analisi delle precipitazioni della stazione di moliterno

Universit degli Studi della Basilicata_DiCEM_Ingegneria Edile-Architettura

Progetto di infrastrutture per il territorio_a.a. 2013/2014_docente: Prof. R. Ermini

Studente: Argenzia Cristina Gallotta_matricola: 42681 1

ANALISI DELLE PRECIPITAZIONI STAZIONE PLUVIOMETRICA DI MOLITERNO




Introduzione

L'idrologia la scienza che si occupa delle trasformazioni e dei trasferimenti dell'acqua nei mezzi

naturali, delle acque naturali contenute nei bacini marini, sulla superficie terrestre, al di sopra e al di

sotto di questa, cio nell'atmosfera e nel sottosuolo ovvero la scienza che si occupa di studiare le

innumerevoli combinazioni dei fenomeni che avvengono in natura e che coinvolgono l'acqua.

La precipitazione dell'acqua sul suolo pu avvenire sotto forma di pioggia, neve o grandine senza

contare l'apporto dato dalla rugiada e dalla brina che condensano direttamente sul suolo. Le prime

due forme di precipitazione sono le pi importanti mentre la terza incide solo per una piccola

percentuale. Durante la precipitazione una parte dell'acqua evapora nuovamente prima di

raggiungere il suolo. Gran parte dell'acqua raggiunge per il suolo, una parte pu essere trattenuta

dalla vegetazione, una certa quantit rievapora direttamente, un'altra scorre invece sulla superficie

sotto forma di ruscellamento diffuso o concentrato, di torrente, di fiume, per raggiungere infine il

mare, un'altra porzione penetra nel terreno dove in parte viene trattenuta e successivamente

restituita all'atmosfera, attraverso l'evaporazione o la traspirazione della vegetazione. Parte

dell'acqua di precipitazione penetra infine in profondit ad alimentare la falda acquifera sotterranea

suscettibile di riemergere o di arrivare direttamente al mare.

Ad una fase preliminare di osservazione dei dati segue la loro interpretazione ed elaborazione

quantitativa, nell'ambito delle approssimazioni accettabili, per la descrizione dei fenomeni

idrologici. L'idrologia diviene allora una scienza interpretativa in cui fondamentali sono le

osservazioni e la raccolta di tutti gli elementi che compaiono nel ciclo idrologico.

Le precipitazioni sono una fase del ciclo dell'acqua nell'atmosfera terrestre. Le precipitazioni sono

misurate in millimetri tramite un pluviometro situato al suolo.

Sulla base delle precipitazioni registrate in un determinato luogo in un determinato tempo

(mese/anno) si determina il regime pluviometrico del luogo, ovvero la distribuzione della

precipitazione media annua. I luoghi con un eguale livello di precipitazioni nel medesimo periodo

sono raggruppati attraverso le isoiete su una carta geografica.

La serie temporale delle precipitazioni molto oscillante e casuale. Le variabili inter-correlate con

cui pu essere definita una pioggia sono:

1. laltezza di pioggia, h (mm), lo spessore dello strato dacqua che rimane al suolo se non avviene

scorrimento, infiltrazione, evaporazione;

2. la durata, d (h), il tempo che intercorre tra linizio e la fine di un singolo evento;

3. lintensit di pioggia, i (mm/h), laltezza caduta nellunit di tempo.

Le osservazioni pluviometriche sono contenuti sugli Annali Idrologici.

Le analisi statistiche dei fenomeni idrologici si basano essenzialmente sulluso delle distribuzioni di

probabilit.

Le distribuzioni di probabilit di variabili continue pi comunemente usate nellanalisi delle

variabili idrologiche sono divise in tre gruppi, quelle del tipo Normale, le distribuzioni relative ai

processi di conteggio di occorrenze casuali, e le distribuzioni dei valori estremi.

Le curve di probabilit pluviometrica esprimono la relazione fra le altezze di precipitazione h e la

loro durata t, per un assegnato valore del periodo di ritorno T.

La legge utilizzata del tipo:

= dove h = altezza di precipitazione; t = durata della precipitazione; a ed n sono coefficienti che

dipendono dal periodo di ritorno.




Per la determinazione delle sopraindicate curve ci si basa sullanalisi delle curve di frequenza,

costruite per le serie storiche dei massimi annuali delle piogge di durata 1, 3, 6, 12, 24 ore,

adattando a ciascuna di esse, attraverso la stima dei parametri, un predefinito modello probabilistico

(distribuzioni di Gumbel).

Analisi del regime pluviometrico

Con riferimento alla stazione pluviometrica di MOLITERNO, sono stati rilevati dagli Annuali

Idrologici i valori massimi annuali delle altezze di pioggia dal 1900 al 2000, relativi alle durate di 1,

3, 6, 12, 24 ore.

Eliminando i valori nulli, si ottengono 34 casi per ogni durata (tab_1).

tab_1. Valori relativi alla stazione pluviometrica di Moliterno

Anno hp (mm) hp (mm) hp (mm) hp (mm) hp (mm)

t=1 ora t=3 ora t=6 ore t=12 ore t=24 ore

1934 23,90 25,20 48,70 61,60 73,40

1935 36,80 39,00 61,60 100,60 103,80

1936 25,00 28,40 35,80 49,60 91,40

1939 16,40 24,60 35,00 54,60 60,40

1941 14,00 26,60 47,00 54,40 65,00

1942 18,00 23,00 35,00 53,00 71,00

1947 25,60 26,00 32,60 60,00 80,00

1948 29,60 35,20 36,40 36,40 57,00

1950 22,00 30,20 45,00 67,00 83,60

1951 36,60 36,80 38,60 56,60 68,00

1952 26,60 44,60 48,00 56,00 57,40

1953 16,40 26,40 38,00 61,80 73,00

1954 21,00 27,00 30,00 37,80 52,40

1955 32,60 35,60 39,40 39,40 40,80

1956 12,00 20,00 34,00 47,00 63,80

1957 26,00 42,00 43,40 45,40 68,80

1958 28,20 52,60 57,00 57,20 68,20

1959 29,00 53,90 59,20 77,00 95,40

1960 25,20 38,00 49,60 61,40 91,00

1961 35,40 35,80 37,60 50,60 75,00

1962 19,40 32,40 34,60 34,80 38,00

1963 19,00 41,60 52,60 63,40 69,00

1964 42,00 44,00 45,40 45,60 56,20

1965 18,60 29,20 36,80 44,80 47,80

1966 27,20 27,60 31,00 46,60 78,40

1967 15,20 23,20 32,80 41,40 53,40

1968 16,80 27,40 37,20 53,60 104,20

1969 20,60 48,20 48,80 48,80 54,00

1970 19,60 32,00 39,60 42,80 42,80

1971 35,00 36,80 50,00 92,80 105,00




1972 12,20 20,00 26,40 36,20 67,60

1974 13,60 27,20 47,80 70,80 73,40

1977 9,40 19,80 21,20 34,20 49,00

1978 45,40 66,00 69,60 71,80 78,40

Diagrammando i suddetti dati in un piano t (anni) h (precipitazioni) per ogni singola durata (1, 3,

6, 12, 24) si ottiene listogramma riportato in fig_1 dal quale possibile valutare lomogeneit dei

campioni utilizzati.

fig_1. Istogramma relativo alle altezze di piogge in ordine cronologico.

