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8/21/2019 Traduccion Timoshenko

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HISTORIA DE RESISTENCIA DE MATERIALES


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HISTORIA DE RESISTENCIA DE MATERIALESCopyright 1953, por el Me Graw-Hill Boolc Company, Inc. Printod en los EstadosUnidos de Amrica. Todos los derechos reservados. Este libro, en parte o en sutotalidad, no puede ser reproducida en cualquier forma sin el permiso de loseditores.

Biblioteca del Congreso fataloy Nmero de la tarjeta:52-10341

LA abastecedora.E PULSE EMPRESA, YORK, PA.


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ProfaceEste libro se ha escrito sobre la base de conferencias sobre la historia de la

fuerza de los materiales que me han dado durante los ltimos veinticinco aospara los estudiantes en ingenieria aheady mechamos que tuvo conocimiento de lafuerza de matei'ial y teora de estructuras. Durante la preparacin del libro parasu publicacin, un volumen considerable de material se ha aadido al contenidoinicial de las conferencias, pero en general, el carcter del curso se mantuvo sincambios. Al escribir el libro, yo tena en mente sobre todo aquellos de la stu 4 "Padrino Encyklopadie der Wissenschaften", editado por F. Klein y C. MtiUer.

Yo quera en lugar de seguir el ejemplo de Saint-Venant , discretizadasmediante un "Historique Abrg" * y dar a un crculo ms amplio de lectores unarevisin histrica de las principales etapas en el desarrollo de nuestra ciencia sinentrar en demasiados detalles. Para hacer esto, he considerado conveniente incluiren la historia breves biografas de los ms destacados los trabajadores en estetema, y tambin para discutir la relacin de los progresos realizados en la dotacinde material para el estado de la enseanza de la ingeniera y en el desarrolloindustrial de varios pases. No hay duda, por ejemplo, que el desarrollo

IU de progreso material no puede ser satisfactoriamente discutido sin considerarel desarrollo de las ciencias colindantes como la teora de la elasticidad y la teora

de las estructuras. Existe una interrelacin cise en el desarrollo de las ciencias, yque era necesario incluir parte de su historia en el libro. Para ello he tomado

*La introduccin histrica que Saint-Venant , discretizadas mediante un aadido a suedicin de libro de Navier . Matemtico e: "Currculum des Legons."


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Vi PrefacioDe la historia de la teora de la elasticidad slo aquellas partes relacionadas conel desarrollo de la fuerza de los materiales y omite todo el material relacionado conla matemtica terica y progreso de la ciencia . De la misma manera, en relacincon el desarrollo de la teora de las estructuras, las porciones de inters tcnico nose incluye en este libro.

En el momento de escribir este texto, he intentado usuarios el orden cronolgicode presentacin y divide la historia de la materia en varios perodos. Para cada unode esos perodos he diseussed el progreso alcanzado en la dotacin de mate

En la elaboracin del libro, las publicaciones existentes sobre la historia de lasciencias era muy servicial. Adems de los libros ya los hombres- bles que he tenidoen mis manos la tercera edicin del libro de Navier . Matemtico e, "Currculumdes Lcyons . . . Editado por Saint-Venant , discretizadas mediante un y quecontiene su "Su- torique , Abregs . . . " y sus numerosas notas ivhich son ahorade gi'comer inters histrico. Tambin he consultado la traduccin de Saint-Venant

, discretizadas mediante un libro de Clebsch, de la elasticidad, que contiene en s lahistoria de elasticidad en sus perodos anteriores. Entre las biografas ME encontrlos siguientes muy til: "Histoire des Sciences Mathmatiques et de msiques" deM. Marie, "Geschichte der Mechanik El", por M. Rhlmann, varias biografas eningls, y las colecciones de "loges Academiques" por Fran^ois Arago y JosephBertrand. Para el examen de las nuevas publicaciones es necesario pasar pormuchas revistas especializadas en diversas lenguas. Esto tuvo una considerablecantidad de tiempo, pero el autor se sentir totalmente recompensado si su trabajose ahorrar algo de mano de obra para otros worlcers en la historia de resistencia

de materiales.I Estoy agradecido a mis colegas en la Universidad de Stanford y el ProfesorAlfredS. Niles, por sus comentarios sobre las partes del manuscrito que trata con lahistoria de los inicios de racimos y el Maxwell-Mohr mtodo de analizar vigasestticamente indeterminadas; y al Profesor Donovan H. Los jvenes que dieronmucho asesoramiento constructivo en el momento de la preparacin del manu-script. Yo tambin le estoy muy agradecido al Dr. R. E. D. Obispo para su lecturade todo el manuscrito y sus numerosas observaciones importantes, y a nuestroestudiante es diplomado, James Gere, quien verific las pruebas.

Stephen P. TimoshenkoStanford, California.1952 Diciembre


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Contenido

Proface ............................................................................................................... VIntroduccin .......................................................................................... 1

I.LA FUERZA MATERIAL ANTES MENCIONADA EN EL SIGLO XVII

1. Galileo ........................................................................................... 72. Trabajo de Galileo en la fuerza de los materiales ........................ 11

3. Organizacin de las academias nacionales de; ciencia . . 154. Robert Hooke ......................................................................................... 175. Mariotte ................................................................................................. 21

II. LAS CURVAS ELSTICAS6. Los matemticos Bernoulli .................................................................... 257. Euler ...................................................................................................... 288. Contribucin de Euler a la fuerza de los materiales. ... 30

9. Lagrange........................................................................................ 37III. RESISTENCIA DE MATERIALES EN EL SIGLO XVIII10. Ingeniera applieat.iones de resistencia de los materiales . . 41

11. Parents ................................................................................................. 4312. Coulomb ............................................................................................... 4713. Estudio experimental de las propiedades mecnicas del

structural materials in the eighteenth c e n t u r y . . . 54

14. Teora de los muros de contencin en el siglo xviii. . (5015. Teora de arcos en el siglo xviii . . . 62IV. RESISTENCIA DE MATERIALES ENTRE1800 Y 183316. L'Ecole Polytechnique.......................................................................... 67

17. Navier . Matemtico e ......................................................................... 7018. Libro de Navier . Matemtico e intensidad de los materiales ............ 7319. El trabajo experimental de ingenieros franceses entre

1800 Y 1833 ............................................................................. 8020. Las teoras de suspensin avches y tender puentes entre

1800 Y 1833 ............................................................................. 8321. Poncelet ............................................................................................... 8722. Los jvenes Thornas ............................................................................ 90

VII

I


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a teora de las placas. 119

Viii Conlenis23. Strength of materials in England betwcen 1800 and 1833 98

24. Otros notables Euvopean contributons a fuerza deMateriales .....................................................................................................100

V.EL COMIENZO DE LA MATHKMATICAL TEORA DEL ET,COMO:TICITY

25. Las ecuaciones de equilibrio en la teora de elastieity. . 104.26. Cauchy ..............................................................................................................10727. Poisson ..............................................................................................................11128. G. Lam y B. P. E. Clapeyron ............................................................................114

VI.RESISTENCIA DE MATERIALES ENTRE 1833Y 186730. Fairbairn y Ilodgkinson .....................................................................................12331. El crecimiento de Germn eugitieering sehools . . . . 129

32. DE Saint-Venant , discretizadas mediante un contributons la teora de flexinDe las vigas ...................................................................................................135

33. Anlisis de la Jourawski destaca de la esquila de las vigas . . 14134. Vigas continuas .................................................................................................144

35. Bresse ...............................................................................................................14636. E. Winkler .........................................................................................................152

VII.RESISTENCIA DE MATERIALES EN LA EVOLUCIN DE LOS FERROCARRILES37. Puentes tubulares .............................................................................................15638. Principios sobre la fatiga de investgations metis ............................................16239. La labor de Wohler ............................................................................................16740. Movimiento de cargas ........................................................................................17341.

Impacto .............................................................................................................17842. Las primeras etapas de la teora de vigas ..........................................................18143. K. Culmann .......................................................................................................19044. W. J. Macquorn Rankine ...................................................................................19745. J. C. Maxwell contributons a la teora de estructuras 20246. Problemas de estabilidad elstica. Columna frmulas. 208

47. Teora de los muros de contencin y arcos entre 1833 y1867 ...................................................................................................... 210

VIH.LA MATHEMATICAI *TEORA DE LA ELASTICIDAD ENTRE 1833Y 186748.

El fsico elastieity y "la constante elstica-Redonda" .......................................................................................................21649. Primeros trabajos en elastieity en la Universidad de Cambridge . . 22250. Stokes ................................................................................................................22550A. Barr de Saint-Venant , discretizadas mediante un ...........................................229


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Contenls Ix51. La semi-mtodo inverso ..................................................................................... 23352. Las obras posteriores de Saint-Venant , discretizadas mediante un .................. 23853. Duhamel y Phillips ........................................................................................... 24254. Franz Neumann ................................................................................................ 24655. G. R. Kirchhoff .................................................................................................. 25256. A. Clebsch, ........................................................................................................ 25557. Lord Kelvin ....................................................................................................... 26058. James Maxwell Clei'k ........................................................................................ 268

IX.FUERZA OP MATERIALES EN PERODO 18671900THB59. Laboratorios de Ensayos Mecnicos .................................................................. 27660. El trabajo de O. Mohr ........................................................................................ 28361. Energa de deformacin y teorema de Castigliano ............................................. 28862. Problemas de estabilidad elstica ...................................................................... 29363. Agosto Fppl ..................................................................................................... 299

X.TEORA OFSTRUCTURES EN EL PERIODO 1867-190064. Racimos Statieally determnate......................................................................... 30465. Deflexin de vigas ............................................................................................. 31166. Racimos Statieally indeterminado ..................................................................... 31667. Arcos y muros de retencin ................................................................................ 323

XI.TEORA DE LA ELASTICIDAD ENTRE 1867Y 190068. El trabajo de los alumnos de Saint-Venant , discretizadas mediante un ........... 32869. Lord Rayleigh .................................................................................................... 33470. Tlieory de elasticidad en Inglaterra entre 1867 y 1900 33971. Teora de la elasticidad, en Germn y entre 1867 y 1900344 71A. Las solucionesde dos dimensiones de problemas entre 1867

Y 1900 .................................................................................................. 350XII.LOS AVANCES EN LA DOTACIN DE MATERIALES DURANTE EL VIGSIMO PERODO SIGLO

72. Propiedades de los materiales dentro del lmite elstico. . . 35573. Fractura de materiales quebradizos .................................................................. 35874. Ensayo de materiales dctiles ........................................................................... 36275. Fuerza teoras ................................................................................................... 36876. Arrastre de metis a elevadas temperaturas .................................... 37277. Fatiga de metis ............................................................................................... 37778. Anlisis Experimental de la tensin .................................................................. 383

