betoni skripta

Sveučilište u Splitu Građevinsko-arhitektonski fakultet

Alen Harapin

Dimenzioniranje betonskih Dimenzioniranje betonskih konstrukcija prema TPBK konstrukcija prema TPBK

(EC2)(EC2)

Literatura:Literatura:

[1] Tehnički propis za betonske konstrukcije, NN 101/05[2] HRN ENV 1991-1 EUROKOD 1: Osnove projektiranja i djelovanja na konstrukcije – 1.

dio: Osnove projektiranja, Državni zavod za normizaciju i mjeriteljstvo, 2005.[3] HRN ENV 1992-1-1 EUROKOD 2: Projektiranje betonskih konstrukcija – 1.1 dio: Opća

pravila i pravila za zgrade, Državni zavod za normizaciju i mjeriteljstvo, 2004.

[4] Jure Radić i suradnici: Betonske Konstrukcije – Priručnik, Hrvatska sveučilišna naklada, Sveučilište u Zagrebu – Građevinski fakultet, Andris, Zagreb, 2006.

[5] Ivan Tomičić: Betonske konstrukcije, DHGK, Zagreb, 1996.[6] Zorislav Sorić, Ivan Tomičić: EUROCODE 2, Projektiranje, proračun i dimenzioniranje

armiranobetonskih i prednapetih betonskih nosivih konstrukcija, u okviru Građevinskog godišnjaka ’95., Zagreb, 1995.

[7] Vahid Hasanović: Proračun armiranobetonskih konstrukcija: EUROCODE 2, Građevinski fakultet u Sarajevu, Sarajevo, 2000.

Sva predavanja na temu EC2 nalaze se na: www.gradst.hr/katedre/bkm

OptereOptereććenja:enja:

Pregled hrvatskih i europskih normi za djelovanja na konstrukcije

Djelovanje Hrvatske norme Europske norme

Prostorne težine, vlastite težine, uporabna opterećenja

HRN ENV 1991-2-1 EN 1991-1-1

Požarno djelovanje HRN ENV 1991-2-2 EN 1991-1-2

Izvanredna djelovanja uzrokovana udarom i eksplozijom

HRN ENV 1991-2-7 EN 1991-1-7

Prometna opterećenja mostova HRN ENV 1991-3 EN 1991-2

Djelovanja na silose i spremnike tekućina

HRN ENV 1991-4 EN 1991-3

Djelovanja uzrokovana kranovima i drugim strojevima

HRN ENV 1991-5 EN 1991-4

Potresno djelovanje nHRN ENV 1998-1-1 prEN 1998-1

Opterećenje snijegom HRN ENV 1991-2-3 EN 1991-1-3

Opterećenje vjetrom HRN ENV 1991-2-4 EN 1991-1-4

Toplinska djelovanja HRN ENV 1991-2-5 EN 1991-1-5

Djelovanja tijekom izvedbe HRN ENV 1991-2-6 EN 1991-1-6

OptereOptereććenja:enja:Uporabna opterećenja zgrada:

STALNA DJELOVANJA

Vlastita težina konstrukcijeVlastita težina nekonstruktivnih dijelova, obloge ili nepomične

opremeSile od djelovanja tlaka tla, koje nastaju od težine tlaDeformacije uslijed načina izgradnje konstrukcijeSile uslijed hidrostatičkog tlaka vodeSile nastale uslijed slijeganja oslonacaSile prednapinjanja

PROMJENJIVA DJELOVANJA

Opterećenja uslijed aktivnog i pasivnog korištenja objekta (uporabno/korisno opterećenje)

Prometno opterećenjePojedini dijelovi težine konstrukcije koji djeluju samo u

pojedinim fazama izgradnjeMontažna opterećenjaOpterećenja vjetromOpterećenja snijegomOpterećenja ledomPosljedice promjenjive razine površine vode

(ako je potrebno)Promjena temperatureOpterećenje valovima

IZVANREDNA DJELOVANJA

Udari vozila ili plovilaEksplozijeSlijeganje i klizanje terenaEkstremno jaki vjetar (Tornado)PotresPožar

Tipovi djelovanja:Promjenjivo djelovanje qk [kN/m2] Qk [kN]

A. Stambeni prostori, odjeli u bolnicama, hotelske sobe

Uobičajene prostorije 2.0 2.0

Stubišta 3.0 2.0

Balkoni 4.0 2.0

B. Uredi

Uredi 3.0 2.0

C. Prostorije u kojima je moguće okupljanje ljudi

Prostorije sa stolovima, škole, kavane, restorani, čitaonice, recepcije

3.0 4.0

Prostorije s nepomičnim sjedalima, crkve, kina, prodavaonice, čekaonice, konferencijske dvorane

4.0 4.0

Prostorije bez prepreka za kretanje ljudi, izložbeni prostori, pristupi u javnim zgradama, hotelima i sl.

5.0 4.0

Prostorije u trgovinama 5.0 4.0

E. Prostorije s mogućnošću gomilanja robe i stvari

Skladišta uključujući i knjižnice 6.0 7.0

Športske prostorije i prostori za igru, plesne dvorane, gimnastičke dvorane

5.0 7.0

Prostorije za velika okupljanja ljudi, zgrade za javne priredbe, koncertne dvorane, športske dvorane

5.0 4.0

D. Prodajne prostorije

Prostorije u robnim kućama i trgovinama na veliko

5.0 7.0

Četiri reprezentativne vrijednosti:

- karakteristična vrijednost (Qk)

- vrijednost u kombinaciji (ψ0Qk) – uzima u obzir smanjenu vjerojatnost istodobnog djelovanja više promjenjivih neovisnih opterećenja s njihovom najnepovoljnijom vrijednošću. Koristi se za provjeru graničnog stanja nosivosti i nepovratnog graničnog stanja uporabe. Ova kombinacija je vrlo rijetka, i u vijeku trajanja konstrukcije događa se jednom ili nijednom.

- česta vrijednost (ψ1Qk) – koristi se za provjeru graničnog stanja nosivosti uzimajući u obzir izvanredna djelovanja i za povratna granična stanja uporabe. Ovakva česta kombinacija događa se npr. jedamput godišnje.

- nazovistalna vrijednost (ψ2Qk) – također se koristi za provjeru graničnog stanja nosivosti uzimajući u obzir izvanredna djelovanja i za povratna granična stanja uporabe. Nazovistalna kombinacija događa se npr. jednom tjedno.

Promjenjivo djelovanjeVrijednost u komb.

ψ0

Česta vrijed.

ψ1

Kvazistalnavrijednost

ψ2

Uporabna opterećenja u zgradama-Stambeni prostori-Uredi-Prostori za veće skupove ljudi-Trgovine-Skladišta

0.70.70.70.71.0

0.50.50.70.70.9

0.30.30.60.60.8

Prometna opterećenja u zgradama-Težine vozila ≤ 30 kN-Težine vozila ≤ 30 kN-Krovovi

0.70.70.0

0.70.50.0

0.60.30.0

Opterećenje vjetrom na zgrade

0.6 0.5 0.0

Opterećenje snijegom 0.6 0.2 0.0

Temperatura u zgradama (ne požar)

0.6 0.5 0.0

OptereOptereććenja:enja:

Koeficijenti sigurnosti Koeficijenti sigurnosti –– granigraniččna stanja nosivostina stanja nosivosti

( ) ( ) kP1i

i,ki,0Q1,kQi

i,kGsd PQQGS ⋅γ+⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ= ∑∑>

Uobičajena (stalna) proračunska kombinacija

Promjenjivo djelovanjeVrijednost u kombinaciji

ψ0

Česta vrijednost

ψ1


ψ2


0.70.70.70.71.0

0.50.50.70.70.9

0.30.30.60.60.8


0.70.70.0

0.70.50.0

0.60.30.0

Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0


Temperatura u zgradama (ne požar) 0.6 0.5 0.0

Koeficijenti kombinacije (ψ)Materijal

Kombinacija

Beton(γc)

Čelik(γs)

Uobičajena komb. 1.50 1.15

Izvanredna komb. 1.30 1.00

Koeficijenti sigurnosti na materijal

Djelovanje Stalno(γG)

Pokretno(γQ)

Prednap.(γP)

Nepovoljno 1.35

1.00

1.50 1.0-1.2

Povoljno 0.00 0.9-1.0

Koeficijenti sigurnosti za opterećenje

Napomena: Znak “+” znači: “kombinira se sa”



ψ0

Česta vrijednost

ψ1


ψ2


0.70.70.70.71.0

0.50.50.70.70.9

0.30.30.60.60.8


0.70.70.0

0.70.50.0

0.60.30.0





Kombinacija

Beton(γc)

Čelik(γs)





Pokretno(γQ)

Prednap.(γP)

Nepovoljno 1.35

1.00

1.50 1.0-1.2

Povoljno 0.00 0.9-1.0


Primjer: Nepovoljno djelovanje opterećenja;Stalno opterećenje: (G) i Prednaprezanje (P)Pokretno opterećenje: Korisno (Qk), Vjetar (Qw), Snijeg (Qs)

Vodeće pokretno opterećenje: Korisno ( ) P0.1Q6.0Q6.05.1Q5.1G35.1S swksd ⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=

( ) P0.1Q6.0Q7.05.1Q5.1G35.1S skwsd ⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=Vodeće pokretno opterećenje: Vjetar


( ) ( ) kPd1i

i,ki,21,k1,1i

i,kGsd PAQQGS ⋅γ++⋅ψ+⋅ψ+⋅γ= ∑∑>

Izvanredna proračunska kombinacija


ψ0

Česta vrijednost

ψ1


ψ2


0.70.70.70.71.0

0.50.50.70.70.9

0.30.30.60.60.8


0.70.70.0

0.70.50.0

0.60.30.0





Kombinacija

Beton(γc)

Čelik(γs)





Pokretno(γQ)

Prednap.(γP)

Nepovoljno 1.35

1.00

1.50 1.0-1.2

Povoljno 0.00 0.9-1.0


Napomena: Znak “+” znači: “kombinira se sa”


( ) kdii

i,ki,2i

i,ksd PAQGS +⋅γ+⋅ψ+= ∑∑Seizmička proračunska kombinacija


ψ0

Česta vrijednost

ψ1


ψ2


0.70.70.70.71.0

0.50.50.70.70.9

0.30.30.60.60.8


0.70.70.0

0.70.50.0

0.60.30.0





Kombinacija

Beton(γc)

