores de cero; la variable básica

en la fila de menor cociente es la variable que sale.

SOLUCIÓN ÓPTIMA PUNTO B (2,0)


Z 0 -1 0 0 0 2 8

S1 0 2 1 0 0 -1 2

S2 0 7/2 0 1 0 3/2 9

S3 0 2 0 0 1 0 5

X1 1 1/2 0 0 0 1/2 2

VARIABLES BÁSICAS VARIABLES NO BASICAS

S1=2 S4=0

S2=9 X2=0



S3=5 F.0; Max Z=8

X1=2

TERCERA SOLUCIÓN PUNTO C (3/2, 1)


Z 0 0 1/2 0 0 3/2 9

X2 0 1 1/2 0 0 -1/2 1

S2 0 0 -7/4 1 0 13/4 11/2

S3 0 0 -1 0 0 1 3

X1 1 0 -1/4 0 0 3/4 3/2


X2=1 S1=0 S2=11/2 S4=0 S3=3 F.0; Max Z=9 X1=3/2

2.5 USO DE VARIABLES ARTIFICIALES, TÉCNICA “M” O MÉTODO DE

PENALIZACIÓN

EJEMPLO:

Min Z = 4X1 +X2

s.a

3X1 + X2 =3

4X1 + 3X2 ≥ 6

X1 + 2X2 ≤ 3

ESTANDARIZACIÓN:



Min Z = 4X1+X2-0S1+0S2+MR1+MR2

Z - 4X1- X2+ 0S1-0S2 - MR1- MR2 = 0

3X1 + X2 + R1 = 3

4X1 + 3X2 - S1 + R2 = 6

X1 + 2X2 + S2 = 3

BASE X1 X2 S1 R1 R2 S2 SOLUCIÓN

Z -4 -1 0 -M -M 0 0

R1 3 1 0 1 0 0 3

R2 4 3 -1 0 1 0 6

S2 1 2 0 0 0 1 3

Los valores de z son números y letras, estas letras que son coeficientes de las variables

artificiales hay que transformarlas en cero.

SOLUCIÓN INICIAL:


Z 66 39 -10 0 0 0 90

R1 3 1 0 1 0 0 3

R2 4 3 -1 0 1 0 6

S2 1 2 0 0 0 1 3

-4 -1 0 -M -M 0 0

3M M 0 M 0 0 3M

(3M-4) (M -1) 0 0 -M 0 3M

4M 3M -M 0 M 0 6M

(7M-4) (4M-1) -M 0 0 0 9M


* M

* M


Si M = 10, tenemos (70-4) (40-1) -10 0 0 0 90

66 39 -10 0 0 0 90


R1=3 X1=0 R2=6 X2=0 S2=3 S1=0

F.0; Min Z=90

SEGUNDA SOLUCIÓN:


Z 0 17 -10 -22 0 0 24

X1 1 1/3 0 1/3 0 0 1

R2 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2

S2 0 5/3 0 -1/3 0 1 2


X1=1 X2=0 R2=2 S1=0 S2=2 R1=0

F.0; Min Z = 242.6 PROBLEMAS PROPUESTOS

EJERCICIO Nº 1

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Red Electrónics S.A. Ensambla televisores y decide producir televisores a colores y en blanco

y negro. Una investigación de mercado indica que hasta 1.000 unidades de televisores a

colores y 4.000 unidades en blanco y negro que pueden ser vendidas por mes, el máximo

número de h / H disponible es de 50.000 por mes.

Un televisor a colores requiere 20 h / H y un televisor en blanco y negro 15 h / H. Las

ganancias unitarias de un televisor a colores y uno en blanco y negro son de 60 y 30 dólares

respectivamente ¿Cuál es el número de unidades de cada tipo de televisores para

maximizar sus ganancias?



MODELO MATEMÁTICO

EJERCICIO Nº 2


La Compañía Naviera Neptuno que presta su servicio puede cargar su barco con dos clases

de mercancías A y B, el precio de transporte por toneladas de A que ocupa 0,6 m3 es de 250

dólares y por toneladas de B que ocupa 0,8 m3 es de 400 dólares, el barco puede transportar

hasta 4.000 toneladas y 2.500 m3. ¿Cuál es el reparto más conveniente de la carga, para

asegurar el máximo de su ingreso?

