Kinematika Prva i druga parcijala ( teorija i zadaci )

Mešanović MirzaI-467/12

Odgovori sa završnog ispita 15.07.2014Prva parcijala

1.) Kada se kretanje tačke smatra zadanim ?

Kretanje tacke se smatra zadanim ako postoji mogućnost odredjivanja položaja tačke u svakom trenutku vremena u odnosu na dati (izabrani) sistem referencije.

2.) Šta je vektor položaja ?

Vektor položaja je usmjerena dužina kojoj je početak u ishodištu sustava a kraj (strelica) "prati" točku dok se giba. Koordinate i vektor položaja često se pišu bez eksplicitne oznake ovisnosti o vremenu, jer se ona kod gibanja i tako podrazumijeva.

3.) Vektor brzine pokretne tačke u datom trenutku

Sa slike vidimo da je r→

1=r→+ MM1

______

, odakle je

vsr

→=

Δr→

Δt . MM1

______

=r→

1−r→+= Δr

→

.

Prema tome, vektor srednje brzine premjestanja pokretne tacke za dati interval vremena Δt, jednak je odnosu prirastaja radius vektora za taj interval i samog tog vremenskog intervala.

v→= lim

Δt→ 0v sr

→= lim

Δt →0

Δr→

Δt

Granicna vrijednost kojoj tezi srednja brzina premjestanja pokretne tacke kada Δt→0 nazivamo vektorom brzine tacke u datom trenutku i oznacavamo sa v→.

Vektor brzine tacke u datom trenutku dat je izrazom: v→=

d r→

dt=r

→¿

.Prema tome vektor brzine tacke u datom trenutku jednak je prvom izvodu radius vektora pokretne tacke po vremenu u tom trenutku.

4.) Šta je sektorska brzina ?

Ako je interval vremena ∆ t=t 1−t mali onda se prirastaj povrsine ∆ σ za taj interval moze napisati u obliku

∆ σ=(12)[ r , ∆ r ]

Odnos izmedu prirastaja povrsine koju prebrise radijus vektor r i odgovarajuceg intervala vremena ∆ t , predstavlja srednju sektorsku brzinu tj.

V σsr=∆ σ∆ t

=12 [ r ,

∆ r∆ t ]

Granična vrijednost srednje sektorske brzine za slučaj da ∆ t →0 je sektorska brzina tačke u datom trenutku vremena

V σ= lim∆ t →0

∆ σ∆ t

=12

[ r , v ]

tj.dvostruka sektorska brzina tacke u odnosu na neki centar, jednaka je momentu brzine te tacke u

odnosu na isti centar.

Sektorska brzina zavisi od izabranog centra zbog toga je pri zadavanju sektorske brzine potrebno naglasiti u odnosu na koji centar je data ta sektorska brzina.

5.) Translatorno kretanje tijela Translatornim kretanjem tijela nazivamo takvo kretanje tijela kod koga proizvoljna prava, kruto

vezana za tijelo, ostaje, za cijelo vrijeme kretanja, paralelna svom početnom položaju.

r (t )=r0 (t )+ ρ ( t )(1)

Predpostavimo da su nam poznate jednačine kretanja tačke u oblikuξ0=f 1 (t ) , η0=f 2 (t ) , ζ 0=f 3(t)

onda se projeciranjem jednačine (1) na ose nepomičnog sistema Ω ξηζ dobijaju jednačine kretanjaξ=ξ0+a0 ,η=η0+b0 , ζ=ζ 0+c0

gdje su a0 , b0 , c0 kordinate vektora ρ .Prethodne jednačine se nazivaju zakonima ili jednačinama translatornog kretanja tijela.

d rdt

=d (r0 )

dt

ili

(V m )=(V 0 ) (2)

Ima dva raličita slučaja :

1.) Kada su brzine pojedinih tačaka međusobno jednake u svakom trenutku vremena t ,takvo kretanje nazivamo permanentnim translatornim kretanjem tijela.

Osobine permanentnog kretanja :

a) putanje svih tacaka tijela su konvergentne krive linije

b)brzina bilo koje tacke tijela ,u svakom trenutku vremena jednaka je brzini ishodista O pokretnog sistena tj. brzine tačaka tijela medjusobno su jednake u bilo kom trenutku vremena

c)ubrzanje svih tacaka tijela medjusobno su jednaka u bilo kom trenutku vremena

2.) Kada je jednačina (2) zadovoljena samo u određenom trenutku t=t 1,takvo kretanje nazivamo trenutnim translatornim kretanjem tijela.

