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Ao de la unin nacional frente a la crisis externaUNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Per, DECANA DE AMERICA)

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIALGRAFICAS DE CONTROL MULTIVARIADO PARA OBSERVACIONES INDIVIDUALES CURSO: CONTROL DE CALIDAD

PROFESOR: ING. CEVALLOS AMPUERO, JUAN MANUEL

GRAFICAS DE CONTROL MULTIVARIADO PARA OBSERVACIONES INDIVIDUALES

NOLA D. TRACY, JOHN C. YOUNGMcNeeseStateUniversity, Lake Charles, LA70609-2340ROBERT L. MASONSouthwest Research Institute, San Antonio, TX78228-0510Cuando p caractersticas del proceso de correlacin se estn midiendo al mismo tiempo, frecuentemente las observaciones individuales son inicialmente recogidas. Los datos de proceso se controlan y las causas especiales de variacin son identificadas con el fin de establecer el control y para obtener una muestra de referencia "limpia", para usar como base en la determinacin de los lmites de control para futuras observaciones. Un mtodo comn de construir graficas de control multivariable se basa en el estadstico T2 de Hotelling. En la actualidad, cuando un proceso est en la etapa de puesta en marcha y slo las observaciones individuales estn disponibles, se utilizarn distribuciones F y chi-cuadrado aproximados para la construccin de los lmites de control multivariables necesarias. Estas aproximaciones son conservadoras en esta situacin. Este artculo presenta un mtodo exacto, sobre la base de la distribucin beta, para la construccin de lmites de control multivariable en la etapa de puesta en marcha. Un ejemplo de la industria qumica ilustra que este procedimiento es una mejora sobre tcnicas aproximadas, especialmente cuando el nmero de subgrupos es pequeo.

INTRODUCCINLa calidad de la salida de un proceso de produccin frecuentemente se mide por el nivel de articulacin de varias caractersticas correlacionadas. Por ejemplo, un proceso qumico puede estar en funcin de la temperatura y la presin, los cuales deben ser supervisados cuidadosamente, de un grado particular de la madera podra depender caractersticas de correlacin como rigidez y resistencia a la flexin.Hawkins (1974) se refiere a un proceso en geoqumica de la minera del carbn en la que cada observacin se compone de 14 caractersticas correlacionadas. En estos tipos de situaciones, grficos de control univariados independientes para cada caracterstica se utilizan a menudo la detectar cambios inherentes a la variabilidad del proceso. Cuando estas caractersticas estn mutuamente correlacionadas, algunas veces, los grficos de control univariado no son tan sensibles como los mtodos multivariables que aprovechan la correlacin. Mientras Hotelling (19 47) fue uno de los primeros en notar los inconvenientes en la correlacin de variables mediante grficos de control univariados independientes, muchos libros de control de calidad de ese entonces (por ejemplo, Ryan (1989)) contenan ejemplos de procesos multivariables donde el uso de grficas individuales separadas no detectaba condiciones fuera de control.Muchos de los conceptos de control de calidad multivariable se deben a Hotelling (1947). Excelentes resmenes y discusiones de estas tcnicas se encuentran en el Alt (1985), Jackson (1980, 1981a, 1981b, 1985, 1991), Ryan (1989), y Montgomery (1991). Los valores trazados en grficos de control multivariables estn generalmente sobre la base estadstica de su distribucin T2 conocida (Hotelling (1931)). Esta distribucin es la contraparte multivariable a la distribucin t de Student. La tabla T2 es particularmente apropiada cuando se correlacionan caractersticas de inters.Hay dos fases diferentes en la construccin de grficos de control (por ejemplo, vase Alt (1982)). La primera fase ofrece una visin retrospectiva, implica comprobar si el proceso estaba en control cuando los datos iniciales individuales o datos de subgrupos se recogieron en el proceso. El subgrupo representa una muestra de observaciones tomadas en un cierto punto del proceso, tal como una muestra tomada durante un perodo de tiempo especificado. Esta fase es a menudo denominada la fase de puesta en marcha del proceso ya que el propsito es obtener un conjunto de datos (una muestra de referencia) para establecer los lmites de control para la supervisin. El objetivo de la primera etapa es establecer el control estadstico (Es decir, un proceso "limpio") y encontrar los lmites de control precisos para la etapa dos. La segunda fase consiste en la utilizacin el grfico de control para mantener el control, es decir, detectar cualquier desviacin del proceso estndar as como graficar futuros subgrupos.El estadstico multivariable T2 con frecuencia se utiliza como grafica estadstica para ambas fases de la construccin de grficas de control. En la primera fase, de subgrupos con tamaos mayor que uno, y en la segunda fase, donde la preocupacin es en el mantenimiento de control de un proceso, los limites de control se determinan utilizando el hecho de que el estadstico T2 sigue una distribucin F exacta. En la etapa de puesta en marcha con los datos individuales, sin embargo, los lmites de control se calculan utilizando una aproximacin basada en la distribucin F o chi-cuadrado. El grado de error asociado con la aproximacin es desconocido.El propsito de este trabajo es abordar este problema mediante la presentacin de un mtodo exacto para la construccin de un grfico de control multivariable cuando las observaciones individuales se recogen en la etapa de puesta en marcha etapa. Los resultados se ilustran utilizando un ejemplo de datos reales tomados de la industria qumica.