Čelik(γs)





Pokretno(γQ)

Prednap.(γP)

Nepovoljno 1.35

1.00

1.50 1.0-1.2

Povoljno 0.00 0.9-1.0


γi - Koeficijenti važnosti: = 0.7 – građevina niže važnosti= 1.0 – građevina normalne važnosti= 1.3 – građevina povećane važnosti

Koeficijenti sigurnosti Koeficijenti sigurnosti –– granigraniččna stanja uporabena stanja uporabe

( ) k1i

i,ki,0i,ki

i,ksd PQQGS +⋅ψ++= ∑∑>

Rijetka kombinacija – koristi se kod proračuna širine pukotina i progiba –trajna lokalna oštećenja i deformacije


ψ0

Česta vrijednost

ψ1


ψ2


0.70.70.70.71.0

0.50.50.70.70.9

0.30.30.60.60.8


0.70.70.0

0.70.50.0

0.60.30.0





Kombinacija

Beton(γc)

Čelik(γs)





Pokretno(γQ)

Prednap.(γP)

Nepovoljno 1.35

1.00

1.50 1.0-1.2

Povoljno 0.00 0.9-1.0



( ) k1i

i,ki,2i,k1,1i

i,ksd PQQGS +⋅ψ+⋅ψ+= ∑∑>

Česta kombinacija – koristi se kod proračuna širine pukotina i progiba –privremena lokalna oštećenja i deformacije, te kod proračuna ograničenja naprezanja


ψ0

Česta vrijednost

ψ1


ψ2


0.70.70.70.71.0

0.50.50.70.70.9

0.30.30.60.60.8


0.70.70.0

0.70.50.0

0.60.30.0





Kombinacija

Beton(γc)

Čelik(γs)





Pokretno(γQ)

Prednap.(γP)

Nepovoljno 1.35

1.00

1.50 1.0-1.2

Povoljno 0.00 0.9-1.0



( ) ki

i,ki,2i

i,ksd PQGS +⋅ψ+= ∑∑

Nazovistalna (Kvazistalna) kombinacija – koristi se kod proračuna ograničenja naprezanja u elementima


ψ0

Česta vrijednost

ψ1


ψ2


0.70.70.70.71.0

0.50.50.70.70.9

0.30.30.60.60.8


0.70.70.0

0.70.50.0

0.60.30.0





Kombinacija

Beton(γc)

Čelik(γs)





Pokretno(γQ)

Prednap.(γP)

Nepovoljno 1.35

1.00

1.50 1.0-1.2

Povoljno 0.00 0.9-1.0


σc

εc [‰]

α fcd

f ck

2.0 ‰ 3.5 ‰

( ) ccck

c 44f εε−=σ

Koeficijentom “α” uzima se u obzir nepovoljno djelovanje dugotrajnog opterećenja i dinamičkih učinaka. Za “α” se uzima:

α = 0.85 za presjeke oblika pravokutnikaα = 0.80 za presjeke oblika trokuta ili trapeza

Gradivo Gradivo -- BetonBeton

Karakteristika betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55

fck (MPa) Čvrstoća na valjku 12 16 20 25 30 35 40 45

fc,cub (MPa) Čvrstoća na kocki

Srednja vlačna čvrstoća

Posmična čvrstoća

Početni modul elastičnosti

15(MB 15)

20 (MB 20)

25(MB 25)

30(MB 30)

37(MB 40)

45(MB 45)

50(MB 50)

55(MB 55)

τRd (MPa) 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44

fct,m (MPa) 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8

Ecm (MPa) 26000 27500 29000 30500 32000 33500 35000 36000

C50/60

50

60(MB 60)

4.1

0.48

37000

Klase betona normalne gustoće (gustoća 2000-2600 kg/m3)

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]MPaf;MPaf3.0f

MPaf;MPa8f9500E

ck32

ckm,ct

ck3

ckcm

⋅≈

+⋅=

1.001.30Izvanredna kombinacija

1.151.50Uobičajena kombinacija

Čelik(γs)

Beton(γc)

Materijal

Kombinacija


c

ckcd

ffγ

=

Gradivo Gradivo -- ČČelikelikSvojstva čelika za armiranje:

Šipkasta armatura (nHRN EN 10080-2, nHRNEN 10080-3 i nHRN EN 10080-4) Mrežasta armatura (nHRN EN 10080-5)

Naziv i oznaka (broj) čelika B500A (1.0438)

B500B (1.0439)

B450C (1.04…)

B500A (1.0438)

B500B (1.0439)

B450C (1.04…)

Nazivni promjer, d (mm)Namot: 4-16Šipke: 6-40

Namot: 6-16Šipke: 6-40

Namot: 6-16 5-16 6-16 6-16

Granica razvlačenja fyk (MPa) ≥ 500 ≥ 500 ≥ 450 ≥ 500 ≥ 500 ≥ 450

Omjer vlačne čvrstoće i granice razvlačenja ≥ 1.05 ≥ 1.08

≥ 1.15≤ 1.35

≥ 1.05 ≥ 1.08≥ 1.15≤ 1.35

±σs

εs [‰]

f yk

20.0 ‰

f yd

Materijal

Kombinacija

Beton(γc)

Čelik(γs)



s

ykyd

ff

γ=

B500A – tri reda poprečnih rebara

B450C – dva reda poprečnih rebara; s jedne strane rebra pod različitim kutovima u odnosu na os

B500B – dva reda poprečnih rebara; s obje strane rebra su paralelna (pod istim kutom u odnosu na os)

Dimenzioniranje na moment savijanjaDimenzioniranje na moment savijanja

Neutralna os

sdN

d-x

b1d 1

s1A

h2

d

dsdM

s2A

2

d-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 fcd

x=ξ*

d

z=ζ*

d

Neutralna os

uN

h-x

b

a

aA

d

a'

h

uM

aA'

z=k

*dd-

a '

aε Fa

aεεb

aF'

bF

fB

z

x=k

*d x '

TPB

K (2

005.

)PB

AB

(198

7.)

Dimenzioniranje na moment savijanja Dimenzioniranje na moment savijanja –– osnovni izraziosnovni izrazi

Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h2

d

sdM

d-d

s1ε Fs1

2

εc2

cF

0.85 fcd

x=ξ*

d

z=ζ*

d

A

B

Rdsd MM ≤

d – statička visina presjekah – ukupna visina presjekab – širina presjekad1 – udaljenost težišta vlačne armature od vlačnog ruba presjekad2 – udaljenost težišta tlačne armature od tlačnog ruba presjekax – udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka (s koeficijentom ξ)z – krak unutrašnjih sila (s koeficijentom ζ) εc2 – deformacija betona na tlačnom rubuεs1 – deformacija armature u težištu vlačnih šipkifcd – računska čvrstoća betonaMsd – računski moment savijanjaFs1 – sila u vlačnoj armaturiAs1 – površina vlačne armature

Dimenzioniranje na moment savijanja Dimenzioniranje na moment savijanja –– osnovni izraziosnovni izrazi

Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h

2d

sdM

d-d

s1ε Fs1

2

εc2

cF

0.85 fcd

x=ξ*

d

z=ζ*

d

A

B

( )( )

( ) ‰5.3‰2232

243k

‰2‰064

8k

2c2c2c

2c2ca

2c2c

2ca

≤ε<−εε

+−εε=

≤ε<ε−

ε−=

( )

‰5.3‰2 3

2 3

‰2‰0612

2cc2

c2v

2c2c2c

v

≤ε<ε

−ε=α

≤ε<ε−ε

=α

cdvcdvc

yds1s1

fbd85.0fbx85.0FfAF

⋅⋅⋅ξ⋅α⋅=⋅⋅⋅α⋅=

⋅=

( )

( )

cd2sd

vsd

cdvcsd

aaa

csdA

fdbM=85.0

dfbd85.0zF=Mddk1dkdxkdz

zF=M 0M

⋅⋅ζ⋅ξ⋅α⋅=µ

⋅ζ⋅⋅⋅⋅ξ⋅α⋅=⋅

⋅ζ=⋅ξ⋅−=⋅ξ⋅−=⋅−=

⋅⇒=∑

( )

yd

sds1

yds1sd

s1sdB

fdMA

dfA=M

zF=M 0M

⋅⋅ζ=

⋅ζ⋅⋅

⋅⇒=∑

cd

yd

cd

yds1v

yds1cdv

s1c

ff

ff

bdA85.0

fA=fbd85.0F=F 0N

⋅ρ=⋅⋅

=ξ⋅α⋅=ω

⋅⋅⋅⋅ξ⋅α⋅

⇒=∑

T

cdc f=σ

( ) cccd

c 4 εε−=σ

‰2 ‰5.3

cdf

cσ

2cε

ak

T

cdc f=σ

( ) cccd

c 4 εε−=σ

‰2 ‰5.3

cdf

cσ

2cε

ak

4f4f

Rdsd MM ≤

Jednostruko armirani pravokutni presjek optereJednostruko armirani pravokutni presjek optereććen momentom savijanjaen momentom savijanja

Neutralna os

d-x

b=40 cm1

d =4

cm

1

s1A

h=60

cm

2d=

5 6 c

m sdM

xs1ε

εc2

TPBK (2005.) PBAB (1987.)

Neutralna os

h-x

b=40 cma=4

cm

aA

d=60

cm

h=5 6

cm uM

x

aε

εb

;kNm5.2950.805.10.13035.1MMM

;kNm0.80M;kNm0.130M

MPa78.43415.1

0.500ffMPa0.500fB500B

MPa67.165.10.25ffMPa0.25f3025C

cm0.56dhd;cm0.4d;cm0.60h;cm40b

qqggsd

qg

s

ykydyk

c

ckcdck

11

=⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=

==

==γ

=⇒=⇒

==γ

=⇒=⇒

=−====

:eOpterecenj

:Materijal

:Geometrija

;kNm0.3520.808.10.1306.1MMM

;kNm0.80M;kNm0.130M

MPa0.500560/500MAMPa5.20f30MB

cm0.56adh;cm0.4a;cm0.60d;cm40b

ppggu

pg

vi

B

=⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=

==

=σ⇒

=⇒−

=−====

:eOpterecenj

:Materijal

:Geometrija

2

yd

sd1s

2c1s

2cd

2sd

sd

cm56.1248.4356904.0

29550fd

MA

904.0;1.3:otanoci;10za

141.067.15640

29550fdb

M

=⋅⋅

=ζ

=

=ζ=ε=ε

=⋅⋅

==µ

‰‰

:Postupak

2

viz

ua

zba

2B

2u

u

cm63.130.5056922.0

35200hkMA

922.0k;5.2:otanoci;10za

137.005.25640

35200fhb

Mm

=⋅⋅

=σ

=

==ε=ε

=⋅⋅

==

‰‰

:Postupak

Jednostruko armirani pravokutni presjek optereJednostruko armirani pravokutni presjek optereććen momentom savijanjaen momentom savijanja

TPBK (2005.) PBAB (1987.)