Analisi statistica preliminare del campione

Considerati i cinque campioni, possibile ricavare per ognuno i dati statistici preliminari.

Ordinati i campioni in ordine crescente, sono stati calcolati h min e h max, ovvero i valori minimo e

massimo delle altezze di precipitazione per ogni durata; il valore medio ; lo scarto quadratico

medio per ogni singola durata (campione).

Per un insieme discreto con N valori si utilizza nellanalisi statistica una serie di parametri

caratteristici dellinsieme che vengono chiamati MOMENTI. Il momento calcolato rispetto ad un

valore di riferimento. Alcuni di questi momenti sono di particolare importanza nelle elaborazioni

statistiche, come il momento di primo ordine rispetto allorigine x=0, che rappresenta la media

=1

=1

Il valore medio dunque si calcola sommando tutti i singoli elementi del campione, dividendo poi per

il numero di elementi presenti nel campione N. Il momento di secondo ordine rispetto alla media

chiamato varianza, mentre lo scarto quadratico medio la radice quadrata della varianza.




= 1

( )2

=1

Anche in questo caso la x sta ad indicare il singolo elemento presente nel campione, il

valore medio ed N il numero di elementi presenti.

I valori sono riportati in tab_2

tab_2. Valori statistici per ogni campione

1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore

h min (mm) 9,40 19,80 21,20 34,20 38,00

h max (mm) 45,40 66,00 69,60 100,60 105,00

(mm) 23,95 33,71 41,93 54,56 69,31

(mm) 8,93 10,72 10,47 15,40 17,95

I valori h min - h max costituiscono i valori estremi dei cinque campioni. Considerato ogni

campione di N=34 possibile calcolare le frequenze assolute/relative e le relative cumulate.

Quindi, definite:

Frequenza assoluta: il numero di volte che un elemento si ripete in un campione;

Frequenza relativa: il rapporto tra la frequenza assoluta di classe e la dimensione del campione; la

frequenza relativa, dunque, indica la percentuale di elementi del campione compresi in quella

classe, ovvero la frequenza con cui si presenta un qualsiasi elemento contenuto in una classe;

Frequenza cumulata di non superamento: il numero di elementi del campione che hanno un

valore minore o uguale ad uno prefissato;

Frequenza cumulata relativa di non superamento: uguale alla frequenza cunulata di non

superamento divisa per la dimensione N del campione.

Detti:

f(h) frequenza assoluta;

F(h) frequenza relativa;

i indice in ordine crescente,

i valori delle frequenze assolute e relative, valutate per ogni campione, sono riportati nelle tab_3

tab_3. Calcolo delle frequenze relativa ed assoluta

per il campione di durata 1 ora:

i

hp (mm) f(h) F(h)

t=1 ora

1 9,40 1 0,03

2 12,00 1 0,06




3 12,20 1 0,09

4 13,60 1 0,12

5 14,00 1 0,15

6 15,20 1 0,18

7 16,40 2 0,24

16,40

8 16,80 1 0,26

9 18,00 1 0,29

10 18,60 1 0,32

11 19,00 1 0,35

12 19,40 1 0,38

13 19,60 1 0,41

14 20,60 1 0,44

15 21,00 1 0,47

16 22,00 1 0,50

17 23,90 1 0,53

18 25,00 1 0,56

19 25,20 1 0,59

20 25,60 1 0,62

21 26,00 1 0,65

22 26,60 1 0,68

23 27,20 1 0,71

24 28,20 1 0,74

25 29,00 1 0,76

26 29,60 1 0,79

27 32,60 1 0,82

28 35,00 1 0,85

29 35,40 1 0,88

30 36,60 1 0,91

31 36,80 1 0,94

32 42,00 1 0,97

33 45,40 1 1,00

per il campione di durata 3 ore:

i

hp (mm) f(h) F(h)

t=3 ora

1 19,80 1 0,03

2 20,00 2 0,09

20,00 - -

3 23,00 1 0,12

4 23,20 1 0,15

5 24,60 1 0,18

6 25,20 1 0,21

7 26,00 1 0,24

8 26,40 1 0,26

9 26,60 1 0,29




10 27,00 1 0,32

11 27,20 1 0,35

12 27,40 1 0,38

13 27,60 1 0,41

14 28,40 1 0,44

15 29,20 1 0,47

16 30,20 1 0,50

17 32,00 1 0,53

18 32,40 1 0,56

19 35,20 1 0,59

20 35,60 1 0,62

21 35,80 1 0,65

22 36,80 2 0,71

36,80 - -

23 38,00 1 0,74

24 39,00 1 0,76

25 41,60 1 0,79

26 42,00 1 0,82

27 44,00 1 0,85

28 44,60 1 0,88

29 48,20 1 0,91

30 52,60 1 0,94

31 53,90 1 0,97

32 66,00 1 1,00


i

hp (mm) f(h) F(h)

t=6 ore

1 21,20 1 0,03

2 26,40 1 0,06

3 30,00 1 0,09

4 31,00 1 0,12

5 32,60 1 0,15

6 32,80 1 0,18

7 34,00 1 0,21

8 34,60 1 0,24

9 35,00 2 0,29

35,00 - -

10 35,80 1 0,32

11 36,40 1 0,35

12 36,80 1 0,38

13 37,20 1 0,41

14 37,60 1 0,44

15 38,00 1 0,47

16 38,60 1 0,50

17 39,40 1 0,53




18 39,60 1 0,56

19 43,40 1 0,59

20 45,00 1 0,62

21 45,40 1 0,65

22 47,00 1 0,68

23 47,80 1 0,71

24 48,00 1 0,74

25 48,70 1 0,76

26 48,80 1 0,79

27 49,60 1 0,82

28 50,00 1 0,85

29 52,60 1 0,88

30 57,00 1 0,91

31 59,20 1 0,94

32 61,60 1 0,97

33 69,60 1 1,00


i

hp (mm) f(h) F(h)

