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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO PUC-SP

Vagner Valeiro Ramos

Dificuldades e concepes de alunos de um curso de licenciatura em

matemtica, sobre derivada e suas aplicaes

MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAO MATEMTICA

SO PAULO

2009

PONTIFCIA NIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO

PUC-SP

Vagner Valeiro Ramos

Dificuldades e concepes de alunos de um curso de licenciatura em

matemtica, sobre derivada e suas aplicaes

Trabalho Final apresentado banca examinadora como

exigncia parcial para obteno do titulo de MESTRE

PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA, pela

Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo, sob a

orientao do Professor Doutor Benedito Antonio da Silva.

So Paulo

2009

Banca Examinadora

____________________________

____________________________

____________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total ou parcial

desta dissertao por processos de fotocopiadoras ou eletrnicos.

_________________________ ___________________________

Assinatura Local e Data

s minhas filhas

Amanda de Mello Ramos

Isabella de Mello Ramos

AGRADECIMENTOS

ade e as foras necessrias para chegar a realizao dessa pesquisa.

a Bolsa Mestrado, incentivo essencial,

o qual no teria conseguido realiz-lo.

iniciais, pelo carisma, dedicao, apoio e

eus estudos.

para o enriquecimento de meu trabalho.

Roberto Fecchio, que muito contriburam para

inha formao nos tempos da graduao.

ente nas minhas ausncias noturnas oriundas de horas e horas de trabalho e

mos, pelos incentivos e apoios nos momentos mais

inhada.

certamente foram fontes de energia que emergiram sobre mim em

Primeiramente essncia divina, que d sentido a vida, por me privilegiar, dando-me a

oportunid

Secretaria Estadual de Educao do Governo do Estado de So Paulo, por ter financiado

parcialmente meus estudos por meio do program

sem

Ao meu orientador, Professor Doutor Benedito Antonio da Silva, por aceitar orientar-me, por

ter dado direcionamento em minhas idias

pacincia na conduo de m

Aos membros da banca, professora doutora Rute Cunha e Professora doutora Sonia Pitta

Coelho, pelas observaes e contribuies

Aos professores, Antonio Claret da Silva e

m

minha esposa, Edneia Caires de Mello Ramos, pela cumplicidade e compreenso,

principalm

estudo.

Ao meu irmo, Clayton Valeiro Ra

difceis dessa cam

Aos meus pais, sogros e amigos (que, para no cometer injustias, no citarei nomes), pelas

intenes positivas que

todos os momentos.

Aos colegas das escolas, EE Professor Francisco de Paula Conceio Jnior e EMEF Maria

Rita de Cssia Pinheiro Simes Braga, pelo convvio, pela cumplicidade e pelas idias

trocadas por horas e horas e horas nessa jornada.

RESUMO

que j passaram por um curso de Clculo e estudaram a derivada, quanto a suas aplicaes

um teste composto de quatro tarefas, que versam sobre o tema. Esse teste foi estruturado

segundo a teoria dos Registros de Representao Semitica de Raymond Duval. Com os

representaes algbricas e grficas de uma funo e de sua derivada e as relaes que

Aps a analise dos resultados, observamos que os alunos manipulam bem as representaes

algbricas, mas muitos deles no conseguem identificar os procedimentos necessrios, nem

aplicao.

Esta uma pesquisa diagnstica, cujo objetivo investigar os conhecimentos dos alunos

e tentar classificar as dificuldades desses alunos diante dessas atividades. Elaboramos ento

dados obtidos realizamos as anlises qualitativa e quantitativamente. Exploramos no teste as

existem entre elas, que ora exigem converses para serem obtidas, ora exigem tratamentos.

fazer uso do conceito de derivada, para a resoluo de uma determinada situao de

Palavras Chave: Funo, Derivada, Registro de Representao, Aplicao, Dificuldade

ABSTRACTS

do

se of the concept of derivative, for a resolution of a determineted situation of aplication.