;kNm5.2950.805.10.13035.1MMM

;kNm0.80M;kNm0.130M

MPa78.43415.1

0.500ffMPa0.500fB500B

MPa67.165.10.25ffMPa0.25f3025C

cm0.56dhd;cm0.4d;cm0.60h;cm40b

qqggsd

qg

s

ykydyk

c

ckcdck

11

=⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=

==

==γ

=⇒=⇒

==γ

=⇒=⇒

=−====

:eOpterecenj

:Materijal

:Geometrija

;kNm0.3520.808.10.1306.1MMM

;kNm0.80M;kNm0.130M

MPa0.500560/500MAMPa5.20f30MB

cm0.56adh;cm0.4a;cm0.60d;cm40b

ppggu

pg

vi

B

=⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=

==

=σ⇒

=⇒−

=−====

:eOpterecenj

:Materijal

:Geometrija

2

yd

sd1s

2c1s

2cd

2sd

sd

cm56.1248.4356904.0

29550fd

MA

904.0;1.3:otanoci;10za

141.067.15640

29550fdb

M

=⋅⋅

=ζ

=

=ζ=ε=ε

=⋅⋅

==µ

‰‰

:Postupak

2

viz

ua

zba

2B

2u

u

cm63.130.5056922.0

35200hkMA

922.0k;5.2:otanoci;10za

137.005.25640

35200fhb

Mm

=⋅⋅

=σ

=

==ε=ε

=⋅⋅

==

‰‰

:Postupakα===µ

=µ

=

=ε=ε

85.0187.0159.0

m

159.0187.0m

;5.3i10za

u

sd

sd

u

ba ‰‰ σc

εc [‰]

α fcd

f ck

2.0 ‰ 3.5 ‰

Dvostruko armirani pravokutni presjek optereDvostruko armirani pravokutni presjek optereććen momentom savijanjaen momentom savijanja

ab

c

d

ef

g h

12

3

4

5

Vlak Tlak

A

C

B2d1d

d

As1

As2

20.0‰ 3.0‰

3.5‰2.0‰

( )( )

( )

( ) yd22s

yd2ydlim1s

1s2clim

1s2c

cd2

lim,Rd

fddA

fddfdA

0.20;5.30.20;5.3

fdbM

⋅−=

⋅−+

⋅⋅ζ=

=ε=εζ=ζ

=ε=εµ=µ

⋅⋅⋅µ=

>

limRd,sd

limRd,sdlimRd,

sdlimsd,

limsd,

limRd,sd

M-M

M-MM‰‰

‰‰

MM

Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A

2

d-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 fcd

x

z

( )

( ) yd2

limRd,sds2s

yd

sd

yd2

limRd,sds

ydlim

limRd,1s

cd2

limsd,lim,Rd

sdsdsds

fddM-M

A

fN

fddM-M

fdM

A

fdbM2dhNMM

⋅−=

−⋅−

+⋅⋅ζ

=

⋅⋅⋅µ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=

Konvencija: Tlak + Vlak -

Jednostruko/Dvostruko armirani pravokutni presjek optereJednostruko/Dvostruko armirani pravokutni presjek optereććen momentom en momentom savijanja i uzdusavijanja i uzdužžnom silom nom silom –– Postupak Postupak WuczkowskogWuczkowskog

d

s2A

b1 d 1

s1A

h

2

d-h/

2

sdN

sdM

tlNsdvl

Neutralna os

sdN

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A

2

d-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 fcd

x

z

Pravokutni presjek opterePravokutni presjek optereććen momentom savijanja i uzduen momentom savijanja i uzdužžnom silom nom silom ––Dimenzioniranje pomoDimenzioniranje pomoćću dijagrama interakcijeu dijagrama interakcije

sdN

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A

2x

s1s2

yd

cds1

cd2sd

sd

cd

sdsd

AA

dbffA

fdbM

fdbN

⋅β=

⋅⋅⋅ω=

⋅⋅=µ

⋅⋅=ν

Ograničenja:Prema EC-8 (HRN ENV 1998-1-3), za različite razrede duktilnosti postoji ograničenje najveće uzdužne tlačne sile u stupovima:

Razred duktilnosti L: Nsd ≤ 0.75 b h fcd

Razred duktilnosti M: Nsd ≤ 0.65 b h fcd

Razred duktilnosti H: Nsd ≤ 0.55 b h fcd

Pravokutni presjek Pravokutni presjek –– Dijagram toka rjeDijagram toka rješšenja problemaenja problema

poc,1ssdydcd1 ,M,f,f,d,h,b εUčitavanje podataka o presjeku, materijalu, napadnim silama, te tražene deformacije armature

Postavljanje početne ravnine deformacije

poc,1s1sgor,cdon,c ;‰5.3;‰0 ε=ε=ε=ε

Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja

cd2sd

sd fdbM

⋅⋅=µ

( ) ξ⋅α⋅=ωζ⋅ξ⋅α⋅=µξ⋅−=ζε+ε

ε=ξ vv

izrsda

1s2c

2c 85.0;85.0;k1;

Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije

Postavljanje tekuće ravnine deformacije

Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti

sdizrsd µ≅µsd

izrsd µ<µ sd

izrsd µ>µ

2gor,cdon,c

tek,cε+ε

=εtek,cgor,c ε=εtek,cdon,c ε=ε

Izračunavanje potrebne armature, ispis

( ) ( ) yd2

limRd,sds2s

yd

sd

yd2

limRd,sds

ydlim

limRd,1s fdd

M-MA;

fN

fddM-M

fdM

A⋅−

=+⋅−

+⋅⋅ζ

=

T presjek optereT presjek optereććen momentom savijanjaen momentom savijanja

Ako neutralna os siječe ploču (x ≤ hf), tada se ovakav presjek rješava kao pravokutni dimenzija beff*h (d). Ako neutralna os siječe rebro (x > hf), tada je ovakav presjek pravi T presjek i potrebno ga je kao takvog proračunati.

x2

zd-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 f cdbeff

cε

fh

*Neutralna os

sdN d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A

T presjek optereT presjek optereććen momentom savijanja en momentom savijanja –– određivanje efektivne određivanje efektivne šširineirine

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

effeff

f

v

vi

v

efffveffvi

ivefffveffv

ivcdefffvcdeffvcd

cicbca

bbb1

dh11b

dbbhdbdb

bdbbhdbd

bdf85.0bbhdf85.0bdf85.0

FFF

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅ξ

−αα

−=

⋅ξ⋅α−⋅−⋅ξ⋅α−⋅⋅ξ⋅α

=

⋅⋅ξ⋅α=−⋅−⋅ξ⋅α−⋅⋅ξ⋅α

⋅⋅ξ⋅α⋅⋅=−⋅−⋅ξ⋅α⋅⋅−⋅⋅ξ⋅α⋅⋅

=−

∗

∗

∗

∗

b

x

beff

fh

ib

iAvα

A*vα

a

cd0.85 f

bA

ε

ε *c

c2

T presjek T presjek –– Dijagram toka rjeDijagram toka rješšenja problemaenja problema

effipoc,1ssdydcdf1eff bb;,M,f,f,h,d,h,b,b =εUčitavanje podataka o presjeku, materijalu,

napadnim silama, te tražene deformacije armatureIzračunavanje bezdimenzionalnog momenta

savijanja

Postavljanje početne ravnine deformacije

poc,1s1sgor,cdon,c ;‰5.3;‰0 ε=ε=ε=ε

Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije

Postavljanje tekuće ravnine deformacije

Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti

sdizrsd µ≅µsd

izrsd µ<µ sd

izrsd µ>µ

2gor,cdon,c

tek,cε+ε

=εtek,cgor,c ε=εtek,cdon,c ε=ε

Izračunavanje potrebne armature, ispis

( ) ( ) yd2

limRd,sds2s

yd

sd

yd2

limRd,sds

ydlim

limRd,1s fdd

M-MA;

fN

fddM-M

fdM

A⋅−

=+⋅−

+⋅⋅ζ

=

Kontrola položaja neutralne osi

fhx ≤

Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja cd

2i

sdsd fdb

M⋅⋅

=µ

fhx >Proračun reducirane širine T presjeka

effeff

f

v

vi b

bb1

dh11b ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ξ

−αα

−=∗

( ) ξ⋅α⋅=ωζ⋅ξ⋅α⋅=µξ⋅−=ζε+ε

ε=ξ vv

izrsda

1s2c

2c 85.0;85.0;k1;

Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silunu siluPoprečne sile se proračunavaju prema poboljšanoj Mörsch-Ritterovoj analogiji rešetke. Po toj

metodi pretpostavlja se da jedan dio poprečne sile prihvaća beton i uzdužna armatura nakon razvoja dijagonalnih pukotina u betonu, a ostatak poprečne sile se prihvaća vertikalnim sponama (stremenovima) i/ili kosom armaturom (Standardna metoda). Po drugoj metodi, koja se kao alternativa predlaže s EC2, nosivost betona se ne uzima u obzir, već se uzima blaži kut nagiba tlačnih dijagonala od 45°, čime se postižu uštede na poprečnoj armaturi, ali se povećava uzdužna armatura, izravno ili preko pomaka dijagrama vlačnih sila prilikom raspodijele armature.