XIII.TEORA DE LA ELASTICIDAD DURANTE EL PERODO 1900-195079. Flix Klein ........................................................................................................ 38980. Ludwig Prandtl ................................................................................................. 39281. Mtodos aproximados de solucin problemas elasticidad . 397

I


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X Conlenls

82. Tres de los problemas de elasticidad tridimensional ......................... 40183. Dos de los problemas de elasticidad tridimensional .......................... 40584. Flexin de placas y los depsitos ........................................................ 40885. Estabilidad elstica ............................................................................ 41286. Las vibraciones y el impacto ............................................................... 417

XIV. TEORA DE LAS ESTRUCTURAS DURANTE EL PERODO1900-195087. Nuevos mtodos de solucin sistemas estticamente indeterminadas42288. Suspensin Arcos y puentes ............................................................... 42689. Destaca en las pistas raihvay ............................................................. 43090. Teora del buque estructuras .............................................................. 434

ame Index ........................................................................................ 441Subject Index ...................................................................................... 449


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Introduccin

Desde los primeros tiempos cuando comenz a huiltlj definicibn se encontrnece- sarios para hayo Informacin sobre la fuerza estructural de matcrials quesafo reglas para determinar las dimensiones de los miembros drawp. Sin duda losegipcios tenan algunas reglas empricas antes mencionada este tipo, ya que sin

ellos habra sido imposible de levantar sus grandes monumentos, templos,pirmides y obeliscos, algunos de los cuales todava existen. Los griegos msavanzados del arte de construir. I, desarrollado statics, que subyace en la mecnicade los materiales". Arqumedes (287 212 A.C. ) dio una rigurosa prueba de lascondiciones de equilibrio de una palanca y a revestidos de mtodos paradeterminar centros de gravedad de los cuerpos. mentira utiliza su teora en laconstruccin de los distintos dispositivos elevadores. Los mtodos utilizados por losgriegos en el transporte de los coumns architravos y del templo de Diana de losEfesios se muestran en las Figs. 1 A 3.

Los romanos fueron grandes constructores. No slo de algunos de susmonumentos y templos, pero tambin en carreteras, puentes, y fortificaciones. Algosabemos de sus mtodos de construccin del libro de Vitruvius,1 un famoso Romnarquitecto e ingeniero de la poca del emperador Augusto. En este libro, sumatcrials estructurales y tipos de construccin. La Figura 4 muestra un tipode gra utilizada por los romanos para levantar piedras pesadas. Los Romanos amenudo se utilizan arcos en sus edificios. La Figura 5 muestra los arcos en el famosoPont du Gard, un puente que est al servicio de este da, en el sur de Francia. Unacomparacin2 del ges- arcos de Romn politemticas los de la poca actual indica quehoy en da es mucho ms ligero. Los romanos no haban las ventajasproporcionadas por anlisis de estrs. No s cmo seleccionar la forma adecuada ygeneralmente tenan arcos de medio punto de compara- tivamente reducida.

La mayor parte de los conocimientos que los griegos y los romanos acumuladoen el camino de la ingeniera estructural se perdi durante la Edad Media y slodesde la llenaissance ha sido recuperado. As, por ejemplo, cuando el famosoarquitecto italiano Fontana (1543-1607) levantaron el Vaticano obelisco a la ordendel Papa Sixto V, (Fig. 6), en este trabajo ha atrado una gran atencin en

X ffiitruvms, " Architecturc", fFrcnch traduccin por De Bioul, Bruselas, 1816 .XMe siici Para comparacin, seo Alfrcd Leger, "Les Travaux Publica aux temps des

Romains", pg. 135, Pars, 1875.

1


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2 Hislory de Slrength de materialesLos ingenieros europeos. Pero sabemos que los Egipcios hacl planteadas sevei'al,obeliscos miles de aos antes, tras el corte de la piedra de Syene y transporta en elNilo. De hecho, los romanos haban llevado sorae de los obeliscos egipcios de sussitios de origen y erigi en Roma; por lo que parece que los ingenieros de la seis-

Fios. 1 A 4. Abajo, los metliods Grceks eolumns de transporte. Arriba, el tipo de gra utilizadapor los Romanos.

Buenas prcticas siglo no eran tan bien equipado para tareas difciles como sus

predecesores.Durante el Renacimiento se produjo un resurgimiento del inters en la ciencia y

el arte, los lderes en el campo de la arquitectura y la ingeniera. Leonardo da Vinci(1452-1519) fue una de las ms outstandiug hombre de ese perodo. no era slo elprincipal artista de su tiempo, sino tambin un gran cientfico e ingeniero. Noescribir libros, pero gran parte de la informacin


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INtroduclion 3Fue encontrado en sus cuadernos1 con respecto a su grandes descubrimientos endiversas ramas de la ciencia. Leonardo da Vinci tiene gran inters en mecnica y

en una de sus notas se afirma: "mecnica es el paraso de la ciencia matemticaporque aqu es donde entramos en los frutos de las matemticas." Leonardo daVinci utiliza el mtodo de los momentos para obtener la correcta Solucion8b, que seaplica el concepto de la divisi de desplazamientos virtuales para analizar losdiversos sistemas de poleas y palancas como se usan en dispositivos elevadores.Parece que

FIG. 5. La fanious Pont du Gard.

Leonardo da Vinci tena un concepto correcto de la orientacin producida por unarco. En uno de sus manuscritos hay un boceto (Fig. 9) De dos de sus miembros en

el que una carga vertical Qest actuando y la pregunta es: Qu se requiere en a yen b de equilibrio? En la lnea de puntos- allelogram, en el esquema, se puedeconcluir que Leonardo da Vinci tena la respuesta correcta en este caso.

Leonardo da Vinci estudi la resistencia de los materiales estructurales- mularioimentally. En su nota "Probar la fuerza de cables de hierro antes mencionadadiversas longitudes "da el dibujo se muestra en la Fig. 10, Y hace que el siguientecomentario: "El objeto de esta prueba es buscar la carga un cable de hierro puedellevar. Conecte un cable de hierro 2 braocia largo a algo que apoyar firmemente

1Una bibliografa de Leonardo da Vinci de trabajo se da en la Enciclopedia Britain de telefnica. Tambin una seleccin de pasajes de los

manuscritos se encuentran en la boolc por Edward McCuvdy, "Leonardo da Vinci la nota de los libros." Ver tambin el libro de W. B. Parsons, "Los

ingenieros e Ingeniera en la. llenaissance", 1939. Lutter libro de la Fig. 10 Y las cotizaciones dadas en este artculo.


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Fiu.

6.

LaereccindelVatic

anoobelisco.


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Introduclion 5, Thcn fije una cesta de la compra. o de cualquier contenedor similar al cable y sealimentanLa cesta algunos arena fina a travs de un pequeo orificio situado en el extremode un

La tolva. Un muelle se fija de manera que se basaraen cise el orificio tan prontocomo el cableSe rompe. La cesta no est molestoMientras que la disminucin, puesto queentra a travs de unDistancia muy corta. El peso deArena y la ubicacin de la fracturaDel cable se registran. ElSe repite la prueba varias veces para

Verificar la resulte. A continuacin, unhilo deA la mitad del tiempo se han probadoY el peso adicional que llevaEst grabado y, a continuacin, un cablede un cuarto

,, IG. . eonar o a mc .a a uno e os ar cu os que es compa e, pero esLibre para doblar, y es de seccin transversal uniforme y material, en la parte queest ms lejos de los soportes se doblar la ms." Se recomienda que una serie de

pruebas, a partir de un haz de luz que puede llevar un peso cuando est apoyadaen ambos extremos, y, a continuacin, tomando sucesivamente ms

Las vigas de la misma profundidad y anchura, y grabar lo que llevar peso. Suconclusin valida es que la fuerza de las vigas apoyadas en ambos extremos laspaletas inversamente a la longitud y directamente como la anchura. Tambin hizoalgunas investigaciones de las vigas que un extremo fijo y otro libre y dice: "Si unrayo 2 100 soportes largos braccia libbre, haz 1 braecia tiempo apoyo 200. Tantas

veces como la longitud ms corta es

1 VaseParsons, "Ingenieros y lngineermg en el Renacimiento", pg. 72.


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6 Historia de resistencia de materiale

FIG.9. FIG. 10. Ensayo de traccin por cableLeonardo da Vinci.

De los materiales estructurales. Sin embargo, estos importantes avances fueronenterrados en las notas de da Vinci y los ingenieros de los siglos xv y xvi, como enel Romn era, para fijar las dimensiones estructurales de elementos de confiarsolamente en la experiencia y el criterio.

Los primeros intentos de encontrar la caja dimensiones de los elementosestructurales analticamente se hicieron en el siglo xvii. Galileo del famoso libro"Dos nuevas ciencias"1 se muestran los esfuerzos del escritor para poner losmtodos aplicables en anlisis de estrs en una secuencia lgica. Representa elcomienzo de la ciencia de la fuerza de los materiales.

1Ver ingls Henry Tripulacin de translacin y Alfonso de Salvio, Nueva York, 1933.

Figura en el ms largo, de modo que muchas veces ms peso que el soporte tcnicode tiYa no es." En cuanto al efecto de la profundidad en la fuerza de un rayoNo hay defmite declaracin de Leonardo da Vinci.

Al parecer Leonardo da Vinci hizo algunas investigaciones de la fuerzaDe las columnas. Afirma que esta inversamente a medida que vares suslongitudes, peroDirectamente como una proporcindeterminada de la cruzLas secciones.Estos examinan brevemente lograr-Declaraciones de da Vinci representan sinduda habr que pensar muy seriamente

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CAP TULO T

La fuerza de los materiales en el Siglo xvii1

1. Galileo 1564-1642

Galileo naci en Pisa2 y fue descendiente de una noble florentinaCasa. Galileo recibi su primera educacin en latn, griego yLogie n el monasterio de Vallom-Brosa, cerca de Florencia. En 1581, el sr.Fue colocado en Universidad de Pisa,dondeFue a estudiar medicina. Pero muyPronto las conferencias sobremathematiesComenz a atraer su atencin, yTir toda su energa en estudio-El trabajo de Euclides y archi-Medes. Parece ser que, a travs

Libros de Cardan, 5 l beeame ac-Publi con Leonardo da VinciDiscoveiies en mecnica. En 1585,Galileo tuvo que retirarse delUniversidad, debido a la falta de medios,Sin tener el grado y el oradorRegres a su casa en Florencia.All, Galileo dio su vez ha realizado unaexperiencia

En mathematies y mecnica ySigui su propio seientific trabajo. En 1586, hizo una hidrostticaBalanza para medir la densidad de las distintas sustancias y mentira llevada

1La historia de la mecnica de los materiales durante los siglos xvii y xviii se explica en elprefacio de su libro "Trait Analytique de la rsietan.ee des solides" por P. S. Girard, Pars,1798.