Druga parcijala 1. ) Šta su trenutni centri obrtanja i kako se određuju ?Trenutni centar obrtanja predstavlja tačku oko koje ako načinimo rotaciju za beskonačno mali ugao ravna figura će preći iz datog u njemu beskonačno bliski položaj.Brzina tačaka A,B i C ravne figure biće,u datom trenutku,normalne na radius obrtanja,koji spajaju dotične tačke sa trenutnim centrom ( polom ) obrtanja P.

Brzina tačke ravne figure,koja se poklapa sa trenutnim polom obrtanja,u datom trenutku,jednaka je nuli.Ta se onda tačka naziva i trenutnim polom (centrom ) brzina.Poznavanjem položaja trenutnog pola obrtanja P,možemo,u datom trenutku,odrediti i pravac brzine bilo koje tačke ravne figure.Za određivanje položaja trenutnog centra obrtanja dovoljno je poznavati pravac brzine dviju tačaka ravne figure,jer se u u prosjeku normala na pravac brzina u odgovarajućim tačkama nalazi trenutni centar obrtanja.

2.) Kako se određuje trenutni pol ubrzanja ?Ako ravna figura vrši netranslatorno kretanje u svojoj ravni onda uvijek postoji jedna tačka,u ravni kretanja,čije je ubrzanje jednako nuli.Tu tačku nazivamo trenutnim polom ubrzanja ravne figure.

Trenutni pol ubrzanja se određuje na sledeci način :

1.) Iz tačke A povucimo polupravu AN pod uglom β ,prema ubrzanju a A ,koji je definisan izrazom

tgβ=|ε|ω2

Ugao α nanosimo od vektora a A u smjeru obrtanja ravne figure ako su ω i ε istog smjera i u suprotnom ako su su ω i ε raličitog smjera.

2.)Na polupravoj AN nanosimo duž

AQ=aA

√ε2+ω4

Ubrzanje tačke Q ako je tačka A polaQ=a A+aQA

Intezitet ubrzanja tačke Q oko pola A

aQA=AQ √ε2+ω4

Vektori a A i aQA su kolinearni i usmjereni na suprotne smjerove,tj.aQA=−aA

aQ=0

Tačka Q predstavlja trenutni pol ubrzanja.Pri kretanju ravne figure u njenoj ravni položaj njenog trenutnog pola ubrzanja neprekidno se mijenja.

3.)Kako se određuje trenutna ugaona brzina kod sfernog kretanja ?Trenutna obrtna osa je geometrijsko mjesto tačaka tijela,čije su brzine u datom trenutku jednake

nuli.Ugaona brzina

ω= lim∆t →0

∆ φ∆ t

kojom se vrši rotacija oko trenutne obrtne ose predstavlja trenutnu ugaonu brzinu tijela.

Pri ovome treba imati u vidu da veličina lim∆t →0

∆ φ∆ t

ne predstavlja izvog ugla φ po vremenu t ,jer pri

kretanju tijela oko nepomične tačke takav ugao ne postoji.Odavde slijedi da pri ovakvom kretanju tijela nije moguće njegovu ugaonu brzinu odrediti kao izvod nekog ( jednog ) ugla po vremenu.

Prema tome trenutna ugaona brzina ω mora biti neposredno zadana u funkciji od vremena.Trenutnu ugaonu brzinu možemo predstaviti u obliku vektora ω , koji je usmjeren duž trenutne

obrtne ose OP,a ima takav smjer da gledmo iz vrha vektora vidimo obrtanje oko trenutne obrtne ose u suprotnom smjeru od obrtanja kazaljke na satu.

4.) Složeno kretanje tijela.Slaganje obrtnih kretanja tijela oko paralelnih osa.Slučaj kada su trenutne ugaone brzine komponentalnih kretanja usmjere u istu stranu.Neka su A i B tačke prodora osa Oz i O1 ζ kroz ravan π .

vc=vr+ v pvr=BC ω1vr=AC ω2

vc=BC ω1−AC ω2=0 ω1

ω2

=ACBC

vA=v p+vr=ω1 AB+ω2∗0vA=ω1 AB

vA=ω ACω AC=ω1 ABω=ω1+ω2

Ako tijelo istovremeno učestvuje u dvije rotacije,oko paralelnih osa u istom smjeru,ugaonim brzinama ω1i ω2

,apsolutno kretanje tijela je trenutno obrtanje ugaonom brzinom ω=ω1+ω2,

u smislu komponentnih ugaonih brzina duž trenutne ose paralelne osama komponentalnih ugaonih brzina i sa njima leži u istoj ravni.