Uvjet nosivosti na poprečne sile:

Rdsd VV ≤

gdje je:Vsd – računska poprečna silaVRd – računska nosivost na poprečne sile

hdz

s ws ws w

l

Vwd

F

Vwd

F

VRd1

Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu -- nastavaknastavakRačunska armatura za prihvaćanje poprečnih sila (tj. glavnih kosih vlačnih naprezanja) neće biti

potrebna ako je zadovoljen uvjet:

( )[ ] db15.0402.1kVV wcplRd1Rdsd ⋅⋅σ⋅+ρ⋅+⋅⋅τ=≤

gdje je:τRd – računska čvrstoća na djelovanje glavnih kosih naprezanjak = 1.6-d ≥ 1.0 - korekcijski faktor kojim se povećava nosivost na poprečne sile (d u metrima)ρl – koeficijent armiranja uzdužnom armaturom (As/Ac) < 0.02 (2.0%)bw – najmanja širina presjeka u vlačnoj zonid – statička visina presjekaσcp = Nsd/Ac – središnje naprezanje (+ za tlak, - za vlak)Nsd – računska uzdužna sila u presjekuAc – površina betonskog presjeka

Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je:

zbf5.0VV wcd2Rdsd ⋅⋅⋅ν⋅=≤

- redukcijski faktor (fck u N/mm2)5.0200f7.0 ck ≥−=ν

Karakteristika betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck (MPa) Čvrstoća na valjku 12 16 20 25 30 35 40 45 50

fc,cub (MPa) Čvrstoća na kocki

Posmična čvrstoća

15(MB 15)

20 (MB 20)

25(MB 25)

30(MB 30)

37(MB 40)

45(MB 45)

50(MB 50)

55(MB 55)

60(MB 60)

τRd (MPa) 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44 0.48

Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu -- nastavaknastavak

Ako nije zadovoljen uvjet:

potrebno je proračunati računsku armaturu za prijem poprečnih sila.

(a) Standardna metodaOva metoda pretpostavlja nagib tlačnih štapova pod kutom od 45°.Poprečna armatura (stremenovi, vilice, spone) se proračunava iz uvjeta:

w

d,ywswwd

wd1Rd3Rdsd

szmfA

V

VVVV⋅⋅⋅

=

+=≤

1Rdsd VV ≤

gdje je:Asw – površina jedne grane sponam – reznost sponaz – krak unutrašnjih sila (z ≈ 0.9 d)sw – razmak sponafyw,d – računska granica popuštanja

poprečne armature

Ako u elementu djeluje uzdužna tlačna sila, potrebno je reducirati nosivost tlačnih štapova:

2Rdcd

eff,cp2Rdred,2Rd V

f1V67.1V ≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−⋅⋅=

Pri čemu je: cs

2syksdeff,cp AAfN ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

−=σ - tlačno naprezanje u betonu

Vsd0 VRd2VRd1 Vsd

Konstrukcijska poprecnaarmatura

Proracun poprecnearmature

Nedopuštenopodrucje

Vwd

Nosivost kose armature može se izračunati po izrazu:

( ) α⋅α+⋅⋅⋅

= sinctg1s

zfAV d,ywsw

wd

gdje je:s – razmak kose armature mjeren uzduž osi elementaα – Kut nagiba kosih šipki prema osi nosača


αΘ

Vsd0 VRd2VRd1 Vsd

Konstrukcijska poprecnaarmatura



Vwd

Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu -- nastavaknastavak(b) Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapovaPrimjena ove metode predlaže se kada na presjek simultano djeluju poprečna sila i moment torzije. Nagib tlačnih štapova prema uzdužnoj osi bira se u granicama:

5.24.02.688.21 ≤Θ≤⇒≤Θ≤ oo Kada se glavna uzdužna armatura vodi do ležaja0.25.04.636.26 ≤Θ≤⇒≤Θ≤ oo Kada se glavna uzdužna armatura postupno prekida u polju

Kod elemenata s vertikalnom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile:

Θ⋅⋅⋅⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ν⋅≤

⋅

⋅⋅Θ⋅

⋅⋅⋅==

Θ+Θ⋅⋅⋅ν=

ctgV

mzfAs

f21

sbfmA

:uvjetuz;ctgs

mzfAVV

tgctgzbfV

Sd

d,ywsww

cdww

d,ywsw

w

d,ywswwd3Rd

wcd2Rd

Vsd0 VRd2Vsd



Vwd

Njemački propisi predlažu sljedeći izraz:

cd

eff,cp

f325.1ctg

σ−=Θ Za σcp,eff =0, Θ=39°


Kod elemenata s kosom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−

α⋅⋅ν⋅≤

⋅

⋅α⋅α+Θ⋅

⋅⋅==

Θ+α+Θ

⋅⋅⋅⋅ν=

cos1sinf

21

sbfA

:uvjetuz;sinctgctgs

zfAVV

ctg1ctgctgzbfV

cd

ww

d,ywswd,ywswwd3Rd

2wcd2Rd

Da bi se ustanovila najmanja količina poprečne armature za mala i srednja posmična naprezanja, gornje granice za ctg Θ, bit će u običnom slučaju mjerodavne za dimenzioniranje. Za veća posmična naprezanja najveću vrijednost za ctg Θ (što odgovara najmanjoj količini poprečne armature) može se naći izjednačavanjem vrijednosti proračunskih poprečnih sila VSd i VRd2.

Nakon raspucavanja nosača, sila u donjem pojasu bit će:

( )α−Θ⋅⋅+= ctgctgV21

zMF Sd

Sds

te je za drugi član potrebno povećati uzdužnu armaturu u polju.


Maksimalni razmaci spona, ovisno o veličini računske poprečne sile prikazani su u tablici:

Broj Računska poprečna sila VsdMaksimalni razmak spona u smjeru glavne

vlačne armature sw,max

1 Vsd ≤ 0.2 VRd2 0.8 d; 30 cm

2 0.2 VRd2 < Vsd ≤ 0.67 VRd2 0.6 d; 30 cm

3 Vsd > 0.67 VRd2 0.3 d; 20 cm

Ukupna poprečna armatura (spone) ne smije biti manja od minimalne:

mbsA wwmin

min,sw⋅⋅ρ

=

Klasa betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

ρmin 0.0007 0.0011 0.0013

0.3 d; 20 cmVsd > 0.67 VRd23

0.6 d; 30 cm0.2 VRd2 < Vsd ≤ 0.67 VRd22

1.0 d; 80 cmVsd ≤ 0.2 VRd21

Maksimalni razmak vertikalnih krakova spona u poprečnom smjeruRačunska poprečna sila VsdBroj

Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu -- PrimjerPrimjer

G, Qg, q

1.0 7.08.0

30

73 807

3.3

244.4217.1

62.6

128.5

230.8

302.4

R =244.4 kN R =128.5 kN

V (kN)sd

M (kNm)sd

s1Aa b

a bc d

kN5.154S

0.675.10.4035.1QGS'mkN3.27s

0.115.10.835.1qgskN0.67Q;'mkN0.11qkN0.40G;'mkN0.8g

qg

qg

=

⋅+⋅=⋅γ+⋅γ==

⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=====

MPa34.0MPa0.30f

3730C

Rd

ck

=τ

=

2

yd

sd1s

2c1s

2cd

2sd

sd

cm20.1048.4373934.0

30240fd

MA

934.0;‰1.2:otanoci;‰10za

095.00.27330

30240fdb

M

=⋅⋅

=ζ

=

=ζ=ε=ε

=⋅⋅

==µ

30

7380

7s15Ø16 (A =10.05 cm )2

s2Ø14 (A =3.08 cm )2

s22Ø14 (A =3.08 cm )2

Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu –– Primjer (nastavak)Primjer (nastavak)

( )[ ]

( )[ ]kN5.109V

73300.015.000675.0402.10.1034.0V0.0AN

0.1k0.187.073.06.1d6.1kdb15.0402.1kV

1Rd

1Rd

csdcp

wcplRd1Rd

=

⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅=

==σ=⇒<=−=−=

⋅⋅σ⋅+ρ⋅+⋅⋅τ=

30

7380

7

s15Ø16 (A =10.05 cm )2

s2Ø14 (A =3.08 cm )2

s22Ø14 (A =3.08 cm )2

00675.0803021.16

AA

cm21.1608.325.10A

c

sl

2s

=⋅

==ρ

=⋅+=

∑∑

Beton C30/37

fck (MPa) Čvrstoća na valjku 30.0

τRd (MPa) Posmična čvrstoća 0.34

Dio poprečne sile koju preuzima beton i uzdužna armatura:

Dio poprečne sile koju mogu preuzeti tlačne dijagonale:

( ) kN1.1084739.0300.255.05.0V

55.05.055.0200307.0

200f7.0

zbf5.0V

2Rd

ck

wcd2Rd

=⋅⋅⋅⋅⋅=

=ν⇒>=−=−=ν

⋅⋅⋅ν⋅=


Ležaj “a”:G, Q

{ }{ }

0024.0cm0.30s0.30;8.43736.0min

cm0.30;d6.0minsV23.0V23.01.10844.244VV

kN4.244V

min

max,w

max,w

2Rdsd2Rdsd

sd

=ρ

=⇒=⋅

=⋅=

=⇒≈=

=

1.08.0

cm94.21300024.0

79.02b

Ams

wmin

min,swpot,w =

⋅⋅

=⋅ρ

⋅≤

Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2):

3.3

244.4217.1

62.6

230.8

302.4

R =244.4 kN

V (kN)sd

M (kNm)sd

a

ac d

( )

Rda,sd

w

d,ywsw1Rdwd1RdRd

2d,yw

s

ykd,yw

VV

kN8.21720

739.087.2079.025.109

szfAm

VVVV

cmkN87.20MPa7.20815.1

240f

360240GA;f

f

>

=⋅⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅+=+=

===

⇒γ

=

Odabrane spone ∅10/20. Ukupna nosivost betona i odabrane poprečne armature:


( ) cm06.165.1094.244

739.087.2079.02VV

zfAms

1Rdsd

d,ywswpot,w =

−⋅⋅⋅⋅

=−

⋅⋅⋅≤

Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2):244.4

217.1

62.6

V =217.8 kNRd

Odabrane spone ∅10/15.

1.0 7.0

8.0

30

73 80

7

s1A

Ø10/15 Ø10/20

Dimenzioniranje na moment torzijeDimenzioniranje na moment torzijeProračun elemenata naprezanih torzijom provodi se uporabom modela oblika prostorne rešetke.