2Vase J. J. Fahie, "Galileo, su vida y su obra", Nueva York, 1903. Vase tambin la novela"El quien fallecera al ao siguiente de Zsolt de Harsanyi, traduccin de P. Englisli Tabor,Nueva York, 1939.

3Vase P. Duhem, "Les Origines de la Enrutamiento", pg. 39, Pars, 1905. Cardano (15011576) analiza mecnica en algunos de sus matheinatical publicaciones. Su presentacin deesta ciencia es muy similar a la de Leonardo da Vinci, y se suele suponer que Cardano haba


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8 Ilislory de Slrength de materialesLas investigaciones de los centros de gravedad en cuerpos slidos. Este trabajo leha dado conocer, y en el medio de 1589 se le dio la ctedra matemtica- ematical enPisa cuando tena veinte y cinco aos y medio od.

Durante su tiempo en Pisa (1589-1592), Galileo continu su trabajo en el campo

de las matemticas y de la mecnica y su clebre experimentos en cuerpos quecaan. Sobre la base de estos experimentos el tratado "De Motu Gravium", que seelabor en el ao 1590, y representa el principio de la dinmica que hoy loconocemos. Las principales conclusiones de este wol k fueron: (1) al] rganoscorresponden a la misma altura en tiempos iguales; (2) en su cada, la velocidadfinal son proporcionales a los tiempos; (3) el spaees cado en son proporcionales alos cuadrados de los tiempos. Estas conclusiones fueron en total disagreoment conlos de mecnica aristotlica, pero Galileo no vacila en utilizar en su disputa con losrepresentantes de la escuela aristotlica. Esto produjo sentimientos de animosidad

contra el joven Galileo y inally tuvo que dejar Pisa y regreso a Florencia. En estemomento difcil algunos de sus amigos le ayudaron a obtener el profe1se hizo enese momento: "Debido a la muerte del Signor Moletti, quien anteriormente hadictado conferencias sobre matemticas

El 7 de Diciembre, 1592, Galileo embarcado en sus nuevas funciones con un dis-curso "que ha ganado la mayor admiracin, no slo por sus profundosconocimientos, sino por su elocuencia y elegancia en la diccin " Durante susprimeros aos en Padua, Galileo fue extraordinariamente activo. Sus conferenciasllego a ser tan conocido que los estudiantes de otros pases europeos carne a Padua.Una sala capaz de contener 2.000 estudiantes tuvieron que ser utilizadosposteriormente para estas conferencias. En 1594 el famoso "tratado de mecnica ("della Scienza Meccanica") fue escrita. En este tratado diversos problemas destatics fueron tratados mediante el principio pedaggico de desplazar- virtual. Eltratado logr una amplia difusin en la forma de manu- script copias. Al mismotiempo, en relacin con algunos problemas en el sector de la construccin naval,Galileo se interes tambin en la fuerza de su compaero

1Ver el libro de J. J. Fahie, p. 35,


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La Strenglh de materiales en el siglo SeveiUeenlh 9

1597, El orador stafces: "hace muchos aos me convert en un convertir a la opininde Coprnico, y con esta teora ha tenido xito a la hora de explicar muchos com-prender que, por el contrario son hiptesis totalmente inexplicable." los rumores dela invencin del telescopio lleg a Padua en 1609, y, en la fuerza de escasa

informacin, Galileo ha logrado construir uno por su cuenta con un poder deaumento de 32. Con este instrumento, hizo

La Fia. 12. La sala de estar n de Galileo en villa Arcerti.

Una serie de importantes descubrimientos astronmicos. El demostr que la VaLctea est formada por menor estrellas, describe el carcter montaoso de laluna, y en 1610 Enero, vio satlites de Jpiter por primera vez. Este ltimodescubrimiento afinn effeet un gran sobre el ulterior desarrollo de la astronoma,para el movimiento de este sistema se transform en un poderoso argumento a

favor de la teora Copernicana. Todos estos descubrimientos Galileo famosos. Fuenombrado "filsofo y martya origi- extraordinarias " al gran duque de Toscana yen septiembre,


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10 Hislory de resistencia de materiales1610, Abandon Padua de Florencia. En su nueva posicin Galileo no tena otrastareas que continu con su trabajo cientfico y la puso toda su energa npara laastronoma. l descubri la forma peculiar de Saturno, observ las fases de Venus,y se describen las manchas en el sol.

Todos estos descubrimientos brillantes y entusiastas de Galileo por escrito a favorde la teora Copernicana atrajo la atencin de la Iglesia. El

D I S C O R S I

DIMOSTRAZIONIM A T E M A T I C H E ,

Intorno a debido tihohc/cenle Attenenti otras cosas

M E C A N I C E & i M O V I M E N T I L O C A L I .

Del Signor

G A L I L E O G A L I L E I L I N C E O ,

C Matcmacico Filofofo primario del Sercnifimo Gran Duca di Tofcana.

COKvna Appendtccdel centro digrauiti d'alcvniSolidi.

EN L R I D AGli Elvirii Apprcflo. M . d . c . Xixvm.

Fio. 13. El ttulo de la pgina del libro de GaHleo, "Dos nuevas ciencias".

Discrepancia entre la nueva vista de el sistema planetario y que de las Escriturasfue llevado ante la Inquisicin y, en 1615, Galileo 'acogidos semioficial deadvertencia para evitar teologa y limita a physieal razonamiento. En 1616, lagran obra de Coprnico fue- deraned por la Iglesia, y, durante los siete aossiguientes, Galileo dej de publicar su polmico trabajo en el campo de la

astronom a. En 1623, Maffeo Barberini, un amigo y admirador de Galileo, fueelegido para el trono pontificio, y Galileo, a la espera de un tratamiento msfavorable de su astro-


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La Slrenglh de materiales en el siglo Sevenleenlh 11Para las publicaciones, comenz a escribir su famoso libro dedicado a laDos formas de ver el universo, y que apareci en la prensa en 1632.Desde que el libro sin duda es partidario de la teora Copernicana, su venta fuepro-

Congreso fue prohibido por la Iglesia y Galileo fue llamado a Roma por laInquisicin.All fue condenado y tenan que leer su retractacin. Af ter su regresoA Florencia, tuvo que vivir en su casa en Arcerti en estricto aislamiento, queLo hizo durante los ocho aos restantes de su vida. Fue entonces que lEscribi su famoso libro "Dos nuevas ciencias",1en la que se repasabanLos resultados de la labor de todos sus trabajos anteriores en los diversos camposde la mecnica. ElLibro fue impreso por el Elzevirs en Leiden en 1638 (Fig. 13). Una parte

Del libro "tratamiento de las propiedades mecnicas de los materialesestructuralesY con la fuerza de las vigas, constituye la primera publicacin en elCampo de fuerza de los materiales, y a partir de esa fecha la historia de lamecnicaElstico de rganos comienza.

2. Trabajo de Galileo en la fuerza de los materialesTodo trabajo de Galileo sobre la mecnica de los materiales se incluye en la

primera

Dos dilogos de su libro "Dos nuevas ciencias." mentira comienza con variosLas observaciones realizadas durante sus visitas a VeneciaArsenal y analiza geomtricamente estructuras similares.El autor afirma que si hacemos las estructurasgeomtricamenteSimilar, thn, con el aumento de las dimensiones,Se debilitan. En la ilustracin se afirma:"Un pequeo obelisco o columna u otra figura slida puedeSin duda alguna se establecern o configurar sin peligro de

Romper, mientras que muy grandes, vaya a pedazos bajoLa ms mnima provocacin, y que nicamente en cuentaDe su propio peso." Para probar esta afirmacin, quecomienza con unExamen de la fuerza de los materiales en simpleAciagos (Fig. 14) Y los estados que la fuerza de un barEs proporcional a su rea de seccin transversal y es inde-Colgante de su longitud. La fortaleza de la barraGalileo calis la "absoluta resistencia a la fractura"Y l le da algunas cifras relativas a la ltimaFuerza de cobre. Tener la absoluta resistenciaEn un bar, Galileo investiga la resistencia a la fractura

Fio. 14. Ilustracin deGalileo de diez- sileprueba.


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12 Historia de resistencia de materialeLa resistencia. Esta resistencia se opone a la sep&racin de parte BD, situadasfuera de los muros, de la parte situada dentro. De la discusiones permi- ing, de ellose deduce que la magnitud de la forc a Clleva a la magnitud de la resistencia, quese encuentra en el espesor del prisma, es decir,en la fijacin de la base BA asus

partes contiguas, el mismo porcentaje

Fio. 15. Ilustracin de Galileo de ensayo de flexin.

FIG.16.

La mitad de longitud que BAtiene la longitud BC. 'nvemos que Galileo se suponeque cuando esto ocurre la "resistencia" es uniformemente repartido, en la seccintransversal BA (Fig. 166). Suponiendo que el bar tiene una seccin transversalrectangular y que el material sigue la ley de Hooke de fractura, podemos obtenerla distribucin de la tensin se muestra en la Fig. 16C. La resistencia al parcorrespondiente a esta distribucin de la tensin slo es igual a un tercio del

momento asumida por Galileo. Por lo tanto, para este tipo de material1Ver "Dos nuevas ciencias", traduccin al ingls, p. 115.

FS/ s


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La fuerza de los materiales en el siglo Sevenleenlh 13Galileo la teora givcs valu un tres veces ms grande que la carga de rotura parala carga en C. Real no siga materiales ley de Hooke hasta que fallen, y ladistribucin de la tensin de rotura es diferente de la que se muestra en la Fig. 16Cde manera tal que ha decrecido la discrepancia entre la prediccin de la teora de

Galileo y la verdadera valu de la carga de rotura.Sobre la base de su teora Galileo dibuja varias conclusiones importantes.

Considerando una viga rectangular, por lo que se presenta la pregunta: " Cmo yen qu proporcin no una varilla, o ms bien un prisma cuya anchura es mayor quesu espesor y ofrecen ms resistencia a la fractura cuando la forc es aplicada en ladireccin de su amplitud no en el sentido de su grosor." Mediante su asuncin (Fig.16B), se le da la respuesta correcta: "Cualquier regla o prisma, cuya anchurasupera el grosor, ofrecer una mayor resistencia a la fractura cuando se pone depie en el borde de cuando la persona est acostada fiat, y esta en la relacin de la

anchura de la espesor. "1Continuacin del debate sobre el brazo de carretera problema y manteniendo un

constante seccin transversal, Galileo concluye que el momento de flexin, debido aque el peso de la viga, aumenta a medida que el cuadrado de la longitud. Mantenerla longitud de un cilindro circular constante y variando su radio, Galileo llega a laconclusin de que la resistencia al momento aumenta a medida que el cubo delradio. Este resultado se deriva del hecho de que el "absoluto" de resistencia esproporcional a la superficie de la seccin transversal del cilindro y que el brazo deresistencia par es igual al radio del cilindro.