5.)Jedinica za ugaono ubrzanje ?Ugaono ubrzanje je promjena ugaone brzine po jedinici vremena.

ε= lim∆t →0

∆ ω∆ t

=dωdt

( 1s2

)

Pitanja sa završnog ispita 17.06.20143.)Šta je sektorska brzina ? –odgovoreno ranije5.)Kako se određuje trenutni pol ubrzanja ? –odgovoreno ranije1.)Zakon kretanja tačke za vektorski način definisanja kretanja tačkePri kretanju tacke M njen radijus vektor se mijenja u funkciji argumenta (t) i u opcem slucaju on se mijenja kako po intenzitetu tako i po pravcu i smjeru. Takvu vektorsku velicinu nazivamo vektor

funkcijom skalarnog argumenta (t) i oznacavamo simbolom

r→=r

→( t )

Jednačinu r→=r

→( t )

nazivamo jednačinom kretanja ili zakonom

kretanja tačke u vektorskom obliku.

2.) Vektor srednje brzine premještanja pokretne tačkeVektor ∆ r ,čiji je početak u tački M ,a kraj u M 1,nazivamo vector premještanja pokretne tačke za dati

interval vremena ∆ t=t 1−t .Količnik vektora premještanja tačke i interval vremena za koji se to premještanje desilo predstavlja vector srednje ( prosječne ) brzine premještanja tačke u tom interval vremena.

vsr=MM1

∆ t

r1= r+ MM1MM1=r 1−r=∆ r

vsr=MM1

∆ t=∆ r

∆ t

Vektor srednje brzine premještanmja pokretne tačke ,za dati interval vremena ∆ t ,jednak je odnosu priraštaja radius-vektora za taj interval vremena i samg tog vremenskog intervala.4.)Šta je ravno kretanje tijela i koje su jednačine ravnog kretanja?Kretanje tijela nazivamo ravnim,ako se tačke tijela kreću u ravnima,koje su paralelne nepomičnoj referentnoj ravni.Proučavanje ravnog kretanja tijela svodi se na proučavanja kretanja neizmjenjive ravne figure u njenoj ravni.Pri kretanju figure S u ravni Oξη mijenjaju se,u funkciji vremena,veličine ξk , ηk , φ.Te promjenu javljaju se kao neprekdine,jednoznačne i diferencijabilne funkcije vremena t.

ξ A=f 1 (t ) , ηA=f 2 ( t ) , φ=f 3(t)Prethodne jednačine predstavljaju jednačine ( zakone ) ravnog kretanja tijela.

6.)Intenzitet,pravac i smjer Koriolisovog ubrzanja ?

Koriolisovim ubrzanjem nazivamo onu komponentu apsolutnog ubrzanja koa je jednaka dvostrukom vektorskom produktu prenosne ugaone brzine i relativne brzine tačke.

acor=2 [ωp , vr ]

Do Koriolisovog ubrzanja doći će ako su ispunjena slijedeća dva uslova :1.) Ako usljed relativnog kretanja tačke,u odnosu na pokretni sistem referencije ,dođe do promjene

prenosne brzine tačke.2.)Ako usljed obrtnog prenosnog kretanja dođe do dopunske promjene pravca vektora relativne

brzine u odnosu na nepomični sistem referencije.acor=2ω p vr sin(¿ ω p , vr)¿

Pravac Koriolisovog ubrzanja određuje se po pravilu vektorskog proizvoda.