Puni presjeci zamjenjuju se šupljim presjecima debljine t. Nagib tlačnih štapova slobodno se odabire u granicama navedenim pri proračunu na poprečne sile.

t

t /2

Ak

Kontura u

Kontura uk

c

Uvjet nosivosti na moment torzije:

Rdsd TT ≤

gdje je:Tsd – računski moment torzijeTRd – računska nosivost na torziju

Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je:

Θ+Θ⋅⋅⋅ν′⋅

=≤tgctg

tAf2TT kcd1Rdsd

- redukcijski faktor (fck u N/mm2)35.0200f7.07.0 ck ≥⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=ν′

gdje je:t=A/u – debljina stijenke zamjenjujućeg

šupljeg presjekaAk – površina unutar srednje konture

šupljeg presjeka u – opseg vanjske kontureA – ukupna površina presjekaTSd0 TRd1

Tsd



TRd3TRd2

gdje je:Asw – presjek spone koja obuhvaća presjek na razmaku swAsl – površina svih uzdužnih šipkifyw,d, fyl,d – računske granice popuštanja poprečne i uzdužne armature

Površina poprečne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:

wd,ywksw2RdSd s

ctgfAA2TT Θ⋅⋅⋅⋅=≤

8us k

w ≤

Dimenzioniranje na moment torzije Dimenzioniranje na moment torzije -- nastavaknastavak

Površina uzdužne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:

kd,ylksl3RdSd u

tgfAA2TT Θ⋅⋅⋅⋅=≤

Uzdužne šipke treba raspodijeliti po opsegu. U svakom kutu treba postaviti jednu šipku, a ostale jednoliko raspodijeliti po opsegu, s tim da razmak između njih ne bude veći od 35.0 cm.

Kada su poznate armature Asw i Asl, te kut Θ i nosivost TRd2, moraju biti zadovoljene i sljedeće jednadžbe:

d,ylk

sld,yw

w

swk2Rd

d,ylk

sl

d,yw

w

sw2

fuAf

sAA2T

fuA

fsAtg

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅=Θ

Pri istodobnom djelovanju poprečne sile i momenta torzije valja zadovoljiti uvjet:

zbf5.0V:uz;1VV

TT

wcd2Rd

2

2Rd

Sd2

1Rd

Sd ⋅⋅⋅ν′⋅=≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Dimenzioniranje na moment torzije Dimenzioniranje na moment torzije -- nastavaknastavak

Poprečna armatura se posebno određuje za svako djelovanje te superponira.Pri simultanom djelovanju momenta savijanja i momenta torzije valja posebno za svako naprezanje

izračunati uzdužnu armaturu, samo što se one u vlačnoj zoni od savijanja zbrajaju, a u tlačnoj redovito nije potrebno dodavati onu zbog naprezanja torzijom, jer je ona često manja od konstruktivne.

Kad istodobno djeluju moment torzije i veliki moment savijanja (sandučasti presjeci), može biti kritično glavno naprezanje u tlačnoj zoni od savijanja, pa valja zadovoljiti uvjet:

cd2Sd

2SdSd

2 f85.022

⋅≤τ+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ−

σ=σ

Spone za prihvaćanje torzije moraju biti zatvorene i preklopljene po kraćoj stranici. Uvjeti za minimalnu armaturu i maksimalne razmake spona su isti kao i kod proračuna na poprečne sile.

Uz:- Računsko normalno tlačno naprezanje koje se uvrštava s predznakom +

tbzMSd

Sd ⋅⋅=σ

- Računsko posmično naprezanje uzrokovano torzijomtA2

T

k

SdSd ⋅⋅

=τ

Dimenzioniranje na torziju Dimenzioniranje na torziju -- PrimjerPrimjer

Isti zadatak kao kod proračuna na poprečne sile, uz TSd=35.0 kNm

MPa34.0MPa0.30f

3730C

Rd

ck

=τ

=

30

73806

6

224 4

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

kNcm8.110kNcm5.11080T45tg45ctg

91.1013190.2385.02tgctg

tAf2T

45

cm131991.108091.1030thtbA

cm91.10220

2400uAt

cm22080302hb2ucm24008030hbA

385.0200307.07.0

200f7.07.0

tgctgtAf2T

1Rd

kcd1Rd

2k

2

ck

kcd1Rd

==

=+

⋅⋅⋅⋅=

Θ+Θ⋅⋅⋅ν′⋅

=

=Θ

=−⋅−=−⋅−=

===

=+⋅=+⋅==⋅=⋅=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=ν′

Θ+Θ⋅⋅⋅ν′⋅

=

oo

o

Dimenzioniranje na torziju Dimenzioniranje na torziju -- PrimjerPrimjer

Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2):

cm42.123500

187.20131979.02T

ctgfAA2s

sctgfAA2TT

Sd

d,ywkswpot,w

wd,ywksw2RdSd

=⋅⋅⋅⋅

=

Θ⋅⋅⋅⋅≤

Θ⋅⋅⋅⋅=≤

8Ø10 +Ø10/12

Odabrana poprečna armatura: ∅10/12.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

d,ylk

kSdsl

k

kd,ylksl2RdSd

cm38.5148.4313192

36.1763500tgfA2

uTA

cm36.17691.108091.10302thtb2uu

tgfAA2TT

=⋅⋅⋅

⋅=

Θ⋅⋅⋅⋅

=

=−+−⋅=−+−⋅=

Θ⋅⋅⋅⋅=≤

Uzdužna armatura:

Odabrana uzdužna armatura: 8∅10 (Asl=6.28 cm2).

Dimenzioniranje na savijanje, torziju i popreDimenzioniranje na savijanje, torziju i popreččnu silu nu silu -- PrimjerPrimjer

2Ø14

Msd

"+"

Tsd

2Ø14

5Ø16

2Ø10

2Ø10

2Ø10

2Ø10

"="2Ø10

2Ø10

2Ø10

6Ø16

Ukupno

Presjek (element) smo dosad dimenzionirali odvojeno na moment savijanja, poprečnu silu i torziju. U slučaju da sva tri djelovanja su istovremena, imamo:

Uzdužna armatura:

- U gornjoj zoni i sredini presjeka armatura od savijanja je konstruktivna, a armatura od torzije je računska. Usvaja se armatura od torzije.-U donjoj zoni obje armature (i od savijanja i od torzije su računske. Potrebno ih je zbrojiti.5∅16 (As=10.05 cm2); 2∅10 (As=1.57 cm2)6∅16 (As=12.06 cm2) > 5∅16+2∅10

Dimenzioniranje na savijanje, torziju i popreDimenzioniranje na savijanje, torziju i popreččnu silu nu silu -- PrimjerPrimjer

Presjek (element) smo dosad dimenzionirali odvojeno na moment savijanja, poprečnu silu i torziju. U slučaju da sva tri djelovanja su istovremena, imamo:

Poprečna armatura:- Spone na prvih 1 m grede:

1.0 7.0

8.0

Ø10/15 Ø10/20 sdV

8.0Ø10/12 sdT

"+"

Ukupno

"="

1.0 7.0Ø10/6.5 Ø10/7.5

cm7.612151215

ssss

sT,wV,w

T,wV,wwt

=+⋅

=

=+⋅

≤

- Spone na ostalom dijelu grede:

cm5.712201220

ssss

sT,wV,w

T,wV,wwt

=+⋅

=

=+⋅

≤

- Kontrola zajedničkog djelovanja:

1204.08.7584.244

8.1100.35

kN8.758V7.0VkN1.1084V;kN4.244V

kNm8.110T;kNm0.35T

1VV

TT

222Rd2Rd

2RdSd

1RdSd

2

2Rd

Sd2

1Rd

Sd

≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⋅=′==

==

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Dimenzioniranje ploDimenzioniranje pločča na proboja na proboj

cl

β

hdd 1

Kriticna površina

Kriticni presjek1.5 d 1.5 d

Kriticni presjek

cl1.5 d 1.5 d

b

a > b

1b /2

1b /2

1a /2 1a /2

1.5 d 1.5 d1.5 d

1.5 d

⎩⎨⎧

⋅≤

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅⋅≤

d8.2b

b;bd6.5

b2a

a 1

1

1

1.5 d

Stup pri rubu Stup u kutu

1.5 d

Uvjet nosivosti na proboj:

Rdsd vv ≤gdje je:vsd – računska poprečna sila po jedinici kritičnog opsegavRd – računska nosivost na proboj po jedinici kritičnog opsega

Dimenzioniranje ploDimenzioniranje pločča na proboj a na proboj -- nastavaknastavak

cl

β

hdd 1

Kriticna površina

Kriticni presjek1.5 d 1.5 d

Kriticni presjek

cl1.5 d 1.5 d

Uvjet nosivosti na proboj:

cr

psdsd

Rdsd

uVv

vvβ

⋅=

≤

gdje je:Vsd – računska sila proboja od vanjskog opterećenjaucr – duljina kritičnog opsegaβp – korekcijski faktor kojim se uzima u obzir

ekscentrično djelovanje sile proboja u odnosu na kritičan presjek

βp = 1.0 – za simetrično naprezane stupoveβp = 1.15 – za unutrašnje stupove

nesimetrično naprezanjeβp = 1.4 – za stupove na rubuβp = 1.5 – za stupove u kutu

β = 1.5

β = 1.0β = 1.15

β = 1.4 β = 1.0 β = 1.0

β = 1.4

β = 1.4 β = 1.4

Instalacijski šaht

Dimenzioniranje ploDimenzioniranje pločča na proboj a na proboj -- nastavaknastavak

Armatura za osiguranje od proboja neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet

( ) d402.1kvv lRd1Rdsd ⋅ρ⋅+⋅⋅τ=≤

gdje je:τRd – računska čvrstoća za djelovanje glavnih kosih naprezanjak – koeficijent visine presjeka ploče (vidi dimenzioniranje na poprečne sile)d – srednja statička visina presjeka ploče ( = (dx+dy)/2)ρl – koeficijent armiranja ploče

%5.1%5.0; llylxl ≤ρ≤ρ⋅ρ=ρ

Ako gornji uvjet nije zadovoljen, potrebno je kontrolirati nosivost na tlak te proračunati poprečnu armaturu:

∑ α⋅⋅+=≤

⋅=≤

crydsw1Rd3Rdsd

1Rd2Rdsd

usinfAvvv

v6.1vv – nosivost “tlačnih štapova” u ploči

– nosivost poprečne armature za osiguranje od proboja

Asw – ukupna poprečna armaturaα – kut nagiba poprečne armature prema ravnini ploče

Minimalna poprečna armatura proračunava se po izrazu:

( )∑ α−⋅ρ

=sin

AAA loadcritmin,w

min,swρw,min = 0.6 ρmin (ρmin – minimalni koef. armiranja na pop. sile)Acrit – površina unutar kritičnog presjekaAload – površina djelovanja opterećenja

Dimenzioniranje ploDimenzioniranje pločča na proboj a na proboj –– razmjerazmješštaj armaturetaj armature

cl1.5 d 1.5 d

< 0.5 d0.75 d

1.5 d≤

≈

cl1.5 d 1.5 d

α=90 α

Osiguranje vilicama Osiguranje kosim šipkama

Dimenzioniranje ploDimenzioniranje pločča na proboj a na proboj –– razmjerazmješštaj armaturetaj armature

Osiguranje posebnom ugradnom armaturom

GraniGraniččno stanje ravnoteno stanje ravnotežže na deformiranom sustavu e na deformiranom sustavu –– Teorija II redaTeorija II reda

Proračun po teoriji II reda mora se provesti za pojedinačne stupove i konstrukcije od vitkih elemenata pretežno naprezanih uzdužnom tlačnom silom. Tim proračunom valja dokazati da za najnepovoljniju kombinaciju opterećenja u graničnom stanju nosivosti neće doći do gubitka ravnoteže pojedinih elemenata ili sustava kao cjeline prije otkazivanja nosivosti presjeka naprezanih na ekscentrični tlak.