t=12 ore

1 34,20 1 0,03

2 34,80 1 0,06

3 36,20 1 0,09

4 36,40 1 0,12

5 37,80 1 0,15

6 39,40 1 0,18

7 41,40 1 0,21

8 42,80 1 0,24

9 44,80 1 0,26

10 45,40 1 0,29

11 45,60 1 0,32

12 46,60 1 0,35

13 47,00 1 0,38

14 48,80 1 0,41

15 49,60 1 0,44

16 50,60 1 0,47

17 53,00 1 0,50

18 53,60 1 0,53

19 54,40 1 0,56

20 54,60 1 0,59

21 56,00 1 0,62

22 56,60 1 0,65

23 57,20 1 0,68

24 60,00 1 0,71

25 61,40 1 0,74

26 61,60 1 0,76




27 61,80 1 0,79

28 63,40 1 0,82

29 67,00 1 0,85

30 70,80 1 0,88

31 71,80 1 0,91

32 77,00 1 0,94

33 92,80 1 0,97

34 100,60 1 1,00


i

hp (mm) f(h) F(h)

t=24 ore

1 38,00 1 0,03

2 40,80 1 0,06

3 42,80 1 0,09

4 47,80 1 0,12

5 49,00 1 0,15

6 52,40 1 0,18

7 53,40 1 0,21

8 54,00 1 0,24

9 56,20 1 0,26

10 57,00 1 0,29

11 57,40 1 0,32

12 60,40 1 0,35

13 63,80 1 0,38

14 65,00 1 0,41

15 67,60 1 0,44

16 68,00 1 0,47

17 68,20 1 0,50

18 68,80 1 0,53

19 69,00 1 0,56

20 71,00 1 0,59

21 73,00 1 0,62

22 73,40 2 0,68

73,40 - -

23 75,00 1 0,71

24 78,40 2 0,76

78,40 - -

25 80,00 1 0,79

26 83,60 1 0,82

27 91,00 1 0,85

28 91,40 1 0,88

29 95,40 1 0,91

30 103,80 1 0,94

31 104,20 1 0,97

32 105,00 1 1,00




La rappresentazione delle frequenze assolute e relative riportata nei grafici di fig_2 e fig_3

fig_2. Frequenza assoluta cumulata. Sulle ordinate le altezze di pioggia; sulle ascisse le frequenze.

fig_3. Frequenza cumulata relativa. Sulle ordinate le altezze di pioggia; sulle ascisse le frequenze.

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0,03 0,09 0,15 0,21 0,26 0,32 0,38 0,44 0,50 0,56 0,62 0,68 0,74 0,79 0,85 0,91 0,97

Serie1

Serie2

Serie3

Serie4

Serie5

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

F(h

)

h (mm)

1 ora

3 ore

6 ore

12 ore

24 ore




Studio dei casi critici

Avendo a disposizione un tempo sufficientemente lungo di osservazioni pluviografiche (per tempo

sufficientemente lungo si intende almeno 20-30 anni e nel caso di studio abbiamo circa 40 anni)

passiamo allo studio dei casi critici.

Per ognuna delle 5 durate (1, 3, 6, 12 e 24) ordiniamo gli N valori in ordine descescente e li

rappresentiamo in un diagramma cartesiano avente in ascissa la durata t(ore) ed in ordinata le

altezze di pioggia h(mm).

Si definisce curva dei primi casi critici la curva che interpola le altezze maggiori (rappresenta gli

eventi di pioggia raggiunti o superati una sola volta nel periodo di osservazione). Tali eventi hanno

una frequenza empirica di raggiungimento o superamento pari ad 1/N. Allo stesso modo possibile

definire le curve dei secondi, terzi ed n-esimi casi critici come le curve che interpolano le seconde

altezze maggiori, le terze, le n-esime.

Praticamente ciascun campione stato ordinato in ordine decrescente. In tal modo il primo caso

critico sar rappresentato dai valori ricadenti nella prima riga, il secondo sar rappresentato dai

valori ricadenti nella seconda riga e cos avanti per gli altri casi critici. Sono stati presi in esame

cinque casi critici, i cui valori sono riportati in tab_3.

tab_3. Casi critici presi in esame

casi critici

hp (mm)

hp (mm)

hp (mm)

hp (mm)

hp (mm)


1 3 6 12 24

1 45,40 66,00 69,60 100,60 105,00

2 42,00 53,90 61,60 92,80 104,20

3 36,80 52,60 59,20 77,00 103,80

4 36,60 48,20 57,00 71,80 95,40

5 35,40 44,60 52,60 70,80 91,40

I dati rappresentati in tab_3 sono graficizzati nel diagramma t, h (ovvero durata-altezza di

precipitazione) in fig_4.

fig_4. Casi critici relativi alle altezze ed alle durate

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0 5 10 15 20 25 30

hp

(m

m)

Durata (ore)

I caso critico

II caso critico

III caso critico

IV caso critico

V caso critico




Procedendo in modo analogo possibile ricavare anche i valori dei casi critici relativi alle intensit

di precipitazione valutate come il rapporto espresso in mm/ore, tra laltezza di precipitazione e la

durata corrispondente. Tali valori sono riportati in tab_4.

Lintensit di pioggia gioca un ruolo fondamentale nella determinazione dellimportanza di un

evento pluviometrico. Ad esempio 100mm di pioggia in un mese sono del tutto normali, la stessa

quantit in unora pu causare eventi catastrofici.

tab_4. Valori dei casi critici relativi allintensit di pioggia

N i=h/t i=h/t i=h/t i=h/t i=h/t

1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore

1 45,40 22,00 11,60 8,38 4,38

2 42,00 17,97 10,27 7,73 4,34

3 36,80 17,53 9,87 6,42 4,33

4 36,60 16,07 9,50 5,98 3,98

5 35,40 14,87 8,77 5,90 3,81

I dati rappresentati in tab_4 sono graficizzati nel diagramma t, h (ovvero durata-altezza di

precipitazione) in fig_5.

fig_5. Casi critici relativi allintensit di pioggia

I casi critici fino ad ora considerati ci restituiscono informazioni puntuali.

Al fine di ottenere uninformazione completa per ogni valore di ascissa ed ordinata vengono

ricavate le curve di pioggia che vanno ad interpolare le distribuzioni di punti fino ad ora

considerate.

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

0 5 10 15 20 25 30

i (m

m/o

re)

Durata (ore)

I caso critico

II caso critico

III caso critico

IV caso critico

V caso critico




Per ottenere le curve di pioggia utilizziamo una funzione del tipo:

h=at in cui:

- h laltezza di pioggia, espressa in mm;

- t la durata espressa in ore;

- a e n sono parametri ricavati tramite la regressione lineare

Quindi si valutano i due parametri a e n che meglio approssimano i dati osservati. Il calcolo dei parametri viene effettuato imponendo che sia minima la sommatoria degli scarti tra valori osservati

e valori ricavati attraverso la funzione h=at (Principio dei minimi quadrati). Per una pi semplice applicazione del principio dei minimi quadrati anzich considerare la funzione

h=at che risulta essere non lineare, si preferisce utilizzare la linearizzazione della stessa ottenuta

effettuando il logaritmo naturale, ovvero:

log(h)=log(a)+n log(t) servendoci del foglio elettronico excel, si parte dai dati originari, vengono poi trasformati in

logaritmi, viene applicata la regressione lineare per ottenere n e log(a). Con lesponenziale log(a)

viene trasformato in a.