Da bi našli smjer i pravac Koriolisovog ubrzanja,potrebno je projektovati vector relativne brzina na ravan,koja je upravna na osu prenosne rotacije i zarotirati tu projekciju,u toj ravni ,za 〖90〗^0 u stranu prenosne rotacije.

acor=2ω p vr

Dodatna pitanja : 1.) Sta je kinematika ? to je dio mehanike koji proucava mehanicka kretanja ne uzimajuci u obzir njihove uzroke ,to jest sile ni masu predmeta koji se krecu .proucava dakle kretanja geometrijskih tvorevina:tacke (materijalne tacke),duzine(duzi,stapa),ravni i zapremine (tijela) metodama matematike uz uvodjenje vremena.Dijeli se na kinematiku (materijlne ) tacke i kinematiku krutog tijela.

2.) Sta je sistem referencije ? u kinematici se izucavaju mehanicka kretanja to jest uz neprekidnu promjenu vremena izucavamo promjenu polozaja tijela (ili tacke) u odnosu na neko drugo tijelo .to drugo tijelo nazivamo tijelom referencije a koordinatni sistem koji je za njega kruto vezan sistemom referencije .

3.)Osnovne jedinice Si sistema ? duzina -l (metar) masa –m (kilogram) vrijeme-t (sekunda) elektricna struja-I (amper)termodinamicka temparatura-T (kelvin )kolicina materije-n (mol) svjetlosna jacina I v (candela)

4.)Nacini definisanja krivolinijskog kretanja tacke – Postoje tri ,najvise rasprostranjena nacina definisanja krivolinijskog kretanja tacke i to su : 1) vektorski 2)koordinatni ili analiticki 3) prirodni.

5.) Hodograf vektora brzine- predstavlja geometrijsko mjesto vrhova vektora brzine pokretne tacke nanesenih iz jedne prizvoljne tacke prostora.

6.)Jednačina hodografa brzine

ξ=f 1' ( t ) , η=f 2' ( t ) , ζ=f 3' ( t )Ove jednacine mozemo posmatrati kao parametarski oblik, da bi se dobio analiticki oblik dovoljno je

da se iz tih jednacina eliminise parametar t.

7.)Vektor ubrzanja tacke u datom trenutku vremena-

Dijeljenje vektora Δv→sa odgovarajucim intervalom

vremena Δt dobijemo vektor asr

→=

Δ v→

Δt kojeg nazivamo vektorom srednjeg ubrzanja tacke za dati

interval vremena. asr

→=

d2r→

dt 2=r

→¿⋅¿

¿- vektor ubrzanja

tacke u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora brzine tacke po vremenu ili drugom izvodu radius vektora tacke po vremenu. Vektor

ubrzanja tacke u datom trenutku vremena lezi u ravni trajektorije i usmjerene je u stranu zakrivljenosti krivolinijske trajektorije.

Osnovna jedinica za ubrzanje je 1m/s2. kod kretanja gdje su ubrzanja velika kao osnovna mjera se uzima 1km/s2.

8.)Jedinica za brzinu –m/s

9.)Jedinica za ubrzanje – m/s2

10.) Metod Dekartovih pravouglih kordinata.Jednacina trajektorije pokretne tacke .x=f 1(t) , y=f 2(t) , z=f 3(t ) Vrijeme t smatra se parametrom onda te jednacine predstavljaju i parametarske jednacine trajektorije pokretne tacke.Eliminacijom parametra t iz ovih jednacina dobijamo jednacinu trajektorije tacke u koordinatnom (analitickom ) obliku. Tako npr eliminaciijom parametra t iz jednacina 1.10 dobijamo jedan od sljedecih sistema od po dvije jednacine : ϕ (x , y)=0ψ (x , z)=0 ;ϕ (x , y )=0 λ ( y , z )=0 ,ψ (z , x )=0 λ ( y , z )=0 ; Svaki od ovih sistema po dvije jednacine predstavlja trajektoriju tacke kao presjek dvije cilindricne povrsine.trajektoriju tacke mozemo naci i geometrijski,na taj nacin sto koristenjem jednacina kretanja nanesemo niz uzastopnih polozaja poketne tacke u odnosu na usvojeni sistem referencije pa te polozaje spojimo.