U analizi sustava po teoriji II reda valja razlikovati:- Krute sustave i elemente od onih koji to nisu,- Horizontalno pomične i horizontalno nepomične sustave.

Kruti element ima veliku krutost na savijanje, upet je u temelj ili podrumsko ziđe (npr. armirano-betonski zid). Kruti sustav sadrži jedan ili više krutih elemenata u oba smjera.

Horizontalno nepomični sustavi su oni koji zadovoljavaju uvjet:

6.0IE

Fh4nza

n1.02.0IE

Fh3nza

ccm

vtot

ccm

vtot

≤⋅

⋅>

⋅+≤⋅

⋅≤

gdje je:htot – ukupna visina zgrade od temelja ili stropa podruman – broj katovaFv – suma ukupnog vertikalnog opterećenjaEcm Ic – suma krutosti na savijanje vertikalnih krutih elemenata

Horizontalno pridržani sustavi proračunavaju se tako da sve horizontalne sile prihvaćaju kruti elementi (zidovi), a ostali elementi (stupovi), ovisno o vitkosti, proračunavaju prema teoriji I, odnosno II reda, uključujući inperfekciju i puzanje betona. Često se pri tome koriste pojednostavljene metode.


F

H

h

F

H ∆v∆u

hHM

FNIsd

Isd

⋅=

=

Rezne računske sile po teoriji I reda:

( ) uFvhHM

FNIIsd

IIsd

∆⋅+∆−⋅=

=

Rezne računske sile po teoriji II reda:

( ) ( ) hHMvhHuFvhHM Isd

IIsd ⋅=<∆−⋅=∆⋅+∆−⋅=

1. SLUČAJ: Nema uzdužne sile ili je zanemariva (F ≈ 0.0)

( ) Isd

IIsd MhHuFvhHM =⋅≈∆⋅+∆−⋅=

2. SLUČAJ: Sustav nije vitak (∆u ≈ ∆v ≈ 0.0)

( ) hHMuFvhHM Isd

IIsd ⋅=>∆⋅+∆−⋅=

3. SLUČAJ: Sustav je vitak (∆u >> ∆v ≠ 0.0)

Mjera vitkosti – parametar izvijanja λ

AIl

il 00 ==λ


Za određivanje dužine izvijanja Eurokodom 2 se predlažu Jackson-Morelandovi nomogrami.

Dužina izvijanja se općenito može izraziti:

Za korištenje nomograma treba općenito izračunati kA i kB, te očitati vrijednost β iz nomograma.

Za upete čvorove je:kA = kB = 0

a za slobodni vrh (vrh konzole):kA = ∞

Za ostale slučajeve:

pri čemu indeks “col” označava stupove (columns), a indeks “b” grede (beams).

α – koeficijent oslanjanja suprotnog kraja grede; α=1.0 – kraj upet, α=0.5 zglob; α=0.0 konzola

( )

b

bcm

col

colcm

BA IEl

E

k ilik

l

l

∑

∑

⋅α⋅

⋅

=

col0 ll ⋅β=


Mjera izvijanja je tzv. parametar vitkosti “λ” pojedinog tlačnog elementa. Za određivanje dužine izvijanja Eurokodom 2 se predlažu Jackson-Morelandovi nomogrami.

Pojedinačne tlačne elemente nije potrebno proračunavati po teoriji II reda, ako je zadovoljen uvjet:

010202

01crit

00 ee;ee225

AIl

il

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=λ≤==λ

gdje su e01 i e02 ekscentriciteti uzdužne tlačne sile na krajevima elementa.

Elemente koji ne zadovoljavaju gornji kriterij valja proračunati po teoriji II reda, pri čemu vitkost ne smije prelaziti graničnu λlim=140.

Približni postupak koji predlaže EC-2, a koji vrijedi za elemente konstantnog presjeka i armature, pronalazi se ukupni ekscentricitet za koji se izračuna povećani moment savijanja dok odgovarajuća uzdužna sila ostaje nepromijenjena. Ukupni ekscentricitet, bez utjecaja puzanja, bit će:

2a0tot eeee ++=

gdje je:ea – ekscentricitet zbog imperfekcije

e0 – ekscentricitet po teoriji I reda

e2 – dodatni ekscentricitet po teoriji II reda

htot – ukupna visina građevinel0 – dužina izvijanja stupalcol – stvarna dužina stupaβ – koeficijent izvijanja (iz nomograma)

( )nomogramill2le col00

1a ⋅β=⋅ν=

2001

4001

h1001

min

minmintot

1

=ν

=νν≥⋅

=ν (Pridržani sustavi)

(Nepridržanisustavi)

sd

sd0 N

Me =

Nsd

e0

Nsd

Nsd

e02

Nsd

e01

Nsd

e02

Nsd

e01


Ekscentricitet nastao zbog deformiranja sustava (dodatni ekscentricitet po teoriji II reda) može se izračunati po izrazu:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅=r1lK1.0e 2

012

gdje je:

totIsd

IIsd

Isd

IIsd

eNM

NN

⋅=

=

d9.0K2

r1 yd

2 ⋅

ε⋅=

0.1K,35za;75.020

K 11 =>λ−λ

= - Korekcijski faktor

1K2 ≤ - Koeficijent kojim se uzima u obzir zakrivljenost

s

ydyd E

f=ε - Računska deformacija u čeliku koja odgovara računskoj granici popuštanja

Rezne računske sile na deformiranom sustavu bit će:

Teorija II reda Teorija II reda -- primjerprimjer

Potrebno je proračunati i dimenzionirati stup dimenzija prema slici. Materijal C 25/30 i B500B.

kN54N;kN36MkN170N;kN150N

QG

QG

==

==

- Rezne sile pri dnu stupa

MPa8.43415.1500fB500BMPa6.165.125f3025C

yd

cd

==⇒

==⇒

- Računske čvrstoće

- Koeficijent izvijanja

crit

0202

01crit

0

col0

50e0225

ee225

7840289.0

900il

cm9004502l2l

λ>λ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=λ

=⋅

==λ

=⋅=⋅=

- Potreban proračun na deformiranom sustavu!

F

H4.

5 m

4030

s1A

s2A

35


- Ekscentricitet po teoriji I redaF

H4.

5 m

4030

s1A

s2A

35

- Ekscentricitet zbog imperfekcije

- Dodatni ekscentricitet po teoriji II reda

m0112.01038.10.90.11.0r1lK1.0e

1038.1359.0

02174.00.12d9.0

K2r1

02174.00.200000

8.434Ef

0.1K

0.1K,35za;75.020

K

322012

3yd2

s

ydyd

2

11

=⋅⋅⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅=

⋅=⋅

⋅=⋅

ε⋅=

===ε

=

=>λ−λ

=

−

−

m283.05.4576.129

N5.1N35.1M5.1M35.1

NMe

QG

QG

sd

sd0 ==

⋅+⋅⋅+⋅

==

m0225.020.9005.0

2le

005.0

005.0200

1

0047.05.4100

1h100

1

01a

1min1

min

tot1

=⋅=⋅ν=

=ν⇒ν<ν

==ν

=⋅

=⋅

=ν


- Ukupne sile po teoriji I redaF

H4.

5 m

4030

s1A

s2A

35- Ukupni ekscentricitet

kNm6.129M5.1M35.1M

kN5.457N5.1N35.1N

QGIsd

QGIsd

=⋅+⋅=

=⋅+⋅=

m3167.00112.00225.0283.0eeee 2a0tot =++=++=

- Ukupne sile po teoriji II reda

kNm9.1443167.05.457eNM

kN5.457NN

totIsd

IIsd

Isd

IIsd

=⋅=⋅=

==

- Odnos momenata

12.16.1299.144

MM

Isd

IIsd ==

GraniGraniččno stanje naprezanjano stanje naprezanja

Prekomjerno naprezanje betona i/ili čelika pod opterećenjem u eksploataciji utječe preko raspucavanja i plastičnog deformiranja na trajnost i uporabljivost armiranobetonskih i prednapetih konstrukcija. Da bi se izbjegle negativne posljedice, prema EC-2 ograničavaju se naprezanja, i to:

U Betonu:- Pod rijetkom kombinacijom opterećenja

- Pod kvazistalnom kombinacijom opterećenjackc f6.0≤σ

ckc f45.0≤σ

U Čeliku:- Pod rijetkom kombinacijom opterećenja

- Pod naprezanjem izazvanim samo indirektnim djelovanjem (prinudne deformacije)

- U čeliku za prednaprezanje nakon svih gubitaka pod rijetkom kombinacijom djelovanja

yks f8.0≤σ

yks f0.1≤σ

pkp f75.0≤σ

Ograničenjem naprezanja spriječava se slabljenje tlačne zone otvaranjem poprečnih mikropukotina nastalih poprečnim vlačnim naprezanjima (sile cijepanja) i plastifikacija betona.

Za određivanje naprezanja koristi se linearna raspodjela naprezanja u betonu i čeliku (linearna teorija), te konstantan odnos modula elastičnosti (Es/Ec=15). Kada uvjeti ograničenja naprezanja nisu ispunjeni, potrebno je pojačati presjek i/ili armaturu, ili poduzeti druge mjere.

MPa25.112545.0f45.0MPa0.12

30MB3025C

ckc

30MB,rub,dop

=⋅==σ

=σ−⇔

−

GraniGraniččno stanje pukotinano stanje pukotina

Raspucavanje armiranobetonskih konstrukcija ograničava se kako bi se spriječile šetne posljedice za trajnost građevine. Pukotine nastaju kada vlačna naprezanja izazvana savijanjem, torzijom, poprečnim silama i uzdužnom vlačnom silom, pojedinačno ili zajednički, prijeđu vlačnu čvrstoću betona.