Teniendo en cuenta las vigas en voladizo geomtricamente similar bajo la accinde su peso Galileo concluye que, si bien el momento de flexin en la incorporadaaumenta a medida que la cuarta potencia de la longitud, la resistencia esproporcional al cubo de las dimensiones lineales. Este indi- cates quegeomtricamente las vigas similares no son igual de fuerte. Las vigas se vuelvenms dbiles con aumento de las dimensiones y, por ltimo, cuando son grandes,pueden fallar en la accin de su peso. Tambin observa que, a fin de ajustar lafuerza constante, la dimensin transversal

Con estas consideraciones en mente, Galileo malees la siguiente importante

1Ver "Dos nuevas ciencias", Englisli traduccin, p. 118.


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14 Historia de Sirenglh de materialesAltura; por este aumento de altura slo se puede lograr mediante el empleoUn material que es ms difcil y ms fuerte thanusual o ampliando el tamaoDe los huesos, por lo tanto, ehanging su forma hasta que la forma y la apariencia

deLos animales sugieren una monstruosidad. . . .Si el tamao de un cuerpo se ha disminuido, laR"-t- * -i fuerza de ese cuerpo no es disminuido

En la misma proporcin; de hecho, elMs pequeos del cuerpo, el mayor es su relativa

Fuerza. Por lo tanto, un perro pequeo podra prdb-Llevar a cabo sus hbilmente baclc dos o tres perros de su propio tamao, pero creo

Que un caballo no puede llevar ni siquiera a uno de su propio tamao."1

Galileo tambin tenan una viga sobre dos soportes (Fig. 17) Y considera que elmomento de flexin es mayor por debajo de la carga y es proporcional alproducto ab, de modo que para producir fractura con la menor carga esta cargadebe ser puesto en la mitad del tramo. l observa que existe la posibilidad deeconomizar material, reduciendo el tamao de la seccin transversal de los

Fio". 17.

io. 18.

Galileo ofrece una derivacin completa de la forma de un voladizo haz de igualintensidad, la seccin de planta rectangular. Considerando en primer lugar haz unprismaticalABCD(Fig. 18A), seala que una parte de el material se puede retirarsin que ello afecte a la fuerza de la viga. se encuentran tambin muestra que si nosquite la mitad de la material y tomar la viga en la forma de la cuaABC,la fuerzaen cualquier seccin transversal EF no ser suficiente ya que, mientras que laproporcin de la momento de flexin en EF para que de AB se encuentra en la

relacin entre CE:AC, la resistencia a momentos, proporcional al cuadrado de laprofundidad, ser en la proporcin ( CE)2: (CA)2 enestas secciones transversales.Para que la resistencia al momento varan en la misma proporcin que el momentode flexin, debemos tomar la curva parablica BFC(Fig. 186). Este cumple con elrequisito de equalst el deslizado, ya que para una parab- ola hemos

(EF)* EC * CA(ABj

Por ltimo, Galileo explica la fuerza de vigas huecas y los estados2 que haces"trabajan en el campo del arte y an ms a menudo en la naturaleza en un

"Consulte "Dos nuevas ciencias", Ingls translacin, p.130.2Ver "Dos nuevas ciencias", traduccin al ingls, pg. 150.

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La Slrength de materiales en el Ihe Siglo Sevenleenth 15Miles de operaciones con el fin de aumentar de forma considerable fuerza sinaadir peso; algunos ejemplos de estos son vistos en los huesos de las aves y enmuchos tipos de caas que resultan altamente resistente y ligero botli a doblar y

romper. Si un vstago de paja, lo que lleva una cabeza de trigo ms pesado que eltallo completo se compone de la misma cantidad de mate

3. Organizacin de las Academias Nacionales de CienciasDurante el siglo xvii se produjo un rpido desarrollo, y en las matemticas, la

astronoma, y de las ciencias naturales. Muchos aprendieron los hombres seinteresan en las ciencias experimentales y en particular worlc recibido muchaatencin. Muchas de las universidades estaban controladas por la Iglesia, y puestoque esto no fue favorable para el progreso cientfico, las sociedades cientficas seorganizaron en varios pases europeos. El objetivo de estas es para acercar a loshombres con intereses cientficos y faciltate trabajo experimental. Estemovimiento se inicia en Italia, donde, en 1560, la Accademia Secretoram Naturaese organiz en Npoles. La famosa Accademia dei Lincei fue fundada en Roma en1603, y Galileo fue uno de sus miembros. Tras la muerte de Galileo, la Accademiadel Cimento organiz en Florencia con el apoyo del gran duque Fernando de Mediciy su hermano Leopoldo. Los alumnos de Galileo Viviani y Torricelli particip en lalabor de la escuela. En el volumen de la academia publicaciones, una cantidadconsiderable de espacio est dedicado a tales problemas1

En Inglaterra al mismo tiempo, el inters cientfico seal a un grupo dehombres, y siempre que se cumplan las oportunidades adecuadas. El matemtico

Wallis se describen estos informales las reuniones de la siguiente manera: "En elao 1645, mientras que yo viv en Londres, junto a la conversacin de los buzoseminentes de los asuntos divinos theologioal, afinn la oportunidad de entrar encontacto con los buzos digna las personas, inquisitivo en filosofa natural, y otraspartes del aprendizaje humano; y las partes- de lo que ha sido llamado la "NuevaFilosofa" o "Experimental

1 "Saggi di naturali Esperienze", 2a. ed., Flovence, 1691.


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16 Hislory de resistencia de materialesFilosofa. "en los acuerdos, los buceadores de nosotros, semanalmente se renen enLondres en un determinado da y hora, en la iniciativa "tain pena, y una vez porsemana- para el cargo de experimentos, con ciertas reglas acordadas entre nosotros

para tratar y el discurso de esos asuntos. . . . Nuestro negocio era (remisin decuestiones de teologa y asuntos de estado) para discurso filosfico y que considerende Enquies yestampan como relacionados con; como Physick, anatoma,geometra, astronoma, Navegacin, Staticks, magnticos, Chymicks, Mechanicks yexperimentos naturales; con el estado de estos estudios, como despus se cultivanen el pas y en el extranjero. A continuacin, leda en la circulacin de la sangre,las vlvulas de las venas, la hiptesis Copernicana, la naturaleza de los cometas ylas estrellas nuevas, los satlites de Jpiseveral las fases de Venus y Mercurio ,el Improvoment de telescopios, y molienda de gafas para este fin, el peso del Aire,

la posibilidad o imposibilidad de muestran vacuidades internas que suponen yaborrecimiento de la Naturaleza, realiz el experimento de Quicksilver, el descensode los rganos, y los grados de aceleracin en ella; y los buceadores otras cosas de lamisma naturaleza. Algunos de los cuales fueron, a continuacin, pero los nuevosdescubrimientos, y otros no tan conocidos en general y sean aceptados como ahoraestn, con otras cosas pertenecen a lo que ha sido llamado la "Nueva Filosofa" quedesde los tiempos de Galileo en Florencia, y Sir Francis Bacon (Lord Verulam) enInglaterra, l se cultiva mucho en Italia, Francia, Alemania, y otras partes en elexterior, as como con nosotros en Inglaterra. Esas reuniones en Londres . . . Yfueron posteriormente incorporados por el ame de la Royal Society, etc. , ycontinu hasta la fecha. "1

La fecha en la que la Primera Carta fue sellada (15 julio, 1662) por lo general, setoma como el de la fundacin de la Sociedad Real. En la lista de los invitados aconvertirse en miembros de la sociedad se encuentran los ames de Robert Boyle,fsico y qumico; Christopher Wren, el arquitecto y matemtico, y John Wallis,matemtico. Como el curador, cuyo deber sera "a facilitar a la sociedad cada da serenen, con tres o cuatro grandes experimentos," Robert Hooke fue nombrado.

La Academia de Ciencias de Francia tambin tuvo su origen en las reunionesoficiosas de los cientficos. Padre Mersenne (1588-1648) estableci, y ha promovido

hasta la fecha de su fallecimiento, una serie de conferencias, que contaron con lapresencia de hombres como Gassendi, Descartes y Pascal. Ms tarde su vez harealizado una de estas reuniones de cientficos continuaron en la casa de Habert deMont- mor. En 1666, Luis XIV ministro Colbert tom medidas oficiales aorganizarse la Academia de Ciencias que se que tendr como miembrosespecialistas en diferentes campos de la ciencia. El matemtico Roberval, elastrnomo

1Sir Henry Lyon, "La Real Sociedad 1660-1940," 1944.

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La fuerza de los materiales en el Siglo xvii 17Cassini, el fsico dans Rmer (que miden la velocidad de la luz), y el fsicoMariotte Freneh aparecen en la primera lista de miembros de la Academy.1

Un poco ms tarde (en 1770) el Berln Academia de Ciencias- ganizado, y en

1725 la Academia de Ciencias de Rusia se inaugur en San Petersburgo.Todas estas academias publicaron sus transacciones y estos tuvieron una graninfluencia en el desarrollo de la ciencia en los siglos xviii y xix.

4. Robert Hooke(1635-1703) *Robert Hooke naci en 1635, hijo de un ministro parisli que vivi en la Isla de

Wight. Como el nio que era dbil y enferma, pero muy pronto mostr gran intersen hacer juguetes mecnicos y en el dibujo. Cuando tena trece aos od,Westminster, entr y vivi en la casa del Dr. Busby, maestro. All aprendi Latn,griego y hebreo y algunas se han familiarizado con los elementos de Euclides y conotros temas matemticos. En el ao 1653, Hooke fue enviado a la Iglesia de Cristo,de Oxford, donde fue un corista, y esto le dio una oportunidad de continu suestudio por lo que, en 1662, tom el grado de Master of Arts en Oxford, carne encontacto con varios cientficos y un hbil mecnico, ayud en su trabajo deinvestigacin. En 1658 trabaj con Boy le y perfeccionada. una bomba de aire.Escribe: "Sobre el mismo tiempo en que la oportunidad de dar a conocer yo conAstron encontrar por la amabilidad del Dr. Ward, yo me he dirigido a la mejora dela pndulo de esas observaciones y contriv ME gustara una forma de continu elmovimiento del pndulo . . . he realizado algunos triis para este fin, que mepareci tener xito a mi deseo. El xito de estos me ha hecho pensar en mejorar

farthcr, para encontrar la longitud y el mtodo que haba hecho para m por lasinvenciones Mechanick, rpidamenteme ha llevado a la utilizacin de los muelles,en lugar de la gravedad, de la que un cuerpo en la postura vbrate." Esto marca elcomienzo de sus experimentos con resortes.