11.) Odredjivanje brzine tacke u datom trenutku vremena u dekartovim pravouglim koordinatama

Pretpostavimo da su nam date jednacine kretanja preko pravouglih Dekartovih koordinata.Ako sa i,j,k oznacimo jedinicne vektore duz osa usvojenog sistema tada se radius vektor pokretne tacke M moze napisati u obliku r=x i+ y j+z k ,gdje su x, y, z projekcij radius vektora na odgovarajuce ose

usvojenog sistema.Jedinicni vektori i , j , k su konstanog pravca i smjera jer pretpostavljamo da su ose Ox,Oy,Oz nepomicne.Vektor brzine u datom trenutku vremena dat je izvodom njenog radius vektora

po vremenu to jest : v=d rdt

=dxdt

i+ dydt

j+ dzdt

k.

vx=dxdt

, v y=dydt

, v z=dzdt

Projekcije vektora brzine na nepomicne ose Dekartovog sistema jednake su prvim izvodima odgovarajucih koordinata pokretne tacke po vremenu .

Poznavanje projekcije vektora brzine na ose Dekartovog sistema moemo naci i intenzitet vektora brzine po formuli

v= |v| =+ √v x2+v y

2+v z2=+√ x2+ y2+ z2.

Da bismo odredili pravac vektora v potrebno je naci i uglove koje vektor v gradi s pozitivnim smjerovima koordinatnih osa .Kosinusi ovih uglova dati su izrazima :

cos ∠ ( v , i) = v x

v= x

√ x2+ y2+ z2 ,

cos ∠ ( v , j) = v y

v= y

√ x2+ y2+ z2 ,

cos ∠ ( v , k ) = v z

v= z

√ x2+ y2+ z2 .

12.) Odredjivanje ubrzanja tacke u datom trenutku vremena u dekartovim pravouglim kordinatamaVektor ubrzanja u datom trenutku jednak je izvodu vektora brzine po vremenu tj.

asr

→=

d v→

dt=

d2r→

dt2,

kako je radijus vektor dat izrazom to je

a=d2 xd t 2

i+ d2 yd t 2

j+ d2 zd t 2

k

gdje su i, j, k –const.

ax=d2 xdt 2

= x , ay=d2 ydt2

= y , az=d2 zdt2

= zax=d v x

dt 2= vx ay=

d v y

dt2= v y , az=

d vz

dt 2= vz

Projekcije vektora ubrzanja na ose nepomičnog Dekartovog pravouglog sistema jednake su prvim izvodima po vremenu odgovorajućih projekcija vektora brzina na te iste ose ili drugim izvodima

odgovarajućih kordinata pokretne tačke po vremenu.

a=|a|=+√ax2+a y

2+az2=+√ x2+ y2+ z2

cos ∠ ( a , i) = ax

a= x

√ x2+ y2+ z2

cos ∠ ( a , j) = ay

a= y

√ x2+ y2+ z2

cos ∠ ( a , k ) = az

a= z

√ x2+ y2+ z2

13.) Jednacina kretanja tacke u polarnim koordinatama – Kada tacka za cijelo vrijeme kretanja ostaje u jednoj ravni vrlo cesto se za odredjivanje polozaja tacke koriste polarne koordinate r i φ,gdje je r rastojanje pokretne tacke od pola O a φ je ugao sto ga obrazuje radius-vektor pokretne tacke OM sa polarnom osom (p) .Pri kretanju tacke M njene polarne koordinate r i φ se mjenjaju sa vremenom pa ce jednacine kretanja u ovim sistemima biti date izrazima r=f 1 ( t )φ=f 2(t) Funkcije f 1 ( t ) i f 2( t) moraju biti jednoznacne,neprekidne i dvaput diferencijabilne.Jednacinu trajektorije tacke u polarnim koordinatama dobijamo eliminacijom parametra t iz gornjih jednacina u obliku r=r (φ) .14.)Brzina tacke u datom trenutku u polarnim koordinatama (str 20)

v=vr+ vφ

vr=drdt

r 0 - radijalna komponenta vektora brzine koja je usmjerena

u pravcu povecanja radius vektora pokretne tacke i karakterise

promjenu tog vektora samo po intenzitetu a vφ=rdφdt

p0 -

transverzalna (cirkularna) komponenta vektora brzine usmjerena uvijek upravno na radius-vektor pokretne tacke i ima smjer povecanja ugla.Ova komponenta karakterise promjenu radius vektora po pravcu. Intenzitet vektora brzine dat je sljedecim izrazom :

v=√vr2+v φ

2=√( drdt )

2

+( dφdt )

2

.

U specijalnom slucaju kada se radius vektor mijenja samo po intenzitetu u pitanju je pravolinijsko

kretanje i tada postoji samo radijalna komponenta tj cirkularna je jednaka nuli vφ=rdφdt

=0 pa je

vektor brzine odredjen izrazom v=vr=drdt

r 0 .