Si ottengono cos i dati riportati in tab_5.

tab_5. Valori di n ed a

N casi critici hp (mm) hp (mm) hp (mm) hp (mm) hp (mm)

n log(a) a 1 ore 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore

1 45,40 66,00 69,60 100,60 105,00 0,27 1,67 46,35

2 42,00 53,90 61,60 92,80 104,20 0,30 1,60 40,01

3 36,80 52,60 59,20 77,00 103,80 0,32 1,56 36,13

4 36,60 48,20 57,00 71,80 95,40 0,30 1,55 35,28

5 35,40 44,60 52,60 70,80 91,40 0,30 1,52 33,35

35,00 44,00 50,00 67,00 91,00 0,30 1,51 32,69

32,60 42,00 49,60 63,40 83,60 0,29 1,49 31,16

29,60 41,60 48,80 61,80 80,00 0,31 1,47 29,27

29,00 39,00 48,70 61,60 78,40 0,31 1,45 28,29

28,20 38,00 48,00 61,40 78,40 0,32 1,44 27,42

27,20 36,80 47,80 60,00 75,00 0,32 1,43 26,68

26,60 36,80 47,00 57,20 73,40 0,32 1,42 26,34

26,00 35,80 45,40 56,60 73,40 0,33 1,41 25,52

25,60 35,60 45,00 56,00 73,00 0,33 1,40 25,19

25,20 35,20 43,40 54,60 71,00 0,32 1,39 24,82

25,00 32,40 39,60 54,40 69,00 0,33 1,37 23,69

23,90 32,00 39,40 53,60 68,80 0,34 1,36 22,87

22,00 30,20 38,60 53,00 68,20 0,36 1,32 21,12

21,00 29,20 38,00 50,60 68,00 0,37 1,30 20,17

20,60 28,40 37,60 49,60 67,60 0,38 1,29 19,70

19,60 27,60 37,20 48,80 65,00 0,38 1,28 18,97

19,40 27,40 36,80 47,00 63,80 0,38 1,28 18,84

19,00 27,20 36,40 46,60 60,40 0,37 1,27 18,71

18,60 27,00 35,80 45,60 57,40 0,36 1,27 18,54

18,00 26,60 35,00 45,40 57,00 0,37 1,25 17,99

16,80 26,40 35,00 44,80 56,20 0,38 1,23 17,17




16,40 26,00 34,60 42,80 54,00 0,37 1,23 16,92

16,40 25,20 34,00 41,40 53,40 0,37 1,22 16,72

15,20 24,60 32,80 39,40 52,40 0,38 1,20 15,71

14,00 23,20 32,60 37,80 49,00 0,39 1,17 14,74

13,60 23,00 31,00 36,40 47,80 0,39 1,16 14,36

12,20 20,00 30,00 36,20 42,80 0,40 1,11 12,88

12,00 20,00 26,40 34,80 40,80 0,39 1,10 12,59

9,40 19,80 21,20 34,20 38,00 0,44 1,02 10,37

In fig_6 sono riportate le curve di pioggia dei primi 5 casi critici a cui sono stati sovrapposti i punti

dei casi critici.

fig_6. Curve di pioggia dei casi critici e casi critici

Le curve di pioggia dei casi critici relative allintero campione hanno, dunque, landamento

riportato in fig_7.

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0 5 10 15 20 25 30

hp

(m

m)

Durata (ore)

I caso critico

II caso critico

III caso critico

IV caso critico

V caso critico

Serie6

Serie7

Serie8

Serie9

Serie10




fig_7. Andamento delle curve pluviometriche

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0 5 10 15 20 25 30

Alt

ezz

a h

p (

mm

)

Durata t (ore)

Serie1

Serie2

Serie3

Serie4

Serie5

Serie6

Serie7

Serie8

Serie9

Serie10

Serie11

Serie12

Serie13

Serie14

Serie15

Serie16

Serie17

Serie18

Serie19

Serie20

Serie21

Serie22

Serie23

Serie24

Serie25

Serie26

Serie27

Serie28

Serie29

Serie30

Serie31

Serie32

Serie33

Serie34




Analisi probabilistica: distribuzione di probabilit di Gumbel

Nella teoria delle probabilit, la distribuzione di Gumbel una distribuzione di probabilit continua

a due parametri. Viene usata per descrivere i valori estremi di una serie statistica continua. In

idrologia la distribuzione di Gumbel appartiene a quelle distribuzioni di probabilit, come quella

lognormale per il modello TCEV, ma quella di Gumbel storicamente la pi usata. Lespressione

della distribuzione la seguente:

() = ()

dove e sono due parametri da stimare applicando il metodo dei momenti. Il metodo dei minimi

quadrati una tecnica di ottimizzazione che permette di trovare una funzione, detta curva di

regressione, che si avvicina il pi possibile ad un insieme di dati. In particolare la funzione trovata

deve essere quella che minimizza la somma dei quadrati delle distanze tra i dati osservati e quelli

della curva che rappresenta la funzione stessa.

Con:

=1,283/

= -0,45

dove il valor medio e lo scarto quadratico medio calcolati precedentemente e riportati in tab_1

I valori di e sono riportati in tab_6.

tab_6. Valori di e

0,14 0,12 0,12 0,08 0,07

19,93 28,89 37,22 47,63 61,24

Ricavati e per ogni campione si procede alla determinazione della probabilit P(h). La funzione

P(h) del massimo valore = (con = ( ) ) raggiunto dalla variabile originaria h in un campione di dimensione N, misura la probabilit che h risulti inferiore o al pi uguale a un

assegnato valore.

I valori sono riportati in tab_7.

tab_7. Tabella probabilit di Gumbel per ogni campione

P(h) P(h) P(h) P(h) P(h)