ESTABLECIMIENTO DEL CONTROL EN LA ETAPA DE PUESTA EN MARCHAConsidere el caso en el que p caractersticas correlacionados estn siendo medidas al mismo tiempo y se encuentran en necesidad de control. Se supone que estas caractersticas siguen una p- distribucin dimensional normal multivariable con un vector de medias = (1, 2, ..., p) y la matriz covarianza , donde i es la media para la i-sima caracterstica y es una matriz de p x p que contiene a las varianzas y covarianzas de las caractersticas p. La distribucin normal multivariable es el anlogo de una distribucin normal p-dimensional univariado asumido para cada caracterstica. Tenga en cuenta que si un proceso tcnicamente no est en control estadstico, como en la situacin de puesta en marcha supone aqu, entonces no hay distribucin estable para los datos. La asuncin de normalidad multivariable es que se hace con el nico fin de derivar los lmites de control. Despus de que el control ha sido establecido, suponemos que los datos siguen una distribucin normal razonable. Nuestros resultados dependen de la validez de este supuesto, al igual que la validez de los lmites de control habituales para un grfico de control univariado para individuos requiere el supuesto de normalidad. El supuesto de normalidad multivariable se puede comprobar mediante una apropiada prueba de bondad de ajuste normal multivariable (por ejemplo, vase Gnanadesikan (1977)).Supongamos que el control del proceso est en el inicio etapa y una muestra de los subgrupos de los datos m del pasado estn disponibles para estimar los parmetros de y . En algunas situaciones puede que no sea posible tomar subgrupos de tamao ms grande que uno. Esto puede ocurrir ya sea cuando la tasa de produccin es demasiado lenta para permitir convenientemente tamaos de subgrupos mayores que uno, o cuando mediciones repetidas difieren slo a causa de anlisis de errores, al igual que en muchos procesos qumicos.Para propsitos de notacin, se representa el individuo de la observacin i-sima de las p caractersticas de la referente muestra con el vector

El vector medio estimado, cuyos componentes es la media de cada caracterstica, es

Donde

y la matriz de covarianza estimada es

Para construir una grfica de control multivariable basado en el estadstico T2 de Hotelling, para la observacin Xi uno utiliza la formula estadstica

La distribucin de Qi no es ampliamente conocida, y por lo tanto el control multivariable traza grficas aproximadas (vase ejemplos en Jackson (1985) o Ryan (1989)) con una distribucin chi-cuadrado o una distribucin F para obtener los lmites del grfico de control.Si se supone que las estimaciones de Xm y Sm son la poblacin verdadera de valor y , respectivamente, entonces Seber (1984) ha demostrado que la estadstica Qi se distribuye como una variable aleatoria chi-cuadrado con p grados de la libertad. En ese caso, el lmite de control inferior es

y el lmite de control superior es

donde X2 (alfa; p) es 1 un alfa percentil de la distribucin F con p grados de libertad. Si se supone que la observacin Xi es independiente tanto de Xm y Sm, entonces la estadstica Qi sigue una distribucin F con p y m-p grados de libertad (vase el Apndice para ms detalles). En ese caso, el lmite inferior de control es

y el lmite de control superior es

donde F (a, p, m-p) es el 1-un percentil de la distribucin F con p y m-p grados de libertad.Como ninguno de los supuestos anteriores es vlido en la etapa de puesta en marcha descritas aqu, las aproximaciones sugeridas para la distribucin de la estadstica de grficos Qi tiene algunos inconvenientes. Por ejemplo, a menos que p sea pequeo, se requiere una muestra grande para encajar la distribucin chi-cuadrado (vase Hawkins (1981)). Afortunadamente, estos problemas pueden ser evitados ya que es posible derivar la distribucin exacta de Qi. Gnanadesikan y Kettenring (1972), basndose en un resultado de Wilks (1962), han demostrado que el Qi tiene una distribucin beta.

Especficamente,

La distribucin en (4) es correcta slo cuando Xi observaciones individuales son recogidos en la fase de puesta en marcha del proceso de (es decir, que se utiliza para calcular los lmites de control) son comprobados para ver si entran dentro de los lmites de control. En contrario, cuando las futuras observaciones