Drugi specijalni slucaj je kada radius vektor zadrzava konstantan intenzitet r=const tada je kretanje po kruznici i naziva se kruzno kretanje .u ovom slucaju radijalna komponenta je jednaka nuli

vr=drdt

r 0 ,pa je vektor brzine odredjen izrazom : v=vr=¿ vφ=dφdt

p0.

15.)Ubrzanje tačke u datom trenutku u polarnim kordinatama

Vektor ubrzanja moze se predstaviti u obliku zbira dvije komponente: radijalne (ar

→)i cirkularne (aϕ

→)

koje su date izrazima:

ar

→=[ d2r

dt2−r ( dϕ

dt )2 ]r0→

,

aϕ

→=[ d2ϕdt 2

−2 drdt

dϕdt ] ρ0→

.

Intenzitet vektora mozemo napisati u obliku a=√ar2+aϕ

2.

16.)Zakon kretanja tacke u prirodnim koordinatama –Prirodni nacin definisanja kretanja tacke primjenjuje se u slucaju kada nam je poznata trajektorija tacke u odnosu na usvojeni sistem referencije. Ta trajektorija moze biti prava ili prostorna kriva linija.

U tom smislu pretpostavimo da se tacka M krece po prostornoj krivoj u odnosu na izabrani sistem referencije Oxyz.

29.Pri kretanju racke M po trajektoriji (s) se mijenja u funkciji vremena (t) tj.

s=f (t ) jednacina kretanja tacke po datoj trajektoriji.

17.)Veza izmedju koordinatnog kretanja tacke za slucaj Dekartovih koordinata –Slucaj Dekartovoih koordinata-ako je kretanje tacke definisano preko Dekartovih koordinata u obliku x = f 1(t), y = f 2(t), z = f 3(t). Onda je za prelaz na prirodni nacin neophodno odrediti : 1) jednacinu trajektorije tacke 2) polozaj tacke A (x A, y A , zA,)3) zakon kretanja duz trajektorije . Jednacinu trajektorije odredicemo eliminacijom parametra t iz jednacina kretanja,dok koordinate tacke A mozemo odrediti uvrstavajuci u jednacine kretanja t=0 .Iz diferencijalne geometrije je

poznato da se element luka trajektorije ds moze napisati u obliku ds = ±√d x2+d y2+d z2 gdje znak

plus oznacava povecanje koordinate a s minus smanjenje. Integriranjem ove jednacine dobijamo zakon kretanja

∫s0

s

ds=± ∫0

1

√d x2+d y2+d z2 ili s=s0∫0

1

√ x2+ y2+ z2dt gdje su

x = f ' 1(t) , y = f ' 2(t) , z = f ' 3(t) , prvi izvodi jednacina kretanja po vremenu.Ako bi se tacka kretala duz neke prave u tom slucaju ocigledno je da se koordinatni nacin svodi na prirodan.

18.) Brzina tacke u datom trenutku u prirodnim koordinatama Kod vektorskog nacina definisanja kretanja definisali smo srednju brzinu u obliku:

vsr=d rdt

, gdje je Δt vrijeme premjestanja

vsr=∆ r∆ t

∆ s∆ t

, - predstavlja izraz za srednju brzinu, gdje je Δs duzina luka MM1.

Vektor brzine tacke u datom trenutku moze se napisati u obliku : v=∆ s∆ t

τ0

gdje je s=f(t) zakon kretanja tacke.

19.) Ubrzanje tacke u datom trenutku u prirodnim koordinatama -vektor ubrzanja tacke u datom trenutku je potpuno odreden jednacinom

kretanja s=f(t) i poluprecnikom R a=dvτ

dtτ0+

v2 τ

Rkn0 .Vidimo da vektor

ubrzanja predstavlja zbir dva vektora:

aτ=dvτ

dtτ0 i an=

v2τRk

n0 = v2❑

Rkn0 ∙ aτ =

dvτ

dtτ0=

d2

d t 2 τ 0 ;

an=v2τRk

n0=v2❑Rk

n0=( ds

dt )2 n0

Rk ; -sto predstavlja tangencijalno i normalno

ubrzanje tacke.itenzitet vektora ubrzanja dat je izrazom: a = √( dvr

dt )2

+( v2τRk )

2

.