1 3 6 12 24

0,011 0,051 0,001 0,047 0,005

0,044 0,055 0,023 0,054 0,013

0,048 0,055 0,089 0,075 0,024

0,084 0,132 0,117 0,078 0,073

0,096 0,138 0,172 0,103 0,091

0,139 0,188 0,179 0,137 0,152

0,190 0,211 0,227 0,186 0,174

0,190 0,243 0,252 0,224 0,187

0,208 0,260 0,269 0,282 0,238

0,267 0,268 0,269 0,300 0,258




0,298 0,285 0,304 0,306 0,268

0,319 0,294 0,331 0,336 0,346

0,340 0,302 0,349 0,348 0,435

0,350 0,311 0,367 0,404 0,466

0,403 0,346 0,385 0,428 0,530

0,424 0,381 0,403 0,458 0,540

0,476 0,425 0,430 0,528 0,544

0,568 0,502 0,465 0,544 0,558

0,617 0,518 0,474 0,566 0,563

0,625 0,625 0,626 0,571 0,608

0,642 0,639 0,680 0,608 0,650

0,658 0,646 0,693 0,623 0,658

0,681 0,678 0,739 0,637 0,658

0,703 0,678 0,761 0,700 0,688

0,737 0,714 0,766 0,728 0,746

0,762 0,742 0,783 0,732 0,746

0,779 0,804 0,785 0,736 0,770

0,850 0,812 0,803 0,764 0,817

0,891 0,849 0,811 0,819 0,888

0,897 0,858 0,859 0,865 0,891

0,913 0,906 0,915 0,875 0,917

0,915 0,943 0,935 0,917 0,953

0,959 0,951 0,951 0,977 0,955

0,975 0,988 0,981 0,988 0,957




Carta probabilistica di Gumbel Le carte probabilistiche sono delle carte speciali che vengono utilizzate per valutare lattitudine di

una distribuzione scelta a interpretare i dati delle osservazioni disponibili (campione) prima di aver

calcolato i parametri caratteristici della legge probabilistica stessa.

Lattitudine di un dato tipo di legge (normale, lognormale etc.) a interpretare le osservazioni

disponibili si pu valutare, prima ancora di aver determinato i valori da assegnare ai parametri che

la caratterizzano, disegnando la spezzata della frequenza cumulata relativa (determinata

precedentemente) su carte speciali (carte probabilistiche) nelle quali tutte le curve di probabilit di

un certo tipo risultano rappresentate da rette.

Le carte probabilistiche sono specifiche per ogni tipo di funzione di probabilit e vengono costruite

in modo tale che le curve di probabilit della funzione corrispondente vi vengono rappresentate da

rette.

Possono essere utilizzate per verificare lammissibilit della funzione di probabilit prescelta per

descrivere il campione, ancor prima di stimare i parametri: se il tipo di funzione di distribuzione

prescelto adatto ad interpretare le osservazioni, i punti devono addensarsi intorno ad una retta.

Per utilizzare la carta probabilistica occorre determinare la variabile ridotta, in modo da accertarsi

che i valori, riportati in fase probabilistica, si addensino intorno a quella retta definita

precedentemente. La variabile ha la seguente funzione: x=-log(-logF(h))

Di seguito sono riportati i grafici inerenti a tutti e 5 i campioni presi singolarmente fig_8-12.

fig_8. Grafico distribuzione di Gumbel relativo al campione 1 ora

y = 0,1373x - 2,6587 R = 0,9839

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00

Var

iab

ile r

ido

tta

Altezza h(mm)

Serie1

Lineare (Serie1)




fig_9. Grafico distribuzione di Gumbel relativo al campione 3 ore


y = 0,1223x - 3,4564 R = 0,986

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00

Var

iab

ile r

ido

tta

Altezza h(mm)

Serie1

Lineare (Serie1)

y = 0,1191x - 4,3526 R = 0,9685

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00

Var

iab

ile r

ido

tta

Altezza h(mm)

Serie1

Lineare (Serie1)






y = 0,0853x - 3,9963 R = 0,9867

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Var

iab

ile r

ido

tta

Altezza h(mm)

Serie1

Lineare (Serie1)

y = 0,0663x - 3,9741 R = 0,9774

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Var

iab

ile r

ido

tta

Altezza h(mm)

Serie1

Lineare (Serie1)




Tempo di ritorno

Un elemento da prendere in considerazione per lanalisi della distribuzione di precipitazione il

tempo di ritorno, cio il numero medio di osservazioni, affinch un valore di intensit assegnata

venga uguagliato o superato almeno una volta.

Da questo assunto possibile notare come sia stretta la relazione tra il tempo di ritorno, le frequenze

e le probabilit, cos utilizzo la relazione:

T(h)=1-1/P(h) Avendo eseguito la determinazione della probabilit per ogni singolo campione anche il tempo di

ritorno viene calcolato mostrando per le varie durate le altezza h e il tempo di ritorno Tr.

tab_9. Tempi di ritorno

Tr(h) Tr(h) Tr(h) Tr(h) Tr(h)


1,01 1,05 1,00 1,05 1,01

1,05 1,06 1,02 1,06 1,01

1,05 1,06 1,10 1,08 1,02

1,09 1,15 1,13 1,08 1,08

1,11 1,16 1,21 1,12 1,10

1,16 1,23 1,22 1,16 1,18

1,23 1,27 1,29 1,23 1,21

1,23 1,32 1,34 1,29 1,23

1,26 1,35 1,37 1,39 1,31

1,36 1,37 1,37 1,43 1,35

1,42 1,40 1,44 1,44 1,37

1,47 1,42 1,49 1,51 1,53

1,51 1,43 1,54 1,53 1,77

1,54 1,45 1,58 1,68 1,87

1,68 1,53 1,63 1,75 2,13

1,74 1,62 1,67 1,84 2,17

1,91 1,74 1,75 2,12 2,20

2,31 2,01 1,87 2,19 2,26

2,61 2,08 1,90 2,30 2,29

2,67 2,67 2,67 2,33 2,55

2,79 2,77 3,13 2,55 2,85

2,93 2,82 3,25 2,65 2,92

3,14 3,11 3,84 2,76 2,92

3,37 3,11 4,18 3,33 3,21

3,80 3,50 4,27 3,68 3,93

4,20 3,88 4,60 3,73 3,93

4,53 5,09 4,65 3,78 4,34

6,68 5,32 5,07 4,24 5,46

9,21 6,61 5,30 5,54 8,90

9,73 7,07 7,09 7,40 9,15

11,46 10,59 11,79 8,00 12,00

11,78 17,58 15,27 12,06 21,46

24,29 20,45 20,32 43,62 22,07

39,26 85,39 53,31 83,09 23,34




Analisi probabilistica: curve di probabilit pluviometrica

Fissato il tempo di ritorno T (10, 20, 30, 40, 50, 100, 200, 500 anni), per ogni durata possibile

ricavare il valore h(T). Dal momento che il tempo di ritorno linverso della funzione probabilit

di superamento P(h), si ha che:

P(h) = 1 (1 / T) Si ottiene una P(h) per ogni T e si valuta, per ognuna delle serie di durate, il corrispondente valore

dell'altezza h(T) di pioggia con tempo di ritorno pari a quello prefissato:

h = (lg ( lg P(h))) / I valori delle altezze relative ai tempi di ritorno prefissati sono riportati in tab_10.

tab_10. Altezze di precipitazione relative ai tempi di ritorno

T' P(h)

h(T)

(mm)

h(T)

(mm)

h(T)

(mm)

h(T)

(mm)

h(T)

(mm)

1 3 6 12 24

10 0,9 39,56 52,46 60,25 81,53 100,76

20 0,95 44,57 58,48 66,12 90,16 110,83

30 0,97 47,45 61,94 69,50 95,13 116,62

40 0,975 49,48 64,37 71,88 98,64 120,71

50 0,98 51,06 66,26 73,73 101,34 123,86

100 0,99 55,92 72,09 79,43 109,72 133,63

200 0,995 60,76 77,91 85,10 118,07 143,36

500 0,998 67,15 85,57 92,59 129,08 156,20

In maniera analoga a quanto fatto precedentemente con il calcolo dei valori di a ed n per i casi critici, anche in questo caso applichiamo la regressione lineare al fine di rendere lineare lequazione

della curva, cos da graficizzare la curva di probabilit pluviometrica.