Kada nema posebnih zahtjeva na raspucavanje (npr. vodonepropusnost) armiranobetonskih sustava, može se uzeti za normalne klase onečišćenja, za ab konstrukcije wg=0.3 mm, a za prednapete konstrukcije wg=0.2 mm.

Minimalna armaturaArmiranobetonske i prednapete elemente valja uvijek armirati u području vlačnih naprezanja

barem minimalnom armaturom za ograničenje širina pukotina, osobito ako se očekuje indirektno djelovanje izazvano spriječenošću slobodnog skupljanja ili prinudnim deformacijama (popuštanje ležaja).

Kako raspodjela vlačnih naprezanja po visini presjeka utječe na raspucavanje elementa, valja razlikovati:

- Promjenjivu raspodjelu izazvanu momentom savijanja (postoji vlačna i tlačna zona),- Jednoliku raspodjelu izazvanu vlačnom silom ( cijeli presjek naprezan na vlak).

Minimalna armatura može se izračunati po izrazu:

s

cteff,ctcmin,s

AfkkAσ

⋅⋅⋅=gdje je:

kc – koeficijent kojim se uzima u obzir raspodjela naprezanja po visini presjeka pri pojavi prve pukotine (kc=1.0 za centrični vlak; kc=0.4 za savijanje)

k – korekcijski koeficijent (k=0.8 kod spriječenih deformacija; k=1.0 za prinudne deformacije)fct,eff – vlačna čvrstoća betona pri pojavi prve pukotine Act – vlačna površina neposredno prije pojave pukotineσs – naprezanje u armaturi neposredno nakon pojave pukotine

GraniGraniččno stanje pukotina no stanje pukotina -- nastavaknastavak

Granično stanje pukotina nije potrebno kontrolirati kod ploča, ako debljina ploče ne prelazi 200 mm, te kada je ploča armirana u skladu s preporukama u vezi površine i rasporeda armature potrebnom za nosivost.

Za elemente armirane minimalnom armaturom, dobivenom po prethodno prikazanom izrazu, granično stanje pukotina biti će zadovoljeno ako promjeri šipaka i razmaci šipki budu manji od graničnih. Naprezanja u čeliku (σs) odgovara onom pri određivanju minimalne armature, a proračunava se za kvazistalnu kombinaciju opterećenja.

Osnovni odnos raspona i efektivna debljina presjeka (l/h), sortirani su u tablici:

Konstrukcijski sustavJače

napregnut beton

Slabije napregnut

beton

1. Prosta greda; Samostojeće ploče koje nose u jednom ili dva smjera (ploče koje se nastavljaju) 18 25

2. Krajnji raspon kont. nosača ili ploče koja nosi u dva smjera a nastavlja se preko jedne stranice 23 32

3. Unutarnji raspon kont. nosača ili ploče koja nosi u 1 smjeru ili 2 smjera a koja nastavlja se 25 35

4. Ploče oslonjene na stupove bez greda (bazirano na duljem rasponu) 21 30

5. Konzole 7 10

Maksimalni promjeri šipki i njihovi maksimalni razmaci za različite nivoe naprezanja u čeliku, sortirani su u tablici:

Maksimalni razmak šipki (mm)Naprezanje u armaturi(MPa)

Maksimalni promjer šipkeφ (mm) Savijanje Vlak

160200240280320360

322520161210

30025020015010050

20015012575--

GraniGraniččno stanje pukotina no stanje pukotina -- nastavaknastavakŠirina pukotine se uspoređuje s graničnom vrijednošću:

gk ww ≤

gdje je:β – odnos računske i srednje širine pukotina (β=1.7 za vanjsko opterećenje; β=1.3 za neizravno

opterećenje)srm – srednji razmak pukotinaεsm – srednja deformacija armature

Računska širina pukotine može se prognozirati pomoću izraza:

smrmk sw ε⋅⋅β=

Srednja deformacija armature određuje se po izrazu:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅β⋅β−⋅σ

=ζ⋅σ

=ε2

s

sr21

s

s

s

ssm 1

EEgdje je:

ζ – koeficijent raspodjele

σs – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pukotine

σsr – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pojave prve pukotine

β1 – koeficijent kojim se uzima u obzir vrsta armature (β1=1.0 - rebrasta armatura, β1=0.5 - glatka armatura)

β2 – koeficijent kojim se uzima u obzir trajanje opterećenja(β2=1.0 – kratkotrajno opterećenje, β2=0.5 – dugotrajno opterećenje ili promjenjivo s čestim udjelom)

s

sd

s

sds

A3xd

MAz

M

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈⋅

=σ

6hbfM;

AzM 2

ctmcrs

crsr

⋅⋅=

⋅=σ

GraniGraniččno stanje pukotina no stanje pukotina -- nastavaknastavakSrednji razmak pukotina određuje se po izrazu:

[ ]mmkk25.050sr

21rm ρφ

⋅⋅⋅+=

gdje je:φ – promjer šipke u mm

ρr – djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturomk1 – koeficijent kojim se uzima u obzir prionjivost čelika i betona

(k1=0.8 - rebrasta armatura, k1=1.6 - glatka armatura)k2 – koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj raspodjele deformacija

(k2=0.5 – savijanje, k2=1.0 – vlak)Ac,eff – sudjelujuća vlačna zona presjeka

eff,c

sr A

A=ρ

h

b

dd 1 2.

5 d 1

Grede

Ac,eff

Ploce

Težištearmature

d 1h d

c Manja vrijednost od2.5 (c+φ/2) ili(h-x)/3

Ac,eff

GraniGraniččno stanje pukotina no stanje pukotina -- primjerprimjerPotrebno je odrediti granično stanje pukotina za gredu prikazanu na crtežu.

gsmrmk wsw ≤ε⋅⋅β=

7.1=β

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅β⋅β−⋅σ

=ζ⋅σ

=ε2

s

sr21

s

s

s

ssm 1

EE

cm50.803.671.54030211

3003.671.5

Andb211

bAnx

1S

1S =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅

++−⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅

++−⋅⋅

=

MPa9.195cmkN59.19

03.635.840

4390

A3xd

MAz

M2

s

sd

s

sds ==

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈⋅

=σ

- odnos računske i srednje širine pukotina

Proračun srednje deformacije armature:

d =

41 b=30 cm

h=44

cm

d=40

cm

A =3Ø16s1

A =3Ø12s2 x

d =

42

sdM =43.90 kNm

( )

( ) ( )

MPa2.151cmkN12.15

03.6409.03388

03.635.840

3388

A3xd

MAz

M

kNm88.33kNcm0.33886443035.0M

MPa5.30.403.0f3.0f

MPa0.40f;f3.0f;6hbfM;

AzM

2

s

cr

s

crsr

2

cr

3232ckctm

ck32

ckctm

2

ctmcrs

crsr

==⋅⋅

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈⋅

=σ

==⋅

⋅=

=⋅=⋅=

=⋅≈⋅

⋅=⋅

=σ

GraniGraniččno stanje pukotina no stanje pukotina -- primjerprimjer

Proračun srednjeg razmaka pukotina:

5.00.1

kPa0.200000000GPa0.200E

2

1

s

=β=β

==

32

2

s

sr21

s

ssm

10688.09.1952.1515.00.11

0.2000009.195

1E

−⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⋅

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅β⋅β−⋅σ

=ε

- modul elastičnosti armature- Rebrasta armatura- Dugotrajno opterećenje

[ ]mmkk25.050sr

21rm ρφ

⋅⋅⋅+=

5.0k8.0kmm16

2

1

=

==φ - Promjer najdeblje šipke

- Rebrasta armatura- Savijanje

0201.01030

03.6AA

eff,c

sr =

⋅==ρ - Djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom

4 =2.5

*d

=10

cm1

d 1

b=30

mm6.1290201.0165.08.025.050kk25.050s

r21rm =⋅⋅⋅+=

ρφ

⋅⋅⋅+=

mm3.0wmm151.06.12910688.07.1sw g3

smrmk =<=⋅⋅⋅=ε⋅⋅β= −

( )

mm3.0wmm166.0w

100.40.807.1955.315.351.1

cm10dAhh11w

cm803

4302n

cb2A

cm50.3550.80.44xhhcm50.3150.80.40xdh

gmax

53

63S

1

2max

2

a

2

1

=<=

×⋅⋅⋅⋅

=×××σ××=

=⋅⋅

=⋅⋅

=

=−=−==−=−=

−

−

Po Gergely-Lutzu:

GraniGraniččno stanje deformiranjano stanje deformiranja

Deformiranje elemenata i konstrukcija dozvoljava se u određenim granicama i pod uvjetom da ne izazove oštećenja u samom sustavu i drugim nosivim elementima. Pod pojmom deformiranje (izobličenje) podrazumijeva se deformacija, progib, zakrivljenost, pomak, uvrtanje i promjena nagiba. Najčešća analiza je analiza progiba.

Preporučene vrijednosti maksimalnih vertikalnih progiba prikazane su u tablici:

δ0= nadvišenje

δ1= progib za kratkotrajno opterećenje

δ2= progib od vremenskih efekata

δmax= maksimalni (ukupni) progib

GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- nastavaknastavak

Kontrolu progiba nije potrebno provoditi uvijek. EC2 propisuje da kontrolu graničnog stanja uporabe nije potrebno provoditi kada vitkost elementa na savijanje (leff/d) ne prelazi vrijednosti naznačene u tablici.

Vrijednosti naznačene u tablici valja umanjiti:

- Za grede T presjeka kojima je beff/bw>3 sfaktorom: 0.8;

- Za sve elemente, osim ravnih ploča,raspona preko 7 m, koji nose pregradnoziđe, s faktorom: 7/leff.

- Za ravne ploče, raspona preko 8.5 m, s faktorom: 8.5/leff.

Također, kada je stvarno naprezanje u čeliku manje od 250.0 MN/m2, vrijednosti u tablici treba korigirati s nepovoljnijim od dva faktora:

gdje je As,prov postojeća, a As,req potrebna površina armature.