Kada je dvdt

>0 kretanje je ubrzano a aτ i v imaju isti smjer

a kada je dvdt

<0 kretanje je usporeno a aτ i v imaju suprotan predznak.

20.)Šta je translacija , a šta je rotacija ?Translacija je pravocrtno gibanje tijela gdje sve njegove tocke imaju istu putanju, brzinu i ubrzanje.

predjeni put s

brzina : v=∆ s∆ t

ubrzanje : a=∆ v∆ t

Rotacija je vrtnja tijela oko nepomicne osi.ugao φ

ugaona brzina ω=∆ φ∆ t

ugaono ubrzanje ε=∆ ω∆ t

21.Sferno kretanje tijela.Jednačine sfernog kretanja tijela.Ako se tijelo kreće tako,da bilo koja jedna ( njegova ) tačka ostaje nepomična,onda takvo kretanje

nazivamo sfernim kretanjem tijela oko nepomične površine.

ψ -ugao precesijeφ -ugao sopstvene rotacije

θ –ugao nutacijeψ=f 1 ( t ) , φ=f 2 ( t ) , θ=f 3(t ) (1)

Funkcije f 1 ( t ) , f 2 (t ) i f 3(t) moraju biti jednoznačne,neprekidne i diferenecijabilne do zaključno drugog reda.

Jednačinama (1) potpuno je definisano sferno kretanje tijela pa te jednačine nazivamo jednačinama sfernog kretanja tijela.

22.Ojler-Dalamberova teorema „Svako premještanje tijela,koje ima jednu nepomičnu tačku O,iz jednog položaja u neki

drugi,možemo dobiti jednom rotacijom tijela oko ose koja prolazi kroz tačku O.

23.Teorema o slaganju brzina :„Apsolutna brzina tačke M,koja vrši složeno kretanje,jednako je vektorskom zbiru njene relativne i

prenosne brzine“v=vr+ v p

24.Teorema o slaganju ubrzanja-Koriolisova teorema„ U općem slučaju prenosnog kretanja apsolutno ubrzanje tačke jednako je zbiru prenosno,relativnog

i Koriolisovog ubrzanja“a=a p+ ar+ acor

Krivaja OA klipnog mehanizma obrće se konstantnom ugaonom brzinom ω0 štapa AB dovodi u kretanja klizač B.Dato je

OA=5cm ω0=21s

AB=30cm.U momentu kada je ugao ∡OAB=π3

a krivaja OA i stap AB grade sa horizontalom ugao od π3

rad

Va=ω0∗OA=2 1s∗5cm=10 cm

2

tg 30=APAB

⇒AP=tg30∗AB=17,32cm

ωAB=

VaAP

=10

cms

17,32cm=0.577

1s

ab=aaN+aa

T+abAN+ab

AT

aaN=ω0

2∗OA=4 1s2

∗5cm=20 cm

s2

aaT=εAO∗OA=0

abAN=ωAB

2 ∗AB=0,333 1s2

∗30cm=10 cm

s2

abAT=εAB∗AB=30cm εAB

y ∷0=−aaN sin 60−aa

T sin 60+abAN sin 60+ab

AT sin 60

0=−20

cm

s2∗√3

2−0+30cm

εAB∗√32

+10

cm

s2∗√3

2

0=−10√3 cm

s2+15 √3cm εAB+5√3

cm

s2

15√3cm εAB=5√3cm

s2

ε AB=

5√3 cm

s2

15 √3cm=131s2

x∷ ab=−aaN cos 60+aa

T cos 60−abAN cos60+ab

AT cos 60

ab=−20

cm

s2∗1

2+0−10

cm

s2∗1

2+30 cm∗1

3

1

s2∗1

2

ab=−10 cm

s2+0−5 cm

s2+5 cm

s2

ab=−10 cm

s2 ! Pogrešno pretpostavljen smjer !