La curva ottenuta considera anche il tempo di ritorno, quindi quantitativamente potremmo dire che

non si riferisce esclusivamente a determinati casi critici, ma la curva di probabilit pluviometrica,

cio curva di pioggia per unassegnata probabilit.

La scelta della distribuzione di probabilit che meglio si adatta alla popolazione delle altezze di

precipitazione di determinata durata, di cui noto un certo campione, consente di stimare laltezza

di precipitazione avente una data frequenza o probabilit di verificarsi. Ci significa che per ogni

durata possibile valutare unaltezza di precipitazione di prefissata probabilit.

Per fare ci utilizziamo una funzione del tipo:

h=at in cui:

- h laltezza di pioggia, espressa in mm;

- t la durata espressa in ore;

- a e n sono parametri che dipendono dal tempo di ritorno T che rappresenta il legame tra altezza di

precipitazione e relativa durata.

Quindi si valutano i due parametri a e n che meglio approssimano i dati osservati . il calcolo dei parametri viene effettuato imponendo che sia minima la sommatoria degli scarti tra valori osservati

e valori ricavati attraverso la funzione h=at (Principio dei minimi quadrati). Per una pi semplice applicazione del principio dei minimi quadrati anzich considerare la funzione

h=at che risulta essere non lineare, si preferisce utilizzare la linearizzazione della stessa ottenuta

effettuando il logaritmo naturale, ovvero:

log(h)=log(a)+n log(t)




servendoci del foglio elettronico excel, si parte dai dati originari, vengono poi trasformati in

logaritmi, viene applicata la regressione lineare per ottenere n e log(a). Con lesponenziale log(a)

viene trasformato in a.

Nella tab_11 sono stati riportati i valori ricavati.

In fig_13 sono rappresentate le curve di probabilit pluviometrica.

tab_11. Valori di n, log(a), a

T'

log log log log log

n log(a) a t=1 ora t=3 ora t=6 ore t=12 ore t=24 ore

10 1,60 1,72 1,78 1,91 2,00 0,30 1,58 38,24

20 1,65 1,77 1,82 1,96 2,04 0,29 1,63 42,94

30 1,68 1,79 1,84 1,98 2,07 0,28 1,66 45,65

40 1,69 1,81 1,86 1,99 2,08 0,28 1,68 47,56

50 1,71 1,82 1,87 2,01 2,09 0,28 1,69 49,04

100 1,75 1,86 1,90 2,04 2,13 0,28 1,73 53,60

200 1,78 1,89 1,93 2,07 2,16 0,27 1,76 58,15

500 1,83 1,93 1,97 2,11 2,19 0,27 1,81 64,15

Fig_13. Curve di probabilit pluviometrica

Possiamo dire che la relazione fra le altezze di precipitazione h e la loro durata t, per un assegnato

valore del periodo di ritorno T viene spesso indicata anche come curva di possibilit climatica o,

ancora, linea segnalatrice di probabilit pluviometrica (LSPP). In pratica non ci si limita mai ad una

curva sola, ma si considera un fascio di curve, ciascuna delle quali corrisponde ad un valore diverso

del periodo di ritorno.

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

160,00

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00

ht

(mm

)

Durata (ore)

10 anni

20 anni

30 anni

40 anni

50 anni

100 anni

200 anni

500 anni




Confronto tra i valori di frequenza F(h) con le rispettive probabilit

P(h) e i corrispondenti tempi di ritorno T(h)

Definiti:

La probabilit di superamento P(h) come la funzione che misura la probabilit che h risulti inferiore o al pi uguale a un assegnato valore;

Il tempo di ritorno T(h) come il tempo medio intercorrente tra il verificarsi di due eventi successivi di uguale o superiore entit ad un valore di assegnata intensit ovvero come

linverso della probabilit di superamento P(h).

La frequenza relativa F(h) come il rapporto tra la frequenza assoluta (numero di volte che un valore si ripete in un campione) e la dimensione del campione; la frequenza relativa,

dunque, indica la percentuale di elementi del campione compresi in quella classe, ovvero la

frequenza con cui si presenta un qualsiasi elemento contenuto in una classe.

La frequenza un valore statistico che guarda ad un numero limitato di osservazioni mentre la

probabilit immagina di conoscere tutte le osservazioni possibili. Di fatto, allaumentare della

dimensione del campione, la frequenza tende alla probabilit.

Si pu passare al confronto dei valori tabellati nelle tabelle riportate di seguito (tab_12-16)

Prima di tutto si noti come al crescere delle altezze di precipitazione (ordinate in ordine crescente)

crescano anche i valori di T(h) F(h) P(h). Il tempo di ritorno inferiore per valori pi bassi e cresce

al crescere dei valori delle altezze. L dove si hanno due valori uguali di h , sono uguali anche gli

altri valori.

La maggior parte delle h compresa in T(h) da 1 a 3.

Per eventi di intensit elevata (si ricordi la definizione di intensit come il rapporto tra laltezza di

precipitazione e la durata), come ad esempio il valore F(h)=1 nella tabella 1 ora, ovvero il valore

che chiude lintervallo, il tempo di ritorno elevato (39,26), cos come la probabilit di trovare un

valore inferiore elevata (0,97).

Al contrario se prendiamo un valore che ha unaintensit bassa (ad esempio F(h)=0,03 per tutti e 5 i

campioni) il tempo di ritorno molto basso (1,01-1,05) e la probabilit di avere in futuro un valore

di intensit inferiore molto bassa (0,01-0,05).