Upotreba ove tablice je na strani sigurnosti.

prov,s

req,syk

3s

3

AA

f

400f;250f⋅

=σ

=


Potrebno je dokazati da je progib izazvan opterećenjem manji od graničnog:

gk ff ≤

( ) III 1 α⋅ζ−+α⋅ζ=α

Za elemente pretežno naprezane na savijanje vrijedi sljedeći izraz:

gdje je:α – općenita vrijednost deformiranja, a može biti progib, zakrivljenost, pomak i sl. ζ – koeficijent raspodjele (već primjenjivan kod proračuna pukotina);

za neraspucali element ζ=0.0 αI, αII – odgovarajuće vrijednosti deformiranja za neraspucali (homogeni) i potpuno raspucali

element

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅β⋅β−=ζ2

s

sr211

tot

2tot r

1lkf ⋅⋅=

Za elemente konstantne visine koristi se pojednostavljena metoda prema kojoj se izračuna zakrivljenost na mjestu maksimalnog momenta, a progib se tada izračuna prema izrazu:

gdje je:k – koeficijent ovisan o statičkom sustavu i opterećenju (vidi sljedeći list)l – raspon elementartot – ukupna zakrivljenost elementa, prema izrazu

rm – zakrivljenost zbog opterećenja i puzanjarcsm – zakrivljenost zbog skupljanja

csmmtot r1

r1

r1

+=


Približne vrijednosti vlačne čvrstoće betona i modula elastičnosti mogu se odrediti izrazima:

Srednja zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja sastoji se od zakrivljenosti u stanju naprezanja I i stanju naprezanja II:

gdje je:I1 – moment tromosti presjeka u stanju I

(neraspucalo stanje)

( )IIIm r11

r1

r1

⋅ζ−+⋅ζ=

Zakrivljenost za stanje naprezanja I proračunava se prema izrazu:

1eff,c

Sd

I IEM

r1

⋅=

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]MPaf;MPaf3.0f

MPaf;MPa8f9500E

ck32

ckm,ct

ck3

ckcm

⋅≈

+⋅=

A nakon očitanja trajnog koeficijenta puzanja iz norme:

( )0

cmeff,c t,t0.1

EE∞ϕ+

=


Moment nastanka prve pukotine određuje se prema izrazu:

Zakrivljenost za stanje naprezanja II:

gdje je:yIIg – udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba poprečnog presjeka za stanje IIεs1 – relativna deformacija armature, koja se izračunava po izrazu:

IIg

1s

II ydr1

−ε

=

1s

sds

s

s1s Az

M;E ⋅

=σσ

=ε

( ) 32ckm,ct

2

m,ctcr f3.0f;6hbfM ⋅≈

⋅⋅=

Te, ako je Mcr>Msd, tada se koeficijent raspodjele ζ uzima jednak 0, bez obzira na proračunatu vrijednost, jer je nosač u elastičnom stanju.

Zakrivljenost zbog skupljanja za stanje naprezanja I i II iznose:

II

IIecs

II,cslI

Iecs

I,csl IS

r1;

IS

r1 ⋅α⋅ε

=⋅α⋅ε

= ∞∞

gdje je:SI, SII – statički moment površine armature za stanje naprezanja I, tj. II,II, III – momenti tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I, tj. II,εcs∞ – relativna deformacija zbog skupljanja u beskonačnosti (iz tablica)αe – omjer modula elastičnosti čelika i betona, prema:

( ) ( )∞==α==α t zaEE;0t za

EE

eff,c

se

cm

se


Jedan jednostavan, a za praksu dovoljno točan način izračunavanja progiba armirano betonskih elemenata, je postupak po Bransonu (ACI) propisi.

MA MB

Ml

MA MB

Ml

MK

MK

F

F

q

q

l

l

Kontinuirani nosači:Raspodijeljeno opterećenje

Koncentrirana sila:

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

′⋅⋅= BAI

kc

2

k MM101M

IEl

485f

[ ]BAIkc

2

k MMM4IE

l481f ++⋅

′⋅⋅=

Konzole:Raspodijeljeno opterećenje

Koncentrirana sila:

kc

2K

k IElM

41f

′⋅⋅

⋅=

kc

2K

k IElM

31f

′⋅⋅

⋅=


Bransonov postupak uključuje izračunavanje efektivnog momenta tromosti presjeka prema izrazu:( )'

B,k'

A,k'

l,k'k II15.0I7.0I +⋅+⋅=

gdje je:I’k – efektivni moment tromosti gredeI’k,l – efektivni moment tromosti grede u poljuI’k,A – efektivni moment tromosti grede na lijevom ležaju (ležaj A)I’k,B – efektivni moment tromosti grede na desnom ležaju (ležaj B)

( ) MM

-1 IIII2

ik,

bp'i,idi,idi,id

'i,k ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

Efektivni moment tromosti u svakom presjeku računa se prema izrazu:

gdje je:Iid,i – idealni moment tromosti ne raspucalog betonskog presjeka i n-struke armature u presjeku “i”I’id,i – moment tromosti raspucalog betonskog presjeka i n-struke armature u presjeku “i”Mk,i – računski moment u presjeku “i”Mbp – moment nosivosti betonskog presjeka prije pojave prve pukotine

( ) 32ckctm

2

ctmbp f3.0f;6hbfM ⋅≈

⋅⋅=

GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- primjerprimjer

Potrebno je izračunati granično stanje progiba za nosač prikazan na crtežu.

M = 0 kNmA

M = 57.5 kNmB

M = 43.9 kNml

q

l=460 cm

Granični progib:

Beton: C 40/50; fck=40.0 MPaEc=35.0 GPa

Čelik: B500B; Es=200.0 GPa

cm 84.1250460

250lfg ===

4d 1

b=30

h=44

cm

40

A =2Ø16s1

A =2Ø12s2

4d 2 As1 = 2∅16 =4.02 cm2

As2 = 2∅12 =2.26 cm2

Presjek na lijevom ležaju:

( ) ( ) MPa5.30.403.0f3.0f 3232ckctm =⋅=⋅=

71.50.350.200

EEn

c

s ===

A,id'

A,id

4

223

2

12s

2

21s

3

A,id

IIcm3.2245783.116180.212960

42

4426,242

4402.471.512

4430

d2hAd

2hAn

12bhI

=

=+

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+=


As1 = 3∅16 =6.03 cm2

As2 = 2∅12 =2.26 cm2

Presjek u polju:4d 1

b=30

h=44

cm

40

A =3Ø16s1

A =3Ø12s2 x

4d 2

4

223

2

12s

2

21s

3

l,id

cm8.2282968.153360.212960

42

4426.242

4403.671.512

4430

d2hAd

2hAn

12bhI

=+=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+=

cm50.803.671.54030211

3003.671.5

nAbd211

bAnx

1s

1s =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅

++−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

⋅=

( )

4

2223

2

12s

2

21s

23'

l,id

cm 1.972138.153363.81876

42

4426.242

4403.671.52

50.84450.83012

50.830

d2hAd

2hAn

2xhbx

12bxI

=+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⋅+⋅

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅+=

GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- primjerprimjerPresjek u polju:

( )

( ) ( )

kNcm4390kNm9.43M

kNm88.33kNcm0.33886443035.0M

MPa5.30.403.0f3.0f

MPa0.40f;f3.0f;6hbfM

l,k

2

bp

3232ckctm

ck32

ckctm

2

ctmbp

==

==⋅

⋅=

=⋅=⋅=

=⋅≈⋅

⋅=

As1 = 3∅16 =6.03 cm2

As2 = 2∅12 =2.26 cm2

4d 1

b=30

h=44

cm

40

A =3Ø16s1

A =3Ø12s2 x

4d 2

( )

( ) cm 175287.1 43.9033.88-1 97213.1-228296.8-8.282962

MM

-1 IIII

42

2

lk,

bp'l,idl,idl,id

'l,k

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=


As1 = 2∅16 = 4.02 cm2

As2 = 2∅16 + 2∅12= 6.28 =2.26 cm2

Presjek na desnom ležaju:4d 1

b=30

h=44

cm

40

A =2Ø16s1

A =2Ø16+2Ø12s2

x

4d 2

4

223

2

12s

2

21s

3

B,id

cm4.2320154.190550.212960

42

4402.442

4428.671.512

4430

d2hAd

2hAn

12bhI

=+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+=

cm66.828.671.54030211

3028.671.5

nAbd211

bAnx

1s

1s =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅

++−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

⋅=

( )

4

2223

2

12s

2

21s

23'

B,id

cm 1.1017964.190557.82740

42

4402.442

4428.671.52

66.84466.83012

66.830

d2hAd

2hAn

2xhbx

12bxI

=+=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⋅+⋅

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅+=


Presjek na desnom ležaju:4d 1

b=30

h=44

cm

40

A =2Ø16s1

A =2Ø16+2Ø12s2

x

4d 2

( )

( ) ( )

kNcm5750kNm57.5M

kNm88.33kNcm0.33886443035.0M

MPa5.30.403.0f3.0f

MPa0.40f;f3.0f;6hbfM

l,k

2

bp

3232ckctm

ck32

ckctm

2

ctmbp

==

==⋅

⋅=

=⋅=⋅=

=⋅≈⋅

⋅=

As1 = 2∅16 = 4.02 cm2

As2 = 2∅16 + 2∅12= 6.28 =2.26 cm2

( )

( ) cm 147005.3 57.5033.88-1 101796.1-4.320152-4.320152

MM

-1 IIII

42

2

Bk,

bp'B,idB,idB,id

'B,k

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=


( ) 4'B,k

'A,k

'l,k

'k cm5.178438)3.1470053.224578(15.01.1752877.0II15.0I7.0I =+⋅+⋅=+⋅+⋅=

( ) ( ) cm175.0575001014390

5.1784383500460

485MM

101M

IEl

485f

2

BAIkc

2

k =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++

′⋅⋅=

Ukupna reducirana krutost:

Kratkotrajni progib:

68.003.626.245.085.0

AA45.085.0k

cm175.0ff

fkffff

1s

2sr

kg,k

g,krd

dku

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

=≈

⋅ϕ⋅=

+=

cm84.1fcm50.0321.0175.0fff

cm321.0175.07.268.0fkf

gdku

g,krd

=<=+=+=

=⋅⋅=⋅ϕ⋅=

Za dugotrajne utjecaje:

ϕ ≈ 2.7 – koeficijent puzanja (iz tablica)

betoni skripta

Documents

kombinira se sa

granino stanje pukotina

granino stanje deformiranja

zadovoljena ako je

skladita prometna optereenja

proracun poprecne armature

znak znai

odnosu na os