Poluga OA=60cm datog mehanizma obrce se konstantnom ugaonom

brzinom ω0=2 s−1 i dovodi u kretanje polugu AB=100cm ,zglobno

vezanu u tacki B sredista tocka.Tocak se kotrlja,bez klizanja,po nepokretnoj horizontalnoj ravni. Poluprecnik tocka je 40 cm.Odrediti:a)brzinu tacke C tocka b) ugaono ubrzanje tocka c)ugaono ubrzanje

poluge AB cm

s2

OA=60cm

ω0=2 s−1

AB=100cmR=40 cm

a) vc=?

b) ab=?

c) ε AB=?

cosα=2 RAB

= 80100

=45

sinα=OAAB

= 60100

=35

va=ωAB∗APv X:V B=0+V BA cosα

ωAB=va

APv=12060

=2 s−1 Y:0=−V A+V BA sinα

V a=ω0∗OA=120 cms

V B=ωAB∗AB cosα=160 cms

V B=V A+ V BA

V BA=AB∗ωAB

a A= aAN+a AT aB= aA+ aBA

a AN=V a2

OA=ωO

2 OA=240 cms2

aB= aA+( aBA )rot+ (aB

A )akp

a AT=ε0OA=0 ( aBA )rot = ε AB∗AB ε 0=

d ω0

dt=0

ε AB=dωAB

dt a AT=0→aA=aAN

( aBA )akp=ωAB

2 AB=22∗100=400 cm2

s

X :aB=aA+( aBA )rot cosα−(aB

A )akp sinα

Y :0=0+( aBA )rot sinα+( aB

A )akp cosα

0=0+εAB∗AB sinα+( aBA )akp cosα

ε AB=( aB

A )akp cosα

AB sinα=

400∗45

100∗35

=163

s−2

aB=aA+εAB∗AB cosα−( aBA )akp sinα

aB=240

cm

s2+163

s−2∗100 cm45−400

cms

∗3

5=12803

V B=ωT∗B

ωT=V B

BPt=16040

=4 s−1

V c=ωT∗CPt

CPt=2rcos30

V c=160√3cms

Za klipni mehanizam prikazan na slici odrediti rastojanje izmedju trenutnog pola brzina i trenutnog pola ubrzanja poluge AB ako se krivaja OA obrce konstantnom ugaonom brzinom ω0,a klizac B u polozaju

mehanizma ima ubrzanje aB sa naznacenim smjerom.Dato je

OA=AB=L, a=π6

ωc=const .

a A= aAN+a AT

a AN=OA∗ω02=ω0

2∗L

a AT=ε0∗OA=0

ε 0=dω0

dt=∆ ω0=const

aB= aA+( aBA )rot+ (aB

A )akp

( aBA )rot = ε AB∗AB=0∗A B=0

( aBA )akp=ωAB

2 ∗AB

V A=ω0∗OA=ω0∗L

V A=ωAB∗L=ω0∗L

ωAB=ω0

ε AB=dωAB

dt=0

tgβ=|εAB|ωAB

=0

β=arctg0β=0

AQ=aA

√εAB2 +ωAB

4=

aAN+ aAT

√02+ωAB4

=ω02L

√ωAB4

AQ=L

Pv Q=2 L

Tačka M,koja se u početnom trenutku nalazila na vrhu O pravog kruznog konusa,krece se ravnomjerno po izvodnici konusa,od vrha ka bazi relativnom brzinom u

odnosu na konus V r=24cms

.Istovremeno se konus obrće oko svoje ose u datom

smjeru,po zakonu φ=14

t2.Ugao α=60o.U trenutku

t 1=4 s ,odrediti:a)apsolutnu brzinu tačke Mb) apsolutno ubrzanje tačke M

V M=Vp+Vr r=s∗sin α

ω p=24

t=t2

r=24 t∗√32

Vp=ωp∗r r=12√3 t

V r=24cms

. r=48√3cm

V r=dsdt

ds=V r dt / ∫

s=Vr∗t+Cza t=0 ⇒ s=0za c=0 ⇒ s=Vr∗t=24 t

Vp=ωp∗r=¿ t2∗12√3 t=96√3 cm

s

V m=√V p2+V r

2=168 cms

aM= ap+ar+acor

a p=( ap)N+(a p)T

(a p)N=ωp2∗r=4∗48√3=192√3 cm

s2

ε p=dωsdt

=12

(a p)T=ε p∗r

ar=dVrdt

=0

acor=2 {Vp , Vr } acor=2ω∗Vr∗sin∡ (¿Vp ,Vr )¿

acor=4∗24sin 120=48√3cm

s2

aM=√(apT+acor)

2+¿¿

aM=24 √219 cm

s2