ey words: Function, Derivative, Register of representation, Application, Difficulty

This is a diagnostic research, whose objective is investigate the students' knowledge that

already passed a Calculus course derivative, as much as its applications and try to classify

the difficulties of these students before these activities.We elaboreted then a test composite of

four tasks, that deal with the theme. This test was structured according to Raymond Duval's

theory - Register of Representation Semiotic. With the data got we carried out the analyses

qualitatively and quantitatively. We explored in the test the algebraic and graphic

representations of a function and of its derivative and the relation that there are between

them, that well demand conversions to be obtained, well demand treatment. After the

analyses of the results, we observed that the students manipulate well the algebric

representations, but many of the students neither get to indentify the need procedures, nor

u

K

SUMRIO

PRESENTAO................................................................................................................10

APTULO 1 TRODUO.....................................................................................................................12

APTULO 2 NESE HISTRICA DA DERIVADA............................................................................15

APTULO 3 EFERENCIAL TERICO................................................................................................26

.3. Testando as Tarefas..........................................................................................................42

.4. Aplicaes........................................................................................................................44

APTULO 5 ESULTADOS..........................................................................................47

APTULO 6

EFERNCIAS BIBLIOGRFICAS................................................................................83

A

CIN

CG

CR

CAPTULO 4 PROCEDIMENTOS METODOLGICOS........................................................................31 4.1. Preliminares.............................................................................................................................31 4.2. As Tarefas/Analises Prvias ............................................................................................33 44

CANLISE DOS R CCONSIDERAES FINAIS................................................................................................80 R

APRESENTAO

Profissional em Ensino de Matemtica, do Programa de Estudos Ps-Graduados da Pontifcia

Com o objetivo de investigar as concepes de alunos de um curso de licenciatura em

Matemtica, elaboramos e aplicamos uma seqncia de quatro tarefas, envolvendo

Participaram do teste dezoito alunos dos quais dez estavam em fase intermediria do

tema, objeto de nosso estudo, em semestres anteriores do curso. Em geral eles apresentaram

bom domnio sobre as manipulaes algbricas, porm conseguir identificar o conceito

sucesso diante das mesmas.

pelo qual optamos realizar um estudo sobre esse assunto do Clculo. J no captulo dois

buscamos resgatar cronologicamente o desenvolvimento da derivada, com o objetivo de

principais elementos da teoria dos Registros de Representao Semitica de Raymund

podemos representar uma funo, as possibilidades de anlises dessas representaes e os

aspectos epistemolgicos envolvidos. No captulo quatro descrevemos os procedimentos

Este trabalho o produto final de nossa pesquisa, realizada durante o curso de Mestrado

Universidade Catlica de So Paulo. Realizamos um estudo sobre as aplicaes da derivada.

aplicaes da derivada.

curso e os outros oito estavam em fase terminal, sendo que esses alunos j haviam estudado o

necessrio para a resoluo de algumas tarefas, foi o principal elemento que dificultou o

Organizamos nosso trabalho em seis captulos. No capitulo um descrevemos o motivo

situar o tema e apresentar algumas idias a ele relacionadas. No captulo trs expomos os

Duval. Nossa escolha por essa teoria justificada pela variedade de registros em que

metodolgicos utilizados para elaborar as quatro tarefas, realizamos as anlises prvias e

10

descrevemos a aplicao da seqncia. No captulo cinco apresentamos as analises dos

resultados. No captulo seis esto nossas consideraes finais.

11

CAPTULO 1

INTRODUO

Clculo Diferencial e Integral uma disciplina de difcil compreenso por grande parte dos

alunos que freqentam o curso. Posteriormente como monitor de estudos das disciplinas do

particular em que a introduo ao Clculo Diferencial fazia parte da grade curricular dos

derivada tm sido um dos tpicos em que os alunos apresentam grandes dificuldades.

Participando do grupo de pesquisas Matemtica do Ensino Superior: Didtica do

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