En 1662, en la recomendacin antes mencionada Robert Boyle, Hooke fuenombrado conservador de los experimentos de la Royal Society y su conocimientode la mecnica y capacidad inventiva se buen uso de la sociedad. Siempre estabadispuesto a disear aparatos para demnstrate sus propias ideas o para ilustrar yaclarar cualquier aspecto relacionado con los debates de los becarios.

1J. L. F. Bertrand, "L'Acadmie des Sciences et les Acadmiciens de 1666 a 1793, Pars,1869.

.Ver "La vida y el trabajo de Robert Hooke por R. T. Gunther en "temprana de la ciencia enOxford", vols.Vl-VIII. Ver tambin el artculo de E. N. Da C. Andrade, Proc . Roy. Soc.(Londoii"

), vol. 201, pg. 439, 1950. Las cotizaciones dadas en este artculo estn tomados de estasfuentes.


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18 Historia de resistencia de materialesEntre los aos 1663-1664 Robert Ilooke beeame interesados en microscopa y en

1665 su libro "Micrographia", fue actividades.1 Hay que encontrar no sloinformacin sobre microscopio de Hooke sino tambin descripcin de sufundamental! Nuevos descubrimientos. Ilooke concibi la idea de que "la luz es unamuy breve vibrative movimiento transversal de las lneas rectas de propagacin."explic la interferencia los colores de las burbujas de jabn, y el fenmeno de losanillos de Newton.

En 1664, Hooke beeame profesor de geometra en el Gresham College, sino quese sigui para presentar sus experiencias, las invenciones y las descripciones de losnuevos instrumentos a las Sociedad y Roya] para leer su Cutlerian Lectures.2

En una reunin de la Royal Society el 3 de mayo de 1666, Hooke dijo: "YO leexplicar el sistema del mundo muy diferente a la de cualquier pero concebido y sebasa en las tres siguientes posiciones:

" I.que todos los cuerpos celestes no solo tienen una gravitacin de sus piezas" a su propiocentro, pero que tambin se atraen mutuamente dentro de sus esferas de accin."II. Que todos los rganos con un simple movimiento, se continu a moverse en

lnea recta, a menos que continuamente se desva de forc por algunos extraos, loque hace que tengan que describir un crculo, una elipse, o alguna otra curva.

"III. Que esta atraccin es tanto mayor como los cuerpos estn ms cerca. Encuanto a la proporcin en que disminuyen los forcea con un aumento de ladistancia, tengo [dice] que no he descubierto que aunque he hecho algunosexperimentos con este fin. Le dejo esto a los dems, que tienen el tiempo y el

conocimiento suficiente para la tarea. "3Podemos ver que Hooke haba una imagen clara de la gravitacin universal,

pero, al parecer, no tena conocimientos matemticos para demostrar las leyes deKepler.

Despus del Gran Incendio de Londres de 1666 Septiembre, Hooke realiz unmodelo que incorpore sus propuestas para la reconstruccin y los magistrados de laciudad hizo de l un agrimensor. mentira fue muy activa en este trabajo obras dereconstruccin y diseado varios edificios.

En 1678, el documento "De Potenti restitutiva", o "de la Primavera", se public.

Contiene los resultados de los experimentos de Hooke con elstico. Este es el irstdocumento publicado en el cual las propiedades elsticas de los materiales. Encuanto a los experimentos, l sajrs: "Talce un cable cadena [Fig. 19]4 de 20 , o 30, o40 pies de largo, y fije la parte superior, a un clavo, y en el otro extremo fije unSoale a recibir los pesos: y, a continuacin, con un par de compases talce ladistancia de la parte inferior de la escala desde el suelo o piso inferior y establecelas dice distancia,

1Consulte el apartado "temprana de la ciencia en Oxford", vol. XIII.2Consulte el apartado "temprana de la ciencia en Oxford", vol.VIII.3 Vase John Robison, "Elementos de Mecnica Filosofa", p. 284, Edimburgo, 1804.4La Figura 19 es tomado de Hooke de papel.

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La fuerza de los materiales en el siglo Seventeenlh

Fio. 19. Los dispositivos que se usan en experimonts de Hooke.


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20 Hislory de resistencia de materialesA continuacin, poner en los pesos en dicha escala y medir los diversosestiramientos de la mencionada cadena, y les hacia abajo. A continuacin, comparelos varios tramo... Esta escala QUE, ide a fin de examinar la gravitacin de loscuerpos hacia el centro de la Tierra, es decir, para examinar si los organismos acierta distancia del centro de la tierra no suelta un poco de su poder o tendenciahacia ella . . .

Vemos que Robert Hooke no slo estableci therelation entre la magnitud de lasfuerzas y las deformaciones que producen, sino tambin su- gerido variosexperimentos en los cuales esta relacin puede ser utilizado para resolverproblemas muy importantes. Esta relacin lineal entre la forc y la deformacin esla denominada ley de Hooke,que ms tarde fue utilizado como la base sobre la queun mayor desarrollo de la mecnica de cuerpos elsticos.


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La Slrenglli de materiales en el decimosptimo Ceniury 215. Mariotte

Mariotte (1620-1684) pas la mayor parte de su vida en Dijon donde fue prior deSt. -Martin-sous-Beaune. l beeame uno de los primeros miembros de la Academia

de Ciencias de Francia, en 1666, y fue en gran parte responsable de la introduccinde mtodos experimentales en Francs scienee. Sus experimentos con el aire diolugar a la conocida ley de Boyle-Mariotte que afirma que, a temperatura constante,la presin de una masa fija de gas multiplicado por su volnme permanececonstante.

En la mecnica de los cuerpos slidos, Mariotte cre las leyes de impacto, usandolas bolas suspendidas por hilos, fue capaz de demnstrate la conservacin delmpetu. Invent el pendnlum balsticos.

Las investigaciones de Mariotte de la elasticidad se incluyen en un documentosobre el movimiento de Mariotte fluids.1 tuvo que disear las tuberas para el

suministro de agua de el Palacio de Versalles y, como resultado de esto, se interesen la resistencia a la flexin de las vigas. Experimentando con madera y varillas devidrio, Galileo descubri que la teora da vales exagerada para la carga de roturay, por tanto, desarroll su propia teora de flexin en la que las propiedadeselsticas de los materiales se ha tenido en cuenta.

l comienza con resistencia a pruebas. La Figura 20a2 muestra la- utilizados enlas pruebas de resistencia a la madera. En la Fig. 20B, el ensayo de traccin depapel se muestra. Mariotte fue no slo interesados en la fuerza absoluta delmaterial, sino tambin en sus propiedades elsticas y comprob que, en todos los

materiales que se han probado, las elongaciones fueron proporcionales a las fuerzasaplicadas. Afirma que fractura ocurre cuando la elongacin excede un cierto lmite.En su discusin de la curvatura de un brazo (vase la Fig. 20C), que comienza conun examen del equilibrio de una palancaAB (Fig. 20D), con el apoyode C. en elbrazo izquierdo de la palanca, tres porcentajes iguales G = H = I = 12 Ib sonsuspendidos en las distanciasAC =4 pies, DC = 2 pies, CE = 1pies. Paraequilibrar la carga aplicada en el itinera- BC =12 ft, debemos tomar F= 7 Ib. Siahora la carga es algo ms, la palanca comienza a girar alrededor del punto C.Losdesplazamientos de los puntos A , D y E se encuentran en proporcin a sus

distancias de C, perolas fuerzas aplicadas a los puntos que se continu igual a 12Ib. Consideremos ahora la misma palanca, pero supone que la carga G, H, Isesustituye por los tres idnticos los cables DI, GL, HM (Fig. 20E), la intensidadabsoluta de la que es igual a 12 Ib.' En el clculo de la carga Rque es necesariapara producir fractura de los hilos, Mariotte observa que, cuando la forc en elcable DIalcanza su ultmate valu 12 Ib, las fuerzas en los cables GL yIIM,proporcional a sualargamiento, ser de 6 y 3 Ib Ib, respectivamente,

1Este documento fue editado por M. de la alquiler de 168G, tras la muerte Mariotte. Vasetambin el segundo volme de Mariotte obras completas (2a. ed., La llague, 1740).

2La Figura 20 es tomado de obras completas de Mariotte.


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22 Ilistory de resistencia de materialesY el ultmate carga Rser slo el 5 Ib 7 Ib y no, como lo fue en el caso anterior.

Maiiotte utiliza razonamiento similar en considerar la curvatura de uncantid, concluye que las fuerzas en sus fibras longitudinales se encuentran en la

misma proporcin de sus distancias de D.De lo que se deduce que en el caso de

IG.20. Resistencia a flexin y experimentos realizados por Mariotte.

Haz rectangular, la suma de estas fuerzas ser igual a S/2 (es decir,slo la mitadde la fuerza de la viga en aciagos) y que su momento con respecto a DS/ 2 Xf h=Sh/3, donde h es la profundidad de la viga. Equiparando este al momento Ll delacarga aplicada L, nos encontramos con que el ultmate carga

Por lo tanto, teniendo en la deformacin de las fibras en consideracin y utilizandoel mismo punto de rotacin D,como hizo Galileo, Mariotte considera que el ultL esla fuerza absoluta como(h/ 3): l .

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La Slrenglh de materiales en el siglo Seventeenlh 23Significa que la carga final es igual a slo dos tercios de los valu caleulated porGalileo.

Ahora, Mariotte va ms all en su anlisis y, refirindose nuevamente a la vigarectangular (Fig. 20/ ), seala que las fibras de la parte inferior por la IDde laseccin transversal es de compresin, mientras que las fibras de la partesuperior de IA son aciagos. A calclate la carga L , que es necesariopara superarla resistencia de las fibras de aciagos, que l usa Eq. (A) colocando h/2, en lugardeh, lo que da

Las fibras Consideiing el comprimido en la parte inferior cdigo de laseccintransversal, Mariotte se supone que en la misma ley de forc distribucin tienecomo en el caso de tensin y que la resistencia final es el mismo. De aqu lacontribucin a la fuerza de la viga de la fibras comprimido tambin ser igual a Li,y se da por el ecualizador. (B). El total fort h se dar previamente establecidos porla ecuacin ( a).ver que, en su anlisis Mariotte utiliza una teora de distribucinde tensiones elsticas en las vigas que se satisfaetory. Ilis hiptesis en torno a laforc disi es necesario no slo para substituto h/2 para h enEq. (A), sino tambinpara utilizar S/2 en lugar deS. Esteerror ha impedido llegar a Mariotte la frmulacorrecta para el fracaso de las vigas, el material del que sigue la ley de Hooke defractura.