MODELO MATEMÁTICO

EJERCICIO Nº 3

ENUNCIADO DE PROBLEMA

Arca S.A. fabrica dos tipos de productos, uno normal y otro de lujo, los tipos requieren la

misma cantidad, pero una elaboración diferente. ¿Cuál es el procedimiento qué se requiere

para establecer la cantidad de productos de cada tipo en un periodo de tiempo dado, con el

fin de maximizar los ingresos? La empresa dispone de 8 obreros, 3 máquinas de tipo A y dos

máquinas de tipo B, en el horario de 8 horas/día de trabajo y 25 días laborables al mes, cada

quintal de producto requiere:


DESCRIPCIÒN NORMAL DE LUJOHoras - mano de obra 1 1,80Horas - Máquina A 0,50 0,60Horas - Máquina B 0,30 0,20Ingreso por quintal $ 60,00 $ 100

Max Z = 60X1 + 30X2

s.a:20X1 + 15X2 ≤ 50.000 X1 ≤ 1.000 X2 ≤ 4.000

Max Z = 250X1 + 400X2

s.a:0,6X1

+ 0,80X2 ≤ 2.500 X1 + X2 ≤ 4.000


MODELO MATEMÁTICO

EJERCICIO Nº 4


La Transnacional 2RM. Fabrica dos productos A y B. la ganancia para el producto “A” es

de $. 90 por unidad y la ganancia para el producto “B” es de $ 140 por unidad. Se requiere

17 horas para fabricar una unidad del producto “A” y 27 horas para fabricar una unidad del

producto “B”. El tiempo total de manufactura disponible por año, es de 1.190 horas. Las

demandas esperadas de los dos productos han conducido a la decisión que la cantidad

producida de “A” no debe ser mayor de 35 unidades por año y la cantidad de “B” no mayor

de 25 unidades por año. ¿Cómo maximizar la ganancia por año?

MODELO MATEMÁTICO

EJERCICIO Nº 5


El Barco “Nunca Más” tiene tres bodegas: una en la proa, una en el centro y otra en la

popa. Los límites de capacidad son:


Max Z= 60X1 + 100X2

s.a: X1 + 1,8X2 ≤ 1.600

0,5X1 + 0,6X2 ≤ 600 0,3X1 + 0,2X2 ≤ 400

Max Z= 90X1 + 140X2

s.a: 17X1 + 27X2 ≤ 1.190 X1 ≤ 35 X2 ≤ 25


Proa: 3 Tons. 100 pies cúbicosCentro: 2 Tons. 135 pies cúbicosPopa: 1,5 Tons 30 pies cúbicos

Los siguientes cargamentos se ofrecen:

Artículo Cantidad en Toneladas

Volumen/ Ton. pies cúbicos

Ganancias por Tons.

A 6 60 $ 6 B 4 50 $ 8 C 2 25 $ 5

El gerente de la empresa propietaria del barco “Nunca Más” puede aceptar el total o una

porción cualquiera de cada artículo. Para preservar el equilibrio del barco, el peso en cada

bodega debe ser proporcional a la capacidad en toneladas. ¿Cómo debe distribuirse la carga

para hacer máxima la ganancia?

MODELO MATEMÁTICO

EJERCICIO Nº 6


La Compañía “Elegant” S.A. fabrica dos clases de cinturones de piel, tipo A y tipo B. El

cinturón tipo A es de alta calidad y el de B es de baja calidad. La ganancia respectiva por

cinturón es de $ 0,40 y $ 0,30. Cada cinturón de tipo A requiere el doble de tiempo de

fabricación que el que requiere el tipo B, la compañía puede fabricar 1.000 al día, el

abastecimiento de piel es suficiente para 800 cinturones diarios únicamente de A y B

(combinados), el cinturón de A requiere una hebilla elegante de las que solamente se

disponen de 400 diarias.


Max Z= 6X1 + 8X2 + 5X3

s.a: 6X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 6,5 60X1 + 50X2 + 25X3 ≤ 265


Se tiene únicamente 700 diarias para el cinturón B. ¿Cuál sería la producción de tipo A y

tipo B para maximizar las ganancias?

MODELO MATEMÁTICO

EJERCICIOS Nº 7

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

La Hacienda “Ponderosa” tiene 200 hectáreas y dispone de 1.800 horas-hombre. Se desea

determinar el Área (en hectáreas) que asignará a los siguientes productos: maíz, trigo, papa,

tomate, zanahoria. El agricultor debe producir al menos 250 toneladas de maíz para alimentar

a sus puercos y ganados y debe producir al menos 80 toneladas de trigo de acuerdo a un

contrato que firmó previamente. A continuación se resume el tonelaje y la mano de obra en

horas-hombre por hectáreas para diferentes productos.

Maíz Trigo Papa Tomate ZanahoriaTons. /

hectáreas 10 4 4 8 6

Horas-hombre / hectáreas 120 150 100 80 120

El maíz, trigo, papa, tomate y zanahoria se venden respectivamente en $ 120, $ 150, $ 50,

$ 80 y $ 55 por tonelada. ¿Cómo encontramos la solución óptima?

MODELO MATEMÁTICO


Max Z = 0,40 X1 + 0,30X2

s.a X1+ 2X2 ≤ 1.000

X1 + X2 ≤ 800X1 ≤ 400 X2 ≤ 700



Max Z= 1.200X1 + 600X2 + 200X3 + 640X4 + 330X5

s.a: 120X1 + 150X2 + 100X3 + 80X4 + 120X5 ≤ 18.000 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤ 200 X1 = 25 X2 = 20

investigacion operativa

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