tab_12. Confronto tra T(h), F(h), P(h) per il campione 1 ora

N hp

(mm) T(h) F(h) P(h)

t=1 ora

1 9,40 1,01 0,03 0,01

2 12,00 1,05 0,06 0,04

3 12,20 1,05 0,09 0,05

4 13,60 1,09 0,12 0,08

5 14,00 1,11 0,15 0,10

6 15,20 1,16 0,18 0,14

7 16,40 1,23 0,24 0,19




8 16,40 1,23 0,24 0,19

9 16,80 1,26 0,26 0,21

10 18,00 1,36 0,29 0,27

11 18,60 1,42 0,32 0,30

12 19,00 1,47 0,35 0,32

13 19,40 1,51 0,38 0,34

14 19,60 1,54 0,41 0,35

15 20,60 1,68 0,44 0,40

16 21,00 1,74 0,47 0,42

17 22,00 1,91 0,50 0,48

18 23,90 2,31 0,53 0,57

19 25,00 2,61 0,56 0,62

20 25,20 2,67 0,59 0,63

21 25,60 2,79 0,62 0,64

22 26,00 2,93 0,65 0,66

23 26,60 3,14 0,68 0,68

24 27,20 3,37 0,71 0,70

25 28,20 3,80 0,74 0,74

26 29,00 4,20 0,76 0,76

27 29,60 4,53 0,79 0,78

28 32,60 6,68 0,82 0,85

29 35,00 9,21 0,85 0,89

30 35,40 9,73 0,88 0,90

31 36,60 11,46 0,91 0,91

32 36,80 11,78 0,94 0,92

33 42,00 24,29 0,97 0,96

34 45,40 39,26 1,00 0,97

tab_13. Confronto tra T(h), F(h), P(h) per il campione 3 ore

N hp

(mm) T(h) F(h) P(h)

t=3 ora

1 19,80 1,05 0,03 0,05

2 20,00 1,06 0,09 0,06

3 20,00 1,06 0,09 0,06

4 23,00 1,15 0,12 0,13

5 23,20 1,16 0,15 0,14

6 24,60 1,23 0,18 0,19

7 25,20 1,27 0,21 0,21

8 26,00 1,32 0,24 0,24

9 26,40 1,35 0,26 0,26

10 26,60 1,37 0,29 0,27

11 27,00 1,40 0,32 0,29

12 27,20 1,42 0,35 0,29

13 27,40 1,43 0,38 0,30

14 27,60 1,45 0,41 0,31




15 28,40 1,53 0,44 0,35

16 29,20 1,62 0,47 0,38

17 30,20 1,74 0,50 0,43

18 32,00 2,01 0,53 0,50

19 32,40 2,08 0,56 0,52

20 35,20 2,67 0,59 0,62

21 35,60 2,77 0,62 0,64

22 35,80 2,82 0,65 0,65

23 36,80 3,11 0,71 0,68

24 36,80 3,11 0,71 0,68

25 38,00 3,50 0,74 0,71

26 39,00 3,88 0,76 0,74

27 41,60 5,09 0,79 0,80

28 42,00 5,32 0,82 0,81

29 44,00 6,61 0,85 0,85

30 44,60 7,07 0,88 0,86

31 48,20 10,59 0,91 0,91

32 52,60 17,58 0,94 0,94

33 53,90 20,45 0,97 0,95

34 66,00 85,39 1,00 0,99


N hp

(mm) T(h) F(h) P(h)

t=6 ore

1 21,20 1,00 0,03 0,00

2 26,40 1,02 0,06 0,02

3 30,00 1,10 0,09 0,09

4 31,00 1,13 0,12 0,12

5 32,60 1,21 0,15 0,17

6 32,80 1,22 0,18 0,18

7 34,00 1,29 0,21 0,23

8 34,60 1,34 0,24 0,25

9 35,00 1,37 0,29 0,27

10 35,00 1,37 0,29 0,27

11 35,80 1,44 0,32 0,30

12 36,40 1,49 0,35 0,33

13 36,80 1,54 0,38 0,35

14 37,20 1,58 0,41 0,37

15 37,60 1,63 0,44 0,38

16 38,00 1,67 0,47 0,40

17 38,60 1,75 0,50 0,43

18 39,40 1,87 0,53 0,46

19 39,60 1,90 0,56 0,47

20 43,40 2,67 0,59 0,63

21 45,00 3,13 0,62 0,68




22 45,40 3,25 0,65 0,69

23 47,00 3,84 0,68 0,74

24 47,80 4,18 0,71 0,76

25 48,00 4,27 0,74 0,77

26 48,70 4,60 0,76 0,78

27 48,80 4,65 0,79 0,78

28 49,60 5,07 0,82 0,80

29 50,00 5,30 0,85 0,81

30 52,60 7,09 0,88 0,86

31 57,00 11,79 0,91 0,92

32 59,20 15,27 0,94 0,93

33 61,60 20,32 0,97 0,95

34 69,60 53,31 1,00 0,98


N hp

(mm) T(h) F(h) P(h)

t=12 ore

1 34,20 1,05 0,03 0,05

2 34,80 1,06 0,06 0,05

3 36,20 1,08 0,09 0,07

4 36,40 1,08 0,12 0,08

5 37,80 1,12 0,15 0,10

6 39,40 1,16 0,18 0,14

7 41,40 1,23 0,21 0,19

8 42,80 1,29 0,24 0,22

9 44,80 1,39 0,26 0,28

10 45,40 1,43 0,29 0,30

11 45,60 1,44 0,32 0,31

12 46,60 1,51 0,35 0,34

13 47,00 1,53 0,38 0,35

14 48,80 1,68 0,41 0,40

15 49,60 1,75 0,44 0,43

16 50,60 1,84 0,47 0,46

17 53,00 2,12 0,50 0,53

18 53,60 2,19 0,53 0,54

19 54,40 2,30 0,56 0,57

20 54,60 2,33 0,59 0,57

21 56,00 2,55 0,62 0,61

22 56,60 2,65 0,65 0,62

23 57,20 2,76 0,68 0,64

24 60,00 3,33 0,71 0,70

25 61,40 3,68 0,74 0,73

26 61,60 3,73 0,76 0,73

27 61,80 3,78 0,79 0,74

28 63,40 4,24 0,82 0,76

29 67,00 5,54 0,85 0,82




30 70,80 7,40 0,88 0,86

31 71,80 8,00 0,91 0,88

32 77,00 12,06 0,94 0,92

33 92,80 43,62 0,97 0,98

34 100,60 83,09 1,00 0,99


N hp

(mm) T(h) F(h) P(h)

t=24 ore

1 38,00 1,01 0,03 0,01

2 40,80 1,01 0,06 0,01

3 42,80 1,02 0,09 0,02

4 47,80 1,08 0,12 0,07

5 49,00 1,10 0,15 0,09

6 52,40 1,18 0,18 0,15

7 53,40 1,21 0,21 0,17

8 54,00 1,23 0,24 0,19

9 56,20 1,31 0,26 0,24

10 57,00 1,35 0,29 0,26

11 57,40 1,37 0,32 0,27

12 60,40 1,53 0,35 0,35

13 63,80 1,77 0,38 0,43

14 65,00 1,87 0,41 0,47

15 67,60 2,13 0,44 0,53

16 68,00 2,17 0,47 0,54

17 68,20 2,20 0,50 0,54

18 68,80 2,26 0,53 0,56

19 69,00 2,29 0,56 0,56

20 71,00 2,55 0,59 0,61

21 73,00 2,85 0,62 0,65

22 73,40 2,92 0,68 0,66

23 73,40 2,92 0,68 0,66

24 75,00 3,21 0,71 0,69

25 78,40 3,93 0,76 0,75

26 78,40 3,93 0,76 0,75

27 80,00 4,34 0,79 0,77

28 83,60 5,46 0,82 0,82

29 91,00 8,90 0,85 0,89

30 91,40 9,15 0,88 0,89

31 95,40 12,00 0,91 0,92

32 103,80 21,46 0,94 0,95

33 104,20 22,07 0,97 0,95

34 105,00 23,34 1,00 0,96




Confronto tra curve di pioggia / curve dei casi critici / curve di

probabilit pluviometrica Questi tipi di curve partono dagli stessi dati e giungono a risultati differenti.