Para comprobar su teora, Mariotte experimentado con barras cilndricas demadera j- en dimetro. El ensayo de traccin dio la absoluta fuerza como S =330Ib. Prueba de la barra como un voladizo haz1 de longitud l = 4., se encuentra elltimo carga igual a L -6 Ib, que da S:L = 55, mientras que Eq. (A) da2 S :L =48 yGalileo la teora da S:L = 32. Mariotte intenta explicar la diferencia entre susresultados experimentales y las predicciones de Eq. (A) se debe a un "tiempoeffeet." dice que el espcimen en aciagos bien podra fractura bajo una carga de 300Ib si la carga actu durante un tiempo suficientemente largo. Al repetir laexperiencia- con las varillas de vidrio, Mariotte una vez ms que su frmula [Eq.

(A)] da una previsin ms exacta que la de Galileo.Este fsico francs tambin llev a cabo experimentos con rayos apoyado en

ambos extremos, y se encontr con que un rayo con extremos puede llevar, en sucentro, que es el doble de la carga final simplemente apoyados por un haz de lasmismas dimensiones.

1Mariotte mentiocs en su papel que los ensayos fueron realizados en el presenee deRoberval y Huygens.

2Tenga en cuenta que Tiq. (A) se deriva de una seccin transversal rectangular, es utilizadapor Mariot te de un crculo.


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Hislory de resistencia de materiales

Por medio de una muy interesante serie de ensayos, Mariotte laFuerza de corte de tubos de presin hidrosttica interna. Para este

Fin, utiliza un tambor cylindiicalAB(Fig. 21)Que un largo tubo vertical. Durante el llenado de losTambor y el tubo con agua y aumentando la altura1 Nivel de aguaen el ltimo, fue capaz de reventar losTambor. De esta manera se deduce que el grueso-Ness de la tubera debe ser proporcional a su presin interna-Y el dimetro del tubo del che.

Tratar con la flexin de unifovmly plaza cargadoLas placas, Mariotte correctamente establece, a la fuerzaConsideraciones en cuanto a la similitud que el total ultmateCarga en la pate remaras constante e independiente

El tamao de la pate, si el espesor es siempre elMismo.

Vemos que Mariotte mejorado considerablemente la teora de la mecnica decuerpos elsticos. Por introducng consideraciones de deformacin elstica, mejorla teora de flexin de las vigas y, a continuacin, utiliza experimentos paracomprobar su hiptesis. Experimentalmente, ehecked algunos de Galileo susconclusiones sobre la forma en que la fuerza de un rayo vares con el span. linvestig los efectos de la intensidad de un haz de sujecin por sus extremos y diouna frmula para la fuerza de corte de los tubos.

U

----------------BFio. 21. Cy-lindrical tamborutilizado en

Mari- otteruptura de

1La altura del agua en algunos experimentos se acerc 100 pies.


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CAP TULO II

Las curvas elsticas

6. Los matemticos Bemoulli1La familia Bemoulli vivan originalmente en Amberes, pero, a causa de la

Persecucin religiosa del gran duque de Alba, que dejaron Holanda y, hacia

Finales del siglo xvi, se instalaron en Basilea. Comenzando cerca del finalDel siglo xvii esta familiaPendientes produeed martya-Acuden ms de cien aos.En 1699, la Academia Francesa deEligi a los dos ciencias brothei-sJacob y Juan Bemoulli como extranjerosLos miembros, y hasta 1790 no huboSiempre representantes de la Ber-

Noulli familia en esa institucin.Durante el ltimo trimestre delXVII y principios delSiglos xviii a un rpido desarrolloDeclaracin del clculo infinitesimalSe llev a cabo. Iniciado en el Con-Cano. por Leibnitz (1646- 1716),1.Desarrollado principalmente por el trabajoDe Jacob y John Bemoulli. EnTratar de ampliar el sector de aplicacin de esta nueva herramienta matemtica,Se analizaron varios ejemplos de mecnica y fsica. Uno de esosEjemplo8 tratadospor Jacob Bemoulli (1654-1705) se refiere a la formaDe la curva defiection un elstico y de esta manera comenz una

1 Porbiografas, ver "Dic Matemtico Bernoulli " por Peter Moran, Basilea, 1860.5Ton ha desarrollado el nuevo fundamentis indcpendently del clculo en Inglaterra, pero

en el Continente de Leibnitz metliod de presentacin y su notacin se han adoptado y utilizadoen el rpido crecimiento de esa rama de las matemticas.

3Algunos preliminarj s la discusin del problema, que se imprime en Leibnitz la publicacin"Acta Eruditorum Lipsiae", 1694, l puso su version final de este problema en los "Histoiie de

l'Acadniie des Sciences de Pars", 1705. Vase tambin "Obras Completas de J. Bernoulli", vol2, p. 976, Ginebra, 1744.25


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26 Hislory de resistencia de materialesMportantes captulo en la mecnica de cuerpos elsticos. Mientras que Galileo yMariotte investig la fuerza de las vigas, Jacob Bernoulli realiz los clculos de sudesviacin; no contribuyen al conocimiento de las propiedades fsicas de losmateriales. Mariotte la siguiente hiptesis en torno a la posicin del eje neutral, sellev a la tangente a la frontera de la seccin transversal en el lado cncavo

perpendicular a la plae de accin de las cargas externas. Considerando una vigarectangular en un extremo y cargar en el otro de la forc P, se toma la desviacincurva, como se muestra en la Fig. 23.ABFD que representan un elemento de laviga la longitud axial de la que espara nintendo ds.Si durante doblado, la cruz

FIG. 23.

SeccinARgira con respecto a la seccin FDalrededor del ejeA, la elongacin delas fibras entre las dos secciones adyacentes es proporcional a la distancia delejeA. Suponiendo que Hooke la ley y que denota la elongacin de la fibra msalejadas en el lado convexo de LA ds, nos encontramos con que la resultante de lasfuerzas de tensin en todas las fibras de la seccin transversalAB es

1 M Anuncios " , .2 Ds~ (A)

Donde bh es el rea de seccin transversal y m es una constante en funcin de laspropiedades elsticas del material de la viga. El momento de la resultante conrespecto al eje DEdeben ser iguales al momento Pxde la carga aplicada conrespecto a un mismo eje, y obtenemos la ecuacin


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Las curvas elsticas 27Observar ahora que

Anuncios_ h ds r

Ponemos Eq. ( B ) enla forra

C- = Px (C)

Donde

" _ Mbh30 " ~ 3~

Jacob Bernoulli debido a la suposicin errnea con respecto al eje de rotacin dela seccin transversalAB,hemos encontrado su incorrecta valu por laconstante C. Sin embargo, la forma general de Eq. (C), que indica que la curva-tura de la deformacin curva en cada punto es proporcional a el momento deflexin en ese momento, es correcto, se fue luego utilizada por otros matemticosmaticians Eider (principalmente) en sus investigaciones de las curvas elsticas.

Juan Bernoulli (1667-1748), el hermano menor de Jacob era per- el matemticoms grande de su tiempo. Como resultado de su enseanza, el primer libro declculo fue escrito por el Marqus de l'Hpital en 1696. El original las conferenciasde Juan Bernoulli en clculo diferencial fueron publicados por NaturforschendeGesellschaft de Basilea en 1922, con ocasin del tercer centenario de haberalcanzado los Bernoullis ciudadana de la ciudad de Basilea. Fue Juan Bernoullique formulado el principio pedaggico de los desplazamientos virtuales en su carta

toVarignon." a pesar que estaba interesado en las propiedades elsticas de losmateriales, su contribucin a este campo es de poca importanciainternacional.2 mucho ms importantes contribuciones a la fuerza de losmateriales fueron realizados por Juan de Bernoulli hijo Daniel y su alumno L.Euler.

Daniel Bernoulli (1700 1782) es ms conocido por su famoso libro "Bernoulli",sino que tambin contribuy a la teora de curvas elsticas. El orador sugiri queEuler que debe aplicar el clculo variacional para obtener las ecuaciones de lascurvas elsticas sealando en una carta: "Ya que nadie es tan completamente al

maestro de la isoperimetric mtodo (el clculo de variaciones) como usted, ustedmuy fcil resolver el siguiente problema en el que es necesario que / ds /r2ser unmni3Esta integral, ahora lo sabemos, representa la energa de deformacindoblada de un bar descuidar un factor constante. Trabajo de Euler, que se basa enesta sugerencia, se ver ms adelante (consulte la pgina 32).

1Vase "Nouvelle Meanique" por Vurignon, vol 2, pg. 174, Pars, 1725.1Elasticidad es discutido en el primer thrce captulos de libro de Juan Bernoulli, "Dis- eours

sur les loix de la communication du Mouvement", Pars, 1727.3Ver pg. II. Fuss, "Correspondance Mathmatique et Physique", carta 26, vol. II, San

Petersburgo, 1843.


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28 Hislory de Slrenglh de materialesDaniel Bernoulli fue el primero en obtener la ecuacin diferencial gobernar-

prismatical lateral vibraciones de barras y lo us para estudiar modos particularesde este movimiento. La integracin de esta ecuacin fue realizada por Euler y quese discutir ms adelante (consulte la pgina 35), pero Daniel Bernoulli realizuna serie de experimentos y verificacin, sobre sus resultados, escribe a Euler:

"Estas oscilaciones se producen libremente, y yo hemos determinado diversascondiciones y han realizado una gran cantidad de hermosos experimentos sobre laposicin del nudo y el tono de la meloda, lo cual concuerda perfectamente con lateora. "1 Por lo tanto, Daniel Bernoulli no slo era un matemtico sino tambinun experimentador. Algunos de sus experimentos octu- nuevos problemasmatemticos de Euler.

7. Euler (1707-1783)

1 VaseP. H. Fuss, carta 30, vol 2.1Vase "Leonard Euler" por Otto Spiess, Leipzig. Vase tambin elogio de Condorcet,

impreso en "Lettres de L. Kuler \ une Princesse D'Allemagne", Pars, 1842.

Leonard Euler2 naci en las cercanas de la ciudad de Basilea. Su padre era el

Pastor de la vecina localidad de Riechen. En 1720, Euler entr en elUniversidad de Basilea, que en ese momento era un centro muy importante de

Researeh matemtica, ya que laConferencias de Juan Bernoulli atradoLos jvenes matemticos de todosPartes de Europa. Los jvenes estu-Dent de talentos matemticos fueronNot, y Juan Bernoulli,Adems de sus habituales charlas,

Le dio su vez ha realizado unasemanalmente las lecciones.A los diecisis aos, Euler obtuvo suGrado de maestra, y antes de que seVeinte haba participado en unConcurso internacional dePremio por el francs ofered Acad-Emy de Ciencias y haba publicadoSu primer papel scientifie.

La Academia de Ciencias de RusiaFio. 24. Leonard Euler. Fue inauguradoen el ao 1725 en San Pedro-

Burg. Los dos hijos de Juan Ber


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Las curvas elsticas 29Academia en el departamento de physies en 1730 y en 1733, cuando DanielBernoulli izquierda San Petersburgo despus de la muerte de su hermano (en1726) y regres a Basilea, Euler tom su lugar como jefe del departamento dematemticas.

Durante el tiempo que estuvo en la Academia Rusa de San Petersburgo, Eulerescribi su famoso libro sobre mecnica,1 y en ella, en lugar de in- los mtodosgeomtricos utilizados por Newton y sus alumnos, Euler presenta mtodosanalticos. l mostr cmo las ecuaciones diferenciales de movimiento de unapartcula puede ser derivada y cmo el movimiento del cuerpo se puede encontrarmediante la integracin de estas ecuaciones diferenciales. Este mtodo simplificadola solucin de los problemas, y el libro tena un gran irifhience sobreacontecimientos posteriores en mecnica. Lagrange dice en su "Mcaniqueanalytique" (1788) libro de Euler que fue el primer tratado de mecnica en la queel clculo se aplic a la ciencia de cuerpos mviles.

En la poca de la publicacin de su libro, Euler se interes en las curvaselsticas. Tambin, de la correspondencia entre Euler y Daniel Bernoulli, se puedeobservar que esta ltima seala a la atencin de Euler el problema de la vibracinlateral elstica de bares y a la investigacin de la ecuacin diferencialcorrespondiente.

Federico II (Federico el Grande) se convirti en el rey de Prusia en 1740. l seinteres por la ciencia y la filosofa y quera que los mejores cientficos de laAcademia Prusiana. Por esa poca Euler fue reconocido como un destacadomathem&tician y el nuevo rey le invita a convertirse en miembro de la Academia

Berln. Puesto que no haba disturbios polticos en Rusia en ese momento, Euleracept la depara y en el verano de 1741 se traslad a Berln. Que mantuvo algunarelacin con la Academia Rusa y continu publicando muchos de sus memorias enla Com- mentarii Academiae (Real Academia Petropolitanae}en Berln, Eulercontinu su investigacin en el campo de las matemticas y sus papelesaparecieron en las publicaciones anuales de Prusia y Rusia academias.

En 1744 su libro " Methodus inveniendi lineas curves . . . "Apareci. Este fue elprimer libro de clculo variacional y tambin contiene el primer tratamientosistemtico de las curvas elsticas. Esto se discutir ms adelante.

Mientras que en Berhn, Euler escribi su "Introduccin al clculo" (1748),"Clculo Diferencial" (2 vols., 1755), y "IntegralCalculus" (3 vols. ), el ltimo deellos publicado en San Petersburgo (1768-1770). Todos estos libros losmatemticos guiada por muchos aos, y se puede decir que todas

1 "Mechanica sive motus scicntia anulytice expsita", 2 vols., San Petersburgo, 1736,Gorman traduccin por J. P. Wolfers, Greiswald, 1848 y 1850.

*Memorias de la Academia Rusa.


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30 Historia de Slrenglh de materialesLos eminentes hombres de vida mathematies hacia el final del siglo xviii y acomienzos del siglo xix fueron de Euler pupils.1

Despus de la muerte de See also: Maupertuis (1759), Euler fue el encargado dela academia, y beeause de este, que haba una cantidad considerable de trabajoejecutivo. Tambin haba que buscar dinero para el mantenimiento de la academia

durante el difcil perodo de la Guerra de los Siete Aos. En la 17G0, Berln fueocupada por los invasores ejrcito ruso, y Euler la casa fue saqueado. Cuando elcomandante Ruso, el General Totleben, inform de ello, inmediatamente pididisculpas a Euler y orden que se le pagar una indemnizacin. La emperatrizIsabel Rusia envi una cantidad de dinero adicional que paga ms que elmatemtico.

Catalina II beeame la emperatriz de Rusia en 1762. La oradora es partidariaseientific investigacin y progreso y quera mejorar el Ruso Acad

8. Euler de contribucin a la fuerza de los materialesEuler, como un matemtico, se interesa principalmente en las formas

geomtricas de curvas elsticas. Jacob Bernoulli acept la teora de que lacurvatura de una viga elstica en cualquier punto es proporcional a el momento deflexin en ese momento, sin mucha discusin. Sobre la base de ese supuesto,investig las formas de las curvas que un delgado

1Condorcet en su eulog.v dice: "Tous les mathmticiens clbres qui existe aujourdhui sontses leves: il n'en est que qni ne se soit form par la conferencia de ses ouvrages. . . . "

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Las curvas elstica 31Barra elstica se ocupar de bajo diferentes condiciones de carga. Los principalesresultados del trabajo de Euler en esta direccin se encuentran en su libro " demetanfetamina odus inveniendi lineas curves . . . Antes mencionados. Aborda elproblema desde el punto de vista de clculo variacional, el euskara con que leis enese libro. Introducir este mtodo, Euler seala: "Desde la estructura del universo

es ms perfecto, y es la labor del sabio Creador, nada se lleva a cabo en el universo,en el que una relacin de mximum y mnimo no aparece. En caso de avance nohay absolutamente ninguna duda de que cada efecto en el universo puede serexplicado como satisfactoriamente de las ltimas causas, con la ayuda del mtodode mximos y mnimos, ya que puede partir de la causas . . . . Por lo tanto,hay dos mtodos para estudiar efectos en la naturaleza se encuentran abiertos anosotros, mediante eiTective causas, que se denomina comnmente el mtododirecto,

El otro por medio de causas finales . . . u n o debe, hacer un especial eft'ort

para ver que las dos formas de aproximacin a la solucin del problema se; portanto, no slo es una solucin muy fortalecida por las otras, pero, ms que eso,desde el acuerdo entre las dos soluciones que asegure el mayor satisfaccin." Parailustrar los dos mtodos, Euler se menciona el problema de la catenaria. Si unacadena est suspendido en A y B (Fig.25), podemos obtener la curva de equilibriomediante el "mtodo directo." a continuacin, examinar las fuerzas que actansobre un infinitesmn de la curva y escribir las ecuaciones de equilibrio de lasfuerzas. De estas ecuaciones requircd la ecuacin diferencial de la catenaria. Perocon la misma finalidad tambin se puede usar el "mtodo de causas finales " y

atacar el problema con un examen de la potencialidad energtica las fuerzas de lagravedad. De todas las posibles curvas geomtricamente el que necesita es que loque le da a la energa potencial un mini

1Una traduccin al ingls del Apndice de este libro, que contiene el estudio de las curvaselsticas, fue realizado por \V. A. Oldfather, C. A. Ellis, y D. M. Brown. Ver Isis, vol. XX, pg.1, 1933 (reimpresa en Brujas, Blgica). Vase tambin la traduccin de Germn "Ostwald deIClassiker," no. 175.


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32 Historia de Slrenglh de materialesLFo wy dscuando la longitud de la curva es, wel peso por hacerLongitud de la unidad. Aplicando las reglas de clculo variacional, llegamos a lamisma ecuacin diferencial como antes.En el caso de una barra elstica, Euler se menciona que el "mtodo directo" deestablecer la ecuacin de las curvas elsticas fue utilizado por Jacob Bernoulli(consulte la pgina 27). Para utilizar el mtodo de causas finales", Eulernecesidades la expresin de energa de deformacin y, a continuacin, utiliza lainformacin que se le de Daniel Bernoulli. l afirma: "la ms ilustre y, en estesublime forma de estudiar la naturaleza, ms perspicaz hombre, Daniel Bernoulli,ha sealado que podra expresar en una frmula nica, que l calis el polentialforc, toda la forc que encierra en una curva banda elstica, y que esta expresindebe ser de un mnimo de la curva elstica", y, a continuacin, contines (segnBernoulli) "si la tira de seccin transversal uniforme y elasticidad, y, de ser recto,cuando en su posicin natural, el carcter de la curva va a ser tal que en este casola expresin Jf ds R2 es un mnimo absoluto." Usando su clculo variacional, JacobBernoulli Euler obtiene la ecuacin diferencial en las curvas elsticas Que, en elcaso que se muestra en la Fig. 23, Se

C (1 +y" 1)i = Px (O)

Desde Euler no limitar su discusin a la consideracin de pequeas desviaciones, eltrminoy'1en el denominador no puede ser descuidado y la ecuacin es complicado.

Euler se integra de serie y muestra que si la desviacin / (vase la Fig. 23) Espequeo, Eq. (A) da

C = w w - w( B )

Si descuidamos el trmino 3fen el numerador, la frmula usual para el desvo de lafinal de un brazo se obtiene, es decir,

F~ 3 C (C)

No descuidar el trmino permite el hecho de que, debido a la deflexin, la longitudlEs un poco menor que la longitud inicial de la barra.Euler no discutir el significado fsico de la constante C que calis la "absolutaelasticidad", merelv que indica que depende de las propiedades elsticas de losmateriales y que, en el caso de rech. Vemos que Euler se equivocan si creen que esC


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Las curvas elsticas 33Proporcional a h-,en lugar de h3.Su recomendacin de Eq. (6) debe ser utilizadopara una determinacin experimental de Cfue seguida por muchosexperimenters.1Euler considera los distintos casos de flexin se muestra en la Fig. 26,2 Y clasificalas correspondientes curvas elsticas segn vales del ngulo

Entre la direccin de la forc P yla tangente en el punto de aplicacin de la carga.Cuando este ngulo es muy pequeo, nos ha ve el importante caso de columnascediendo bajo la accin de una compresin axial- sive forc. Euler (vase lacolumnaABen la Fig. 26) Que, en este caso, la ecuacin de la curva elstica puedeser fcilmente resuelto y de que la carga en1Vase, por exnmple, P. S. Girnrd de trabajo (p. 7).2

Esta cifra se ha tomado de Euler la obra original.


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Historia de resistencia de materiales

Que el pandeo ocurre es dada por la ecuacin

Afirma: "Por lo tanto, a menos que la carga P acargo ms de Cx2/4Z2, no habrabsolutamente ningn miedo de flexin; por otra parte, si el peso Psea mayor, lacolumna ser incapaz de resistir la deformacin. Ahora, cuando la elasticidad de lacolumna y del mismo modo su grosor siguen siendo los mismos, el peso Pque sepuede llevar sin peligro ser inversamente proporcional al cuadrado de la altura dela columna; y una columna doble de alta sern capaces de tener slo una cuartaparte de la carga." vemos que, hace doscientos aos, Euler estableci la frmulapara el pandeo de columnas que ahora tiene tan amplia aplicacin en el anlisis dela estabilidad elstica de ingeniera stractures.