Le prime due si ripropongono di interpolare dati osservati, le curve di probabilit pluviometrica,

invece, vanno ad interpolare dati stimati.

Le curve di pioggia ci informano su ci che avvenuto in un determinato anno, le curve dei casi

critici hanno connotazione statistica e ci informano su ci che avvenuto ad una certa frequenza, le

ultime hanno connotazione probabilistica e ci informano su ci che probabilmente avvenuto nel

tempo, ovvero si ripropongono di darci uninformazione pi oggettiva e temporalmente al di fuori

della nostra osservazione.

Le curve di pioggia vanno ad interpolare i dati misurati dagli Annuali Idrologici (ricordiamo che

questi dati rappresentano i massimi annuali rilevati per le durate di 1-3-6-12-24 ore).

Se prendiamo una sola curva di pioggia questa ci d informazioni relative ad una sola osservazione,

ci dice ci che avvenuto in un dato momento. Queste curve, seppur rilevate nella stessa stazione

possono riportare dati diversi tra loro, si noti ad esempio le due curve in fig_14 e fig_15,

nonostante siano state rilevate nella stessa stazione ed a pochi anni di distanza, la prima, in fig_14,

ha un valore h(t=24) doppio del corrispondente valore in fig_15.

fig_14. Curva di pioggia relativa allanno 1968, stazione di Moliterno

fig_15. Curva di pioggia relativa allanno 1970, stazione di Moliterno

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0 5 10 15 20 25 30

hp

(m

m)

t (ore)

Andamento precipitazioni

Curva di Pioggia

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

0 5 10 15 20 25 30

hp

(m

m)

t (ore)

Andamento precipitazioni

Curva di Pioggia




Se prendiamo linterno fascio di curve di pioggia, riportato in fig_16, notiamo come una delle curve

sia quasi sempre al di sopra delle altre, questa infatti la curva che ha valori di altezza di pioggia

pi alti quasi per ogni durata. Le prime tre curve dallalto si staccano dal fascio, ed hanno valori di

h tra i pi alti. Le altre curve si intersecano tra di loro, infatti hanno valori molto vicini delle altezze

di pioggia, in alcuni casi i valori si ripetono come possiamo vedere in tab_17.

La curva che resta quasi per ogni valore al di sopra di tutte quella dellanno 1971.

Tab_17. Stralcio tab_1, valori delle altezze di precipizazione per anni.

Anno hp (mm) hp (mm) hp (mm) hp (mm) hp (mm)


1968 16,80 27,40 37,20 53,60 104,20

1969 20,60 48,20 48,80 48,80 54,00

1970 19,60 32,00 39,60 42,80 42,80

1971 35,00 36,80 50,00 92,80 105,00

1972 12,20 20,00 26,40 36,20 67,60

1974 13,60 27,20 47,80 70,80 73,40

1977 9,40 19,80 21,20 34,20 49,00

1978 45,40 66,00 69,60 71,80 78,40

fig_16. Curve di pioggia dal 1934 al 1978, stazione di Moliterno

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30

h(m

m)

durata (ore)




Nel caso dei casi critici, abbiamo ordinato i valori di ogni campione in ordine descescente. Questo

ci consente di considerare gli eventi che sono avvenuti ad una certa frequenza di non superamento.

Le curve di pioggia dei casi critici vanno ad interpolare questi dati, che sono sempre frutto di

osservazione, ma ordinati per frequenza.

In fig_17 sono state riportate le curve dei casi critici. A differenza delle precedenti non si

intersecano, anche in questo casi ci sono alcune curve che staccano il gruppo ed altre che sono

molto vicine tra loro. Possiamo notare dalla tab_18 come i primi 8 casi critici siano cmpresi in un

intervallo circa uguale a quello della maggior parte degli altri casi critici.

tab_18. Valori di alcuni casi critici

casi critici

hp (mm)

hp (mm)

hp (mm)

hp (mm)

hp (mm)


1 3 6 12 24

1 45,40 66,00 69,60 100,60 105,00

8 29,60 41,60 48,80 61,80 80,00

9 29,00 39,00 48,70 61,60 78,40

29 15,20 24,60 32,80 39,40 52,40

30 14,00 23,20 32,60 37,80 49,00

31 13,60 23,00 31,00 36,40 47,80

34 9,40 19,80 21,20 34,20 38,00

fig_17. Curve dei primi cinque casi critici.

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0 5 10 15 20 25 30

alte

zza

hp

(m

m)

durata t (ore)




Le curve osservate fino ad ora descrivono i campioni per ci che sono, e sono scollegate dal fattore

tempo. I valori stimati utilizzati nelle curve di probabilit pluviometrica sono dipendenti dal tempo

di ritorno, ci danno quindi indormazioni su ci che probabilmente avvenuto, sta avvenendo o

avverr con una certa ricorrenza temporale.

Queste curve ci sono utili nella progettazione, poich si utilizzano valori di altezze di pioggia

diversi in base a cosa si sta progettando e, di conseguenza, al tempo di ritorno (fig_18)

fig_18. Tempi di ritorno per la progettazione di opere idrauliche.

Le curve di probabilit pluviometrica sono riportate in fig_19. Affermare che le altezze massime

hanno lo stesso periodo di ritorno equivale a dire che hanno la stessa frequenza di accadimento,

ovvero che mediante tali valori vengono raggiunti o superati a distanza di uguali intervalli di tempo.

Inoltre, a parit di durata, si nota che pi un evento estremo pi raro.

fig_19. Curve di probabilit pluviometrica

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

160,00

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00

ht

(mm

)

durata (ore)

10 anni

20 anni

30 anni

40 anni

50 anni

100 anni

200 anni

500 anni




In conclusione, con le curve di pioggia osserviamo ci che accade anno per anno.

Con le curve ei casi critici osserviamo statisticamente cosa accaduto negli anni di osservazione.

Con le curve di probabilit viene aggiunta uninformazione riguardo alla probabilit di avere eventi

di una certa entit con un certo tempo di ritorno. Sono diverse dalle precedenti a causa della loro

connotazione probabilistica e per il fatto che non si riferiscono solo ad un campione ma a tutte le

osservazioni possibili.

analisi delle precipitazioni della stazione di moliterno

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