Euler considera tambin barras de seccin transversal variable y, como ejemplo,se analiza la desviacin de un brazo (Fig. 26), la rigidez de la que es proporcional ala distancia * .

Una vez ms, Euler trata la curvatura de bares que tienen alguna curva inicial-1/Ro ylos estados que, en este caso, Eq. (A) deben ser sustituidos por

Es decir, barras curvadas en un principio, el cambio de curvatura en cada punto esproporcional al momento flector. El autor muestra que si la primera curva-tura l/Iio es constante a lo largo de la longitud de la barra, Eq. (E) pueden sertratadas de la misma manera que el de barras rectas consideradas anteriormente.El autor analiza tambin los siguientes problemas interesantes: Qu debe ser laforma inicial de un voladizo si una carga, aplicado al final de la misma, es recto?

Cuando una carga distribuida acta sobre una viga, como el peso de la viga ouna presin hidrosttica, Euler demuestra que la ecuacin diferencial de la curvaelstica ser de la cuarta orden. mentira logra resolver esta ecuacin para el caso

de la presin hidrosttica y obtiene la desviacin curva algebraica en unformulario. j

Ms de 011 libros de Euler, encontramos un tratamiento de la vibracin lateralde las barras. Limitando su discusin en el caso de pequeas desviaciones, seencuentran los estados que mentira es capaz de t.ake d2y/dx2 comola curvatura dela luz desviada y escribe la ecuacin diferencial de la curva de la misma forma quese utiliza ahora. A elimnate el efecto de la fuerza de la gravedad, las fuerzas sesupone que la vibracin barAB es vertical en el extremo (Fig.27A) y conmn depeso w dx, observa que este movimiento es el mismo que el de un simple iscrono

\

\


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Curvas Elasli 35Pndulo (Fig. 27B), y la forc tirando del elemento hacia el eje xDebe ser la misma que en el caso del pndulo, es decir, de la pequeaOscilaciones, es igual a wy dx/l.Euler razones: "Se deduce que, si aEl nico elemento ron de las vegas strip.

Igual forees wy dx/ldebe aplicarseEn el sentido opuesto (en la ofi-De eje y)la tira de la posicinAmnBse encontrara en estado de equilibrioV. De aqu la franja, mientras que oscila-Ing, asumir la misma curvaturaLo que se tardara en cuando est en reposo,siEn los elementos individuales mndebe

Actuar por las fuerzas wy dx/lEn la direcciny."De esta manera EulerLlega a las conclusiones que ahora llegan con la aplicacin de D'Alembertprincipie.1 la carga distribuida Euler ahora obtiene la ecuacin diferencial demovimiento por dos veces diferenciando la ecuacin

Y observando que la derivada segunda de M es igual a la intensidad de carga

lateral. Esto da

Rdhj wyDx * l

( /)

Euler y concluye: "Por esta ecuacin, por lo tanto, el carcter de lascurvasAmnBse expresa, y de que, si se adapta al caso presentado, la longitud l (elequivalente del pndulo) se determinarn. Que se sepa, el movimiento oscilatorios se dar a conocer." Despus de esto l se integra Eq. ( /) y, utilizando el supuestolas condiciones en los extremos de la tira, se encuentra la ecuacin de frecuenciaque las frecuencias de los modos de vibracin consecutivo se puede calcular.

Euler no limita su anlisis con el caso de un voladizo pero tambin analiza elmovimiento transversal de barras (1) con extremos simplemente apoyados, (2) conextremos, y (3) con ambos extremos totalmente libre. Para todos estos casos seestableci la frmula de la frecuencia y del tipo

LirkM- \ wl

4CgW*

I9

1 D'Alembert gancho del "Trait de Dynamique" se public en 1743, pero no se

saba a Euler cuando estaba escribiendo el apndice "Curvis Elastieis" a su libro"Methodus inveniendi . . . . "


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36 Historia de resistencia de materialesDonde vies un nmero dependiendo de las condiciones en los extremos de la barray en el modo de vibracin. En conclusin valida que Euler Eq. (G)no se puedeutilizar en forma experimental sesin matinal de su teora, sino que tambin ofreceun medio prctico para determinar el "absoluto elasticidad" Cde la tira.

En 1757, Euler ms trabajos publicados sobre el problema1 del pandeo de

columnas. l nos da una simple derivacin de la foi'mula para la carga crticamediante la simplificacin di'erential ecuacin

Aqu se da un debate ms satisfactoria de la cantidad C ycon- cluye que debe tenerlas dimensiones de una forc multiplicado por el cuadrado de la longitud. En

posteriores papis Euler se extiende su anlisis a fin de cubrir las columnas deseccin transversal variable y tambin trata el problema de la coluinn con cargaaxial distribuidos a lo largo de su longitud, pero no llegar a soluciones correctaspara estos problemas ms complejos.

Jacques Bernoulli (1759-1789)2 refera al papel de Euler "Von dem eines Druckemit einem Gewichte beschwerten Tisches auf eine Flaeche" en la que tenemos elprimer tratamiento de problema estticamente indeterminados. Fue resuelto bajoel supuesto de que la parte superior de la mesa sigue siendo plae.

Euler estudi tambin la teora de la dellection y vibracin de una membrana

flexible neumlogos. Considerando una membrana que se compone de dos sistemasde cadenas que son perpendiculares entre s, es l el que se deriva la ecuacindiferencial parcial3

Esta idea fue usada posteriormente por Jacques Bernoulli, quien en suinvestigacin de flexin y la vibracin de un rectangular pate, considerado el patecomo un entramado de dos sistemas de vigas y obtenido una ecuacin de la forma4

Esto lo utiliza para explicar los resultados experimentales de Chladni para lavibracin de las placas (consulte la pgina 119).

1Sur la forc de colorines, Mem.Acad. Berln,vol 13, 1759.1Sobrino de Daniel Bernoulli. l muri en el Biver Neva.3Novi Comm. Acad. Petrop., vol.10, pg. 24.3 , 1767. Euler utiliza esta idea una vez ms en

el estudio de las vibraciones de las campanas (vase la misma publicacin, pg. 261).

*Nova acta,vol 5, 1789, San Petersburgo.

* Dt2 dy2 dx

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Curvas Elaslic 379. Lagrange(1736-1813)

Lagrange naci en Tnrin1 y su fathcr era un hombre rico que pierdeSu propiedad a travs de algunos pobres especulaciones. Ms tarde los jvenesLagrange-Consider que esta prdida tiene algunas caractersticas reseables, ya que, haba

sidoRico, podra no haber tenido hasta mathematies. En un principio, se mostrExcepcionales habilidades matemticas y a los diecinueve aos de edad, afinnYa convertirse en profesor dematemticasCampo en la Real Escuela de ArtilleraEn Turn.Con un grupo de alumnos que fundUn societ.y que ms tarde se convirti en

laTurn Academia de Ciencias. En elPrimer volumen de las publicaciones deQue institnte (que apareca en1759) Varios de Lagrange de lasmemoriasFueron impresas, y entre ellos,Constituyen su importante trabajo enClculo variacional. Esta comn

Inters que le corres-Riera con Euler. Euler muyDe trabajo de LagrangeLe nomnate a esta ltima como una deMiembros extranjeros de la Academia deBerlnY Lagrange fue elegido en 1759.En 1766, fue invitado para sustituir a esa academia Euler a los hombres.de Euler yD'Alembert y se traslad a Berln. Aqu encontr excelentes condiciones de trabajoy pronto pubshed una larga serie de documentos importantes.

En ese momento, l tambin ha preparado su famoso "Mcanique analytique."En ella, con D'Alembert principio pedaggico y la divisi de desplazamientovirtual- Lagrange, present las nociones de "coordenadas generalizadas" y "lasfuerzas generalizadas", y redujo la teora de la mecnica a ciertas frmulasgenerales de cual las ecuaciones de cualquier problema en particular. En el profaceLagrange afirma que no hay cifras en su libro debido a que los mtodos que utilizano requieren geometrieal o consideraciones de la mecnica, pero slo operacionesalgebraicas que tiene que seguir un orden preseribed. En manos de Lagrange, lamecnica se convirti en una rama del anlisis lo que llam "geometra de cuatro

dimensiones." haba pocas personas en ese momento que poda apreciar la-


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38 Historia de resistencia de materiales

Lisher para esa labor. Finalmente, se public en Pars en el ao 1788, unCien aos despus de Newton "Principia".

Despus de la muerte de Federico el Grande scientifie las condiciones de trabajoEn Berln deteriorado, y no el mismo reconocimiento comoAntes, Lagrange se traslad a Pars en 1787. Y se encontr con una clida

recepcinLe esperan en la capital francesa, fue presentada en theLouvre, y recibiUna subvencin igual a la que haba tenido hasta ahora. Sin embargo, comoResultado de exceso de trabajo, Lagrange completamente perdido el inters en lasmatemticas yDesde hace dos aos su volumen impreso del "Mcanique", sin abrir.Durante este perodo, mostr cierto inters en otras ciencias, especialmenteEn el campo de la qumica, y tambin particip en la labor de la comisin queSe estaba debatiendo la introduccin del sistema mtrico decimal en Francia.

Esta fue la poca de la Revolucin Francesa y la revolucinGobierno comenz la purga de los miembros de la comisin. Varios

Grandes cientficos, como el qumico LavoisierY el astrnomo Bailly, fueron ejecutados, y

Lagrange tiene previsto abandonar el pas. Pero enEse tiempo, una nueva escuela, la cole Polytechnique,

Se abri y Lagrange era para disertar sobre pedidoEl clculo en el nuevo instituto. Esta actividad

Revivi su inters por las matemticas y su lec-

Tures comenz a atraer no slo a estudiantes, sino tambinMaestros y profesores. Como resultado de estas lec-Tures escribi dos libros, "Fonctions de anlisis

Crticas " y "Trait de la Rsolution des quationsNumriques." Durante los ltimos aos de su vidaLagrange fue ocupada con una revisin de su libro

En el rea mecnica, pero ste muri en 1813, cuando slo alrededor de dos terciosde este

Trabajo ya estaba hecho. El segundo volumen de la edicin revisada apareciDespus de su muerte.

La contribucin ms importante de Lagrange de la teora de curvas elsticas essu autobiografa "Sur la figura des colonnes. "1 l comienza con una discusin deuna barra prismtica con bisagras en sus ex

traduccion timoshenko

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